广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考(理)数学试题(含答案)

广西田阳高中2019-2020学年高二5月月考（理）
一、单选题
1．已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B =I （ ） A ．(2,3) B ．(0,3)
C ．(1,2)
D ．(0,1)
2．复数3223i
i
+=- A ．1
B ．1-
C ．i
D ．i -
3．已知1a =r ，=(0,2)b r ，且1a b ⋅=r r ，则向量a r 与b r
夹角的大小为( )
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 4．若3
sin(
)25
π
α-=，则cos2α=（ ） A ．7
25 B ．2425
C ．725-
D ．24
25
-
5．已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ） A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．c a b <<
6．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A 、B 、C 三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A 县区的概率为（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
16
D ．
23
7．我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的x ，y 分别是（ ）
A ．12，23
B ．23，12
C ．13，22
D ．22，13
8．如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（ ）
A ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定
B ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定
C ．x x =甲乙，甲比乙成绩稳定
D ．x x =甲乙，乙比甲成绩稳定
9．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）
A
B
C
D
10．在等比数列{}n a 中，1n n a a +<，且2116a a =，495a a +=，则6
11
a a 等于（ ） A ．6
B ．
23
C ．
16
D ．
32
11．若函数(
)()sin 0x f x x ωωω=>的图象的一条对称轴为3
x π
=，则ω的最小
值为（ ） A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．3
12．已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，
P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、
N ，122PF PF =，且260MF N ∠=o ，则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B
C
D
二、填空题
13．设变量x y 、满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪
-≥-⎨⎪+≥⎩
,则23z x y =+的最大值是_________.
14．求曲线3231y x x =-+在点1x =处的切线方程是________. 15．6(1)(1)x x -+的展开式中2x 的系数为__________．
16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，若[]
0,1x ∈时，
()21x f x =-，
则函数()ln ||y f x x =-的零点个数为___________．
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+. （1）求这个数列的通项公式n a ；
（2）若2n
n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
18．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽
样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：
（1）求高一、高二两个年级各有多少人？
（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.
①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；
②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.
19．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．
（1）证明： MN PC ⊥；
（2）当H 为PC 的中点， PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角P AM N --的余弦值．
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()2,1P .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点P 作两条互相垂直的弦,PA PB 分别与椭圆C 交于点,A B ，求点P 到直线AB 距离的最大值.
21．已知函数()a lnx
f x x
+=
在1x =处取得极值. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；
（2）当[)1,x ∈+∞时，()1m
f x x
≥
+恒成立，求实数m 的取值范围.
22．已知函数()1f x x =-.
（1）解不等式()()48f x f x ++≥；
（2）若1a <，1b <，0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>
⎪⎝⎭
.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）
（13）18（14）（15）9 （16）2
三、解答题（本大题共6个小题,共70分）
17. 解：（1）当且时，
…①
当时，，也满足①式数列的通项公式为：
（2）由（1）知：
18.解：（1）设高一年级有人，高二年级有人.
采用分层抽样，有.所以高一年级有人，高二年级有人. （2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为.
（3）的所有可能取值为.
,,.
所以的分布列为
故的期望.
19. 解：（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，
因为且平面，所以平面，
因为平面，所以．
因为平面，平面，且平面平面，
所以，所以．
（2）由（1）知且，因为，且为的中点，
所以，所以平面，所以与平面所成的角为，
所以，所以，因为，所以．
分别以，，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，
则
，
所以．
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记平面的法向量为，则，
令，则，所以，
记二面角的大小为，则．所以二面角的余弦值为．
20.解：（1）由题意，得，结合，得，，所以椭圆的方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，
代入椭圆方程，整理得，
由得，
设，，则，，
因为，所以，所以，
即，
其中，
，
代入整理得，即，
当时，直线过点，不合题意；
所以，此时满足，
则直线的方程为，直线过定点，
所以当时，点到直线的最大距离
；
当直线的斜率不存在时，设其方程为，由，，
代入可得，
结合可得或（舍去），当时，点到直线的距离为，
综上，点到直线的最大距离为.
21. 解：（1）由题知，又，即，
∴，令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在单调递减.
（2）依题意知，当时，恒成立，即，
令，只需即可，
又，令，，
所以在上递增，∴，∴，所以在
上递增，
∴，故.
22．解：（1）.
当时，由，解得，此时；当时，不成立；
当时，由，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）要证，即证，
因为，，所以，，，
.
所以，.故所证不等式成立.。