定积分的换元法和分部换元法
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定积分的换元法与分部积分法
定积分的换元法与分部积分法摘要：定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间上的累积效应。
在计算定积分时，换元法和分部积分法是常用的两种方法。
本文将对定积分的换元法和分部积分法进行介绍，并通过案例演示其具体应用。
1. 定积分简介定积分是微积分中的基本概念之一，它用于计算函数在某个区间上的累积效应。
定积分的符号表示为∫，其中∫f(x)dx表示函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
它的几何意义是函数f(x)与x轴所夹的面积。
2. 换元法换元法是一种常用的计算定积分的方法，它通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式。
换元法的基本思想是对函数进行代换，将原函数转化为一个新的函数，并对新函数进行积分。
换元法的公式可以表示为：∫f(g(x))g’(x)dx = ∫f(u)du其中，g(x)是一个可导函数，u=g(x)是其反函数，g’(x)是g(x)的导数。
换元法的具体步骤如下：1.选择适当的换元变量，使得被积函数的形式变得简单；2.计算变量的微分，求出关于新变量的微分表达式；3.将被积函数中原变量用新变量表示，得到新的被积函数；4.计算新的被积函数的积分。
3. 分部积分法分部积分法是另一种常用的计算定积分的方法，它将一个复杂的积分问题转化为两个简单的积分问题。
分部积分法的基本思想是使用差乘法则，将定积分的求解转化为导数和乘积的关系。
分部积分法的公式可以表示为：∫u(x)v’(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u’(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导的函数。
分部积分法的具体步骤如下：1.选择一对函数作为u(x)和v’(x)；2.计算u’(x)和v(x)的导数；3.将u(x)v’(x)代入分部积分公式中，并进行计算。
4. 换元法与分部积分法的比较换元法和分部积分法都是计算定积分的有效方法，它们在不同的情况下有不同的应用。
换元法适用于被积函数可以通过代换变量为简单形式的情况。
通过引入新的变量，将原函数转化为更易积分的形式，从而简化计算过程。
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
5-3定积分的换元法与分部法-精品文档
2
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
1 ( 1 cos 2 t)d t cos t d t 2
2
1 1 t sin 2t 2 arcsin x x1 x C C 2 2 2 4
由牛顿 莱布尼兹公式 ， 得
1 1 1 2 1 x d x arcsin x x 1 x . 0 2 2 0 4 1 2
0
a
x ) d x [ f ( x ) f ( x )] d x . f(
a 0
a
a
( 1 )若 f ( x ) 为偶函数，则 f ( x ) f ( x ) ，故有
a
a
f (x)dx 2
a
0
f (x)d x
( 2 ) 若 f ( x ) 为奇函数，则 f ( x ) － f ( x ) ，故
1
1 2 2 1 2 2 sin xcos xdx sin xdsin x sin x |0 0 0 2 2
例5
设 f(x ) 在对称区间 [ a ,a ]上连续，证明：
( 1 ) 当 f ( x ) 为偶函数时， x ) d x 2 x ) d x . f( f(
f (x)dx f ( t)(dt) f ( x )dx. t)dt f( a a
0
0
0
0
a
a
于是
( x ) d x f ( x ) d x f ( x ) d x f
a 0 0
a
a
a
x ) f( x )] d x . [f(
则
定理证明 定理证
b
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
定积分的换元法和分部换元法
则
(t) (t)
满足:
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(t) (t)
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ ,]时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t) (t)
b
f (x)d x
(令 x (t) )
a
或配元
(t) (t)
例4.
偶倍奇零
(1) 若
则 a a
f
( x) dx
a
20
f
( x) dx
(2) 若
则 a f (x) dx 0 a
证:
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
a
a
0 f (t) d t 0 f (x) dx
a
0[ f (x) f (x)]dx
令 x t
f (x) f (x)时
(t) d(t)
配元不换限
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例1. 计算
解:
令 x asin t ,
t
2
,
2
则dx a cos t d t , 且
当 x 0 时, t 0;
x
a
时,
t
2
.
y
∴
原式 =
a2
2 cos 2 t d t
0
y a2 x2
a2
2 (1 cos 2t) d t
解
1
0
ln(1 (2
x
x) )2
dx
1 0
ln(1
定积分的换元法和分部积分法
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
定积分的换元积分法与分部积分法
解：对 p 1,
a
dx (a 0) p x
收敛或发散
b
1
1 1 1 p 1 p 1 ( b ) x dx x p 1 p 1 p 1
p
重要的问题是b的指数是正数还是负数. 假如是
负数, 则当b趋向无穷时, b–p+1趋向于0. 若指数为
正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长. 因此, 若–
a
udv uv a vdu .
a
回忆：：
定积分的分部积分公式
不定积分的分部积分公 式为 :
udv uv vdu .
例1. 计算
解: 原式 =
x arctan x
1 2
1 0
1
0
1 1 2 d (1 x ) 2 4 2 0 1 x
1 2 ln( 1 x ) 2 4 0 1 ln 2 2 4
当p>1时积分有值
1
b 1 1 1 1 p 1 b ) dx lim p dx lim ( p b p 1 b 0 x p 1 x
1 1 ( ) p 1 p 1
定理1 (比较判别法) [a,), g ( x) f ( x) 0, 设 且f ( x)， ( x)于[a,)内有界, 则 g (1) 当 a g ( x)dx 收敛时，a f ( x)dx 也收敛 ； (2) 当
1
dx 增长且无界, x
y 1 x
dx 发散. y x
1
b
dx x
0
1
b
x
2. 其它情形意义
定积分换元法和分部积分法-PPT文档资料
0
2
5 cos x sin xdx
t dt 1
0 5
t 6
6 1
0
1 . 6
第五章 例2 计算
0
3 5 sin x sin x dx .
解
3 5 cos x sin x f ( x ) sin x sin x
3 2
3 2
3 5 dx x sin x sin x sin x dx cos 0
第五章
1 x cos x 2 x dx dx 解 原式 2 2 1 1 1 1 x 1 1x
1
2
偶函数
1 2
奇函数
2 2 x 1 x( 1 1 x ) 4 dx 4 dx 2 2 0 0 1 1 x 1 ( 1 x )
2 4 ( 1 1 x ) dx 4 4 1 x dx 0 0
第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
一、定积分的换元法
( x ) C [ a , b ] ,函数 x 定理1. 设函数 f ( t)满足:
1)
( ) a , ( ) b ;
a
x d x [() fx f ( xd ) ]x f()
a 0
0 a
a
a
第五章
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx , a a 0
0 0 a a a 0
又 ( ) d x x t f () t d t f ( x ) d x fx
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第五章 第三节 定积分的换元法和 分部积分法 不定积分
换元积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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一、定积分的换元法
定理1. 设函数 单值函数 1 ( t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1) 2) 在[ , ] 上 则 满足:
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(t ) (t )
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(t ) (t )
说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )
或配元
f ( x) d x (令 x (t ) )
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例 4’
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 x cos x 2x dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
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例7 计算
1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 d ln(1 x ) 2 x 2 x 0
a
b
(t ) (t )
(t ) d (t )
配元不换限
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解: 令 x a sin t , t , d x a cos t d t , 则 且 2 2 . 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2 y y a2 x2 2 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = 0
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
0 0 a 0
令 x t
f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时
1 1 1 ln 2 1 1 dx 0 2 x 1 x 1 x 2 x 3 ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3
内容小结
基本积分法 换元积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0
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例1. 计算
o
2
a x
例2. 计算
t 2 1 解: 令 t 2 x 1 , 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
f (cos t )dt f (cos x )dx;
0 0
2 2
（2） xf (sin x )dx f (sin x )dx 0 2 0 . x sin x dx 由此计算 2 0 1 cos x
.
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
3 e4
3 e4
e
d (ln x ) 2 ln x (1 ln x )
3 e4
e
d ln x 1 ( ln x )2
2arcsin( ln x )
e
. 6
例4.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
∴ 原式 =
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1
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例3
计算
3 e4
e
dx . x ln x(1 ln x )
3 e4
解
原式
e
d (ln x ) ln x(1 ln x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
例5
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
2 2
（1） f (sin x )dx f (cos x )dx ;
0 0
证 （1）设 x t dx dt, 2 x 0 t , x t 0, 2 2 0 2 sin t dt 0 f (sin x )dx 2 f 2
a
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例6. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
1 1 1 2 2(1 x ) 2 d (1 x 2 ) 12 2 0
0
1 2
x 1 x
0
d x 2
12
(1
1 1 2 2 2 x )
3 1 12 2
0
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换元积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
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一、定积分的换元法
定理1. 设函数 单值函数 1 ( t ) C [ , ] , ( ) a , ( ) b ; 1) 2) 在[ , ] 上 则 满足:
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(t ) (t )
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(t ) (t )
说明: 1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
(t ) (t )
或配元
f ( x) d x (令 x (t ) )
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例 4’
计算
1
1
1
2 x 2 x cos x dx . 2 1 1 x
1 x cos x 2x dx dx 1 2 2 1 1 x 1 1 x
解 原式 1
2
偶函数
奇函数
40
1
2 2 x 1 x (1 1 x ) dx 4 dx 2 2 0 1 1 x 1 (1 x )
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例7 计算
1
0
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 d ln(1 x ) 2 x 2 x 0
a
b
(t ) (t )
(t ) d (t )
配元不换限
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解: 令 x a sin t , t , d x a cos t d t , 则 且 2 2 . 当 x 0 时, t 0 ; x a 时, t 2 y y a2 x2 2 2 2 cos t dt a ∴ 原式 = 0
0
a
则
a a
a
a
f ( x ) dx 0
a
a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx
f (t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx
0 0 a 0
令 x t
f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时
1 1 1 ln 2 1 1 dx 0 2 x 1 x 1 x 2 x 3 ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3
内容小结
基本积分法 换元积分法
分部积分法
换元必换限 配元不换限 边积边代限
a2 2 (1 cos 2 t ) d t 2 0 a 1 ( t sin 2t ) 2 2 2 0
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例1. 计算
o
2
a x
例2. 计算
t 2 1 解: 令 t 2 x 1 , 则 x , dx t d t , 且 2 当 x 0 时, t 1; x 4 时, t 3 .
f (cos t )dt f (cos x )dx;
0 0
2 2
（2） xf (sin x )dx f (sin x )dx 0 2 0 . x sin x dx 由此计算 2 0 1 cos x
.
二、定积分的分部积分法
定理2. 设 u ( x) , v( x) C1[a , b] , 则 b
3 e4
3 e4
e
d (ln x ) 2 ln x (1 ln x )
3 e4
e
d ln x 1 ( ln x )2
2arcsin( ln x )
e
. 6
例4.
(1) 若 (2) 若 证:
a 0
偶倍奇零
则
a
a
f ( x ) dx 2 f ( x ) dx
∴ 原式 =
t 2 1 3 2 2 t dt 1 t
1 3 2 (t 3) d t 2 1 3 1 1 3 ( t 3t ) 2 3 1
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例3
计算
3 e4
e
dx . x ln x(1 ln x )
3 e4
解
原式
e
d (ln x ) ln x(1 ln x )
2
40 (1 1 x )dx 4 40
2
1
1
1 x 2 dx
4 .
单位圆的面积
例5
若 f ( x ) 在[0,1]上连续，证明
2 2
（1） f (sin x )dx f (cos x )dx ;
0 0
证 （1）设 x t dx dt, 2 x 0 t , x t 0, 2 2 0 2 sin t dt 0 f (sin x )dx 2 f 2
a
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例6. 计算 解: 原式 = x arcsin x
1 2
1 1 1 2 2(1 x ) 2 d (1 x 2 ) 12 2 0
0
1 2
x 1 x
0
d x 2
12
(1
1 1 2 2 2 x )
3 1 12 2
0
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