2019北京市东城区高三上学期数学期末考试卷

东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学 （理科）本试卷共4页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合{20},{2,1,0,1,2}A x x B =-<≤=--，则A B = (A){2,1}-- (B){2,0}- (C){1,0}-(D){2,1,0}--(2)下列复数为纯虚数的是(A)21i + (B) 2i i + (C) 11i- (D)2(1i)- (3)下列函数中，是奇函数且存在零点的是 (A)3y x x =+ (B) 2log y x = (C) 223y x =-(D)2y x=(4)执行如图所示的程序框图，若输入的5,3n m ==，则输出的p 值为 (A)360 (B) 60 (C) 36(D)12俯视图侧（左）视图正（主）视图22(5)“512m=π”是“函数()cos(2)6f x xπ=+的图象关于直线x m=对称”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(6)某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为(A)2(C) (D) 3(7)在极坐标系中，下列方程为圆=2sinρθ的切线方程的是(A) cos2ρθ=(B) 2cosρθ=(C) cos1ρθ=-（D）sin1ρθ=-(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg 4.8 1.5E M=+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E和2E，则12EE的值所在的区间为(A)(1,2)(B) (5,6)(C) (7,8)(D)(15,16)第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若,x y满足223,,xy xx y⎧⎪⎨⎪+⎩，≤≤≥则2x y+的最小值为.22(10)1______.3x y m m m-==已知双曲线的一个焦点为，则(11)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111,2a b =-=，321a b +=-，试写出一组满足条件的数列{}n a 和{}n b 的通项公式：n a = ，n b = .(12)在菱形ABCD 中，若BD =CB DB ⋅的值为 . (13)函数()sin()cos()63f x x x ππ=-+-在区间2[,]63π-π上的最大值为 . (14)已知函数()f x 定义域为R ，设()()1,()1() 1.f f x f x F x f x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，①若22()1x f x x =+，则(1)_______f F =；②若()e 1a x f x -=-，且对任意x ∈R ，()()f F x f x =，则实数a 的取值范围为________ . 三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)（本小题13分）在△ABCsin cos sin .A B a C = （Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样E X.本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望()如图1，在四边形ABCD 中，ADBC ，2BC AD =,E ,F 分别为,AD BC 的中点，AE EF =，2AF AE =.将四边形ABFE 沿EF 折起，使平面ABFE ⊥平面EFCD (如图2)，G 是BF 的中点.(Ⅰ)证明：AC EG ⊥；(Ⅱ)在线段BC 上是否存在一点H ，使得DH平面ABFE 若存在，求BHBC的值；若不存在，说明理由；(Ⅲ)求二面角D AC F --的大小.已知函数2()e 2xf x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．已知椭圆222:12x yCa+=过点(2,1)P.（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A P'与C交于另一点B.设O为原点，判断直线与直线OP的位置关系，并说明理由.AB对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥. 求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）参考答案及评分标准2019.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）A （6）D （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）4 （10（11）2n - （答案不唯一） （12）32（13 （14）12(,ln 2]-∞ 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解:sin sin sin cos sin ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 (5)分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，222cos A==所以.............................13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x=. (3)分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150..............................6分（Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=，500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28CP XC===；12353815(1)28C CP XC===；21353815(2)56C CP XC===；33381(3)56CP XC===.所以X的分布列为：X 0 1 2 3 P52815281556156故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分（17）（共14分）解：(Ⅰ)在图1中，,2,AE EF AF AE ==可得△AEF 为等腰直角三角形，AE EF ⊥.因为ADBC ，所以,.EF BF EF FC ⊥⊥ 因为平面ABFE ⊥平面,EFCD EF 且两平面交于，CF CDEF ⊂平面， 所以CF ABFE ⊥平面.又EG ABFE ⊂平面，故CF EG ⊥；由G 为中点，可知四边形AEFG 为正方形，AF EG ⊥所以； 又AFFC F =，EG AFC .⊥所以平面AC AFC ⊂又平面，.AC EG ⊥所以 .............................4分（II ）由(Ⅰ)知：FE ，FC ，FB 两两垂直，F xyz -如图建立空间直角坐标系，设1FE =，则(0,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,1,0).F C B DH BC 设是线段上一点，[0,1].BH BC λλ∈=则存在使得(0,2,22)(1,21,22).H DH λλλλ-=---因此点，(0,2,0).FC ABFE FC =由（Ⅰ）知为平面的法向量，DH ABFE ⊄因为平面，0DH ABFE DH FC ⋅=所以平面当且仅当，(12122)(0,2,0)=0.λλ⋅即-,-,-1=.2λ解得1.2BH BC H DHABFE BC =所以在线段上存在点使得平面此时， ..........................9分（III ）(1,0,1)(1,0,0)(0,0,1).A E G 设，，由(I)可得, (1,0,1).EG AFC EG =-是平面的法向量，(0,1,1),(1,1,0),AD CD =-=-设平面ACD 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0AD CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 00.y z x y -=⎧⎨-=⎩，即1,1, 1.x y z ===令则(1,1,1).于是n =cos ,0.EG EG EG ⋅<>==所以n n n所以二面角90.D AC F --的大小为 (14)分（18）（共13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10x a x -->恒成立， 由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1ex x a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()e xxg x -'=. 当0x ≥时，有()0.g x '≤所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1ex x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a的取值范围为[1,)+∞. .............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由椭圆方程222:1(21)2x yCa+=过点,，可得28a=.所以椭圆C的方程为22182x y+=，离心率2e==. .........................4分（Ⅱ）直线AB与直线OP平行.证明如下：设直线():12PA y k x-=-，():12PB y k x-=--，(,)(,).A AB BA x yB x y设点的坐标为点的坐标为，由2218221x yy kx k⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得()222418(12)161640.k x k k x k k++-+--=22228(12)16(12)8822,2.414141A Ak k k k k kx xk k k----+=-=--=+++则同理2288k241Bkxk+-=+，所以216k.41A Bx xk--=+21A Ay kx k=-+由，21B By kx k=-++，()28441A B A Bky y k x x kk--=+-=+有，因为A在第四象限，所以0k≠，且A不在直线OP上.1.21,.2A BABA Bop AB OPy ykx xk k k-==-==又故所以直线与直线OP平行. .............................13分AB（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.-- ..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立. 当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式. 由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍. 故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项. .............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+， 即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+1122n n a b d d+≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立 .............................14分。