复数单元测试题+答案

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4年级单元测试题及答案

4年级单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的动词形式？A. 跑B. 跳C. 游泳D. 唱歌答案：D2. 以下哪个选项是“图书馆”的英文表达？A. schoolB. hospitalC. libraryD. supermarket答案：C3. 哪个数字是最大的？A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D4. 以下哪个选项是正确的形容词？A. happyB. runC. eatD. big答案：D5. 下列哪个选项是正确的复数形式？A. cat - catsB. box - boxsC. child - childsD. man - mans答案：A6. 以下哪个选项是正确的现在进行时态？A. I am readB. She is singC. They are danceD. He is playing答案：D7. 哪个季节是炎热的？A. 春天B. 夏天C. 秋天D. 冬天答案：B8. 以下哪个选项是正确的介词？A. inB. atC. onD. to答案：A9. 以下哪个选项是正确的现在完成时态？A. I have goB. She has beenC. They have wentD. He has done答案：D10. 哪个颜色是天空的？A. 红色B. 蓝色C. 绿色D. 黄色答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 请用正确的动词填空：我_________（游泳）在游泳池里。

答案：游泳2. 请用正确的形容词填空：这本书是_________（有趣）的。

答案：有趣3. 请用正确的数字填空：我有_________（五）个苹果。

答案：五4. 请用正确的复数形式填空：There are_________（猫）in the garden.答案：cats5. 请用正确的现在进行时态填空：They_________（跳舞）at the party.答案：are dancing6. 请用正确的介词填空：The ball is_________（在）the box.答案：in7. 请用正确的现在完成时态填空：I_________（完成）my homework. 答案：have completed8. 请用正确的季节填空：_________（夏天）is the hottest season. 答案：夏天9. 请用正确的颜色填空：The_________（蓝色）sky is clear today. 答案：蓝色10. 请用正确的动词填空：She_________（跑）to school every day. 答案：跑三、阅读理解（每题3分，共15分）阅读下面的短文，并回答问题。

必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．213(1)i i +=+（） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ．(1+i)2B ．i 2(1-i)C ．i(1+i)2D ．i(1+i) 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 7．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（）A B C D 10．若11i ai ++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（） A ．1B ．1-C ．2D ．2- 11．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（）A 1BC ．3D ．212．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i =--不是纯虚数“是“1a ≠”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.14．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.15．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.16．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若12z z ＞,则12z z ＞；②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.其中所有真命题的序号为______________.18．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 19．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z 等于________．20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．已知m R ∈，复数2(1i)(5i 3)(46i)z m m =+-+-+，当m 为何值时，（1）z 为实数？（2）z 为虚数？（3）z 为纯虚数？（4）z 在复平面内对应的点在第四象限？22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值.23．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限.（1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值.24．已知复数z 满足z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 25．已知复数z 使得2z i R +∈，2z R i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 26．i 是虚数单位，且2(1)2(5)3i i a bi i-+++=+（,a b ∈R ）. （1）求,a b 的值；（2）设复数1()z yi y R =-+∈，且满足复数()a bi z +⋅在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求||z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误； z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.2．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立，对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确，综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．A【分析】利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.【详解】由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；对于B 中，复数2(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路．其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 5．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 7．A解析：A化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.【详解】()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．B解析：B设11i bi ai+=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1i bi a b R ai+=∈+，所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.11．A解析：A【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为|||i |1z x y =+==，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=，故选：A ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题. 12．A解析：A【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可.【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.故选：A .【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这解析：6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=，所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，所以z 1516=+=.故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，8b =±，所以838z =-±.综上满足条件的所以复数的和为3371884⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 16．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．故答案为：66i -【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.18．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题19．【分析】由题意可得a ＜0由|z|=2可得a 的方程解出即得【详解】∵z=a+i 在复平面内对应的点位于第二象限∴a ＜0由|z|=2得=2解得a=﹣1或1（舍去）∴z=﹣1+i 故答案为﹣1+i 【点睛】该题解析：【分析】由题意可得a ＜0，由|z|=2，可得a 的方程，解出即得．【详解】∵i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴a ＜0，由|z|=2，解得a=﹣1或1（舍去），∴z=﹣．故答案为﹣【点睛】该题考查复数的模、复数代数形式的表示及其几何意义，属基础题．20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复解析：2-32π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈11,2y ≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )232332πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）6m =或1m =-（2）6m ≠且1m ≠-（3）4m =（4）46m <<【分析】由题意得解得22(34)(56)z m m m m i =--+--，（1）由2560m m --=，求出m 即可；（2）2560m m --≠，即可得出m ；（3）由22340560m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得m 范围；（4）根据象限特征，由22340560m m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得m 范围. 【详解】解：()()()21i 5i 346i z m m =+-+-+=()()223456i m m m m --+--，（1）由2560m m --=得6m =或1m =-，即当6m =或1m =-时，z 为实数；（2）由2560m m --≠得6m ≠且1m ≠-，即当6m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；（3）由22340{560m m m m --=--≠，，得4m =，即当4m =时，z 为纯虚数；（4）由22340{560m m m m -->--<，，解得46m <<，即当46m <<时，z 在复平面内对应的点在第四象限.【点睛】本题考查复数的有关概念及其运算法则、方程与不等式的解法，考查推理能力与计算能力．22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω；（2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 23．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题24．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ；（2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1；当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．25．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围26．（1）3,1a b ==-（2【解析】分析：（1）由复数的四则运算可化简复数，再由复数相等可知实部与虚部都要相等，可求得,a b ．（2）由复数的乘法运算可化简复数式为标准式，再由复数在第一、三象限的角平分线上可知复数实部等于虚部，求得参数y,再由复数模公式求得复数模．详解：（1）∵()()21253i i a bi i -+++=+ 1033i i==-+ ，又∵,a b R ∈ ∴3,1a b ==-（2）()()()31a bi z i yi +⋅=--+()()331y y i =-+++由题意可知：331y y -+=+，解得2y =-∴z ==点睛：本题主要考查复数四则运算与乘方综合运算和复数相等，及复数与坐标对应关系，及复数的模．。

人教版高一数学必修第二册同步单元测试卷第07章复数(B卷提高篇)解析版

第七章复数B（提高卷）参考正确答案与试题详细解析一．选择题（共8小题）1．（2020春•西城区校级期中）复数,则在复平面内,z对应的点的坐标是（）A．（1,0）B．（0,1）C．D．【参考解答】解:由i;则在复平面内,z对应的点的坐标是:（0,1）．故选:B．2．（2019春•抚顺期末）若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数,则（）A．a≠2 B．a≠1 C．a＝1 D．a≠1且a≠2【参考解答】解:∵若复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i是纯虚数,∴a2﹣3a+2＝0且|a﹣1|≠0∴a＝2,a＝1,且a≠1,a≠0,∴a＝2,∴复数（a2﹣3a+2）+|a﹣1|i（a∈R）不是纯虚数时,a≠2,故选:A．3．（2020•张家口二模）已知非零复数z满足i（其中是的z共轭复数,是虚数单位）,z在复平面内对应点P（x,y）,则点P的轨迹为（）A．x﹣y＝0（x2+y2≠0）B．x+y＝0（x2+y2≠0）C．x﹣y﹣2＝0（x2+y2≠0）D．x+y﹣2＝0（x2+y2≠0）【参考解答】解:由题意,z＝x+yi（x,y∈R）,由i,得（x2+y2≠0）,即x﹣yi＝i（x+yi）＝xi﹣y,则x＝﹣y,即x+y＝0（x2+y2≠0）．∴点P的轨迹为x+y＝0（x2+y2≠0）．故选:B．4．（2020春•桃城区校级月考）已知复数（a∈R,i为虚数单位）,若复数z的共轭复数的虚部为,则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【参考解答】解:∵,∴的虚部为,由,得a＝2．∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（,）,位于第一象限．故选:A．5．（2020•浙江模拟）若复数z1＝2+i,z2＝cosα+i sinα（α∈R）,其中i是虚数单位,则|z1﹣z2|的最大值为（）A．B．C．D．【参考解答】解:∵z1＝2+i,z2＝cosα+i sinα（α∈R）,∴z2对应的点在以原点为圆心,以1为半径的圆上,z1＝2+i对应的点为Z1（2,1）．如图:则|z1﹣z2|的最大值为．故选:C．6．（2020•临川区校级模拟）已知i为虚数单位,若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为（2,1）,（1,﹣2）,则复数（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．﹣4﹣3i D．﹣3【参考解答】解:由题意,z1＝2+i,z2＝1﹣2i,则．故选:A．7．（2019春•辽宁期末）设i是虚数单位,则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【参考解答】解:设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．i2021+i,∴S．故选:B．8．（2019春•遂宁期末）设m∈R,复数z＝（1+i）（m﹣i）在复平面内对应的点位于实轴上,又函数f（x）＝mlnx+x,若曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点,则实数k的取值范围为（）A．B．（﹣∞,0]∪{1}C．（﹣∞,0]∪{2} D．（﹣∞,0）∪（2,+∞）【参考解答】解:∵z＝（1+i）（m﹣i）＝（m+1）+（m﹣1）i在复平面内对应的点位于实轴上,∴m﹣1＝0,即m＝1．则f（x）＝lnx+x,f′（x）,又当x→0时,f（x）→﹣∞,作出函数f（x）＝lnx+x的图象如图:直线l:y＝2kx﹣1过（0,﹣1）,设切点为（x0,lnx0+x0）,则在切点处的切线方程为y﹣lnx0﹣x0＝（）（x﹣x0）,把（0,﹣1）代入,可得﹣1﹣lnx0﹣x0＝﹣1﹣x0,即lnx0＝0,即x0＝1．则2k＝2,k＝1．而f′（x）1（x＞0）,由图可知,当2k∈（﹣∞,1],即k∈（﹣∞,]时,曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点,综上可得,当k∈（﹣∞,]∪{1}时,曲线y＝f（x）与直线l:y＝2kx﹣1有且只有一个公共点．故选:A．二．多选题（共4小题）9．（2020春•东海县期中）下列关于复数的说法,其中正确的是（）A．复数z＝a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是b＝0B．复数z＝a+bi（a,b∈R）是纯虚数的充要条件是b≠0C．若z1,z2互为共轭复数,则z1z2是实数D．若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于y轴对称【参考解答】解:对于选项A:复数z＝a+bi（a,b∈R）是实数的充要条件是b＝0,所以选项A正确;对于选项B:复数z＝a+bi（a,b∈R）是纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0,所以选项B错误;对于选项C:若z1,z2互为共轭复数,不妨设z1＝a+bi（a∈R,b∈R）,则z2＝a﹣bi,所以,所以选项C正确;对于选项D:若z1,z2互为共轭复数,不妨设z1＝a+bi（a∈R,b∈R）,则z2＝a﹣bi,则它们在复平面内所对应的点分别为（a,b）和（a,﹣b）,关于x轴对称,所以选项D错误,故选:AC．10．（2020春•胶州市期中）若复数z满足（1+i）z＝3+i（其中i是虚数单位）,复数z的共轭复数为,则（）A．B．z的实部是2C．z的虚部是1D．复数在复平面内对应的点在第一象限【参考解答】解:由（1+i）z＝3+i,得z．∴|z|,故A正确;z的实部为2,故B正确;z的虚部是﹣1,故C错误;复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1）,在第一象限,故D正确．故选:ABD．11．（2020春•苏州期中）已知复数（i为虚数单位）,为z的共轭复数,若复数,则下列结论正确的有（）A．w在复平面内对应的点位于第二象限B．|w|＝1C．w的实数部分为D．w的虚部为【参考解答】解:因为复数（i为虚数单位）,为z的共轭复数,则复数i;故w对应的点为（,）;|w|1;且w的实部为:,虚部为:;故选:ABC．12．（2020春•滕州市校级月考）已知集合M＝{m|m＝i n,n∈N},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是（）A．（1﹣i）（1+i）B．C．D．（1﹣i）2【参考解答】解:根据题意,M＝{m|m＝i n,n∈N}中,n＝4k（k∈N）时,i n＝1;n＝4k+1（k∈N）时,i n＝i;n＝4k+2（k∈N）时,i n＝﹣1;n＝4k+3（k∈N）时,i n＝﹣i,∴M＝{﹣1,1,i,﹣i}．选项A中,（1﹣i）（1+i）＝2∉M;选项B中,;选项C中,;选项D中,（1﹣i）2＝﹣2i∉M．故选:BC．三．填空题（共4小题）13．（2019春•杨浦区校级期末）若复数z满足|1﹣z|•|1+z|＝2,则|z|的最小值为1【参考解答】解:设z＝a+bi;|1﹣z|•|1+z|＝2,即:2•,令|z|＝t．（t＞0）,则t2＝a2+b2,所以2⇒4＝t4+2t2+1﹣4a2,因为a2≥0,所以4≤t4+2t2+1,所以t4+2t2﹣3≥0,解得:t2≥1或者t2≤﹣3（舍）,所以t≥1,故正确答案为:1．14．（2020春•浦东新区校级月考）关于x的实系数方程x2+4x+m＝0的两个复数根为a、β,且|a﹣β|＝2,则m ＝3或5．【参考解答】解:对于方程x2+4x+m＝0,∴α+β＝﹣4,αβ＝m,①当△＝16﹣4m＜0时,设两个复数根为a、β,且设α＝a+bi,β＝a﹣bi,a,b∈R,所以2a＝﹣4,|2bi|＝2,∴a＝﹣2,b＝±1故α＝﹣2+i,β＝﹣2﹣i,∴αβ＝（﹣2）2﹣i2＝5．②△＝16﹣4m≥0时,设两根为x1,x2．易知x1+x2＝﹣4,x1x2＝m,∴,解得m＝3．综上可知,m的值为3或5．故正确答案为:3或5．15．（2020春•开封期中）若|z1﹣z2|＝1,则称z1与z2互为“邻位复数”．已知复数与z2＝2+bi互为“邻位复数”,a,b∈R,则a2+b2的最大值为8．【参考解答】解:由题意,,故,∴点（a,b）在圆上,而表示点（a,b）到原点的距离,故a2+b2的最大值为．故正确答案为:．16．（2020春•浦东新区校级月考）定义复数的一种运算z1⊗z2（等式右边为普通运算）,若复数z ＝a+bi（a,b∈R）满足a+b＝3,则z⊗最小值为．【参考解答】解:由题意得z⊗．将b＝3﹣a代入得:,显然,当a时上式取得最小值．故正确答案为:．四．参考解答题（共5小题）17．（2020春•锡山区校级期中）（1）计算:（i为虚数单位）;（2）已知z是一个复数,求解关于z的方程z3i•1+3i．（i为虚数单位）．【参考解答】解:（1）;（2）设z＝a+bi（a,b∈R）,则,代入z3i•1+3i,得a2+b2﹣3i（a﹣bi）＝1+3i,即a2+b2﹣3b﹣3ai＝1+3i,则,解得或．则z＝﹣1或z＝1+3i．18．（2020春•兴庆区校级期中）实数m分别取什么数值时,复数z＝（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i （1）与复数2﹣12i相等．（2）与复数12+16i互为共轭．（3）对应的点在x轴上方．【参考解答】解:（1）根据复数相等的充要条件得解之得m＝﹣1．（2）根据共轭复数的定义得解之得m＝1．（3）根据复数z对应点在x轴上方可得m2﹣2m﹣15＞0,解之得m＜﹣3或m＞5．19．（2019春•平遥县校级期中）设z1是虚数,z2＝z1是实数,且﹣1≤z2≤1．（1）求|z1|的值以及z1的实部的取值范围．（2）若ω,求证:ω为纯虚数．【参考解答】解:（1）设z1＝a+bi（a,b∈R且b≠0）,则z2＝z1a+bi a+bi＝a+bi i＝a（b）i．∵z2是实数,b≠0,∴b0．b≠0,于是有a2+b2＝1,即|z1|＝1,还可得z2＝2a．由﹣1≤z2≤1,得﹣1≤2a≤1,解得a,即z1的实部的取值范围．（2）证明:ωi．∵a∈,b≠0,∴ω为纯虚数．20．（2020春•胶州市期中）在复平面内,平行四边形OABC的顶点O,A,C,对应复数分别为0,2+i,﹣1+3i．（1）求,及,;（2）设∠OCB＝θ,求cosθ．【参考解答】解:（1）∵,∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i,∴,．∵,∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i,∴,;（2）由题意,,∵,,∴,,．∴．21．（2019春•黄浦区校级月考）已知复数z1＝sin2x+λi,（λ,m,x∈R）,且z1＝z2．（1）若λ＝0且0＜x＜π,求x的值;（2）设λ＝f（x）;①求f（x）的最小正周期和单调递减区间;②已知当x＝α时,,试求的值．【参考解答】解:由z1＝sin2x+λi,（λ,m,x∈R）,且z1＝z2．得．（1）若λ＝0且0＜x＜π,则sin2x,即tan2x,∴x或;（2）①λ,则T＝π,由,得,k∈Z．∴f（x）的单调递减区间为,k∈Z;②由题意,,∴sin（）,即cos（）．∴．。

深圳市高级中学必修第二册第二单元《复数》测试题(含答案解析)

一、选择题1．213(1)ii +=+（） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2．若复数()234sin 12cos z i θθ=-++为纯虚数，()0,θπ∈，则θ=（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．3π或23π 3．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（）A B ．2C ．D 4．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（）A ．12B 1C ．1D ．125．已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z z =.则其中正确命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4D7．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（）A ．2B ．12CD ．28．在下列命题中，正确命题的个数是（） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．39．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --10．已知复数z 满足()12i z i -=+，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（） A ．5B ．2C ．3D ．212．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+二、填空题13．已知复数z 满足1z =，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________.14．如果复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 15．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.16．已知复数34z i =+所对应的向量为OZ ，把OZ 依逆时针旋转θ得到一个新向量为1OZ ．若1OZ 对应一个纯虚数，当θ取最小正角时，这个纯虚数是________．17．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____18．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______ 19．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 20．已知|z|=3,且z+3i 是纯虚数,则z=________.三、解答题21．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值；（2）若1z z i +=-，求z i +的值.22．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m iz i+=-，求1z ；（2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．23．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．24．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.25．已知z 为虚数，42z z +-为实数．（1）若2z -为纯虚数，求虚数z ；（2）求|4|z -的取值范围．26．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.2．B解析：B 【解析】分析：由题意得到关于sin ,cos θθ的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.详解：若复数()23412z sin cos i θθ=-++为纯虚数，则：234sin 012cos 0θθ⎧-=⎨+≠⎩，即：23sin 41cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪≠-⎪⎩，结合()0,θπ∈，可知：sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3πθ=. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31(3)(1)212i z i i i i +==+-=-+,因此z = 选D.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi4．A解析：A 【解析】【详解】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()111i i z i i +===-+，则z的实部为12，故选A. 5．C解析：C 【分析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断. 【详解】对于①中复数1z 和2z 的模相等,例如1=1+z i,2z ,则1z 和2z 是共轭复数是错误的;对于②1z 和2z 都是复数,若12+z z 是虚数,则其实部互为相反数,则1z 不是2z 的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z a =,则z a =所以z z =,反之当z z =时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z z =是正确的.综上正确命题的个数是2个. 故选C 【点睛】本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.6．A解析：A 【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．A解析：A 【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 8．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===，所以该命题是错误的. 故选A.9．B解析：B 【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i iz i i i ==+=-- ，选B. 10．D解析：D 【解析】()12i z i -=+，()()()()1i 1i 2+i 1i z ∴-+=+，13213i,i,22z z =+=+13i,22z z=-的共轭复数在复平面内对应点坐标为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，z 的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.11．B解析：B 【分析】化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+，因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =，所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．1【分析】复数满足为虚数单位）设利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出【详解】解：复数满足为虚数单位）设则当且仅当时取等号故答案为：1【点睛】本题考查了复数的运算法则模的计算公式及其三角函数求值解析：1 【分析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．利用复数模的计算公式与三角函数求值即可得出．【详解】解：复数z 满足||1(z i =为虚数单位），设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则22|2||cos (sin 2)|(sin 2)54sin 1z i i cos θθθθθ-=+-+--，当且仅当sin 1θ=时取等号．故答案为：1．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平解析：23-【分析】先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b---=即得解. 【详解】由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b ii i i -----+==++-，因为复数212bii -+的实部和虚部互为相反数，所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23-【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.16．【分析】确定复数对应点在第一象限旋转后在轴的正半轴上计算复数模得到答案【详解】对应的点为在第一象限逆时针旋转最小正角时对应的点在轴的正半轴上故纯虚数为故答案为：【点睛】本题考查了复数对应的点复数的旋解析：5i【分析】确定复数对应点在第一象限，旋转后在y 轴的正半轴上，计算复数模得到答案. 【详解】34z i =+，对应的点为()3,4在第一象限，逆时针旋转最小正角时，对应的点在y 轴的正半轴上，22345z =+=，故纯虚数为5i . 故答案为：5i . 【点睛】本题考查了复数对应的点，复数的旋转，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．18．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故解析：51+【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=． 51．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．19．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z . 【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212iz i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi20．3i 【解析】设z=a+bi(ab ∈R)因为|z|=3所以a2+b2=9又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数所以即又a2+b2=9所以a=0b=3所以z=3i解析：3i【解析】设z=a+bi(a,b ∈R),因为|z|=3,所以a 2+b 2=9.又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数,所以a 0,b 30,=⎧⎨+≠⎩即a 0,b 3.=⎧⎨≠-⎩ 又a 2+b 2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.三、解答题21．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1或4. 【分析】（1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=；当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题22．（1）12z =；（2）13a > 【分析】 (1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解. 【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴1z = （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-，又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >．【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．23．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上．【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．3【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 25．（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ；（2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x 的范围，根据复数的模的定义，化简为4164z x -=-164x -的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，（1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+，又因为42z z +-为实数，则(442)242z yi y i R z yi y +=++=+-∈-，得40y y-=，2y =±，所以22z i =+或22z i =-. （2）2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+，因为42z z +-为实数， ∴2240(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<，即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.【点睛】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力．26．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b+≥. 【详解】（1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩ ，解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a >，0b >，所以44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.。

第七章复数(单元测试)试卷及答案

第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a∈R，若复数z=a2+2a+ai是纯虚数，则a=（）A．0B．2C．−1D．−22．已知复数z=1+3i，i为虚数单位，则|z|=（）1−iA．√2B．√5C．√10D．2√53．若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）A．−1B．0C．1D．±14．设复数z=i，则复数z的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知z=1+i，则z(z+1)=（）A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i6．已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．58．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D．复数√2z=1+i，则z2=i=i，则下列结论正确的是（）11．已知复数z满足z+1zA ．复数z 的共轭复数为−12+12iB ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．|z |=√2212．下列命题中正确的是（）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________.15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i，20．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i，求：向量BC(1)点D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．−isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．求|z1⋅z2|的21．已知复数z1=3cosθ+isinθ，z2=√24值域．22．已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a ∈R ，若复数z =a 2+2a +ai 是纯虚数，则a =（） A ．0 B ．2 C ．−1 D ．−2【答案】D【分析】结合复数的概念得到{a 2+2a =0a ≠0，解之即可求出结果.【详解】∵z =a 2+2a +ai 是纯虚数，∴{a 2+2a =0,a ≠0,解得a =−2. 故选：D.2．已知复数z =1+3i 1−i，i 为虚数单位，则|z |=（） A ．√2 B ．√5C ．√10D ．2√5【答案】B【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得|z |. 【详解】z =(1+3i )(1+i )(1−i )(1+i )=−2+4i 2=−1+2i ，∴|z |=√(−1)2+22=√5. 故选：B3．若复数z =(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．±1【答案】D【分析】先根据复数的乘法法则得z =(1+a)+(a −1)i ,再根据模的公式列方程求解即可. 【详解】∵z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1. 故选:D. 4．设复数z =i1+i ，则复数z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求出z ，再求出z ̅，直接得复数z ̅在复平面内对应的点. 【详解】z =i 1+i=i (1-i )(1+i )(1-i )=12+12i ，则z =12−12i ，∴z ̅在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限；故选：D.5．已知z =1+i ，则z (z +1)=（） A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】z ̅(z +1)=(1−i)(1+i +1)=(1−i)(2+i)=3−i ，故选：B. 6．已知复数z =(3−4i)(2−i)，则z 的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i【答案】C【分析】利用复数乘法求出z，即可确定其虚部.【详解】∵z=(3−4i)(2−i)=2−11i，∴z的虚部−11，故选：C7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．5【答案】A【分析】依据复数的运算法则直接求解即可；【详解】z2−4z=z(z−4)=(2−i)⋅(−2−i)=i2−4=−5，故选：A8．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i【答案】B【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.【详解】∵z1=1+2i对应的点为(1,2)，z1,z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2对应的点为(−1,2)，∴z2=−1+2i. 故选：B.二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】∵复数z=1+i，∴其虚部为1，即A错误；|z|=√12+12=√2，故B正确；复数z的共轭复数z=1−i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.11.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D ．复数√2z =1+i ，则z 2=i 【答案】BCD【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知a =0，b ≠0，故A 错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数z =a +bi 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0,故A 错. 复数z =1−3i 的共轭复数为z =1+3i ,复数z =1−3i 的虚部为−3,故B,C 对. 复数√2z =1+i ，则z =√2,z 2=(√2)2=2i 2=i ，故D 对.故选:BCD 11．已知复数z 满足z+1z=i ，则下列结论正确的是（）A ．复数z 的共轭复数为−12+12i B ．z 的虚部为12 C ．在复平面内z 对应的点在第二象限 D ．|z |=√22【答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可【详解】由z+1z=i ，得z +1=zi ，∴z =−11−i =−(1+i)(1−i)(1+i)=−12−12i ， ∴复数z 的共轭复数为−12+12i ，复数z 的虚部为−12，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，|z |=√(−12)2+(−12)2=√22，∴AD 正确，BC 错误，故选：AD 12．下列命题中正确的是（）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0 【答案】ABC【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】∵a ⃑⃑⋅a ⃑⃑=|a ⃑⃑|2=1，∴A 正确；设z =a +bi ，则z =a −bi ，∵|z |=1，∴a 2+b 2=1， ∴z ⋅z =(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=1，∴B 正确；∵|a ⃑⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑⃑−b ⃑⃑|，∴a ⃑⃑2+2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=a ⃑⃑2−2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2，即a ⃑⃑⋅b ⃑⃑=0，∴C 正确； ∵|1+i |=|1−i |，然而1⋅i =i ≠0，∴D 不正确. 故选：ABC.三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 【答案】1+2i【分析】根据复数的四则运算进行整理化简即可. 【详解】解：∵z ⋅(1−2i )=|3+4i |=5 ∴z =51−2i=5(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=1+2i ，故答案为：1+2i.14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________. 【答案】1+i【分析】根据i n 的周期性求得正确结论. 【详解】i 2020+i 2021=i 4×505+i 4×505+1=1+i . 故答案为：1+i15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________．【答案】－6－8i【分析】由复数的几何意义得出向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，再由向量的运算得出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，进而得出其复数.【详解】∵复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,3),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5) 又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5)−(4,3)=(−6,−8)，∴向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是－6－8i ．故答案为：－6－8i16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将x =1+2i 代入方程x2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0解得{n =52m =2 ，故m +n =2+52=92. 故答案为：92 四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．【答案】(1)1−i ；(2)0；(3)15+25i 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=5−3i+2+4i 3+4i=7+i3+4i =(7+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=25−25i 25=1−i .（2）原式=(1+i )6+(1−i )6(1−i )(1+i )=[(1+i )2]3+[(1−i )2]32=(2i )3+(−2i )32=−8i+8i2=0.（3）(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i 2+i=i(2−i)5=15+25i18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．【答案】(1)m =±3；(2)8【分析】（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3． (2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5，∴z =16i ，故z 1+i=16i 1+i=16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z1+i的虚部为8．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．【答案】(1)m =−2；(2)4或100【分析】（1）根据复数z >0，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. 【详解】（1）∵z >0，∴z ∈R ，∴m 2+m −2=0，∴m =−2或m =1． ①当m =−2时，z =5>0，符合题意； ②当m =1时，z =−4<0，舍去．综上可知：m =−2．（2）∵z 是纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2+m −2≠0，∴m =−1或m =3,∴z =−2i ，或z =10i ,∴z ⋅z ̅=−2i ×2i =4或z ⋅z ̅=10i ×(−10i)=100, ∴z ⋅z ̅=4或100．20．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2+i ，向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ，向量BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ，求： (1)点D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积．【答案】(1)5；(2)7【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)，则OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,0)，从而得到其对应的复数；（2）cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5√2，则sinB =5√2，利用平行四边形面积公式即可得到答案.【详解】（1）∵向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ,∴向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)， BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ,∴向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−1)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)+(3,−1)=(4,1)， OB⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)−(1,2)=(1,−1)， ∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)+(4,1)=(5,0)， ∴点D 对应的复数为5 .（2）∵BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosB ，∴cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√10=5√2， ∵B ∈[0,π]，∴sinB =5√2，∴S =|BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinB =√5×√10×5√2=7.故平行四边形ABCD 面积为7.21．已知复数z 1=3cosθ+isinθ，z 2=√24−isinθ，其中i 为虚数单位，θ∈R ．求|z 1⋅z 2|的值域．【答案】[3√24,5√24] 【分析】由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解.【详解】|z 1⋅z 2|=|(3cosθ+isinθ)⋅(√24−isinθ)|=|(3cosθ+isinθ)||(√24−isinθ)| =√(1+8cos 2θ)(18+sin 2θ)=√18+sin 2θ+cos 2θ+8sin 2θcos 2θ=√98+2sin 22θ. ∵sin 22θ∈[0,1]，∴ √98+2sin 22θ∈[3√24,5√24]，即|z 1⋅z 2|∈[3√24,5√24]. 22．已知复数z =3x −(x 2−x )i(x ∈R)的实部与虚部的差为f(x)． (1)若f(x)=8，且x >0，求复数iz 的虚部； (2)当f(x)取得最小值时，求复数z 1+2i的实部．【答案】(1)6；(2)−75【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x 2+2x ，再结合题意可得x =2，再确定iz 在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(x)=3x +(x 2−x )=x 2+2x ， ∵f(x)=8，∴x 2+2x =8，又x >0，∴x =2，即z =6−2i ，则iz =i(6−2i)=2+6i ， ∴复数iz 的虚部为6．（2）∵f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，∴当x =−1时，f(x)取得最小值，此时，z =−3−2i ，则z 1+2i=−3+2i 1+2i=−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，∴z1+2i 的实部为−75．。

高一数学(必修二)第五章复数单元测试卷及答案

高一数学（必修二）第五章复数单元测试卷及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足i 3i z z -=+，则复数z 的实部为( )A.1B.3C.-1D.-32.在复平面内，复数11i 5z =，24i 25z =-，12z z z =+，则复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.当12m <<时，复数()()2i 4i m +-+在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.已知复数z 满足()()()293i z a a a =-++∈R ，若z 为纯虚数，则a =( )A.-3B.3±C.3D.06.若,a b ∈R ，i 是虚数单位，i 20212i a b +=-，则2i a b +等于( )A.20212i +B.20214i +C.22021i +D.42021i -7.已知纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数m 的值为( )A.1B.3C.1或3D.08.已知复数z 满足，则z =( )A.3i --B.3i -+C.D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

）9.若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则( ) A.||5z =B.复数z 的实部是2C.复数z 的虚部是1D.复数在复平面内对应的点位于第一象限10.设m ∈R ，复数，则z 在复平面内对应的点可能在( ) ()()21i 4i 3z m m =+-++(3i)10z -=3i -3i +z 2352(1)i z m m m =-++-A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11.对于复数(,)z a bi a b R =+∈,下列结论错误的是( )A.若,则a bi +为纯虚数B.若32a bi i -=+,则 3,2a b ==C.若0b =,则a bi +为实数D.纯虚数z 的共轭复数是z - 12.复数z 满足23i 3i 232iz -⋅-=+,则下列说法正确的是( ) A.z 的实部为3 B.z 的虚部为2 C.32i z =-+ D.13z =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=______.14.已知1z 、2z ∈C ，且12i z =+，234i z =-（其中i 为虚数单位），则12z z -=____________.15.复数1i -的虚部的平方是_________________. 16.已知3i 1ia ++(i 为虚数单位，∈R )为纯虚数，则a =____________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （10分）已知复数(3)(3)i z m m m =-+-，其中i 为虚数单位.若z 满足下列条件，求实数m 的值：（1）z 为实数；（2）z 为纯虚数；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上.18. （12分）已知复数13i 22z =-+，i 为虚数单位. （1）求3z 的值；（2）类比数列的有关知识，求220191z z z ++++的值. 19. （12分）已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；20. （12分）复数名12334i,0,(26)i z z z c c =+==+-在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若BAC∠是钝角，求实数c 的取值范围.21. （12分）已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-⋂=，求实数a 的值.22. （12分）设实部为正数的复数z ，满足||10z =，且复数(12i)z +在复平面内对应的点在第0a =一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若i ()1im z m -+∈+R 为纯虚数，求实数m 的值.参考答案及解析1.答案：A解析：解法一设复数i z x y =+，x ，y ∈R ，因为i 3i z z -=+，所以i (i)i 3i x y x y +-+=+，即()i 3i x y y x ++-=+，根据复数相等的充要条件，可得3,1,x y y x +=⎧⎨-=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=⎩故复数z 的实部为1，选A.解法二因为i 3i z z -=+，所以3i (3i)(1i)12i 1i (1i)(1i)z +++===+--+，复数z 的实部为1，故选A. 2.答案：B 解析：因为1214i i 22i 55z z z =+=+-=-+，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z 对应的点位于第二象限，故选：B.3.答案：D解析：依题意得，6i z =-，对应复平面的点是(6,1)-，在第四象限. 故选：D.4.答案：B解析：()()2i 4i (24)(1)i z m m m +--+-=+=，若12m <<，则240m -<，10m ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.解析：因为()()()293i z a a a =-++∈R 为纯虚数，所以290a -=且30a +≠，所以3a =. 故选：C.6.答案：D解析：因为i 20212i a b +=-，所以2a =，2021b -=，即2a =，2021b =-，所以2i 42021i a b +=-.故选：D.7.答案：B解析：因为()()21i 4i 3z m m =+-++为纯虚数，故()224i 3m m m z m -++-=，则224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得3m =. 故选：B.8.答案：D 解析：1010(3i)3i 3i (3i)(3i)z +===+--+. 故选：D.9.答案：ABD解析：(1i)3i z +=+，3i (3i)(1i)42i 2i 1i (1i)(1i)2z ++--∴====-++-，||5z ∴=A 正确；复数z 的实部是2，故选项B 正确；复数z 的虚部是-1，故选项C 错误；复数2i z =+在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限，故选项D 正确.故选ABD.10.答案：ABD解析：由题意得，复数z 在复平面内对应的点为()2352,1m m m -+-. 当10m ->，即1m <时，二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--的取值有正有负，故z 在复平面内对应的点可以在第一、二象限.当10m -<，即1m >时，二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->，故z 在复平面内对应的点可以在第四象限.故z 在复平面内对应的点一定不在第三象限.故选ABD.解析：解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误；故错误的有AB ；故选：AB.12.答案：BD 解析：由23i 3i 232iz -⋅-=+得,(23i)(32i)13i 13i (23i)i(23i)32i 23i 23i (23i)(23i)z ++⋅+====+=-+---+ 所以z 的实部为-3,虚部为2,,13z =,故选BD.13.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.14.答案：15i -+解析：122i 34i 15i z z -=+-+=-+.故答案为：15i -+.15.答案：1解析：复数1i -的虚部为-1，则其平方为1. 故答案为：1.16.答案：-3 解析：()()()()()()3i 1i 33i 33i 3i 1i 1i 1i 222a a a a a a +⋅-++--++===+++⋅- 因为复数为纯虚数，所以302a +=，3a =-. 故答案为：-3.17.答案：（1）（2）0m =（3）1m =或3m = 32i z =--3m =解析：（1）z 为实数，30m ∴-=，解得：3m =；（2）z 为纯虚数，(3)0030m m m m -=⎧⇒=⎨-≠⎩；（3）z 在复平面内对应的点在直线y x =上， ∴()331m m m m -=-⇒=或3m =.18、（1）答案：31z = 解析：复数13i 22z =-+(i 为虚数单位)， 222113313()2()i (i)i 222222z ∴=-+⨯-⨯+=--， 322131313i)(i)i 12222(44z z z ∴=---+==-=⋅，（2）答案：1解析：202022013673911()111z z z z z z z z++++--⋅==-- 111z z-==- 19.答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得1 2212m m m m ⎧=-=⎪⎨⎪≠≠⎩或且， 12m ∴=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数； 20.答案：49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且解析：在复平面内三点坐标为(3,4),(0,0),(,26)A B C c c -，由BAC ∠为钝角得cos 0BAC ∠<，且A ，B ，C 不共线.(3,4),(3,210),0AB AC c c AB AC =--=--⋅<，且不共线，得c 的取值范围是49911c c c ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭∣,且. 21.答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=∈R ，所以22313,560,a a a a ⎧--=⎨--=⎩即所以1a =-.22.答案：（1）（2）5m =-解析：（1）设，a ，b ∈R ，0a >，由题意知，2210a b +=.①(12i)(12i)(i)2(2)i z a b a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+.②①②联立，解得3a =，1b =-，得3i z =-.（2），所以1302m -+=且，解得5m =-. 4 1,6 1,a a a a ==-⎧⎨==-⎩或或3i z =-i z a b =+i (i)(1i)113i 31i 1i 222m m m m z ----+⎛⎫+=++=++- ⎪+⎝⎭1102m +-≠。

人教版六年级下册英语 Unit 3 单元测试题(含答案)

人教版六年级下册英语 Unit 3 单元测试题（含答案）一、选出不同类的一项。

（5分）（）1．A．beach B．ate C．basket（）2．A．hurt B．ride C．till（）3．A．felt B．fell C．off（）4．A．licked B．stayed C．watch（）5．A．gift B．went C．took二、单词拼写（词汇运用）。

（10分）（1）buy（过去式）（2）foot (复数)（3）there (同音词) （4）could not (缩写形式)（5）wash (单三式) （6）hurt (过去式)（7）they (宾格) （8）go (过去式)（9）present (同义词) （10）take (现在分词)三、单选题。

（15分）1．Here________ a spaceship.A．come B．comes C．coming 2．—________ did you do on your holiday?—I climbed the mountain.A．When B．Where C．What3．I________ a book in the bookshop last weekend.A．buy B．buys C．bought 4．We had some good things________ our lunch.A．to B．for C．at5． Where did you____ last Saturday？A．went B．goes C．go6． I____ good food on my holiday last year.A．eat B．eats C．ate7． I bought gifts____ my friends.A．on B．for C．to8．My mother bought some gifts .A．next week B．tomorrow C．last week9．What did you do your holiday?A．on B．in C．at10． he homework last night?A．Does, do B．Did, did C．Did, do四、翻译。

数学复数单元测试题及答案

数学复数单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的模是：A. 5B. 7C. √7D. √292. 复数 \( z = 2 - i \) 的共轭复数是：A. 2 + iB. -2 + iC. -2 - iD. 2 - i3. 如果 \( z = a + bi \) 且 \( \bar{z} = a - bi \)，那么复数\( z \) 的实部是：A. aB. bC. a + bD. a - b4. 复数 \( z = 1 + i \) 的辐角主值是：A. 0B. π/4C. π/2D. π5. 以下哪个表达式是正确的：A. \( (1+i)^2 = 1 - 1i \)B. \( (1+i)^2 = 2i \)C. \( (1+i)^2 = 0 \)D. \( (1+i)^2 = 2 \)二、填空题（每空3分，共15分）6. 复数 \( z = -3 + 4i \) 的模是 ______ 。

7. 如果复数 \( z \) 的模为 5，且 \( \text{Im}(z) = 4 \)，那么\( \text{Re}(z) \) 是 ______ 。

8. 复数 \( z = 5 - 12i \) 的辐角主值是 ______ 弧度。

9. 复数 \( z = 3 + 4i \) 与 \( w = 2 - i \) 的和是 ______ 。

10. 复数 \( z = 2 + 3i \) 除以 \( w = 1 - i \) 的结果是______ 。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 请解释什么是复数的模，并给出计算公式。

12. 什么是复数的辐角主值？它有哪些性质？13. 如何将复数 \( z = a + bi \) 转换为极坐标形式 \( r(\cos \theta + i\sin \theta) \)？14. 复数的共轭有哪些应用？四、计算题（每题10分，共20分）15. 计算复数 \( z_1 = 2 + 3i \) 和 \( z_2 = 1 - 4i \) 的乘积\( z_1 \cdot z_2 \)。

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一、复数选择题1．已知复数1z i =+，则21z+=（）A ．2BC ．4D ．52．设复数1iz i=+，则z 的虚部是（） A ．12B ．12iC ．12-D ．12i -3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（） A ．97-B ．7C ．97D ．7-4．若复数z 满足()13i z i +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（） A ．z 的实部是1 B ．z 的虚部是1C ．z =D ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限5．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 6．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．复数z 满足12i z i ⋅=-，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=（）A B C ．3D ．58．已知i 是虚数单位，则复数41ii+在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④zz，其结果一定是实数的是（） A ．①② B ．②④C ．②③D ．①③11．复数2ii -的实部与虚部之和为（） A ．35 B ．15- C ．15D ．3512．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a ib i i+=+，则复数a bi -的模等于（）A BC D13．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，则zi=（） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +14．设复数z 满足(1)2i z -=，则z ＝（）A ．1 BCD ．215．题目文件丢失！二、多选题16．若复数351iz i-=-，则（）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-18．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =19．设复数z 满足1z iz+=，则下列说法错误的是（） A ．z 为纯虚数B ．z 的虚部为12i -C ．在复平面内，z 对应的点位于第三象限D ．2z =20．下列说法正确的是（） A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件21．下列关于复数的说法，其中正确的是（）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 22．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限23．已知复数122,2z i z i =-=则（） A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =24．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn nz i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，12z =D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数25．已知复数12ω=-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．1ω=B ．2ω的虚部为C ．31ω=-D ．1ω在复平面内对应的点在第四象限26．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z =27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（）A ．1B ．4-C ．0D ．529．已知复数z ，下列结论正确的是（） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件30．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．B 【分析】先求出，再计算出模. 【详解】，， . 故选：B. 解析：B 【分析】先求出21z +，再计算出模. 【详解】1z i =+，()()()21221112111i i z i i i -∴+=+=+=-++-，21z∴+==. 故选：B.2．A 【分析】根据复数除法运算整理得到，根据虚部定义可得到结果. 【详解】，的虚部为. 故选：.解析：A 【分析】根据复数除法运算整理得到z ，根据虚部定义可得到结果. 【详解】()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，z ∴的虚部为12.故选：A .3．B 【分析】先求出，再解不等式组即得解. 【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B 【分析】先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解.【详解】依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B 【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.4．C 【分析】利用复数的除法运算求出，即可判断各选项. 【详解】，，则的实部为2，故A 错误；的虚部是，故B 错误；，故C 正；对应的点为在第一象限，故D 错误. 故选：C.解析：C 【分析】利用复数的除法运算求出z ，即可判断各选项. 【详解】()13i z i +=+，()()()()3132111i i i z i i i i +-+∴===-++-，则z 的实部为2，故A 错误；z 的虚部是1-，故B 错误；z ==，故C 正；2z i =+对应的点为()2,1在第一象限，故D 错误.故选：C.5．A 【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为，，所以，，所以或. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A 【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果. 【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-. 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.6．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案．解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．7．D 【分析】求出复数，然后由乘法法则计算．【详解】由题意，．故选：D ．解析：D 【分析】求出复数z ，然后由乘法法则计算z z ⋅．【详解】由题意12122i z i i i-==-+=--， 22(2)(2)(2)5z z i i i ⋅=---+=--=．故选：D ．8．A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】，所以复数对应的坐标为在第一象限，故选：A解析：A 【分析】利用复数的乘除运算化简复数的代数形式，得到其对应坐标即知所在象限. 【详解】44(1)2(1)12i i i i i -==++，所以复数对应的坐标为(2,2)在第一象限，故选：A 9．D 【分析】先求出，再求出，直接得复数在复平面内对应的点【详解】因为，所以，在复平面内对应点，位于第四象限. 故选：D解析：D 【分析】先求出z ，再求出z ，直接得复数z 在复平面内对应的点【详解】因为211i z i i==++，所以1z i -=-，z 在复平面内对应点()1,1-，位于第四象限.故选：D10．D 【分析】设，则，利用复数的运算判断. 【详解】设，则，故，，，. 故选：D.解析：D 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abiz a bi a b +-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.11．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .12．C 【分析】首先根据复数相等得到，，再求的模即可. 【详解】因为，所以，. 所以. 故选：C解析：C 【分析】首先根据复数相等得到1a =-，2b =，再求a bi -的模即可. 【详解】因为()21a i b i i bi +=+=-+，所以1a =-，2b =.所以12a bi i -=--==故选：C13．A 【分析】根据复数对应的点的坐标是，得到,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数对应的点的坐标是，所以, 所以, 故选：A解析：A 【分析】根据复数z 对应的点的坐标是(1,1)，得到1z i =+,再利用复数的除法求解. 【详解】因为在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,1)，所以1z i =+,所以11i i i z i +==-, 故选：A14．B 【分析】由复数除法求得，再由模的运算求得模．【详解】由题意，∴．故选：B ．解析：B 【分析】由复数除法求得z ，再由模的运算求得模．【详解】由题意22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+，∴z == 故选：B ．15．无二、多选题 16．AD 【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确，故选：AD.17．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩，所以0z =，或2i z =，或2i z =-.【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．18．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=2222z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.19．AB【分析】先由复数除法运算可得，再逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得：，即，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为，故B 错误；在复平面内，对应的点为，在第三象限，故C 正确解析：AB【分析】先由复数除法运算可得1122z i =--，再逐一分析选项，即可得答案. 【详解】由题意得：1z zi +=，即111122z i i -==---，所以z 不是纯虚数，故A 错误；复数z 的虚部为12-，故B 错误；在复平面内，z 对应的点为11(,)22--，在第三象限，故C 正确；2z ==，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题考查复数的除法运算，纯虚数、虚部的概念，复平面内点所在象限、复数求模的运算等知识，考查计算求值的能力，属基础题.20．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误；当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈ 由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.21．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．22．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.23．AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确.故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单. 24．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确；对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+，取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.25．AB【分析】求得、的虚部、、对应点所在的象限，由此判断正确选项.【详解】依题意，所以A 选项正确；，虚部为，所以B 选项正确；，所以C 选项错误；，对应点为，在第三象限，故D 选项错误.故选解析：AB【分析】求得ω、2ω的虚部、3ω、1ω对应点所在的象限，由此判断正确选项. 【详解】依题意1ω==，所以A 选项正确；2211312242422ω⎛⎫=-+=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，虚部为，所以B 选项正确；22321111222ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=--⋅-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 选项错误；22111122212ω---====-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对应点为1,2⎛- ⎝⎭，在第三象限，故D 选项错误. 故选：AB【点睛】本小题主要考查复数的概念和运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.26．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-，对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.29．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数，所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件；若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.30．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2=-上,D不正确.y x故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。