山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学(文)试题
山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学(文)试题 Word版含解析
数学文科一、填空题（每小题5分，共30分） 1.参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=-⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________. 【答案】(0,3) 【解析】 【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形普通方程，令0x =，即可得答案.【详解】根据题意，曲线的参数方程2cos ,4x y sin θθ=⎧⎨=-⎩，变形可得241x y +-=，即23y x =+，为二次函数，与y 轴的交点坐标为(0,3)；故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属于基础题．2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________． 【答案】32【解析】 【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C 上的点到直线l 的距离为|2sin()4|42sin()333322222ππφφ+--+==≤=故答案为：32【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题.3.已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得（x ，y ）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为ˆy=1.4x +a ，则a 的值等于_____． 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据线性回归方程经过样本中心点,代入样本中心点求解即可. 【详解】∵01234x +++==1.5,12454y +++==3,∴这组数据的样本中心点是（1.5,3） 把样本中心点代入回归直线方程 1.4y x a =+, ∴3＝1.4×1.5+a ,∴a ＝0.9． 故答案为：0.9【点睛】本题主要考查了线性回归方程过样本中心点的知识点,属于基础题型.4.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x t y t =-⎧⎨=⎩（t为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标为___． 【答案】2,4π⎫⎪⎭【解析】 【分析】通过消参可得曲线2C 的普通方程，然后联立曲线1C 的方程，可得交点，然后根据22,tan yx y xρθ+=，可得结果. 【详解】由曲线2C 的参数方程为2x ty t=-⎧⎨=⎩，则曲线2C 的普通方程为：2x y +=所以221212x x y y x y =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩则交点()1,1A由22=,tan y x y xρθ+= 所以=2,4πρθ=则点A 极坐标为2,4π⎫⎪⎭故答案为：2,4π⎫⎪⎭【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化以及直角坐标与极坐标的转化，熟练掌握普通方程、参数方程、极坐标方程之间的转化，属基础题. 5.已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.⑤回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点； ⑥若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________． 【答案】①③④⑦ 【解析】 【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可．【详解】在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，不一定过样本点，⑤错误；若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确． 故答案为①③④⑦.【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题． 6.3cos sin 0ρθρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．【答案】23【解析】 【分析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长||AB ．3cos sin 0ρθρθ-=30x y -=，因为圆4sin ρθ=，所以圆的直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，所以圆心坐标为(0,2)，半径2r ， 圆心(0,2)30x y -=的距离22|302|1(3)1d ⨯-==+，所以22||224123AB r d =-=-=． 故答案为：23【点睛】本题主要考查将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程及圆中的弦长公式，属于基础题．二、单选题（每小题5分，共30分）7.设12iz i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 125i + B. 125i - C. 135i +D.135i- 【答案】C【解析】 【分析】利用复数乘法和除法，化简复数z ，然后求其共轭复数即可.【详解】因为12i z i -=+()()()()1213225i i ii i ---==+-，故z =135i+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘除法运算，以及共轭复数的求解，属基础题.8.已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ） A. (3,4)B. 3222⎝C. (-3,-4)D. 1212,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P的参数θ即可求解.【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=，∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D.【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角.9.下列参数（t 为参数）方程中，与2214y x +=表示同一曲线的是（ ）A. 2x t y t =⎧⎨=⎩B. ||2x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩C. cos 2sin x ty t =⎧⎨=⎩D.tan 2sec x ty t =⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程化为普通方程，逐一将各参数方程中的参数t 消去即可得解. 【详解】解：对于选项A ，参数方程2x ty t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2y x =，即A 不合题意；对于选项B ，参数方程2x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩22y x =，即B 不合题意；对于选项C ，参数方程cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x +=，即C 符合题意；对于选项D ，参数方程tan 2sec x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x -=，即D 不合题意，即与2214y x +=表示同一曲线的是cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩， 故选：C.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，重点考查了运算能力，属中档题.10.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A.15B.25C.45D.65【答案】D 【解析】 【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可.【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11.已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )A. 1B. 1-21D.21-【答案】C 【解析】 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则2312sin 1214x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值 12.已知复数423iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C .第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先对复数进行化简，然后判定所在象限.【详解】依题意，()()()()42i 3i 42i1010i1i 3i 3i 3i 10z ++++====+--+，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A.【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题（共40分）13.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．（Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 【答案】（Ⅰ）(0,0)，(2,)4π（Ⅱ）1【解析】 【分析】（Ⅰ）根据曲线1C 为圆的参数方程,分析圆心与半径直接求解1C ,再根据极坐标的意义化简()4R πθρ=∈成直角坐标,再联立求解交点坐标即可.（Ⅱ）设直线m 的参数方程,联立与圆的方程,再根据直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】（Ⅰ）易得曲线1C 为圆心是()1,0,半径为1圆,故1C 的普通方程为()2211x y -+=,直线l 的普通方程为y x =,联立方程()2211x y y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩,所以直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0与2,4π⎫⎪⎭． （Ⅱ）依题意,设直线m 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩(α为倾斜角,t 为参数),代入()2211x y -+=,整理得()22sin cos 10t t αα-++=．设,A B 对应的参数分别为12,t t 则121PA PB t t ⋅==.【点睛】本题主要考查了参数方程和极坐标与直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中档题.14.已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.【答案】4 【解析】 【分析】求出曲线2C 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求解. 【详解】由题意可知，13cos cos cos sin sin cos sin 2333322πππρθρθρθρθρθ⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线2C 的直角坐标方程为直线:330l x +-=，由曲线1C 的参数方程可知，曲线1C 的普通方程为圆2216x y +=，其半径4r =圆心O 的直线l 的距离为|43|2313d -==+l 被圆截得的弦长为2224AB r d =-=. 【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转化，求解直线与圆形成的弦长.15.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？ 非体育健康A 类学生 体育健康A 类学生 合计男生女生合计（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：P （20K k ≥）0.05 0.010 0.0050k3.841 6.635 7.879()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++ 【答案】（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【解析】【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：非体育健康A 类学生 体育健康A 类学生 合计 男生30 15 45 女生45 10 55 合计75 25 100由22⨯列联表中数据代入公式计算，得： 22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯； 所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则{A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P=（A）7 10 =．【点睛】本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．。
山西省忻州市第二中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学(文)试题
山西省忻州市第二中学2020-2021学年高二下学期3月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题 1．参数方程2cos ,()4sin .x R y θθθ=⎧∈⎨=-⎩所表示的曲线与y 轴的交点坐标是_________.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y φφ⎧=⎪⎨=⎪⎩（φ为参数），直线l 的方程为40x y +-=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为__________．3．已知变量x ，y 具有线性相关关系，测得（x ，y ）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为ˆy=1.4x +a ，则a 的值等于_____． 4．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x ty t=-⎧⎨=⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标为___． 5．已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数r 就越接近于1；③在回归直线方程0.52y x ∧=-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y ∧平均减少0.5个单位；④两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.⑤回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，且至少过一个样本点； ⑥若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；⑦从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中正确命题的序号是__________．6．在极坐标系中，cos sin 0θρθ-=与圆4sin ρθ=交A ，B 两点，则||AB =_____．二、单选题7．设12iz i -=+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．125i + B ．125i - C ．135i +D ．135i- 8．已知P 为曲线3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0θπ）上一点，O 为原点，直线PO 的倾斜角为4π，则P 点的坐标是（ ）A ．(3,4)B ．2⎛ ⎝C ．(-3,-4)D ．1212,55⎛⎫⎪⎝⎭ 9．下列参数（t 为参数）方程中，与2214yx +=表示同一曲线的是（ ）A ．2x ty t=⎧⎨=⎩B ．2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩C ．cos 2sin x ty t=⎧⎨=⎩D ．tan 2sec x ty t=⎧⎨=⎩10．已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．6511．已知点(),x y 在圆22()(23)1x y -=++上，则x y +的最大值是( )A ．1B ．1-C 1D ．1-12．已知复数423iz i+=-（i 为虚数单位），则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限三、解答题13．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：()4R πθρ=∈．（Ⅰ）求直线l 与曲线1C 公共点的极坐标；（Ⅱ）设过点()0,1P -的直线m 交曲线1C 于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值． 14．已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()3πρθ-=设曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.15．某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况，随机抽取了100名学生进行调查，其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图：将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生，已知体育健康A 类学生中有10名女生.（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关？（Ⅱ）将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生，已知体育健康A +类学生中有2名女生，若从体育健康A +类学生中任意选取2人，求至少有1名女生的概率. 附：()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++参考答案1．(0,3) 【分析】根据题意，将曲线的参数方程变形普通方程，令0x =，即可得答案. 【详解】根据题意，曲线的参数方程2cos ,4x y sin θθ=⎧⎨=-⎩，变形可得241x y +-=，即23y x =+，为二次函数，与y 轴的交点坐标为(0,3)； 故答案为：(0,3)． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，注意求出参数方程对应的普通方程，属于基础题． 2．【分析】先根据点到直线距离公式列等量关系，再根据三角函数有界性求最值. 【详解】曲线C 上的点到直线l 的距离为|2sin()4|42sin()ππφφ+--+==≤=故答案为：【点睛】本题考查点到直线距离公式以及三角函数有界性，考查基本分析求解能力，属中档题. 3．0.9 【分析】根据线性回归方程经过样本中心点,代入样本中心点求解即可. 【详解】 ∵01234x +++==1.5,12454y +++==3,∴这组数据的样本中心点是（1.5,3）把样本中心点代入回归直线方程 1.4y x a =+, ∴3＝1.4×1.5+a ,∴a ＝0.9． 故答案为：0.9 【点睛】本题主要考查了线性回归方程过样本中心点的知识点,属于基础题型.4．4π⎫⎪⎭【分析】通过消参可得曲线2C 的普通方程，然后联立曲线1C 的方程，可得交点，然后根据tan yxρθ=，可得结果. 【详解】由曲线2C 的参数方程为2x ty t =-⎧⎨=⎩，则曲线2C 的普通方程为：2x y +=所以221212x x y y x y =⎧+=⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩则交点为()1,1A由tan y xρθ=所以4πρθ=则点A 极坐标为4π⎫⎪⎭故答案为：4π⎫⎪⎭ 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化以及直角坐标与极坐标的转化，熟练掌握普通方程、参数方程、极坐标方程之间的转化，属基础题. 5．①③④⑦【分析】根据线性回归分析的概念进行分析即可． 【详解】在线性回归模型中，相关指数2R 越接近于1，表示回归效果越好，①正确；两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，②错误；③正确；两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，④正确；回归直线ˆˆˆybx a =+恒过样本点的中心(),x y ，不一定过样本点，⑤错误；若2K 的观测值满足2K ≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，并不能说在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，⑥错误；从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误，⑦正确． 故答案为①③④⑦. 【点睛】本题考查线性回归分析的有关概念，掌握相关概念是解题基础，属于基础题．6．【分析】只需将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程都化为直角坐标方程，再利用圆中的弦长公式即可求得弦长||AB ． 【详解】cos sin 0θρθ-=0y -=，因为圆4sin ρθ=，所以圆的直角坐标方程为2240x y y +-=，即22(2)4x y +-=，所以圆心坐标为(0,2)，半径2r ，圆心(0,2)0y -=的距离1d ==，所以||AB ===．故答案为： 【点睛】本题主要考查将直线的极坐标方程和圆的极坐标方程化为直角坐标方程及圆中的弦长公式，属于基础题．7．C 【分析】利用复数乘法和除法，化简复数z ，然后求其共轭复数即可. 【详解】因为12i z i -=+()()()()1213225i i ii i ---==+-，故z =135i+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘除法运算，以及共轭复数的求解，属基础题. 8．D 【解析】 【分析】根据两点斜率公式求出点P 的参数θ即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(3cos ,4sin )θθ. 由题意知3cos 4sin θθ=，∴3tan 4θ=，又0θπ， ∴3sin 5θ=，4cos 5θ=，∴4123cos 355x θ==⨯=，3124sin 455y θ==⨯=，∴点P 的坐标为1212,55⎛⎫⎪⎝⎭.故选D. 【点睛】本题考查椭圆的参数方程，直线的倾斜角. 9．C 【分析】将参数方程化为普通方程，逐一将各参数方程中的参数t 消去即可得解.【详解】解：对于选项A ，参数方程2x ty t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2y x =，即A 不合题意；对于选项B，参数方程2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩22y x =，即B 不合题意；对于选项C ，参数方程cos 2sin x t y t=⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x +=，即C 符合题意；对于选项D ，参数方程tan 2sec x t y t =⎧⎨=⎩化为普通方程为2214y x -=，即D 不合题意，即与2214y x +=表示同一曲线的是cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩， 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，重点考查了运算能力，属中档题. 10．D 【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l的距离65d ==,故选D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 11．C 【分析】设圆上一点()2,3P cos sin αα+-,则1x y sin cos αα+=+-,利用正弦型函数求最值,即可得出结论 【详解】设22(2)(3)1x y -++=上一点()2,3P cos sin αα+-,则231114x y cos sin sin cos πααααα⎛⎫+=++-=+-=+-≤ ⎪⎝⎭,故选：C 【点睛】本题考查圆的参数方程的应用,考查正弦型函数的最值 12．A 【分析】先对复数进行化简，然后判定所在象限. 【详解】依题意，()()()()42i 3i 42i1010i1i 3i 3i 3i 10z ++++====+--+，则在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限.故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确复数的运算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13．（Ⅰ）(0,0)，)4π（Ⅱ）1【分析】（Ⅰ）根据曲线1C 为圆的参数方程,分析圆心与半径直接求解1C ,再根据极坐标的意义化简()4R πθρ=∈成直角坐标,再联立求解交点坐标即可.（Ⅱ）设直线m 的参数方程,联立与圆的方程,再根据直线参数方程的几何意义求解即可. 【详解】（Ⅰ）易得曲线1C 为圆心是()1,0,半径为1圆,故1C 的普通方程为()2211x y -+=,直线l的普通方程为y x =,联立方程()2211x y y x⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ ,解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩,所以直线l 与曲线1C 公共点的极坐标为()0,0与4π⎫⎪⎭．（Ⅱ）依题意,设直线m 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩(α为倾斜角,t 为参数), 代入()2211x y -+=,整理得()22sin cos 10t t αα-++=． 设,A B 对应的参数分别为12,t t 则121PA PB t t ⋅==.【点睛】本题主要考查了参数方程和极坐标与直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义.属于中档题.14．4【分析】求出曲线2C 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求解.【详解】 由题意可知，1cos cos cos sin sin cos sin 33322πππρθρθρθρθρθ⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线2C 的直角坐标方程为直线:0l x +-=，由曲线1C 的参数方程可知，曲线1C 的普通方程为圆2216x y +=，其半径4r =圆心O 的直线l 的距离为d ==l 被圆截得的弦长为4AB ==. 【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转化，求解直线与圆形成的弦长.15．（Ⅰ）见解析，没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关（Ⅱ）710【分析】（Ⅰ）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅱ）由题意利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【详解】（Ⅰ）由频率颁布直方图可知，在抽取的100人中，体育健康A 类学生有25人，从而22⨯列联表如下：由22⨯列联表中数据代入公式计算，得： 22100(30104515)100 3.030 3.8417525455533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯； 所以没有理由认为达到体育健康A 类学生与性别有关．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，体育健康A +类学生为5人，记a 、b 、c 表示男生，D 、E 表示女生，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为{ab Ω=，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE ；Ω由10个基本事件组成，而且这些事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中至少有1名是女生”这一事件，则{A aD =，aE ，bD ，bE ，cD ，cE ，}DE 共计7种；故所求的概率值为P =（A ）710=． 【点睛】 本题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．。
【精准解析】山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学(理)试题
数学理科月考试卷 第I 卷（选择题)一、单选题（每题5分，共40分)1.曲线31y x =+在点(1,0)-处的切线方程为（ ） A. 330x y ++=B. 330x y --=C. 30x y -=D.330x y -+=【答案】D 【解析】【详解】试题分析：2'3y x =,()21'|313x y =-∴=⨯-=.由导数的几何意义可得所求切线的斜率3k =,所以所求切线方程为()31y x =+,即330x y -+=.故D 正确. 考点：导数的几何意义.2.函数2()2ln f x x x =-的单调递增区间是（ ） A. (0,1]B. [1,)+∞C. (,1],(0,1]-∞-D.[1,0),(0,1]-【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数()y f x =的定义域，求导，然后解不等式()0f x '≥可得出所求的单调递增区间．【详解】函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()()22122x f x x x x-'=-=，0x，解不等式()0f x '≥，即210x -≥，解得01x <≤，所以，函数()y f x =的单调递增区间为(]0,1，故选A ．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，解题时注意导数符号与函数单调区间之间的关系，再者就是求出导数不等式的解集后必须与定义域取交集才行，考查计算能力，属于中等题．3.函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A. 极大值5，极小值27-B. 极大值5，极小值11-C. 极大值5，无极小值D. 极小值27-，无极大值【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当1x =-时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果. 【详解】()()2369331y x x x x '=--=-+当()2,1x ∈--时，0y '>，函数单调递增；当()1,2x ∈-时，0y '<，函数单调递减∴当1x =-时，函数取极大值，极大值为1395--+=；无极小值故选：C【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题. 4.曲线若2y x 和直线10,1,4x x y ===围成的图形面积为( ) A.23 B.13C.12D.14【答案】D 【解析】试题分析：令211,42x x ==，所以面积为11222102111444x dx x dx ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰.5.设[](]2,0,1,(){1,1,e x x f x x x∈=∈（其中为自然对数的底数），则0()ef x dx ⎰的值为（ ）A.43B.54C.65D.【答案】A 【解析】()ef x dx⎰.6.若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n++⋯+=也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}n c 是等比数列，且n d 也是等比数列，则n d 的表达式应为( ) A. 12nn c c c d n++⋯+=B. 12nn c c c d n⋅⋅⋯⋅=C. 12n n nnnn c c c d n++⋯+=D. 12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式，等比数列的通项公式，即可得到结论． 【详解】解：数列{}n a 是等差数列，则()12112n n na a a a d n -++⋯++=，∴数列12112n n a a a n b a d n ++⋯+-==+也为等差数列正项数列{}n c 是等比数列，设首项为1c ，公比为q ， 则()112121111nn nn n c c c c c q c qc q--⋅⋅⋯⋅⋅⋅⋯==⋅∴112121111n n n n n n d c c c c c q c q c q--=⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋯⋅∴12n n n d c c c =⋅⋅⋯⋅故选：D ．【点睛】本题考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可． 7.用数学归纳法证明4221232n n n +++++=，则当1n k =+时，左端应在n k =的基础上加上（ ） A. 21k +B. ()21k +C .()()()222121k k k ++++++D.()()42112k k +++【答案】C 【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+…+n 2=422n n +时，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k 时，等式左端=1+2+…+k 2，当n=k+1时，等式左端=1+2+…+k 2+k 2+1+k 2+2+…+（k+1）2，增加了项（k 2+1）+（k 2+2）+（k 2+3）+…+（k+1）2． 故选C ．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 8.有一段演绎推理：“对数函数log ay x =是减函数；已知2log y x =是对数函数，所以2log y x =是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 【答案】A 【解析】 【分析】对数函数的底数a 的取值范围不同，函数的增减性不同，当a ＞1时，对数函数是一个增函数，当0＜a ＜1时，对数函数是一个减函数，根据演绎推理的三段论，可知大前提错误. 【详解】：∵当a ＞1时，函数y=log a x （a ＞0且a≠1）是一个增函数， 当0＜a ＜1时，此函数是一个减函数∴y=log a x 是减函数这个大前提是错误，从而导致结论错误，故选A【点睛】演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，包括：大前提（已知的一般原理），小前提（已知的一般原理）和结论，本题考查演绎推理的一般模式，根据对数函数的单调情况，分析出大前提是错误的．第II 卷（非选择题)二、填空题（每题5分共40分)9.-28i +的实部为虚部的复数是______.8i 【解析】 【分析】把28i +化简为代数形式，由复数的概念得虚部，实部，得所求复数．28i 8+=-的实部为8-，8i .【点睛】本题考查复数的概念，属于基础题．10.已知复数11i()z a a =+∈R ，212i z =+，若12z z 为纯虚数，则a =_____.【答案】12- 【解析】 【分析】化简12z z ，令其实部为0，可得结果.【详解】因为121i (1)(12)12(2)12(12)(12)5++-++-===++-a ai i a a ii i i z z ，且12z z 为纯虚数，所以120a +=，即12a =-.【点睛】本题主要考查复数的除法运算以及复数为纯虚数的等价条件. 11.已知121ii z+=+，则z =__．【答案】2． 【解析】121ii z+=+ ，可得121iz i+=+ ， 即有121214101111i i z i i +++====+++ 12.已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实数根b ，则复数a+bi =__________________.【答案】22i - 【解析】 【分析】化简题目所给方程，根据复数相等的概念列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】依题意得()2440b b a b i ++++=，根据复数相等的概念得2440b b a b ⎧++=⎨+=⎩，解得2,2a b ==-，所以22a bi i +=-.【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查方程的思想，属于基础题. 13.若i 是虚数单位，则234238i i i i ++++=___.【答案】【解析】 【分析】直接利用虚数单位的性质化简求解即可. 【详解】因为i 是虚数单位， 所以234238i i i i ++++234567844i i i i i =--++--+=-，故答案为44i -.【点睛】本题主要考查虚数单位的性质的应用，属于基础题.4414243i 1,i i,i 1,i i n n n n +++===-=-.14.1211x dx-⎰-=__________________. 【答案】2π【解析】 【分析】根据定积分意义,画出几何图形,根据积分上限和下限即可求得其面积,即为积分值. 【详解】令21y x =- 则221x y +=()0y ≥画出图像如下图:所以定积分值为12211122x dx ππ-⎰-=⨯⨯= 【点睛】本题考查了定积分的简单应用,几何法在求定积分中的应用,属于基础题.15.设函数()f x 的导数为()f x '，且322()3f x x f x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，则(1)f '=______. 【答案】0 【解析】 【分析】 对322()3f x x f x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭求导，可得22()3213f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭，将23x =代入上式即可求得：213f ⎛⎫'=-⎪⎝⎭，即可求得2()321f x x x '=--，将1x =代入即可得解 【详解】因322()3f x x f x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，所以22()3213f x x f x ⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭.所以222223213333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则21,3f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以32()f x x x x =-- 则2()321f x x x '=--，故()01f '=.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题． 16.若111()123f n n=++++，计算得当1n =时3(2)2f =，当2n ≥时有(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32),2f >，因此猜测当2n ≥时，一般有不等式：________【答案】2(2)2nn f +>【解析】 【分析】根据不等式特征形式归纳得出关系.【详解】根据规律(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32),2f >，函数自变量的取值特点2n ，不等式右侧形式恰好化为22n +，所以2(2)2nn f +>.故答案为：2(2)2nn f +>【点睛】此题考查合情推理归纳推理，关键在于根据已知给定的代数式关系，进行归纳分析得出一般性结论.三、解答题（每题10分，共20分，19题附加题10分) 17.用分析法证明：当x ≥4>【答案】见解析 【解析】试题分析：由题为含根式型不等式并要求运用分析法证明，则需欲证得的结论出发，寻找结论成立的充分条件，所谓（执果索因），步步推导直到发现一个显而已见的结论为止． 试题解析： 当x ≥4时:>只需证22>需证3241x x x x -+->-+-只需证225654x x x x -+>-+即证,64>显然上式成立， >考点：运用分析法证明不等式．18.若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 【答案】见解析 【解析】 【分析】假设1 2x y +≥且12yx+≥，根据,x y 都是正数可得 2x y +≤，这与已知2x y +>矛盾，故假设不成立. 【详解】假设12x y +<，12y x +<都不成立，即1 2x y +≥且12yx+≥， ∵,x y 都是正数，∴12x y +≥，12y x +≥， ∴1122x y x y +++≥+，∴2x y +≤，这与已知2x y +>矛盾∴假设不成立，即12x y +<或12yx+<中至少有一个成立. 【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点，属于中档题.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a n =-， （1）求1a ，2a ，3a ，并猜想数列{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1）11a =，23a =，37a =，21nn a =-；（2）见解析【解析】 【分析】（1）根据条件可求出a 1，利用a n 与S n 的关系可得到数列递推式，对递推式进行赋值，可得2a和3a 的值，从而可猜想数列{}n a 的通项公式；（2）检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立即可. 【详解】（1）2n n S a n =-，当1n =时，11a =，且1121n n S a n ++=--，于是121n n a a +=+，从而可以得到23a =，37a =，猜想通项公式21nn a =-； （2）下面用数学归纳法证明：21nn a =-．①当1n =时，11a =满足通项公式；②假设当n k =时，命题成立，即21kk a =-，由（1）知()1212211kk k a a +=+=-+，1121k k a ++=-，即证当1n k =+时命题成立. 由①②可证21nn a =-成立．【点睛】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力.注意在证明1n k =+时需用上假设，化为n k =的形式.- 1 -。
2019-2020学年山西省忻州一中高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年山西省忻州一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z满足，则A. B. C. D.2.已知集合，，则A. B. C. D. 2，3.命题“对任意的，”的否定是A. 不存在，B. 存在，C. 对任意的，D. 存在，4.等比数列中，，则等于A. 4B. 8C. 16D. 325.下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的为A. B. C. D.6.已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是A. B.C. D.7.若A为抛物线的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B、C两点，则等于A. B. 3 C. 5 D.8.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面、及点A的四个命题若，，点，则l与m不共面；若m、l是异面直线，，，且，，则；若，，，则；若，，，，，则．其中为假命题的是A. B. C. D.9.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有A. B.C. D.10.已知、分别是双曲线C：的左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线C的离心率为A. 2B.C. 3D.11.如图是把二进制数化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是A.B.C.D.12.已知是以2为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于x的方程且有4个不同的根，则k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若直线，始终平分圆的周长，则的最小值为______．14.在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则角B的大小为______ ．15.已知一个几何体的主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为______．16.若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设为等差数列的前n项和，已知，且，，构成公比不等于1的等比数列．求数列的通项公式；设，求数列的前n项和．18.某市环保部门对该市市民进行了一次动物保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分满分：100分数据，统计结果如表所示：组别男235151812女051015510若规定问卷得分不低于70分的市民称为“动物保护关注者”，则山图中表格可得列联表如下：非“动物保护关注者”是“动物保护关注者”合计男104555女153045合计2575100请判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“动物保护关注者”与性别有关？若问卷得分不低于80分的人称为“动物保护达人”现在从本次调查的“动物保护达人”中利用分层抽样的方法随机抽取6名市民参与环保知识问答，再从这6名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的概率．附表及公式：，其中．19.如图1，在直角梯形ABCD中，，，，，点M为线段AB的中点，将沿AC折起，使平面平面ABC，得到几何体，如图2所示．Ⅰ求证：平面ACD；Ⅱ求点B到平面CDM的距离．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C的离心率为，且椭圆C过点．Ⅰ求椭圆C的标准方程：Ⅱ若直线l：与椭圆C相交于A，B两点B不是左右顶点，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21.已知函数，其中e是自然对数的底数．当时，求函数的极值；若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为．求直线l和曲线C的普通方程；已和点，且直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的运算，复数方程等有关知识，是基础题．将复数z设，，代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数，满足，，，，故选C．2.答案：B解析：解：集合，或，．故选：B．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：命题“对任意的，”是全称命题否定命题为：存在，故选：D．根据命题“对任意的，”是全称命题，其否定是对应的特称命题，从而得出答案．本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化．要注意两点：全称命题变为特称命题；只对结论进行否定．4.答案：C解析：解：故选：C．由是、的等比中项，求得本题主要考查等比中项．5.答案：B解析：解：对于A，C均是偶函数，故不满足题意对于B，C均是减函数，B在区间上是增函数，D在区间上是减函数所以B满足题意故选B．对于A，C均是偶函数；对于B，C均是减函数，B在区间上是增函数，D在区间上是减函数．本题考查函数的奇偶性与函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6.答案：A解析：解：约束条件对应的平面区域如下图示：三角形顶点坐标分别为、和，表示可行域内的点与原点连线的斜率，当时取最大值6，当时取最小值，故的取值范围是故选A．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．7.答案：A解析：解：若A为抛物线的顶点，则，又抛物线焦点为，设直线方程为，联立抛物线方程，可得，，设，，则，，则．故选：A．求出抛物线的顶点和焦点，设出直线方程，联立抛物线方程消去y，得到x的方程，运用韦达定理，再由向量的数量积的坐标表示接受即可得到．本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查抛物线的方程和性质，属于基础题．8.答案：C解析：解：，，，可得出l与m是异面直线，故正确；、m是异面直线，，，且，，则，此条件下可以在找到两条相交线，使得它们都与n垂直，故可得，故正确；中若，，，则l与m可能平行，也可能相交，也可能异面，故不正确；由，，点A，，知，此是面面平行的判定定理的条件，可得出，故正确．故选：C．由异面直线判定定理，可以判断的真假；根据线面平行的性质及线面垂直判定定理，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的几何特征，可以判断的真假；根据面面平行的判定定理，可以判断的真假，进而得到答案．本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间立体感知能力及相关定理定义的掌握理解能力，属于中档题．9.答案：C解析：解：，当时，，当时，；故在上不增，在上不减，故，；故，故选：C．由题意，当时，，当时，；从而可得在上不增，在上不减，故，；从而可得．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．10.答案：A解析：解：由题意，，，一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为．设关于渐近线的对称点为M，与渐近线交于A，，A为的中点又0是的中点，，为直角，为直角三角形，由勾股定理得，，，．故选：A．求出到渐近线的距离，利用关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11.答案：B解析：解：由题意输出的，按照程序运行：，；，；，；，；，，此时跳出循环输出结果，故判断框内的条件应为故选B由题意输出的，按照程序运行，观察S与i的关系，确定判断框内的条件即可．本题考查循环结构的程序框图，解决问题的关键是弄清跳出循环的条件、s与i的关系．12.答案：D解析：解：因为关于x的方程且有4个不同的根，就是函数的图象与的图象有4个不同的交点，是以2为周期的偶函数，当时，，所以可以得到函数的图象又因为过定点，在同一坐标系内画出它们的图象如图，由图得在直线AB和中间时符合要求，而所以k的取值范围是故选：D．把方程的根转化为函数的图象和的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．，数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．13.答案：解析：解：由圆的性质可知，直线即是圆的直径所在的直线方程．圆的标准方程为，圆心在直线上，即，，的最小值．故答案为．由题意可知圆的圆心在直线上，可得，而，展开利用基本不等式可求最小值本题主要考查了圆的性质的应用，利用基本不等式求解最值的问题，解题的关键技巧在于“1”的基本代换．14.答案：解析：【分析】先利用正弦定理把等式右边的边转化成角的正弦，利用两角和公式化简整理求得cos B的值，进而求得B．本题主要考查了正弦定理的应用．在解三角形问题中常用正弦定理完成边角问题的互化．【解答】解：由题意及正弦定理可知，整理得，故答案为：15.答案：解析：解：由题设条件知，此几何体为一个圆锥，底面圆的半径为1，其轴截面为一个边长2的正三角形，由圆锥外接球的几何性质知，此三角形的外接圆为球的一个大圆，故求此大圆的半径即球的半径此三角形的高为，由正三角的几何特征知，此外接圆的半径为故此几何体的外接球的表面积为故答案为：．由主视图及侧视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆知此几何体为一个圆锥，其表面积由圆锥侧面与底面两部分组成，根据所给的数据由公式求解即可本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是几何体外接球的表面积．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等16.答案：等腰三角形解析：解：，，为等腰三角形．故答案为：等腰三角形利用向量的运算法则将等式中的向量用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：平面向量加减的平行四边形法则，平面向量的数量积运算，平面向量模的运算，以及等腰三角形的判定方法，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．17.答案：解：设数列的公差为d，，，构成公比不等于1的等比数列，，即，化为，当时，，数列，，的公比等于1，不合题意，舍去，则，又，可得，即，解得，，可得，；由得，，．解析：设数列的公差为d，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；运用等差数列的求和公式，可得，求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，主要考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．18.答案：解：将列联表中的数据代入公式计算得的观测值为，所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为是否是“动物保护关注者”与性别有关．由题意知，利用分层抽样的方法可得男“动物保护达人”4人，女“动物保护达人”2人．设男“动物保护达人”4人分别为A，B，C，D；女“动物保护达人”2人为e，f．从中抽取两人的所有情况为：AB，AC，AD，Ae，Af，BC，BD，Be，Bf，CD，Ce，Cf，De，Df，ef共15种情况．既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的情况有：Ae，Be，Ce，De，Af，Bf，Cf，Df共8种情况．故所求的概率为．解析：将列联表中的数据代入公式计算的观测值，对照临界值得出结论；由分层抽样法抽取样本数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：证明：在直角梯形ABCD中，，，，，，，．取AC的中点N，连接DN，MN，BN，，，平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，，，，，，，，又，平面ACD．解：，M是AB的中点，，又，，是等比三角形，．设B到平面CDM的距离为h，则．又．即B到平面CDM的距离为．解析：利用勾股定理的逆定理证明，，于是平面ACD；根据列方程求出B到平面CDM的距离．本题考查了线面垂直，空间距离的计算，属于中档题．20.答案：解：由题意设椭圆的标准方程为，椭圆C的离心率为，且椭圆C过点．可得，解得，，，椭圆的标准方程为．Ⅱ证明：设，，直线代入椭圆方程，得，，即，则，．又，因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，，即，，，．解得，，且均满足，当时，l的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点．所以，直线l过定点，定点坐标为．解析：由题意设椭圆的标准方程为，利用已知条件列出方程组求解即可．Ⅱ设，，直线代入椭圆方程通过韦达定理，结合，求出m、k的关系，推出l的方程，得到直线过定点．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：当时，，定义域为；求导得：，方程的根为或，x00极大值极小值由上表可以，．，由条件知，对恒成立，令，，．当时，，在上单调递减，，即，在上单调递减，，则若在上恒成立，则需，，即实数a的取值范围是．解析：当时，，定义域为，求导得，方程的根为或，列表，即可分析出极值．从问题入手分析，由条件知，对恒成立．令，求出单调性，分析出最大值，使得，即可．本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，消去参数k，得曲线C的普通方程为；直线l的极坐标方程为，即，直线l的直角坐标方程为；直线l经过点，可得直线l的参数方程为为参数，设，，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得．则，．故．解析：把曲线参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程；展开两角和的余弦，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线的直角坐标方程；写出直线参数方程的标准形式，与曲线C的普通方程联立，利用参数t的几何意义及根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．。
2019-2020年高二下学期第二阶段考试数学(文)试题 含答案
2019-2020年高二下学期第二阶段考试数学（文）试题含答案一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分．)1．设集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，0，3}，则A∪ B等于（）A．{﹣1，3} B．{﹣2，﹣1，0，3，4}C．{﹣2，﹣1，0，4} D．{﹣2，﹣1，3，4}2．已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知变量x与y线性相关，且由观测数据算得样本平均数分别为=4，=3，则由该观测数据算得的线性回归方程不可能是（）A．=0.2x+2.2 B．=0.3x+1.8 C．=0.4x+1.4 D．=0.5x+1.24．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅ B．A∪ B=R C．B⊆A D．A⊆B5．用反证证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A．a，b，c都是偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中都是奇数或至少两个偶数6．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A．y= B．y=﹣x+C．y=﹣x|x| D．y=7．设命题p：若x，y∈R，x=y，则=1；命题q：若函数f（x）=e x，则对任意x1≠x2都有＞0成立．在命题①p∧q；②p∨ q；③p∧（￢q）；④（￢p）∨ q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④8．如图所示的算法流程图中，若输出的T=720，则正整数a的值为（）A．5 B．6 C．7 D．89．某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90% B．95% C．99% D．99.9%10．函数f（x）的图象向左平移一个单位长度，所得的图象与函数y=2x的图象关于y轴对称，则f（x）=（）A．y=2x﹣1 B．y= C．y= D．y=2x+111．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0，f（x）=﹣x2+x，若不等式f（x）﹣x≤2log a x（a＞0且a≠1）对∀x∈（0，]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，] B． D．∪（1，+∞）12．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，定义映射f：（a1，a2，a3，a4）→（b1，b2，b3，b4），则f（4，3，2，1）等于（）A．（1，2，3，4） B．（0，3，4，0）C．（﹣1，0，2，﹣2） D．（0，﹣3，4，﹣1）二．填空题（本题包括4小题,每小题5分，共20分）13．复数3+4i（i是虚数单位）的虚部是．14．若在定义域R上递增的一次函数f（x）满足f=4x+3，则f（x）= ．15．观察下列各式（如图）：照此规律，当n∈N*时，．16．在计算机的算法语言中有一种函数叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即是不超过x的最大整数．例如：=2，=3，=﹣3．设函数，则函数y=+的值域为．三．解答题（本题包括5小题，每小题12分，共60分）17．已知全集U=R，函数y=+的定义域为A，函数y=的定义域为B．（1）求集合A、B．（2）（∁U A）∪（∁U B）．18．已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣1（Ⅰ）求f（0），f（﹣2）的值（Ⅱ）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．20．下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程=x+（附：==，=y﹣x）21．定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；（3）若不等式f＞f（t2﹣4t+13）对t∈恒成立，求实数x的范围．四．选做题 10分，请考生从（22），（23），（24）三题中任选一题作答。
山西省忻州市第二中学2019-2020高二下学期4月考试数学(理)试卷
数学学科测试试卷一．单选题（共__小题）1．已知在的展开式中，第6项为常数项，则n为（）A．10 B．9 C．8 D．7答案：A解析：解：∵在的展开式中，第6项为••为常数项，则n=10，故选：A．2．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，共有的取法数（）A．141 B．144 C．150 D．210答案：A解析：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种，以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104-4C64-6-3=141种，故选A．3．已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有（）A．120种B．81种C．72种D．27种答案：D解析：解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A、B两个房间排列有A33A22，三个大人一人一间，两个孩子在A住有A33，空出C房间，两个大人住A，一个大人住B有C32A22，第四两个大人住B有C32，综上所述共有27中住法，故选D4．已知函数，命题p：“∃x0∈R，使f2（x0）+af（x0）+1=0”，则在区间[-4，1]上随机取一个数a，命题p为真命题的概率为（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵函数的值域为[2，3]，由f2（x0）+af（x0）+1=0⇒，∴，∴命题p为真命题的概率，故选B．5．已知a=[（sin）2-]dx，则（ax+）9展开式中，关于x的一次项的系数为（）A．-B．C．-D．答案：A解析：解：已知a=[（sin）2-]dx=[-]dx=dx=（-sinx）=-，则（ax+）9=-，故它的展开式的通项公式为T r+1=-••x-r=-•2r-9•x9-2r．令9-2r=1，解得r=4，故关于x的一次项的系数为-×2-5=-，故选A．6．（2015春•厦门校级月考）若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．则P（B|A）=（）A．B．C．D．答案：A解析：解：由题意，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人的方法有=90种，B 发生，共有=240P（B|A）==．故选：A．7．A、B两篮球队进行比赛，规定若一队胜4场则此队获胜且比赛结束（七局四胜制），A、B两队在每场比赛中获胜的概率均为，ξ为比赛需要的场数，则Eξ=（）A．B．C．D．答案：B解析：解：由题设知，比赛需要的场数ξ为4，5，6，7．p（ξ=4）=（）4+（）4=；p（ξ=5）=2×=；p（ξ=6）=2=p（ξ=7）=2=∴Eξ=4×+5×+6×+7×=故选B．8．若已知S=（x-2）4+4（x-2）3+6（x-2）2+4（x-2）+1，则S等于（）A．x4+1 B．（x-1）4C．x4D．（x+1）4答案：B解析：解：∵S=（x-2）4+4（x-2）3+6（x-2）2+4（x-2）+1=[（x-2）+1]4=（x-1）4，故选B．9．设a=cos2xdx，则（a-）6展开式中含x2项的系数是（）A．-192 B．-190 C．192 D．190答案：A解析：解：∵，∵f（-x）=f（x）∴f（x）为偶函数，故∵=∴又∴a=cos2xdx=2∵=由二项式定理得展开式中含有x2的项为：∴展开式中x2的系数为-192故选A．10．将正整数n表示成k个正整数的和（不计各数次序），称为正整数n分为k部分的一个划分，两个划分中，如果各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数n分成k部分的不同划分的个数记P（n，k），则P（10，3）等于（）A．C103B．10 C．8 D．3答案：C解析：解：由题意知本题是要把10划分成3部分，可以列举出所有的情况（1、1、8）（1、2、7）（1、3、6）（1、4、5）（2、2、6）（2、3、5）（2、4、4）（3、3、4）共有8种结果，故选C．11．若m，n∈{x|x=a2×102+a1×10+a0}，其中a i∈{1，2，3，4，5}（i=0，1，2），并且m+n=735，则实数对（m，n）表示平面上不同点的个数为（）A．32 B．40 C．50 D．75答案：A解析：解：根据题意，m、n都是三位数，其和为735，且m、n个位、十位、百位数字都在1、2、3、4、5中选；对于这两个数的百位，即a2的值，有2、5与3、4两种情况，每种情况中有2种选法，则a2的值有4种选法，对于这两个数的十位，即a1的值，有1、2一种情况，有2种不同的选法，对于这两个数的个位，即a0的值，有1、4与2、3两种情况，每种情况中有2种选法，则a0的值有4种选法，由分步计数原理可得m、n两个数的情况共4×2×4=32种；则实数对（m，n）表示平面上32个不同点；故选A．12．已知随机变量X的概率分布列如表所示：且X的数学期望EX=6，则（）A．a=0.3，b=0.2 B．a=0.2，b=0.3 C．a=0.4，b=0.1 D．a=0.1，b=0.4答案：A解析：解：由表格可知：0.4+a+b+0.1=1，又EX=6，可得：2+6a+7b+0.8=6，解得b=0.2，a=0.3，故选：A．13．一排座位共8个，3人去坐，要求每人的左右两边都有空位置的坐法种数为（）A．6种B．24种C．60种D．120种答案：B解析：解：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空．故共有A43=24种，故选B．14．若X是离散型随机变量，，且x1＜x2，又已知，DX=2，则x1+x2=（）A．或1 B．C．D．答案：C解析：解：由题意EX=，DX==2又∵x1＜x2，解得x1=-，x2=，∴x1+x2=故选C．15．若由三个数字1、2、3组成的五位数中，1、2、3都至少出现一次，则这样的五位数的个数为（）A．150 B．180 C．236 D．240答案：A解析：解：使用排除法，首先计算全部的情况数目，共3×3×3×3×3=243种，其中包含数字全部相同即只有1个数字的3种，还有只含有2个数字的有：C32•（2×2×2×2×2-2）=90种；故1、2、3都至少出现一次，即含有3个数字的有243-3-90=150种；故选A．16．一个三位数，百、十、个位上的数字分别为a、b、c，如果同时满足a＞b且b＜c，则称此三位数为“凹数”，例如723是一个三位“凹数”，满足a≠c的三位“凹数”的个数是（）A．72个B．120个C．240个D．720个答案：C解析：解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，可以在0到9的10个整数中任取3个数，有C103=120种取法，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有2种情况，则可以得到的“凹数”的个数是120×2=240个；故选C．17．设A=（1，2，3，…，10），若方程x2-bx-c=0，满足b、c属于A，且方程至少有一根a 属于A，称方程为漂亮方程，则“漂亮方程”的总个数为（）A．8个B．10个C．12个D．14个答案：C解析：解：用十字相乘法，先把c分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是b；c=2 时，有2×1=2，b=2-1=1，则漂亮方程为x2-x-2=0；c=3时，有3×1=3，b=3-1=2，则漂亮方程为x2-2x-3=0；c=4时，有4×1=4，b=4-1=3，则漂亮方程为x2-3x-4=0，c=5时，有5×1=5，b=5-1=4，则漂亮方程为x2-4x-5=0；c=6时，有6×1=6，b=6-1=5，则漂亮方程为x2-5x-6=0，同时，有2×3=6，b=3-1=2，则漂亮方程为x2-x-6=0；c=7时，有7×1=7，b=7-1=6，则漂亮方程为x2-6x-7=0，c=8时，有8×1=8，b=8-1=7，则漂亮方程为x2-7x-8=0，同时，有2×4=8，b=4-2=2，则漂亮方程为x2-2x-8=0；c=9时，有9×1=9，b=9-1=8，则漂亮方程为x2-8x-9=0；c=10时，有10×1=10，b=10-1=9，则漂亮方程为x2-10x-9=0，同时，有2×5=10，b=5-2=3，则漂亮方程为x2-3x-10=0；综合可得，共12个漂亮方程，故选C．18．从集合{1，2，3，…，10}中取出4个不同的元素，且其中一个元素的三倍等于其他三个元素之和（如1，6，7，10，就是一种取法），则这样的取法种数有（）A．42种B．22种C．23种D．40种答案：B解析：解：由题意可得4个数可取：（1，2，3，6）；（1，2，4，9）；（1，3，4，8）；（1，5，4，6）；（2，3，4，7）；（1，4，5，10）；（1，6，5，8）；（2，3，5，10）；（2，4，5，9）；（2，6，5，7）；（3，4，5，8）；（1，7，6，10）；（1，8，6，9）；（2，7，6，9）；（3，5，6，10）；（3，7，6，8）；（4，5，6，9）；（2，9，7，10）；（3，8，7，10）；（4，8，7，9）；（5，6，7，10）；（5，9，8，10）总共22个．故选B．评卷人得分二．填空题（共__小题）19．在二项式（x-1）11的展开式中，系数最小的项的系数为______（结果用数值表示）答案：-462解析：解：在二项式（x-1）11的展开式中，通项公式为T r+1=•x11-r•（-1）r，要使此项的系数最小，需r为奇数，且最大．根据二项式系数的性质可得，当r=5或6时，最大，故系数最小的项为第6项（r=5），等于-=-462，故答案为-462．的展开式中的第四项是______．答案：-解析：解：T4=故答案为：-21．在0-1分布中，设P（X=0）=p，0＜p＜1，则P（X=1）=______．答案：1-p解析：解：在0-1分布中，∵P（X=0）=p，0＜p＜1，∴P（X=1）=1-p．故答案为：1-p．22．从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有______种．答案：100解析：解：若选的3人中选了甲：共有=40种选法若选的3人中不选甲：共有=60种根据分类计数原理可知，共有40+60=100故答案为：10023．同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有______．答案：9解析：解：∵先让一人甲先去拿一种有3种方法假设甲拿的是乙写的贺卡，接下来让乙去拿，乙此时也有3种方法剩下两人中必定有一人自己写的贺卡还没有发出去，这样两人只有一种拿法 3×3×1=9故答案为：9．24．三名教师教六个班的课，每人教两个班，分配方案共有______种．答案：90解析：解：由题意知本题是一个分步计数原理，首先把三个人平均分成三组，有种分法，把分成的三个小组再安排到三个不同的班级中共有=90种结果，故答案为：9025．（2015春•葫芦岛期末）设随机变量服从X～B（2，P），Y～B（3，P），若P（X≥1）=，则P（Y=2）=______．答案：解析：解：∵随机变量服从X～B（2，P），∴P（X≥1）=1-P（X=0）=1-C20（1-P）2=，∴1-P=∴P=∴P（Y=2）==故答案为：26．已知（-x2+6x-9）n的展开式中所有的项的系数的和为16，则展开式中的常数项为______．答案：81解析：解：在（-x2+6x-9）n的展开式中，令x=1，可得所有项系数的和为（-4）n=16，n=2，展开式中的常数项为：-9×（-9）=81．故答案为：81．27．若ξ-B（n，p），且Eξ=6，Dξ=3.6，则n=______．答案：15解析：解：∵ξ～B（n，p），且Eξ=6，∴np=6，①又∵Dξ=3.6，∴np（1-p）=3.6，②把①代入②得到结果∴n=15故答案为：15评卷人得分三．简答题（共__小题）28．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛中获胜的事件是独立的，并且获胜的概率均为．（1）求这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率；（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好获胜3场的概率；（3）求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望．答案：解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P==（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，故概率为C63×=20××=（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），∴EX=6×=2解析：解：（1）这支篮球队首次获胜前已经负了两场的概率为P==（2）6场比赛中恰好获胜3场的情况有C63，故概率为C63×=20××=（3）由于X服从二项分布，即X～B（6，），∴EX=6×=229．某工人在一天内加工零件产生的次品数用ξ表示，椐统计，随机变量ξ的概率分布如下：（1）求a的值和ξ的数学期望；（2）假设两天内产生的次品数互不影响，求该工人两天内产生的次品数共2个的概率．答案：解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2，∴ξ的概率分布为∴Eξ=0×0.1+1×0.1+2×0.6+3×0.2=1.9（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件A1表示“两天内有一天产生2个，另外一天产生0个”；事件A2表示“两天内每天产生1个”则由事件的独立性得P（A1）=2×0.6×0.1=0.12，P（A2）=0.1×0.1=0.01，∴P（A）=0.12+0.01=0.13．故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13．解析：解：（1）由概率分布的性质有0.1+0.1+3a+a=1，解答a=0.2，∴ξ的概率分布为∴Eξ=0×0.1+1×0.1+2×0.6+3×0.2=1.9（2）设事件A表示“该工人两天内产生的次品数共2个”事件A1表示“两天内有一天产生2个，另外一天产生0个”；事件A2表示“两天内每天产生1个”则由事件的独立性得P（A1）=2×0.6×0.1=0.12，P（A2）=0.1×0.1=0.01，∴P（A）=0.12+0.01=0.13．故该工人两天内产生的次品数共2个的概率为0.13．30．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的女生人数．（1）求X的分布列．（2）求至少有一名男生的概率．答案：解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．P（X=k）=，k=0，1，2，3，4．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选1名男生，相当于至多选3名女生，即P（X≤3）=P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）+P（X=0）=1-P（X=4）=1-=．解析：解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．P（X=k）=，k=0，1，2，3，4．∴所以X的分布列为：（2）由分布列可知至少选1名男生，相当于至多选3名女生，即P（X≤3）=P（X=3）+P（X=2）+P（X=1）+P（X=0）=1-P（X=4）=1-=．。
高二下学期5月月考数学理试题(解析版)
当a>0时,x∈[0, ],f′(x)>0,从而f(x)在[0, ]单调递增，
又函数在上图象是连续不断 ,故函数f(x)在[0, ]上的最大值为f( )= a− =π− ，解得a=1
故选B
点睛：本题是利用导函数来研究函数单调性和最值的问题，要进行分类讨论.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为 是偶函数，则 是奇函数，所以 ，应选答案D．
6.定义 ，则由函数 图象与x轴、直线 所围成的封闭图形的面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意 ，做出函数图象如下：
交点 ，作垂线交 轴于点 图中阴影部分为所求，可分别用积分求出两部分面积的和
【详解】∵ ，
∴ ，
∴复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第三象限．
故选：C
【点睛】本题考查了复数的运算及其几何意义，是基础题．
4.已知整数的数对列如下:（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）， ，则第60个数对是（）
【点睛】本题考查导数中的公切线存在性问题，涉及导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题：重在考查考生的消元、转化、构造函数、数形结合能力以及求解运算能力，属中档题．
10.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0)B. C. (0,1)D. (0，＋∞)
山西大学附中
2019-2020学年第二学期高二年级5月模块诊断
山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学(理)试题
一、单选题
1. 曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 函数 A．极大值 ，极小值 C．极大值 ，无极小值
有（ ）
B．极大值 ，极小值 D．极小值 ，无极大值
4. 曲线若
19. 已知数列 的前 项和为 ，且满足
，
（1）求 ， ， ，并猜想数列 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
15. 设函数 的导数为
，且
，则
=______.
16. 若
，计算得当
时
，当
时有
，
，
，
时，一般有不等式：________
三、解答题
17. 用分析法证明：当 ≥4时
，因此猜测当
18. 若 都是正实数，且
，求证：
或
山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学（理）试题
中至少有一个成立.
D．非以上错误
10. 已知复数
山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期3月月考数学（理）试题
，
，若 为纯虚数，则 _____.
11. 已知
，则 =__．
12. 已知方程
有实数根 ，则复数
__________________.
13. 若 是虚数单位，则
___.
14.
=__________________.
7. 用数学归纳法证明 A． C．
，则当
时，：“对数函数
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一、单选题山西省忻州市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（文）试题
1. 对两个变量y 与x 进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A ．模型Ⅰ的相关系数r 为0.98
B ．模型Ⅱ的相关系数r 为0.80
C ．模型Ⅲ的相关系数r 为0.50
D ．模型Ⅳ的相关系数r 为0.25
2. 已知是实数，是纯虚数，则（ ）A ．1B ．
C ．
D ．3. 已知集合
，，则为（ ）A ．B ．C ．D ．
4.
为虚数单位，
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A．B．C．D．
6. “”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 函数的定义域为（）
A．B．C．D．
8. 函数的单调递减区间是（）
A．B．C．D．
9. 已知是奇函数，则实数a的值等于（）
A．1B．C．0D．
10. 由三个点的坐标数据，求得的回归直线方程是（）
A．B．
C．D．
11. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则等于（）
A．B．2C．D．4
二、填空题12. 函数的图像的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13. 设复数(其中表示复数的共轭复数),若的实部是-1,则的虚部是__________.
14. 使成立的的取值范围是___________
15. 为了判断高中二年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：已知
，．根据表中数据，得到．则认为选文科与性别有关系出错的可能性为________．
理科文科男
1310女720
三、解答题
16. 执行如图所示的程序框图，若p =0.8，则输出的n =______．
17. 实数x 分别取什么值时，复数对应的点：
（1）第三象限；
（2）第四象限；
（3）直线上？18. 设命题；命题
，若
是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
19. 已知二次函数满足，且的最大值是8
，求二次函数的解析式．
20. 某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量x
吨与每吨产品的价格
（元）之间的关系为，且生产吨的成本为
（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）
21. 在调查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，利用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关？你所得到的结论在什么范围内有效？
22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为（t为参数,O
< a <),曲线C的极坐标方程为
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A ,B两点,当a变化时,求的最小值.。