直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个角度为90度的直角。
勾股定理是直角三角形中一条重要的几何定理，它描述了直角三角形三条边之间的关系。
在本文中，我们将深入探讨直角三角形和勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义直角三角形是指一个三角形中包含一个角度为90度的角。
这个角被称为直角。
直角三角形的其他两个角度则被称为锐角和钝角。
直角三角形的特点是，它的两条边相互垂直。
二、勾股定理的定义勾股定理是直角三角形中的一条定理，表明直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：a² + b² = c²，其中a和b 表示两条直角边的长度，c表示斜边的长度。
勾股定理可以用来计算直角三角形中任意一条边的长度，只要已知其他两条边的长度即可。
三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面举几个例子来说明：1. 测量距离：假设你想要测量两个不相邻点之间的距离，但是这两个点之间有一片湖泊无法直接测量。
你可以选择一个合适的位置作为测量起点，然后以直角三角形的形式测量出湖泊的宽度和起点到目标点的距离，再利用勾股定理计算出两个目标点之间的距离。
2. 建筑斜坡：在建筑设计中，经常会遇到需要设计斜坡的情况。
假设你需要设计一个台阶高度为a，长度为b的斜坡，你可以应用勾股定理计算出斜坡的斜边长度，以确定所需材料的长度和角度。
3. 导航和航空：导航和航空领域利用勾股定理来计算飞机或船只的航行距离和角度，以便安全导航和飞行。
四、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯定理的证明。
毕达哥拉斯定理是勾股定理的一个特例，即当直角三角形的两条直角边长度分别为3和4时，斜边的长度为5。
根据毕达哥拉斯定理，我们可以推导出勾股定理的一般表达式。
证明过程略。
五、总结直角三角形和勾股定理是几何学中的重要概念和定理。
直角三角形的定义是包含一个90度角的三角形，而勾股定理则描述了直角三角形的三边之间的关系。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理在数学中，直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角度为90度的直角。
与直角三角形相关的一个重要定理就是勾股定理。
下面将介绍直角三角形以及勾股定理的相关内容。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，直角位于两条边的交汇处，我们通常将直角对边称为斜边，另外两条边分别称为直角边。
直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的两个直角边相互垂直。
2. 直角三角形的斜边是直角边长度的最大值。
3. 直角三角形中，任意一个角的正弦、余弦和正切值都可以通过三角函数来表示。
二、勾股定理的介绍和应用勾股定理是描述直角三角形边长关系的重要定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
具体表达式为：c² = a² + b²其中，a和b代表直角三角形的直角边的长度，c代表斜边的长度。
勾股定理有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 求解直角三角形的边长利用勾股定理，我们可以根据直角三角形的两个直角边的长度求解斜边的长度，或者根据斜边的长度求解直角三角形的直角边长度。
这在实际生活中经常用到，比如测量房间的对角线长度、计算建筑物的高度等。
2. 判断直角三角形通过勾股定理，我们可以判断一个三边长度符合勾股定理的三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三边长度满足a² + b² = c²，那么这个三角形就是一个直角三角形。
3. 计算三角形的面积对于已知两个直角边的直角三角形，我们可以利用勾股定理求解斜边的长度，然后再利用三角形的面积公式求解三角形的面积。
三角形的面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中S代表三角形的面积，a和b分别代表直角三角形的直角边的长度。
总结：直角三角形与勾股定理是数学中的基础概念和定理，它们在实际生活中有很多应用。
直角三角形的定义和性质以及勾股定理的介绍和应用都是我们学习数学时必须了解和掌握的内容。
直角三角形的勾股定理应用
直角三角形的勾股定理应用一、勾股定理的定义与记忆•勾股定理是指直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方。
•勾股定理的数学表达式为：a² + b² = c²，其中c为斜边，a和b为直角边。
二、勾股定理的证明•证明方法有多种，如几何拼贴法、代数法、欧几里得证法等。
三、勾股定理的应用1.计算直角三角形的未知边长•已知两个直角边长，可求斜边长。
•已知斜边长和一个直角边长，可求另一个直角边长。
2.计算直角三角形的面积•直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积除以2，即S = (ab)/2。
3.判断一个三角形是否为直角三角形•若一个三角形的三边满足a² + b² = c²，则该三角形为直角三角形。
4.在坐标系中求直角三角形的边长和面积•在直角坐标系中，若一个直角三角形的顶点坐标为(a, b)、(c, d)和(e,f)，可利用距离公式求出各边长，进而判断是否为直角三角形。
四、勾股定理在实际生活中的应用1.测量身高和距离•当目测一个人的身高和其影子的长度时，可利用勾股定理求出实际身高。
2.测量建筑物的高度•在地面上测量建筑物底部到顶部影子的长度和建筑物底部的宽度，利用勾股定理求出建筑物的高度。
3.求解物体在空中的飞行轨迹•利用勾股定理求解物体在抛射运动中的飞行距离和落地位置。
五、拓展知识1.勾股定理的推广•勾股定理不仅适用于直角三角形，还适用于非直角三角形，即一般三角形的余弦定理。
2.勾股定理的应用领域•勾股定理在工程、物理、数学等领域都有广泛的应用。
3.相关数学问题•例如，求解直角三角形中的角度、求解三角形的面积等。
知识点：__________以上是对直角三角形的勾股定理应用的详细知识归纳，希望能帮助您更好地理解和掌握这一重要定理。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形两个直角边长分别为3cm和4cm，求斜边长。
答案：斜边长= √(3² + 4²) = 5cm解题思路：直接应用勾股定理，计算斜边长。
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。
我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。
另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。
其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。
我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。
【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。
请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
利用勾股定理解决直角三角形问题
利用勾股定理解决直角三角形问题勾股定理是数学中的一条重要定理，广泛应用于解决直角三角形问题。
本文将从勾股定理的定义、推导方法以及应用实例等方面进行论述，旨在帮助读者深入了解和运用勾股定理解决直角三角形相关问题。
一、勾股定理的定义勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
可以用等式表示为：c²= a²+ b²。
其中，c为直角三角形的斜边，a和b为直角三角形的两条直角边。
二、勾股定理的推导方法关于勾股定理的推导方法有多种，这里我们介绍一种基于相似三角形的推导方法。
1. 假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为90度，边AB为直角边。
2. 在AB边上选取一点D，并假设AD为a，DB为b。
3. 连接CD，使其与AB边垂直相交于点E。
4. 由于∠AED和∠ABC是对顶角，所以它们是相等的，同理可得∠BEC和∠ACB也是相等的。
5. 根据相似三角形的性质，可以得知三角形AED与三角形ABC相似，三角形BEC与三角形ABC相似。
6. 根据相似三角形的对应边比例关系，可以得到AD/AB = AB/AC 和BC/AB = AB/AC。
7. 由上述两个比例关系可以得到AD/AB = BC/AB。
8. 将上式中的AB约去，得到AD = BC。
9. 由此可知，直角三角形ABC中的两直角边的平方和等于斜边的平方，即a² + b² = c²。
三、勾股定理的应用实例勾股定理广泛应用于解决直角三角形相关问题，下面列举几个实际应用的例子。
1. 测量直角三角形的斜边长度：当已知直角三角形的两条直角边的长度时，可以利用勾股定理求解斜边的长度，从而实现测量的目的。
2. 判断一个三角形是否为直角三角形：当一个三角形的三条边的长度满足勾股定理时，可以判断该三角形为直角三角形。
3. 解决航空、导弹等飞行器的飞行轨迹问题：通过勾股定理可以计算飞行器在空中的轨迹，帮助飞行器实现精准的导航和定位。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理是初中数学中重要的概念和定理。
直角三角形是指一个角为直角（90度）的三角形，而勾股定理是指直角三角形的一条关于三边之间关系的定理。
在本文中，我们将探讨直角三角形的性质及勾股定理的应用。
一、直角三角形的性质直角三角形具有一些特殊的性质，下面将介绍其中几个重要的性质。
1. 直角三角形的两条直角边直角三角形的两条直角边分别称为直角边和斜边。
直角边是直角三角形中与直角相邻的两条边，斜边则是直角三角形的另一边。
直角边之间的关系是垂直的，而斜边则是直角三角形最长的一条边。
2. 直角三角形的两个锐角除直角外，直角三角形的其他两个角必定是锐角。
由于三角形的内角和为180度，所以直角三角形的两个锐角之和为90度。
3. 直角三角形的边长关系根据直角三角形的边长关系，如果直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。
二、勾股定理的应用勾股定理是直角三角形中最为重要的定理之一，它的应用非常广泛。
下面将介绍勾股定理在求解三角形边长和判断三角形形状方面的应用。
1. 求解三角形的边长通过勾股定理，我们可以利用已知的两条边的长度，求解第三边的长度。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，我们可以使用勾股定理计算出斜边的长度：3² + 4² = 5²，即斜边的长度为5。
2. 判断三角形形状利用勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，即a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。
通过勾股定理，我们可以准确地判断三角形的形状。
三、勾股定理的证明勾股定理的证明可以通过几何方法和代数方法来完成。
其中，最著名的证明是毕达哥拉斯的证明，下面将简要介绍这个证明。
毕达哥拉斯的证明思路是基于平行线的性质和面积的相等关系。
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1直角三角形与勾股定理【知识梳理】一、直角三角形的判定：1、有两个角互余的三角形是直角三角形。
2、勾股定理逆定理 二、直角三角形的性质 1、直角三角形两锐角互余．2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．3、直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半；4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．5.直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2＋b 2＝c 2．由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响．在△ABC 中， (1)若c 2＝a 2＋b 2，则∠C ＝90°； (2)若c 2＜a 2＋b 2，则∠C ＜90°； (3)若c 2＞a 2＋b 2，则∠C ＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用．5、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2那么这个三角形是直角三角形．6、勾股数的定义：如果三个正整数a 、b 、c 满足等式a 2＋b 2＝c 2，那么这三个正整数a 、b 、c 叫做一组勾股数。
简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。
【典例精析】◆例1：在△ABC 中，∠BAD ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，现将它们折叠，使B 点与C 点重合，求折痕DE 的长。
【巩固】1、四边形ABCD 中，∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝1，CD ＝2；求对角线AC 的长A BDC E ABCD◆例2：如图所示．已知：在正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，作EF ⊥AC 于F ，作FG ⊥AB 于G ．求证：AB 2＝2FG 2．【巩固】已知△ABC 中，∠A ＝90°，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC 上，ME ⊥MF ，求证：EF 2＝BE 2＋CF 2◆例3：已知正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF＝b ,且S EFGH ＝32求：a b 的值◆例4：已知：P 为等边△ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求∠APB 的度数G F AE BD CFEC MB A HDAB C E F G A BP【巩固】如图，四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，AC 与BD 交于O 点，AB ＝15，BC ＝40，CD ＝50，则AD ＝________.◆例5：一个直角三角形的三条边长均为整数，它的一条直角边的长为15，那么它的另一条直角边的长有_______种可能，其中最大的值是______.【拓展】是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等若存在，求出它的各边长；若不存在，说明理由。
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理一、直角三角形的定义与性质1.1 定义：在平面直角坐标系中，有一个角为直角（即90度），由两条直角边和一条斜边组成的三角形称为直角三角形。
1.2 性质：（1）直角三角形的两个锐角互余，即它们的和为90度。
（2）直角三角形的两个直角边互为邻边。
（3）直角三角形的斜边是直角边的非邻边。
（4）直角三角形的斜边长度大于任意一个直角边的长度。
（5）直角三角形的中线、高线、角平分线三线合一。
二、勾股定理的定义与证明2.1 定义：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边长度，a和b为直角边长度。
2.2 证明：（1）几何法：通过画出直角三角形ABC，其中∠C为直角，AC为直角边，BC 为另一直角边，AB为斜边，利用平行线等知识进行证明。
（2）代数法：通过构造直角三角形ABC的相似三角形，利用相似三角形的性质进行证明。
三、勾股定理的应用3.1 直角三角形边长求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出斜边的长度。
3.2 直角三角形面积求解：已知直角三角形中，两个直角边的长度，可以通过勾股定理求出三角形的面积。
3.3 逆定理：如果一个三角形的三边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
四、与直角三角形和勾股定理相关的数学文化4.1 勾股定理的历史：勾股定理是古代中国数学家毕达哥拉斯发现的，被称为“勾三股四弦五”。
4.2 勾股定理的应用：在建筑、工程、物理学等领域有着广泛的应用。
以上是关于直角三角形和勾股定理的知识点介绍，希望对您有所帮助。
习题及方法：1.习题：已知直角三角形ABC中，∠C为直角，AB为斜边，AC=3，BC=4，求斜边AB的长度。
方法：根据勾股定理，AB^2 = AC^2 + BC2，代入已知数值，得AB2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25，所以AB = √25 = 5。
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直角三角形与勾股定理
一.选择题
1．（2015•滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2.（2015•山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2
3. 如图，已知等腰,
ABC AB BC
∆=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O
e的切线交BC于点E，若5,4
CD CE
==，则O
e的半径是【】
A. 3
B. 4
C. 25
6 D. 25
8
4.（2015•青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为．
5．（3分）（2015•桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．（3分）（2015•毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）
，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4
A．
7．（4分）（2015•铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）
．．
8．（2015•甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
9．（2015•青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）
+2
二.填空题
1. （2015•江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F
分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．
2．如图，PA是⊙O的切线，A是切点，PA=4，OP=5，则⊙O的周长为（保留π）．3．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于．4．（2015•甘肃庆阳，第20题，3分）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为
cm．（结果保留π）
5．（第15题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．
6．（5分）（2015•毕节市）（第19题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1，则BD= ．
7．（2015•铜仁市）（第17题）如图，∠ACB=9O°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为．8.（如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为．9. （2015•温州第8题4分）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=
∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）
A．y=B．y=C．y=2D．y=3 10．（2015•长沙，第18题3分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．
11．（2015•本溪，第16题3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE= ．
12.（2015•山东泰安,第23题3分））如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．13．如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为．
14．（2015•东营,第15题4分）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为m．15. （2015•东营,第17题4
分）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．
三.解答题
1．（2015•湘潭，第22题6分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
2．（2015•宜昌，第23题11分）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI；
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
5．（2015•通辽,第20题5分）如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20
米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
6．（2015•乌鲁木齐,第22题10分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．
o7．（2015•怀化，第21题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE
（1）求证：△ABC∽△CBD；
（2）求证：直线DE是⊙O的切线．
8．（2015•怀化，第22题8分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；
（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）
9．（2015•娄底，第22题8分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）
10.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN ，求证：
)BE CF BE CF +-.
25题图225题图1
11.（2015·湖北省咸宁市，第23题10分）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形．
理解：（1）如图1，已知A 、B 、C 在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB 、BC 为边的两个对等四边形ABCD ；
（2
）如图2，在圆内接四边形ABCD 中，AB 是⊙O 的直径，AC=BD ．求证：四边形ABCD 是对等四边形；
（3）如图3，在Rt △PBC 中，∠PCB=90°，BC=11，tan ∠PBC=，点A 在BP 边上，且AB=13．用圆规在PC 上找到符合条件的点D ，使四边形ABCD 为对等四边形，并求出CD 的长．。