勾股定理与全等三角形结合难
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理一．勾股定理证明与拓展 模型一. 图中三个正方形面积关系思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 .变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.变式2：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，求S2.（变式2）（变式3）变式3：如图，Rt△ABC 的面积为10cm2，在AB 的同侧，分别以AB，BC，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为．（难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上，若AC＋BC＝6，空白部分面积为10.5，则阴影部分面积模型二外弦图DCBA内弦图GFEH例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5。
求中间小正方形的面积为__________;变式1：如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②2x y -=，③2125xy +=，④9x y +=．其中说法正确的有___________（填序号）.(变式1) (变式2)变式2：如图,正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长 为变式3：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称为“赵爽弦图”（如图5），图6是由弦图变化得到的，他是由八个全等的直角三角形拼接而成。
勾股定理与全等三角形
第二章勾股定理与全等三角形
探索直角三角形三边的关系：
观察图中用阴影画出的3个正方形，我们可以知道两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积。
那AC+BC=AB说明，任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
那么，只要是直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方吗？
概括：
数学上可以证明，对于任意的直角三角形都有两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
如果一个直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c则有：a+b=c
例：已知一个直角三角形的一个边长为3c m，斜边长为5c m,求另一直角边的长。
、
解：在RtABC中如图所示B C=3cm AB=5cm
根据勾股定理的：AC+BC=AB
AC=√AC-BC=√25-9=4cm
答：另一直角边的长为4cm.
习题：
1.在RtABC中AB=c BC=b AC=b∠B=90
⑴已知a=6 b=10 求c.⑵已知a=5 c=12,求b.
2直角三角形的斜边比一直角边长2c m，另一直角边长为6cm求它的斜边长？
3如图所示，为了求出湖两岸的两点A B之间的距离。
一个观测者在点C设桩，是三角形AB C恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？
习题：。
一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)问题详解
1．如图1，直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC〔1〕求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．〔2〕如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，假如AD=AC，求证：BE=DE．〔3〕如图3，在〔1〕的条件下，直线AC交x轴于M，P〔，k〕是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？假如存在，请求出点N的坐标；假如不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。
分析：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；〔2〕同〔1〕的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；〔3〕依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：〔1〕如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，∴△ABO≌△BCQ，∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，∴C〔﹣3，1〕，由A〔0，2〕，C〔﹣3，1〕可知，直线AC：y=x+2；〔2〕如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC=AD，AB⊥CB，∴BC=BD，∴△BCH≌△BDF，∴BF=BH=2，∴OF=OB=1，∴DG=OB，∴△BOE≌△DGE，∴BE=DE；〔3〕如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P〔，k〕是线段BC上一点，∴P〔﹣，〕，由y=x+2知M〔﹣6，0〕，∴BM=5，如此S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，如此BN•=×，∴BN=，ON=，∵BN＜BM，∴点N在线段BM上，∴N〔﹣，0〕．点评：此题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．2．如图直线ℓ：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是〔﹣8，0〕，点A的坐标为〔﹣6，0〕〔1〕求k的值．〔2〕假如P〔x，y〕是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值X围．〔3〕当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。
勾股定理与全等三角形
1、已知：如图，△ ABC中，/ C=90° D为AB的中点，E、F分别在AC BC上，且DE丄DF.求ffi： AE2+BF2=EF2.32、如图，△ ACB和^ ECD都是等腰直角三角形，/证：(1 )△ ACE^A BCD; (2) AD2+DB2=D呂.3、如图，△ ABC 中，AB=BC BE丄AC于点E, AD丄BC 于点D,Z BAD=45°, AD 与BE交于点F,连接CF.(1)求证：BF=2AE(2)若CD= 2,求AD 的长.4、如图①，已知点D在AB上, △ ABC和^ ADE都是等腰直角三角形，/ ABC=/ ADE=90°,c1、证明：延长ED到G,使DG=DE,连接EF、FG、CG,如图所示:•/ DF=DE / EDF=Z FDG=90 ,° DG=DE:.△ EDF^A GDF ( SAS ,•••EF=FG又••• D为斜边BC中点•••BD=DC又•/ / BDE=/ CDG, DE=DG•••△ BDE^A CDG (SAS••• BE=CG / B=/ BCG ••• AB// CG ••• / GCA=180-° A=180 -90 =90 在RtA FCG中，由勾股定理得:FG2=CF+CG=CF+BE ••• EF2=FG=Be+CF.3证明：过点A作AM // BC,交FD延长线于点M，连接EM.•/ AM // BC,••• / MAE=/ ACB=90 ,° / MAD= / B.•/ AD=BD, / ADM= / BDF, •••△ ADM^A BDF.••• AM=BF, MD=DF.又DE丄DF, ••• EF=EM.••• AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=E^.2、证明：（1）v/ ACB=^ ECD •••/ ACD+Z BCDK ACD+Z ACE 即/ BCD=^ ACE ••• BC=AC DC=EC(2)v^ ACB是等腰直角三角形,• / B=/ BAC=45度.•••/ B=/ CAE=45 •••/ DAE=^ CAE+Z BAC=45+45°90°, • AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB• AD2+DB2=DE23、解答：(1)证明：T AD丄BC,Z BAD=45,:.△ ABD是等腰直角三角形, /. AD=BD, •/ BE丄AC, AD 丄BC, ：•/ CAD+Z ACD=90 ,/ CBE+/ ACD=90 , ：•/ CAD=/ CBE在^ ADC和^ BDF中,/ CAD=Z CBEAD= BD/ ADC=Z BDF= 90°•: △ ADC^^ BDF (ASA),•: BF=AC •/ AB=BC BE丄AC, •: AC=2AE •: BF=2AE(2)解：•••△ ADC^^ BDF, •: DF=CD=在RtA CDF中，CF=DF+CD22=2,•/ BE丄AC,AE=EC•••AF=CF=2/. AD=AF+DF=2+團①4、解答：（1）证明：延长DM交BC于N,:EDA=Z ABC=90 ,/. DE//BC,•••/ DEM=Z MCB,在^ EMD和^ CMN中/ DEM=Z NCMEM = CM/EMD=Z NMC,.•.△ EMD" CMN, •••CN=DE=DA MN=MD ,•/ BA=BC /. BD=BN, •: △ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM，/ DBM=/ DBN=45=/ BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.(2)解：△ BMD为等腰直角三角形的结论仍成立, 证明：作CN// DE交DM的延长线于N,连接BN, ：•/ E=Z MCN=4° , vZ DME=Z NMC, EM=CM,：.△ EMDW CMN (ASA),：.CN=DE=DA MN=MD , 在^ DBA和^ NBC中DA= CNZ DAB=Z BCN,BA= BC•••/ DBA=Z NBC, DB=BN, /•Z DBN=Z ABC=90 , •/△ DBN是等腰直角三角形，且BM是底边的中线, ••• BM 丄DM , Z DBM=Z DBN=45=Z BDM ,:.△ BMD为等腰直角三角形.。
章勾股定理重难点
第十八章 勾股定理 §18 ． 1 勾股定理（一）一、教学目标 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
（一）阅读课本第 64 页，并完成思考题：1、毕达哥拉斯在地板上的发现：1）图中线条加黑的三个小正方形围成了一个 ；（2）若设两个较小正方形边长均为 a ，则它们的面积都为 ， 设较大的正方形边长为 c ，则它的面积为 。
（ 3）再次观察，可以发现两个小正方形的面积和 较大的正方形面积，即有 ＋ = 。
（4）因为三个正方形边长恰好是围成的等腰直角三角形的三条 边，由 ＋ = 可知，等腰直角三角形的两条 边的平方 等于 边的平方。
2、由第 1 题知等腰三角形具有上述性质，是否一般的直角三角形也具有这样的性质呢？观察下图，尝试探究 图，每个小方格的面积均为 1）观察图（ 1）正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积；正方形 B 中含有 _ 个小方格，即 B 的面积是 _ 个单位面积；正方形 C 中含有 _ 个小方格，即C 的面积是 ____ 个单位面积．图（ 2）正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积；正方形 B 中含有 _ 个小方格，即 B 的面积是 _ 个单位面积；正方形 C 中含有 _ 个小方格，即C 的面积是 _________________________________________ 个单位面积．3、根据上述观察分析，你能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去 四个直角三角形的面积．） （二）归纳：直角三角形三边关系：勾股定理： ；用公式表示为 变式：① ② 。
直角三角形性质归纳： 如图，直角△ ABC 的主要性质是：∠ C=90°，（用几何语言表示）1）两锐角之间的关系： ； 2）若∠ B=30°，则∠ B 的对边和斜边： ；3）直角三角形斜边上的 等于斜边的 。
期中难点特训(二)勾股定理与全等结合的压轴题(原卷版)
期中难点特训（二）勾股定理与全等结合的压轴题1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C 重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD 是△ABC的一条双腰分割线．(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．①求∠C的度数．②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，DE=12，求∠ADC的度数．(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，AN，MN，判断△AMN的形状，并说明理由．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．（1）求证：PC＝PD；（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；（3）是否存在点P，使得△P AE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．7．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．（1）OP＋OQ＝________cm；（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，①求证：AF⊥BD；②AF的长度为直接写出答案）；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到P A，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝．10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD ＝A'D'．（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'（2）如图②，当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为．11．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是______；（2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝12，CN ＝16，则MN 的长为______ ．12．【情景呈现】画90AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ．（1）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与AOB ∠的两边,OA OB 垂直，垂足为,E F （如图1）．则________PE PF ．（选填：“<”、“>”或“=”） （2）把三角尺绕点P 旋转（如图2），PE 与PF 相等吗？猜想,PE PF 的大小关系，并说明理由．【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点P 作直线GH OC ⊥，分别交,OA OB 于点,G H ，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）②猜想,,GE FH EF 之间的关系为___________．【拓展延伸】（4）如图4，画60AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，作120EPF ∠=︒，EPF ∠的两边分别与,OA OB 相交于,E F 两点，PE 与PF 相等吗？请说明理由．13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ ．求证：PQ 是APD ∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP ，DP 的中点M ，N ，如图2．请在BC 上找点E ，F ，使EM 为APE ∆的“周长平分线”，FN 为DPF ∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E ，F 的位置（保留画图痕迹）；②若AB =CD =EF 的长．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，作等腰Rt DCE ，且90DCE ∠=︒，连接AE ．(1)求证：CEA CDB△△；≌(2)求证：222+=．BD AD DE15．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE ＝FE．(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．。
专题三：勾股定理与全等构造
勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45°，135°作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1，∠CPB=135°，求AP的长。
2、如图，在△ABD中，AB=AD，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P在△ABD外，且∠APB=45°，求PD的长；（2）若点P在△ABD内，且∠APB=135°，求PD的长.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC为边在△ABC外作正△ACD，则BD的长为.4、如图，△ABC为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的长.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB的长。
.勾股定理与全等构造【方法归纳】通过构造全等，将要解决的线段转化到直角三角形中，再运用勾股定理进行证明与计算。
一、遇45 ，135 作等腰直角三角形构造全等1、如图，△ACB 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CP=2，PB=1， ∠CPB=135°，求AP 的长。
解：将△CPB 绕点C 旋转，使得BC 与AC 重合，点P 与点D 是对应点，∴PC=DC ，∠DCA=∠CBP ，∴∠DCP=∠ACB=90°，∴△CDP 是等腰直角三角形，∴由勾股定理可知：DP=22， ∵PB=AD=1， ∵∠CPB=∠CDA=135°，∠CDP=45°，∴∠ADB=90°∴由勾股定理可求得：AP=3.2、如图，在△ABD 中，AB=AD ，∠BAD=90°，PA=3，PB=4.（1）若点P 在△ABD 外，且∠APB=45°，求PD 的长；（2）若点P 在△ABD 内，且∠APB=135°，求PD 的长.解：（1）如图所示，过点A 作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∵∠HAP=∠BAD=90°，∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB ，即∠HAB=∠PAD ，在△AHB 与△APD 中，AH=AP ，∠HAB=∠PAD ，AB=AD ，∴△AHB ≌△APD ，∴HB=PD.∵∠APB=45°，∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°，在Rt △HPB 中，HB=22PB PH + =224)23(+=34∴PD=HB=34.（2）如图所示，作AH ⊥AP ，且使AH=PA=3，连接PH 、BH ，∴∠APH=∠AHP=45°，PH=222233+=+PA AH =32，∴HB=PD.∵∠APB=135°，∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°，∴在Rt △HPB 中， HB=22PB PH +=224)23(+=34∴PD=HB=34.二、遇60 ，120 作等边三角形构造全等3、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AB=3，BC=5，以AC 为边在△ABC 外作正△ACD ，则BD 的长为.解：以AB 为边作等边三角形AEB ，连接CE ，如图所示，∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形，∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB ，∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC ，即∠EAC=∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE=AB ，∠EAC=∠BAD ，AD=AC ，∴△EAC ≌△BAD(SAS)，∴BD=EC ，∵∠EBA=60°，∠ABC=60°，∴∠EBC=120°，在△EBC 中，BC=5，EB=3，过点E 做BC 的垂线交BC 于点F ，易知∠EBF=60°，∠FEB=30°，∴EF=233，FB=23，FC=5+23=213， ∴EC 2=FC 2+EF 2=49∴BD=EC=7.4、如图，△ABC 为正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD 的长.解：如图，将CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°得CE ，连接DE 、AE ，则△CDE 是等边三角形.∵△ABC 为等边三角形，△CDE 是等边三角形，∴AC=BC=AB ，∠ACB=60°，CD=EC=DE ，∠DCE=∠CDE=60°，∴∠ACE=∠BCD.∵AC=BC ，∠ACE=∠BCD ，CD=EC ，∴△ACE ≌△BCD ，∴AE=BD=5，∵∠CDE=60°，∠ADC=30°，∴∠ADE=90°.∵∠ADE=90°，AD=3，AE=5，∴DE=22AD AE =4.∵DE=CD ，DE=4，∴CD=4.三、将角度分解为60 ，90 或45 的特殊角结合全等5、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠APC=165°，PA=3，PC=2，求PB 的长。
全等三角形与勾股定理专题
第一章勾股定理专题练习一．填空题1．一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm ,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 2．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
4．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。
5．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。
6．已知两条线段的长为5c m 和12c m,当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形.7．将一根长为24㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是________________.8．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是____________.9.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________.10.如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ．ABCD7cmD B C A第3题ABCDAEBθABCDDCBA11．如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点B ，点C A 、到直线l 的距离分别是1和2，则正方形的边长为 .二．选择题1.如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① △ACE ≌△DCB ； ② CM ＝CN ；③ AC ＝DN 。
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勾股定理与全等三角形结合
难
1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2．
2、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
3、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD2+DB2=DE2．
4、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD= 2
，求
AD
的长．
5、如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长．
6、如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证：
7、如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD ＞BC，求证：AC＞BD
8、如图
7
，已知△
ABC
中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC
9、如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，求点P与点
之间的距离和∠APB的度数
10、如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：．
11、如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，求证DE＞BC
12如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F 都是垂足，
M是△ABC中异于N的另
一点，若，，求证
13如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，求CD的长
14、如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，求证BE=BC
15 正方形ABCD，E为BC上一点，∠AEF为直角，CF平分∠DCG。
(1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF
(2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由
D
C
B
A
F
E G
图(1)
D
C
B
A F
E G
图。