高三数学(文)高考总复习：板块命题点专练(二) Word版含解析
高三数学综合训练试题二文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学综合训练试题〔二〕文〔含解析〕〔时间是120分钟，总分值是150分〕本卷须知： 12．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答复非选择题时，将答案写在答题卡上．写在套本套试卷上无效． 3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回．一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.{}1A x Z x =∈>-，集合{}2log 2B x x =<，那么A B =〔〕A.{}14x x -<<B.{}04x x <<C.{}0,1,2,3D.{}1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】 先求解集合B 再求A B 即可.【详解】{}04B x x =<<,∵{}1A x Z x =∈>-,∴{}1,2,3AB =,应选：D.【点睛】此题主要考察了对数的不等式求解以及交集的运算,属于根底题. 2.设(1)2i z i +=，那么z 的一共轭复数z 的虚部为〔〕A.-1B.i -C.1D.i【答案】A 【解析】 【分析】化简求出复数z ，再求出一共轭复数z ，然后直接判断出z 的虚部即可.【详解】(1)2i z i +=,∴()212221122i i i i z i i -+====++, 1z i ∴=-,∴所以z 的虚部为-1应选：A【点睛】此题考察一共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，属于根底题.复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b .3.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，以下描绘正确的选项是〔〕A.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46； 其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散； 乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中； 所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 应选：B.【点睛】此题考察利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是根底题． 4.{|A a =关于x 的不等式2220ax ax +-<的解集为}R ，{|20}B a a =-<<，那么x A ∈是x B ∈的()A.既不充分也不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.充分而不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，可知当0a=时满足条件，当0a ≠时，由不等式2220ax ax +-<的解集为R ，根据一元二次不等式的性质求出a 的取值范围，进而得出集合A ，最后结合充分条件和必要条件的定义进展判断即可． 【详解】解：当0a=时，不等式2220ax ax +-<等价为20-<，此时不等式的解集为R ，满足条件， 当0a≠时，要使不等式2220ax ax +-<的解集为R ，那么20480a a a <⎧⎨∆=+<⎩，得020a a <⎧⎨-<<⎩，得：20a -<<， 综上，{|A a =关于x 的不等式2220ax ax +-<的解集为}{|20}R a a =-<≤，{|20}B a a =-<<，B A ∴，即x A ∈是x B ∈的必要不充分条件， 应选：B ．【点睛】此题考察充分条件和必要条件的判断，涉及一元二次不等式的性质的应用和集合间的关系，考察运算才能. 5.()1,4P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上－点，抛物线C 的焦点为F ，那么PF=〔〕A.3B.5C.7D.8【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线方程，得到焦点坐标，然后求解即可． 【详解】解：(1,4)P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，即242p = 可得8p =，所以(4,0)F ，那么||5PF=．应选：B ．【点睛】此题考察抛物线的简单性质的应用，是根本知识的考察，属于根底题．6.假设cos (1)1α+︒=，那么α的一个可能值为〔〕A.70︒B.50︒C.40︒D.10︒【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式化简等式，可得cos cos40α=︒，即可得出答案．【详解】解：cos (1)1α+︒=，2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒，α的一个可能值为40︒.应选：C ．【点睛】此题考察利用同角三角函数关系和诱导公式，以及辅助角公式和二倍角正弦公式进展化简，考察计算才能，属于根底题． 7.ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列，且2b =，那么ABC 的面积的为〔〕B.2 D.3【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得角B ，a c +，然后使用余弦定理，可得ac ，最后利用三角形面积公式，可得结果. 【详解】由题可知：A ，B ，C 成等差数列，三条边a ，b ，c 成等差数列 所以2,2+=+=A C B a c b由,2π++==A B C b ，所以,43π=+=B a c又()22222cos 3ba c ac B a c ac =+-=+-，所以4ac =那么1sin 2ABCSac B ==应选：A【点睛】此题考察等差数列与解三角形的综合应用，此题难点在于求得4ac =，熟悉公式，审清题意，属根底题.8.α，β是空间两个不同的平面，m ，n 是空间两条不同的直线，那么给出的以下说法中正确的选项是〔〕①//m α，//n β，且//m n ，那么//αβ②//m α，//n β，且m n ⊥，那么αβ⊥③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ④m α⊥，n β⊥、且m n ⊥，那么αβ⊥A.①②③B.①③④C.②④D.③④【答案】D 【解析】 【分析】 .【详解】①//m α，//n β，且//m n ，那么,αβ可能相交，故①错误； ②//m α，//n β，且m n ⊥，那么,αβ可能相交，也可能平行，故②错误； ③m α⊥，n β⊥，且//m n ，那么//αβ，根据线面垂直的性质可知③正确；④m α⊥，n β⊥、且m n ⊥，那么αβ⊥，根据线面垂直的性质可知④正确.应选：D.【点睛】此题考察了空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理和断定定理的运用；纯熟掌握定理是关键.9.函数321,0()2,0x x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，那么2(2)(3)f x f x +>的解集为〔〕A.(2,)+∞B.(,1)(2,)-∞⋃+∞C.(,1)-∞-D.(1,2)【答案】B 【解析】 【分析】 通过求导判断函数在(),0-∞的单调性，进而得出()f x 的单调性，利用单调性求得不等式的解集即可.【详解】当0x <时，()321f x x x =-+，那么()232f x x x '=-，所以当0x <时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(),0-∞为增函数，且()1f x <，当0x ≥时，()2x f x =为增函数，且()()01f x f =≥，所以()f x 在R 上为增函数，所以2(2)(3)f x f x +>等价于223x x +>，解得2x >或者1x <.应选：B.【点睛】此题考察利用导数判断函数的单调性，考察利用单调性解不等式，考察推理才能，属于中档题.10.x ，y 满足243130x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，且目的函数2z x y =+的最大值为9，那么a =〔〕A.1B.1-C.2D.2-【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件画出可行域，再根据目的函数2z x y =+的最大值为9，分析出何时2z x y =+最大，把点的坐标代入即可求出实数a 的值.【详解】解：不等式组243130x x y ax y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩表示的可行域如下列图，因为目的函数2zx y =+的最大值为9， 所以由图可知，2zx y =+在过点A 时取最大值，由43130x y ax y +=⎧⎨--=⎩，解得25413,33a A a a -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以254132933a a a -⨯+=++，解得2a = 应选：C【点睛】此题考察线性规划的简单应用，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目的函数赋予几何意义，数形结合求出何时取最值，属于根底题.11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，那么三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的间隔为〔〕A.2B.2C.3D.2【答案】C 【解析】 【分析】采用数形结合，根据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点S 到底面的间隔为h ，那么13△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：ABC 为边长为3的等边三角形，那么点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC如下列图 又3AB =，所以2sin 6033=⋅⋅=AM AB又2==OA OS ，所以1OM ==所以3=+=SMOM OS应选：C【点睛】此题考察立体几何的应用，此题关键在于知道点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，考验分析问题的才能，审清题意，细心计算，属中档题.12.设圆O 的半径为1，P ，A ，B 是圆O 上不重合的点，那么PA PB ⋅的最小值是〔〕 A.12-B.1-C.14-D.18-【答案】A 【解析】 【分析】通过取中点对向量的数量积转化，由圆的几何性质分析P 与劣弧AB 的关系，通过垂径定理建立PC 与CB的关系，转化成函数求最值.【详解】取AB 的中点C ，劣弧AB 的中点D ，显然，P 在劣弧AB 上，显然，P 为劣弧AB 的中点时，2PC最小记=PC a ，=BC b由垂径定理可得，22(1)1-+=a b ，可得222=-b a a222211222()22⋅=-=-=--PA PB a b a a a ，当12a =时，取最小值12-.应选：A【点睛】此题考察了平面向量的数量积，圆的几何性质，垂径定理，二次函数求最值问题，考察了数学运算才能和逻辑推理，数形结合才能和转化的数学思想，属于难题. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分． 13.等差数列{}n a 中，35a=，815a =，那么6a =__________.【答案】11 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，即可求出6a .【详解】解：等差数列{}n a 中，35a =，815a =，∴1125715a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，612511a ∴=+⨯=．故答案为：11．【点睛】此题考察等差数列的通项公式的应用，考察运算求解才能，是根底题．14.现有A 、B 、C 、D 、E ，5种在线教学软件，假设某要从中随机选取3种作为老师“停课不停学〞的教学工具，那么其中A ，B ，C 至少有2种被选取的概率为___________． 【答案】710【解析】 【分析】先列出从5种在教学软件中随机选取3种的所有情况，然后计算出其中A ，B ，C 至少有2种的情况，再利用古典概型公式计算即可.【详解】解：从A 、B 、C 、D 、E ，5种在线教学软件随机选取3种的有： ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE 一共有10种等可能情况，其中A ，B ，C 至少有2种被选取的有:ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,BCD,BCE 一共有7种， 所以所求概率为710， 故答案为：710【点睛】此题考察概率的求法，考察古典概型，属于根底题.15.双曲线22122:1(0,0)y x C a b a b -=>>与222:14-=x C y 的渐近线一样，那么双曲线1C 的离心率为___________．【解析】【分析】首先写出两条双曲线的渐近线方程，因为渐近线一样，得到12a b =，进而求得其离心率的值. 【详解】双曲线222:14-=x C y 的渐近线方程为12y x =±，而双曲线22122:1(0,0)y x C a b a b -=>>的渐近线方程为a y x b =±， 所以12a b =， 所以双曲线1C的离心率为c e a ====，【点睛】该题考察的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线，双曲线的离心率，属于简单题目. 16.函数()1x f x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，假设0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，那么实数a 的取值范围是___________．【答案】21(0,)e 【解析】 【分析】 根据常用不等式1xe x >+，可转化为()00g x >，然后使用别离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--x M x e x ，()0,x ∈+∞那么()1'=-x M x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=所以1xe x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->x f x e ax故假设0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00gx >那么()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=x h x x 假设()20,x e ∈时，()0h x '>，假设()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e 递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察导数的应用，此题难点在于对()10=-->x f x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比方1x e x >+，属中档题.三、解答题：一共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分17.数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a . 〔Ⅰ〕求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； 〔Ⅱ〕设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕证明见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知1n a n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证； 【详解】解:〔Ⅰ〕证明：当2n ≥时，由11---=⋅n nn n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，由11a =，得111a ， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知1na n =， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n nb n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 因为1021n >+，故12n T <. 【点睛】此题考察构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于根底题.18.在三棱柱11ABCA B C -中，底面ABC 是正三角形，2AB =，侧棱1A A ⊥平面ABC ，D 、E 分别是AB 、1AA 的中点，且11A D B E ⊥．〔I 〕求证：1B E⊥平面1A CD ； 〔Ⅱ〕求1A 到平面1B CD 的间隔．【答案】〔Ⅰ〕证明见解析；〔Ⅱ〕5. 【解析】【分析】〔Ⅰ〕推导出CD ⊥平面11AA B B ，可得出1B E CD ⊥，再由11A D B E ⊥结合线面垂直的断定定理可证得1B E ⊥平面1A CD ；〔Ⅱ〕根据题意得出111A EB A DA ∠=∠，进而可计算出1AA ，由〔I 〕知CD ⊥平面11AA B B ，设点1A 到平面1B CD 的间隔为h ，利用等体积法可得出有关h 的等式，解出即可.【详解】〔Ⅰ〕在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以1AA CD ⊥．在ABC 中，AC BC =，AD BD =，所以CD AB ⊥． 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B ．因为1B E⊂平面11AA B B ，所以1CD B E ⊥． 又11B E A D ⊥，1A D CD D =，所以1B E ⊥平面1A CD ；〔Ⅱ〕在矩形11AA B B 中，因11B E A D ⊥，所以111A EB A DA ∠=∠，那么111tan tan A EB A DA ∠=∠，即1111A B AA A E AD =， 即112112AA AA =，得12AA =．在Rt BCD中，CD ==由〔Ⅰ〕知CD ⊥平面11AA B B，所以CD =C 到平面11AA B B 的间隔，在1Rt B BD △中，1B D==， 设点1A 到平面1B CD 的间隔为h ，那么1111A B CD C A B D V V --=三棱锥三棱锥，即1111133B CD A B D S h S CD ⋅=⋅， 即111111113232CD B D h A B AA CD ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，所以1111223232⨯=⨯⨯⨯ 解得h=． 所以点1A 到平面1B CD 的间隔为5. 【点睛】此题考察线面垂直的证明，同时也考察了利用等体积法计算点到平面的间隔，考察推理才能与计算才能，属于中等题.19.以下列图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图，日平均温度高于20度低于27度时适宜户外活动，某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天〔包括到达当日〕． 〔1〕求这15天日平均温度的极差和均值；〔2〕求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率；〔3〕由折线图判断从哪天开场连续三天日平均温度的方差最大〔写出结论，不要求证明〕【答案】〔1〕19度，度；〔2〕514；〔3〕从5月7日开场连续三天的日平均温度方差最大. 【解析】【分析】〔1〕由折线图读出所有数据，最高温度40度，最低温度为21度，即可求出极差，利用求平均数的公式直接求平均数；〔2〕由折线图可以得到只有一天的日平均温度适宜户外活动一共有3-4日，7-8日，8-9日，11-12日，14-15日这5种情况，然后利用求古典概型的概率的公式求解〔3〕连续3天数据波动最大的，那么方差最大【详解】解：〔1〕由折线图最高日平均温度40度，最低温度21度，故日平均温度的极差为402119-=度， 设日平均温度的均值为x ，那么 21232633363239254038302622252829.615x ++++++++++++++==度 〔2〕由题意此人停留的可能时间是有14种情况，只有一天的日平均温度适宜户外活动一共有3-4日，7-8日，8-9日，11-12日，14-15日这5种情况， 故概率514P =． 〔3〕从5月7日开场连续三天的日平均温度方差最大．【点睛】此题考察极差、平均数、方差，考察求古典概型的概率，属于根底题.20.椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2r =．〔I 〕求1C 的方程；〔Ⅱ〕直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．【答案】〔Ⅰ〕22143x y +=；〔Ⅱ〕14. 【解析】【分析】〔I 〕根据条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；〔Ⅱ〕将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k ，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及根本不等式可求得OMN 面积的最大值． 【详解】〔Ⅰ〕由题可知b =设()1,0F c -，那么由1BF与圆相切时r =bc a =，即2a c =．② 将①②代入222a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=； 〔Ⅱ〕设点()11,M x y 、()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=． 由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k my k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，那么,0m Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 所以OMN 的面积为21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =⋅-=⋅-++△()()()222211124143212m k m k k k k k k k ===≤=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为14． 【点睛】此题考察椭圆方程的求解，同时也考察了椭圆中三角形面积最值的求解，考察计算才能，属于难题.21.函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴．〔Ⅰ〕求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕求证1000101001101()e ()1000100<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】〔Ⅰ〕11a b =⎧⎨=-⎩；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；〔Ⅱ〕证明见解析.【解析】【分析】〔Ⅰ〕根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函数()f x 的单调区间；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.【详解】〔Ⅰ〕()ln f x a x a b =++，由题意知(1)01(1)01f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，那么有101101101ln()10100100100-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000>-， 即证10001000ln 101001+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x=， 那么有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001+>成立 综上，不等式10001011001101()e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考察的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目.〔二〕选考题：一共10分，请考生从第22．23题中任选一题答题，并需要用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进展评分；多涂、多答，按所涂的首题进展评分；不涂，按本选考题的首题进展评分．22.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，将曲线1C 绕极点逆时针旋转23π后得到曲线2C . 〔Ⅰ〕求曲线2C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线l ：()R θαρ=∈与1C ，2C 分别相交于异于极点的A ，B 两点，求AB 的最大值.【答案】〔Ⅰ〕24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；〔Ⅱ〕 【解析】【分析】〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为(),ρθ，结合条件可知2,3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上，再代入1C 的极坐标方程4sin ρθ=，即可得出2C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕根据题意，设(),A A ρα，(),B B ρα，利用极径的几何意义得出|A B AB ρρ=-∣，再根据三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质，即可求出结果．【详解】解：〔Ⅰ〕设2C 上任意一点的极坐标为(),ρθ， 由于曲线1C 绕极点逆时针旋转23π后得到曲线2C ， 那么2,3πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭在1C 上， 而曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=， 所以24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故曲线2C 的极坐标方程为24sin 3πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕根据题意，可设(),A A ρα，(),B B ρα，6πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭≤ 当且仅当3πα=时等号成立， 故AB的最大值为【点睛】此题考察曲线的极坐标方程以及极径的应用，还涉及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，考察转化思想和运算才能.23.函数()122f x x x =++-，()13g x x x m m =-++-.〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕对于任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求m 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】 〔Ⅰ〕分类讨论去绝对值，得出分段函数()31,13,1131,1x x f x x x x x -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，根据一次函数的单调性，得到()f x 的单调性，即可求出()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕根据绝对值三角不等式的性质得出1(3)m m g x +≥-，由任意1x R ∈，存在2x R ∈，使得12()()f x g x ≥成立，得出()()min min f x g x ≥，即213mm ≥+-，最后利用绝对值不等式的解法，即可求出m 的取值范围． 【详解】解：〔Ⅰ〕()31,11223,1131,1x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩，(],1∴-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()()12min f x f ∴==，故当1x =时，()f x 获得最小值2.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得()min 2f x =，而()1313g x x x m m x x m m =-++-≥----13m m =+-，当1x =时等号成立，由题意知，对任意1x R ∈，存在2x R ∈使得()()12f x g x ≥成立，那么()()min min f x g x ≥， 即213m m ≥+-， 所以2220(2)(13)m m m +≥⎧⎨+≥+⎩， 解得：3142m -≤≤， 即m 的取值范围为31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察根据分类讨论和单调性求函数的最值，绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式的性质和根据不等式恒成立问题求参数取值范围，考察转化思想和运算才能．。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二学期统一练习二数学文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三年级第二学期统一练习（二）数学（文科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
（1）sin6000等于（A ）12 （B ）12- （C D ）-（2）已知数列{}n a 是等差数列，且394a a +=，那么数列{}n a 的前11项和等于（A ）22 （B ）24 （C ）44（D ）48（3）将函数()sin f x x =图象所有的点向右移动3π个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为 （A ）1sin()23y x =-π（B ）1sin()26y x =-π（C ）sin(2)3yx =-π（D ）sin(2)6y x =-π（4）已知0.20.50.50.3,log 0.8,log 3ab c -===，那么,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）c a b << （D ）a c b <<（5）圆C ：（x+1）2+(y3)2=9上有两点P,Q 关于直线x+my+4=0对称，则m 等于（A ）53-（B ）53（C ）1（D ）1 （6）已知实数0a ≠，函数22,1,(), 1.x a x f x x x ⎧+<=⎨-≥⎩若(1)(1)f a f a -≥+，则实数a 的取值范围是 （A ）[2,1](0,)--+∞（B ）[2，1]（C ）(,0)-∞（D ）(0,)+∞（7）设m,n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.则下列命题中正确的是 （A ）m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥β（B ）α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ⇒n ⊥β （C ）α⊥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n （D ）α∥β，m ⊥α，n ∥β⇒m ⊥n（8）设函数()f x 的定义域为D ，如果x D y D ,∀∈∃∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“Ω函数”. 给出下列四个函数：①y x =sin ；②2x y =；③11y x =-；④()ln f x x =, 则其中“Ω函数”共有 （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
2021高考数学二轮复习板块2三年考情分析学案含解析文.doc
板块2命题解读：与2019年高考试卷相比，命题方式基本稳定，在注重基础知识、基本能力的同时，凸显了综合性、应用性与创新性；注重题目与实际生活、数学文化相结合，渗透五育，在数学应用、数学探究等方面突出体现了理性思维和关键能力的考查．从考点上相比，存在几点差别．如Ⅰ卷第18题由2019年数列换为解三角形；第19题立体几何题以圆锥为背景，让人耳目一新；Ⅱ卷第20题立体几何打破多年位置，同时全卷立体几何的分值比例也加大了；Ⅲ卷第18题背景新以当前社会关心的空气质量状况为背景等．总之，考生要关注社会热点，重视运算能力的培养，把握运算步骤和规律，重视运算细节.2018－2020年全国卷Ⅰ考情统计2020年2019年2018年17频率与概率、均值的计算及应用概率与独立性检验等知识由递推公式求某项、证明及求通项18正、余弦定理解三角形面积公式和三角恒等变换等差数列的通项公式、前n项和公式证明面面垂直及体积计算19以圆锥为载体考查面面垂直的判定、圆锥的侧面积和体积公式线面平行的证明、点到平面的距离统计背景下的概率及统计量的估算20函数的单调性、零点与导数的关系导数的应用、函数的零点直线与抛物线的位置关系及几何证明21平面向量的数量积、直线同椭圆的位置关系、定点问题直线与圆的位置关系、定值问题导数与极值、最值、不等式的证明22参数方程、极坐标方程两类方程以及点到直线的距离问题两类方程的转化及曲线的交点个数23含绝对值的不等式的解法、不等式的证明解绝对值不等式、求参数的2018－2020年全国卷Ⅱ考情统计2018－2020年全国卷Ⅲ考情统计。
高考数学一轮复习板块命题点专练二不等式含解析
板块命题点专练(二) 不等式命题点一 不等关系与一元二次不等式1．(2018·北京高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a ＜0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A解析：选D 若点(2,1)∈A ，则不等式x －y ≥1显然成立，且同时要满足⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＞4，2－a ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，a ≥0，解得a ＞32.即点(2,1)∈A ⇒a ＞32，其等价命题为a ≤32⇒点(2,1)∉A 成立．故选D.2．(2014·浙江高考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．3．(2016·浙江高考)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 解析：选D 对于A ，取a ＝b ＝10，c ＝－110， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＞100， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立． 对于B ，取a 2＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝110， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立．对于C ，取a ＝10，b ＝－10，c ＝0， 显然|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1成立， 但a 2＋b 2＋c 2＝200， 即a 2＋b 2＋c 2＜100不成立．综上知，A 、B 、C 均不成立，所以选D. 命题点二 简单的线性规划问题1．(2017·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z2，∴z 2是直线y ＝－12x ＋z 2在y 轴上的截距，根据图形知，当直线y ＝－12x ＋z 2过A 点时，z 2取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －3＝0，得x ＝2，y ＝1，即A (2,1)，此时，z ＝4，∴z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．2．(2018·天津高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x ＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45解析：选C 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x ＋5y 得y ＝－35x ＋z5. 设直线l 0为y ＝－35x ，平移直线l 0，当直线y ＝－35x ＋z5过点P 时，z 取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝1，x ＋y ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即P (2,3)，所以z max ＝3×2＋5×3＝21.3．(2016·浙江高考)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A.355 B. 2 C.322D. 5解析：选B 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示，当斜率为1的直线分别过A 点和B点时满足条件，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0求得A (1,2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0求得B (2,1)，可求得分别过A ，B 两点且斜率为1的两条直线方程为x－y ＋1＝0和x －y －1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为|1＋1|2＝2，故选B.4．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：35．(2018·浙江高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋3y 的最小值是________，最大值是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，x ＋y ＝2，解得A (4，－2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＋y ＝6，解得B (2,2)．将函数y ＝－13x 的图象平移可知，当目标函数的图象经过A (4，－2)时，z min ＝4＋3×(－2)＝－2； 当目标函数的图象经过B (2,2)时，z max ＝2＋3×2＝8. 答案：－2 8 命题点三 基本不等式1．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：142．(2018·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________．解析：如图， ∵S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴12ac ·sin 120°＝12c ×1×sin 60°＋12a ×1×sin 60°，∴ac ＝a ＋c .∴1a ＋1c＝1. ∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝c a＋4ac＋5≥2c a ·4ac＋5＝9， 当且仅当c a ＝4ac，即c ＝2a 时取等号． 故4a ＋c 的最小值为9. 答案：93．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：44．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：30命题点四 绝对值不等式1．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x ＞1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋a ，即x2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x ＞1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a .又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x ，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.当x ≤1时，g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；当x ＞1时，g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x ＞1，即x ＝233时，“＝”成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，当x ≤1时，h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－3x 2＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916， 当x ＝34时，h (x )min ＝3916；当x ＞1时，h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x≥2，当且仅当x 2＝2x，且x ＞1，即x ＝2时，“＝”成立， 故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2.2．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a .证明：因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .3．(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不满足题意；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．4．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}． (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立． 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a＋2|≥4，可得a≤－6或a≥2，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．。
高三数学(文)高考总复习：板块命题点专练(四) Word版含解析
板块命题点专练（四）(2,7)，则a＝________.解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.答案：12．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y ＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝e x－1＋x.∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝e x－1＋x.∵当x＞0时，f′(x)＝e x－1＋1，∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：2x－y＝03．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a ＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋1 x，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由⎩⎨⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′| x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎨⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：8值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．2，＋∞)D ．1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝k x －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D .2.(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋asin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 解析：选C f ′(x )＝1－23cos 2x ＋acos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋acos x ＝－43cos 2x＋acos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，令cos x ＝t ，t ∈－1,1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在－1,1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在－1,1]上恒成立，令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13，故选C.3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R)的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选A 设y ＝g (x )＝f (x )x (x ≠0)， 则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数， 且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1， 当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 4．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．5．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0. 设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1， 则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0，故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．6．(2016·全国丙卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1＜x－1ln x＜x；(3)设c＞1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c x.解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．(2)证明：由(1)知，f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，ln x＜x－1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，ln 1x＜1x－1，即1＜x－1ln x＜x.(3)证明：由题设c＞1，设g(x)＝1＋(c－1)x－c x，则g′(x)＝c－1－c x ln c.令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1 ln c ln c.当x＜x0时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x＞x0时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．由(2)知1＜c－1ln c＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0＜x＜1时，g(x)＞0.所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x＞c x.7．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝(x－2)e x＋a(x－1)2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )． 若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 若a ＞－e2，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上单调递增， 在(ln(－2a )，1)上单调递减． 若a ＜－e2，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上单调递增， 在(1，ln(－2a ))上单调递减．(2)①设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b ＜0且b ＜ln a 2，则f (b )＞a2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b ＞0，所以f (x )有两个零点． ②设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．③设a ＜0，若a ≥－e2，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－e2，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．。
2020-2021学年最新高考总复习数学高考冲刺压轴卷(文卷二)及答案解析
最新高考冲刺压轴卷·全国数学（文卷二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A UI 等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,(Y --∞２．（2015·山东日照市高三校际联合检测·1)在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. （2015·山东青岛市二模·3)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为（ ）A ．84B ．78C ．81D ．964．（2015·山东济宁市二模·4)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2015·山东德州市二模·5)已知向量AB AC 与uu u r uuu r的夹角为602=AB AC AP AB AC AP λ==+⊥，且，若，且ouuu r uuu u r uu u r uu u r uu u r uu u r BC uu u r ，则实数λ的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．12-6．（2015·山东淄博市二模·6)ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=（ ）A ．4B ．4-C ．34D ．34-7. （2015·山东聊城市二模·7)已知函数()()2log ,1,2,0 1.x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩则1212f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A. 32B.1C.12D.1-8．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·9)设P 为双曲线221916x y -=右支上一点，12,F F 分别是双曲线的左焦点和右焦点，过P 点作12PH F F ⊥，若12PF PF ⊥，则PH =（ ） A ．645B ．85C ．325D ．1659. （2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·9)函数()22sin 1,0,24,0x x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--≤⎪⎩的零点个数为（ ）A.0B.1C.2D.310．（2015·山东兖州市第一中学4月月考·10)函数()(2)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ）A ．{|22}x x x ><-或B ．{|22}x x -<<C ．{|04}x x x <>或D ．{|04}x x <<第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．（2015·山东淄博市二模·11)若x,y都是锐角，且51sin tan,3x y x y==+=，则_________．12．（2015·山东菏泽市二模·12)设,x y满足约束条件302x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y+的最大值为；13．（2015·山东烟台市二模·11)14．（2015·山东潍坊市二模·12)当输入的实数[2,30]x∈时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是；15．（2015·山东潍坊市二模·14)已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则213x y x y++-的最小值为________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16.（2015·山东聊城市二模·16) （本小题满分12分）一个小商店从某食品有限公司购进10袋白糖，称池内各袋白糖的重量（单位：g ），如茎叶图所示，其中有一个数据被污损. （I ）若已知这些白糖重量的平均数为497g ，求污损处的数据a ；（II ）现从重量不低于498g 的所购各袋白糖中随机抽取2袋，求重量是508g 的那袋被抽中的概率.17．（2015·山东省济宁市曲阜市第一中学三模·17)（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，常数0λ>且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的 前n 项和最大？18．（2015·山东潍坊市第一中学4月份过程性检测·17)（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，11=9022,BCA AA AC BC A ∠===o ，在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D.（1）求证：11AC BA ⊥； （2）求四棱锥111A BCC B -的体积.19．（2015·山东济南二模·17)（本小题满分12分）济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如右茎叶图（单位：cm ）.若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高精灵”，身高在175cm 以下 （不包括175cm ）定义为“帅精灵”.已知A 大学志愿者的身高的平均数为176cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168cm. （I ）求,x y 的值；（II ）如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人.求至少有一人为“高精灵”的概率.20．（2015·山东菏泽市二模·20)（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为(7,0)F ，A ,B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：当点),(00y x P 在椭圆C 上运动时，直线2:00=+y y x x l 与圆1:22=+y x O 恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．21．（2015·山东烟台市二模·20) （本小题满分14分）数学（文卷二）参考答案与解析1．C【命题立意】本题旨在考查集合的运算。
2018-2019学年高中新三维一轮复习文数江苏专版：板块命题点专练二 函数及其图象和性质 含答案 精品
板块命题点专练（二） 函数及其图象和性质1.(2016·解析：要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．答案：[－3,1]2．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝____，b ＝________.解析：因为f (x )＝x 3＋3x 2＋1， 所以f (a )＝a 3＋3a 2＋1， 所以f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2 ＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3， ①a 2＋2ab ＝0， ②a 3＋3a 2＝a 2b . ③因为a ≠0，所以由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案：－2 13．(2017·山东高考改编)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝________. 解析：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，因为f (a )＝f (a ＋1)，所以a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．所以f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，所以f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， 所以2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6. 答案：61.(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． 解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得 f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ， f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫4＋12＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110. 由f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35. 所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案：－252．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5,0)∪(5，＋∞)3．(2012·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)． 故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－104．(2017·全国卷Ⅱ改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是________． 解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2.因此，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y ＝x 2－2x －8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.解析：由已知得，f (－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12， 又函数f (x )是奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝12. 答案：126．(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解析：因为f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 所以f (x )的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f (919)＝f (1)． 又f (x )为偶函数，所以f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6. 答案：61.(2016·全国卷Ⅱ改编)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i =1m(x i ＋y i )＝________.解析：因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x 2＝0，f (－x )＋f (x )2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x ，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i =1mx i ＝0，∑i =1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i =1m (x i ＋y i )＝m .答案：m2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. 解析：因为f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案：－2。
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期高三综合练习二数学文科
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题第二学期高三综合练习（二）数学（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1、 已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合A B 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、()2203log 0x f x xx x ⎧-<⎪=⎨⎪+>⎩，，，则()()1f f -等于（ ） A ．2- B ．2 C ．4-D ．44、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45、已知命题:p x ∀∈R ，()sin πsin x x -=；命题:q α，β均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>．下列命题是真命题的是（ ） A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧6、已知x ，y 满足11y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47、根据表格中的数据，可以断定函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）x 1 2e 3 5 ln x 0 0.69 1 1.10 1.61 3x 3 1.5 1.10 1 0.6 A ．()12， B ．()2e ，C ．()e 3，D ．()35，8、在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；频率组距x0.0061009080706050400成绩俯视图侧（左）视图正（主）视图②若数列{}n a 满足122n n a n -=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列； ④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列．其中所有真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9、已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________．10、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．11、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为________．12、 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ， c ，且+2A C B = 若1a =，b =，则c 的值为________．13、 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于________．14、 对定义域的任意x ，若有()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数：①1y x x =-，②log 1a y x =+，③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩ 其中满足“翻负”变换的函数是________． （写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）已知函数)()sin sin f x xx x =-．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）用分层抽样方法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：（单位：人）⑴求x ，y ；⑵若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这二人都来自高二年级的概率．17、 （本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=︒，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴求证：平面GNM ∥平面ADC '； ⑵求证：C A '⊥平面ABD ．GN MDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln af x x x=+（0a >）．19、 （本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，． ⑴求椭圆C 的方程；⑵如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）． ⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=．北京市东城区度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）D （4）D （5）A （6）C （7）C （8）D二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）12152（11）4（12）3π2 （13）4 （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin sin )f x x x x =-2cos sin x x x =-=21cos 2sin )2x x x -11=2cos2)22x x +- 1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ） 因为203x π<<， 所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可得 2992718x y ==，所以11x =，3y =．（Ⅱ）记从高二年级抽取的3人为1b ，2b ，3b ，从高三年级抽取的2人为1c ，2c ，则从这两个年级中抽取的5人中选2人的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，11(,)b c ，12(,)b c ，23(,)b b ，21(,)b c ，22(,)b c ，31(,)b c ，32(,)b c ，12(,)c c 共10种． ……8分设选中的2人都来自高二的事件为A ，则A 包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种．因此3()0.310P A ==．故选中的2人都来自高二的概率为0.3． ………………………………………13分 （17）（共14分）证明：（Ⅰ）因为M ，N 分别是BD ，'BC 的中点， 所以//MN DC '． 因为MN ⊄平面ADC '，DC '⊂平面ADC '，所以//MN 平面ADC '． 同理//NG 平面ADC '． 又因为MNNG N =，所以平面//GNM 平面ADC '．A BCDMNG（Ⅱ）因为90BAD ∠=， 所以AD AB ⊥．又因为'AD C B ⊥，且'AB C B B =， 所以AD ⊥平面'C AB ． 因为'C A ⊂平面'C AB ， 所以'AD C A ⊥．因为△BCD 是等边三角形，AB AD =， 不防设1AB =，则BC CD BD ===可得1C A '=．由勾股定理的逆定理，可得'AB C A ⊥． 因为ABAD A =，所以'C A ⊥平面ABD ． ………………………………………………14分（18）（共14分）解:(Ⅰ)()ln af x x x =+，定义域为(0,)+∞,则|221()a x a f x x x x -=-=．因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈，所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ．(Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤0(30)x >>，所以20012a x x ≥-+对030x >>恒成立． 又当00x >时, 200311222x x -<-+≤,（19解(Ⅰ)因为c a=，222a b c -=， 所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x y a b -=的距离5d ==， 解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ) 由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则1224214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+． 所以21M BM M y k x k +==-．所以20M M x ky k ++=．即 224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠，所以218k =．所以4k =±．………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾．若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n na a a +==，而222n T n t n ta a a +++==从而n t na a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T na a +=．…………13分高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(8)一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣14.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣15.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF=.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m +n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案） (8)参考答案与试题解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（共10小题，每小题5分，满分50分）1.（5分）函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A. B.π C.2π D.4π【分析】由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解.【解答】解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x﹣）的最小正周期是π，故选：B.【点评】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题.2.（5分）设集合M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}，则M∩N=（）A.[0，1]B.[0，1）C.（0，1]D.（0，1）【分析】先解出集合N，再求两集合的交即可得出正确选项.【解答】解：∵M={x|x≥0，x∈R}，N={x|x2＜1，x∈R}={x|﹣1＜x＜1，x∈R}，∴M∩N=[0，1）.故选：B.【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键.3.（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）A.e+2B.e+1C.eD.e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可.【解答】解：（2x+ex）dx=（x2+ex）|=（1+e）﹣（0+e0）=e.故选：C.【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数.4.（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A.an=2nB.an=2（n﹣1）C.an=2nD.an=2n﹣1【分析】根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，∴数列为公比为2的等比数列，∴an=2n.故选：C.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键.5.（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A. B.4π C.2π D.【分析】由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径R=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.【解答】解：∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为=2又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径R=1根据球的体积公式，得此球的体积为V=πR3=π.故选：D.【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题.6.（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）A. B. C. D.【分析】设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论.【解答】解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，∴所求概率为=.故选：C.【点评】本题考查概率的计算，列举基本事件是关键.7.（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）A.f（x）=xB.f（x）=x3C.f（x）=（）xD.f（x）=3x【分析】对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案.【解答】解：A.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f （y），故A错；B.f（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故B错；C.f（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f （x）在R上是单调减函数，故C错.D.f（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在R上是单调增函数，故D正确；故选：D.【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题.8.（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.【解答】解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|﹣1|，而1与﹣1不是互为共轭复数，∴原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，∴命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题.故选：B.【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.9.（5分）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A.1+a，4B.1+a，4+aC.1，4D.1，4+a【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论.【解答】解：方法1：∵yi=xi+a，∴E（yi）=E（xi）+E（a）=1+a，方差D（yi）=D（xi）+E（a）=4.方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2=[（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4.故选：A.【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则Ey=aEx+b，Dy=a2Dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.10.（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）A.y=﹣xB.y=x3﹣xC.y=x3﹣xD.y=﹣x3+x【分析】分别求出四个选项中的导数，验证在x=±5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式.【解答】解：由题意可得出，此三次函数在x=±5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：A选项，导数为，令其为0，解得x=±5，故A正确；B选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故B错误；C选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故C错误；D选项，导数为，令其为0，x=±5不成立，故D错误.故选：A.【点评】本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用.二、填空题（考生注意：请在15、16、17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，共4小题，每小题5分，满分20分）11.（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=.【分析】化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=.故答案为：.【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.12.（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为 x2+（y﹣1）2=1 .【分析】利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程.【解答】解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1.【点评】本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题.13.（5分）设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ=.【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），∴sin2θ﹣cos2θ=0，∴2sinθcosθ=cos2θ，∵0＜θ＜，∴cosθ≠0.∴2tanθ=1，∴tanθ=.故答案为：.【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题.14.（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数棱数（E）（V）三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E，得到规律：F+V﹣E=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案.【解答】解：凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E，①正方体：F=6，V=8，E=12，得F+V﹣E=8+6﹣12=2；②三棱柱：F=5，V=6，E=9，得F+V﹣E=5+6﹣9=2；③三棱锥：F=4，V=4，E=6，得F+V﹣E=4+4﹣6=2.根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系：F+V﹣E=2再通过举四棱锥、六棱柱、…等等，发现上述公式都成立.因此归纳出一般结论：F+V﹣E=2故答案为：F+V﹣E=2【点评】本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题.（不等式选做题）15.（5分）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为.【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决.【解答】解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：【点评】本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题.（几何证明选做题）16.如图，△ABC中，BC=6，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，若AC=2AE，则EF= 3 .【分析】证明△AEF∽△ACB，可得，即可得出结论.【解答】解：由题意，∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F，∴∠AEF=∠C，∵∠EAF=∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴，∵BC=6，AC=2AE，∴EF=3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题.（坐标系与参数方程选做题）17.在极坐标系中，点（2，）到直线的距离是 1 .【分析】把极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出.【解答】解：点P（2，）化为=，y=2=1，∴P.直线展开化为：=1，化为直角坐标方程为：，即=0.∴点P到直线的距离d==1.故答案为：1.【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤（共6小题，满分75分）18.（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值.【分析】（Ⅰ）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（Ⅱ）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为.【点评】此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键.19.（12分）如图1，四面体ABCD及其三视图（如图2所示），过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.（Ⅰ）证明：四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【分析】（Ⅰ）由三视图得到四面体ABCD的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC，结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH，从而证得结论；（Ⅱ）分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面EFGH的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.【解答】（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC.如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD⊂平面ABD，∴AD∥EF.∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD⊂平面ADC，∴AD∥GH.由平行公理可得EF∥GH.∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC⊂平面BDC，∴BC∥FG.∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC⊂平面ABC，∴BC∥EH.由平行公理可得FG∥EH.∴四边形EFGH为平行四边形.又AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH.∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：解法一：取AD的中点M，连结，显然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH，取EH的中点N，连结MN，则MN⊥EH，∴MN⊥平面EFGH，则∠MFN就是MF（即AB）与平面EFGH所成的角θ，∵△MEH是等腰直角三角形，∴MN=，又MF=AB=，∴sin∠AFN==，即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.解法二：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1.又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点.∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）.则.设平面EFGH的一个法向量为.由，得，取y=1，得x=1.∴.则sinθ=|cos＜＞|===.【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题.20.（12分）在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P （x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上.（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值.【分析】（Ⅰ）先根据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再根据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后结合图形，求出m﹣n的最小值.【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1.【点评】本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21.（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：300 500作物产量（kg）概率0.5 0.56 10作物市场价格（元/kg）概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【分析】（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论.【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P （）P （）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P （）P（B）+P（A）P （）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896.【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力.23.（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表达式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设n∈N+，比较g（1）+g（2）+…+g（n）与n﹣f（n）的大小，并加以证明.【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用数学归纳法加以证明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立构造函数φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用导数求出函数的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式.【解答】解：由题设得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用数学归纳法证明.①当n=1时，，结论成立.②假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立. 由①②可知，结论对n∈N+成立.（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立.设φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），则φ′（x）=，当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时取等号成立），∴φ（x）在[0，+∞）上单调递增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立.∴当a≤1时，ln（1+x）≥恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a＞1时，对x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上单调递减，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即当a＞1时存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（﹣∞，1].（Ⅲ）由题设知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令则故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得结论得证.【点评】本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题.22.（13分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为. （Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程.【分析】（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，即得b=1，设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0），设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0.（*）设点P（xp，yp），依题意，可求得点P的坐标为（，）；同理可得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），利用•=0，可求得k的值，从而可得答案.【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B（1，0）是上半椭圆C1的左右顶点.设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2.∴a=2，b=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）.易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得：（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0.（*）设点P（xp，yp），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得xp=，从而yp=，∴点P的坐标为（，）.同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣.经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0.【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想，属于难题.。
【精品】2018届高三数学(文)高考总复习：板块命题点专练(二)含解析
板块命题点专练（二）2A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎨⎧ 0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.3．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝错误!若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ])A．y＝1＋x2B．y＝x＋1xC ．y＝2x＋12xD．y＝x＋e x解析：选D A选项定义域为R，由于f(－x)＝1＋－x2＝1＋x2＝f(x)，所以是偶函数．B选项定义域为{x|x≠0}，由于f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．C选项定义域为R，由于f(－x)＝2－x＋12－x＝12x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D选项定义域为R，由于f(－x)＝－x＋e－x＝1e x－x，所以是非奇非偶函数．2．(2014·湖南高考)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( )A．－3 B．－1C．1 D．3解析：选C 用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C.3．(2015·湖南高考)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( ) A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数D．偶函数，且在(0,1)上是减函数解析：选A 由错误!得－1<x<1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．f′(x)＝11＋x＋11－x，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上为增函数．4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A. 6．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.答案：－2A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为－1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝错误!的图象如图所示，由图象知只有D 正确．2．(2013·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D. e －x －1解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e－x －1.3．(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.4．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1mx i ＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m 2＝m ； 当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.答案：－2。
2018届高三数学(理)高考总复习：板块命题点专练(二)含解析
板块命题点专练（二）1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选C ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎨⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.3．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.答案：(－∞， 2 ]) A ．y ＝1＋x 2 B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝x ＋e x解析：选D A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋－x2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．2．(2014·湖南高考)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选C 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.3．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数 解析：选A 由⎩⎨⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，则函数的定义域为(－1,1)．又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．f ′(x )＝11＋x ＋11－x，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上为增函数．4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋－x2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.6．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.答案：－21.(2014·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为－1，＋∞)解析：选D 函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0的图象如图所示，由图象知只有D 正确．2．(2013·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1 D. e －x －1解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x)的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在－2,2]的图象大致为( )解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈－2,2]是偶函数， 又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B. 设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x . 又g ′(0)<0，g ′(2)>0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.4．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1mxi＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．当m 为偶数时，∑i ＝1mx i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑i ＝1mx i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.解析：∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2. 答案：－2。
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板块命题点专练（二）
1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，
则f (－2)＋f (log 212)＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12 解析：选C ∵－2<1，
∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3.
∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝
122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.
2．(2012·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )
A ．f (x )＝|x |
B ．f (x )＝x －|x |
C ．f (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝－x 解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎨⎧ 0，x ≥0，2x ，x ＜0，
当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.
3．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________． 解析：f (x )的图象如图，由图象知．满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，a ≤ 2.
答案：(－∞， 2 ]
A ．y ＝1＋x 2
B ．y ＝x ＋1x
C ．y ＝2x ＋12x
D ．y ＝x ＋e x
解析：选D A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所
以是偶函数．B 选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x ＝－f (x )，所以是奇函
数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12
－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x ＋e －x ＝1e
x －x ，所以是非奇非偶函数． 2．(2014·湖南高考)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：选C 用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.
3．(2015·湖南高考)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )
A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数
B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数
C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数
D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数
解析：选A 由⎩⎨⎧
1＋x >0，1－x >0，
得－1<x <1， 则函数的定义域为(－1,1)．
又∵f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数．
f ′(x )＝11＋x ＋11－x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,1)上为增函数．
4．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A ．f (x )g (x )是偶函数
B ．|f (x )|g (x )是奇函数
C ．f (x )|g (x )|是奇函数
D ．|f (x )g (x )|是奇函数
解析：选C f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.
5．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－
11＋x 2
，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，＋∞ 解析：选A ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2
＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．
∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2
， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x
＋1<0⇔13
<x <1.故选A. 6．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1
时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (2)＝________. 解析：∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－4＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2. 答案：－2
1.(2014·福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数
B ．f (x )是增函数
C ．f (x )是周期函数
D ．f (x )的值域为－1，＋∞)
解析：选D 函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0 的图象如图所示，由图象知只有D 正确．
2．(2013·北京高考)函数f (x )的图象向右平移1个单位
长
度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e －x ＋1 D. e －x －1
解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.
3．(2016·全国乙卷)函数y ＝2x 2－e |x |在－2,2]的图象大致为(
)
解析：选D ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈－2,2]是偶函数，
又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.
设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .
又g ′(0)<0，g ′(2)>0，
∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，
∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.
4．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
x i ＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m 解析：选B ∵f (x )＝f (2－x )，
∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．
当m 为偶数时，∑i ＝1m
x i ＝2×m 2＝m ； 当m 为奇数时，∑i ＝1m
x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B. 5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，
∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.
答案：－2。