离散数学考试试题(A、B卷及答案)
《离散数学》试题及答案详解
一、填空题1设集合A,B，其中A＝｛1，2，3｝, B= {1，2}, 则A — B＝________｛3｝____________；ρ（A) - ρ(B)＝_____{｛3｝,｛1，3},{2，3}，｛1,2,3｝｝_______ 。
2. 2. 设有限集合A, ｜A｜= n，则｜ρ(A×A）｜= __3.设集合A = ｛a, b}, B = ｛1, 2}，则从A到B的所有映射是__α1= {(a,1）, (b,1）｝, α2= {（a,2)，（b，2）}，α3= {(a,1），(b,2)｝，α4= {(a,2）, （b，1)}；_，其中双射的是____α3，α4。
_4。
已知命题公式G＝⌝（P→Q)∧R，则G的主析取范式是______（P∧⌝Q∧R）__________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为___12_______，分枝点数为_______3_________.6设A、B为两个集合, A= {1，2,4}， B = ｛3,4}，则从A⋂B＝_______｛4}__________________; A⋃B＝_____｛1, 2, 3, 4｝____________；A－B＝____{1, 2}_________________ .3.7。
设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是__自反性;对称性；传递性_______________________________.8. 设命题公式G＝⌝（P→（Q∧R）)，则使公式G为真的解释有____（1, 0, 0)________，___ _（1，0, 1)_________，____（1, 1，0）______________________。
9. 设集合A＝{1，2,3，4}, A上的关系R1 = ｛(1,4）,（2，3)，(3，2）｝，R1 = ｛（2，1)，（3,2）,（4,3)}，则R1•R2 = _｛(1，3）,（2，2）,（3,1)}__________，R2•R1=___{(2,4）,(3,3）,(4,2)}_____ __, R12 =_____｛（2,2)，(3,3）}__________________。
离散数学期末试题
离散数学考试试题（A 卷及答案）一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))的主析取范式解：(P ↓Q )→(P ∧⌝(Q ∨⌝R ))⇔⌝(⌝( P ∨Q ))∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q )∨(P ∧⌝Q ∧R ))⇔(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨⌝Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨(R ∧⌝R ))∧(P ∨Q ∨R )⇔(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨⌝R )∧(P ∨Q ∨R )⇔0M ∧1M⇔2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。
乙说：王教授不是上海人，是苏州人。
丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。
王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。
试判断王教授是哪里人？解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。
则根据题意应有： 甲：⌝P ∧Q乙：⌝Q ∧P丙：⌝Q ∧⌝R王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。
所以，丙至少说对了一半。
因此，可得甲或乙必有一人全错了。
又因为，若甲全错了，则有⌝Q ∧P ，因此，乙全对。
同理，乙全错则甲全对。
所以丙必是一对一错。
故王教授的话符号化为：((⌝P ∧Q )∧((Q ∧⌝R )∨(⌝Q ∧R )))∨((⌝Q ∧P )∧(⌝Q ∧R ))⇔(⌝P ∧Q ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝Q ∧R )∨(⌝Q ∧P ∧⌝Q ∧R )⇔(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧⌝Q ∧R )⇔⌝P ∧Q ∧⌝R⇔T因此，王教授是上海人。
三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。
证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。
离散数学期末考试试题及答案
离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学AB卷
离散数学AB卷离散数学黄金AB卷A卷一、选择题：（30分）1、取个体域为整数集，给定下列公式（1）∀x∃y（x*y=0）（2）∀x∃y（x*y=1）（3）∃y∃x（x*y=2）（4）∀x∀y ∃z（x – y = z）（5）x – y = - y + x（6）∀x∀y（x *y = y）（7）∀x（x*y = x）（8）∃x∀y（x + y = 2y）在上面的公式中，真命题的为 A ，假命题的为B 。
A：①（1）、（3）、（4）、（6）；②（3）、（4）、（5）；③（1）、（3）、（4）、（5）；④（3）、（4）、（6）、（7）B：①（2）、（3）、（6）；②（2）、（6）、（8）；③（1）、（2）、（6）、（7）；④（2）、（6）、（8）、（7）2、设S1=｛1，2，…，8，9｝，S2=｛2，4，6，8｝，S3=｛1，3，5，7，9｝，S4=｛3，4，5｝，S5=｛3，5｝。
确定在以下条件下X可能与S1,…,S5中哪个集合相等。
（1）若X∩S5 = φ，则A ；（2）若X⊆S4但X∩S2 = φ，则B ；（3）若X⊆S1但X⊄S3，则C ；（4）若X - S3= φ，则D ；（5）若X⊆S3但X⊄S1，则E ；A、B、C、D、E：①X=S2或者S3；②X= S4或者S5；③X=S1，S2或者S4；④X与其中任何集合都不等；⑤X=S2；⑥X=S5；⑦X=S3或者S5；⑧X=S2或者S4；3、（1）设S=｛1，2｝，R为S上的二元关系，且xRy。
如果R=Is，则A ；如果R是数的小于等于关系，则B ；如果R=Es，则C 。
（2）设有序对< x+2，4 > 与有序对<5，2x+y >相等，则x=D ，y=E 。
A、B、C：①x与y可任意选择1或2；②x=1，y=1；③x=1，y=1或2；x=y=2；④x=2，y=2；⑤x=y=1或x=y=2；⑥x=1，y=2；⑦x=2，y=1；D 、E ：⑧3；⑨9；⑩ -24、设S=<1，2，3，4>，R 为S 上的关系，其关系矩阵是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001100000011001，则（1）R 的关系表达式是A ；（2）domR=B ；ranR=C ；（3）R R 中有D 个有序对；（4）R-1的关系图中有E 个环。
(完整版)离散数学试题及答案,推荐文档
11 设 A,B,R 是三个集合，其中 R 是实数集，A = {x | -1≤x≤1, xR}, B = {x | 0≤x < 2, xR},则
A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,
A∩B = __________________________ , . 13. 设集合 A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R 是 A 上的整除，则 R 以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式 G = xP(x)xQ(x)，则 G 的前束范式是__________________________
二、选择题
1. C. 2. D. 3. B. 4. B.
5. D. 6. C. 7. C.
8. A. 9. D. 10. B. 11. B.
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13. {(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}.
14. x(P(x)∨Q(x)). 15. 21.
16. (R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17. {(1, 3),(2, 2)}; {(1, 1),(1, 2),(1, 3)}.
8. 设命题公式 G＝(P(QR))，则使公式 G 为真的解释有
__________________________，_____________________________,
__________________________.
《离散数学》试题及答案
一、填空题1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝{3} ; ρ(A) - ρ(B)＝{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}} .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = 22n.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是α1= {(a,1), (b,1)}, α2= {(a,2), (b,2)},α3= {(a,1), (b,2)}, α4= {(a,2), (b,1)}, 其中双射的是α3, α4 .4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是(P∧⌝Q∧R)5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为12，分枝点数为3.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝{4} ; A⋃B＝{1,2,3,4};A－B＝{1,2} .7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是自反性, 对称性传递性.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有(1, 0, 0), (1, 0, 1),(1, 1, 0)9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R2 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1∙R2 ={(1,3),(2,2),(3,1)} , R2∙R1 = {(2,4),(3,3),(4,2)} _R12 ={(2,2),(3,3).10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = .11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = -1<=x<0 , B-A = {x | 1 < x < 2, x∈R} ,A∩B ={x | 0≤x≤1, x∈R} , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除关系，则R以集合形式(列举法)记为{(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4),(5, 5),(6, 6)} .14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是∃x(⌝P(x)∨Q(x)) .15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加21 条边才能把G变成完全图。
离散数学期末考试试题
离散数学试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) ( -P A ( —Q A R)) V (Q A R)V (P A R)= R证明：左端 =(-P A-QAR) V ((Q V P)A R£((—P A-Q)AR)) V((Q V P)A R)：=(^P V Q) A R)V(( Q V P ) A R匕(一(P V Q )V(Q V P)) A R：=(「P V Q )V( P V Q )) A fcT A R置换)：=R2) x(A(x) —.B(x)) ：= - x A(x) _._x B(x)证明：x ( A(x) > B(x)〉= x ( f(x) V B(x))= x—A(x) V x B(x)=—- x A(x)V x B(x)=- x A(x) -l xB(x)、求命题公式(P V (Q A R)) >(P A QA R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明：(P V (Q A R))「(P A Q A R>=— (P V (Q A R)) V (P A QA R))二(—P A ( 一QV -R) )V (P A Q A R)二(一P A — Q)V ( -P A -R)) V (P A Q A R)二(_PA _Q R) V (_P A _QA 一R) V ( _P A QA _R)) V ( _PA _QA _R)) V (P A Q R)二m0V m1V m2V m7u M3V M4V M5V M6三、推理证明题(10分)1)C V D,(C V D)》-E, -E >(A A -B), (A A证明(1) xP(x)—B)r(R V S)「：R V S(2)P(a)(1) (C V D)—；「E(3) -x(P(x) >Q(y) A R(x))证明：(2) -E >(A A -B)(4)P(a) >Q(y) A R(a)(3) (C V D)—.(A A -B)(5)Q(y) A R(a)⑷(A A -B)_. (R V S)(6)Q(y)V D)_ (R V S)(7)R(a)(5) (C⑹C V D(8)P(a)⑺R V S(9)P(a) A R(a)2)-x(P(x) —；Q(y) A R(x)) , xP(x)二Q(y) A(10) x(P(x) A R(x))x(P(x) A R(x))(11)Q(y) A x(P(x) A R(x))四、设m是一个取定的正整数，证明：在任取耐1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m的整数倍证明设印,a2，…，a m1为任取的1个整数，用m去除它们所得余数只能是0, 1,…，m- 1，由抽屉原理可知，耳,a2，…，a m d这m+ 1个整数中至少存在两个数a s和a t，它们被m除所得余数相同，因此a s和a的差是m的整数倍。
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离散数学考试试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。
P<->Q=(p->Q)合取（Q->p）证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C)(P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C)((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律GAGGAGAGGAFFFFAFAF( A∧(P Q))∨C(A∧(P Q ))C2) (P Q)P Q。
证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。
二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。
主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF证明：公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R))(P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R))(P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律(P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R)(P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R)M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为04GAGGAGAGGAFFFFAFAF所赋真值，即100，二进制为4GAGGAGAGGAFFFFAFAFm∨1m∨2m∨3m∨7m所以，公式(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))为可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
真值表法：P Q R QRP(Q∨R)P∨(Q R)(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))0 0 00 0 111111111111111GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF1可满足式，其相应的成真赋值为000、001、010、011、111：成假赋值为：100、101、110。
三、推理证明题（10分）1）P∨Q，Q∨R，R S P S。
证明：(1)P附加前提(2)P∨Q P(3)Q T(1)(2)，I（析取三段论）GAGGAGAGGAFFFFAFAF(4)Q∨R P(5)R T(3)(4)，I（析取三段论）(6)R S P(7)S T(5)(6)，I（假言推理）(8)P S CP2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))证明（1）xP(x)(2)P(a)(3)x(P(x)Q(y)∧R(x))GAGGAGAGGAFFFFAFAF(4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C) （10分）证明：因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx∈(A∪B)－C x∈(A∪B)－Cx∈(A∪B)∧x C(x ∈A ∨x∈B)∧x C(x∈A∧x C)∨(x∈B∧x C)x∈(A－C)∨x∈(B－C)x∈(A－C)∪(B－C)所以，(A∪B)－C＝(A－C)∪(B－C)。
八、证明整数集I 上的模m同余关系R={<x,y>|x y(mod m)}是等价关系。
其中，x y(mod m)的含义是x-y可以被m 整除（15分）。
X(modm)=y(modm)证明：1）x∈I，因为（x-x）/m=0，所以x x(mod m)，GAGGAGAGGAFFFFAFAF即xRx。
2）x,y∈I，若xRy，则x y(mod m)，即（x-y）/m=k ∈I，所以（y - x）/m=-k∈I，所以y x(mod m)，即yRx。
3）x,y,z∈I，若xRy，yRz，则（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。
九、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf 有逆函数（gf）-1：C→A 。
同理可推f-1g -1：C→A 是双射。
因为<x,y>∈f-1g-1存在z（<x,z>∈g-1<z,y>∈f-1）存在z（<y,z>∈f <z,x>∈g）<y,x>∈gf<x,y>∈（gf）-1,所以（gf ）-1=f-1g -1。
离散数学考试试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧(P∧(Q∨R)))∨(P∧Q)∨(P ∧R)T证明: 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧GAGGAGAGGAFFFFAFAF(P∨R))(摩根律)((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)((P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)T (代入)2) x y(P(x )Q(y ))(xP(x)yQ(y))证明：x y(P(x )Q (y ))x y(P(x )∨Q(y))x (P(x)∨yQ(y))x P(x)∨yQ (y)x P(x)∨yQ(y)GAGGAGAGGAFFFFAFAF(xP(x )yQ(y))二、求命题公式(P Q)(P ∨Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(P Q)(P ∨Q)(P Q)∨(P ∨Q)(P∨Q)∨(P ∨Q)(P ∧Q)∨(P ∨Q)(P∨P ∨Q)∧(Q∨P ∨Q)(P ∨Q)M1析取要使之为假，即赋真值001，即M1GAGGAGAGGAFFFFAFAFm0∨m2∨m3使之为真三、推理证明题（10分）1)(P (Q S))∧(R∨P)∧Q R S证明：(1)R(2)R∨P p(3)P T（1）（2）析取三段论(4)P (Q S) p(5)Q S T（3）（4）I假言推理(6)Q P(7)S T（5）（6）I假言推理(8)R S CPGAGGAGAGGAFFFFAFAF2) x(A(x )yB(y))，x(B(x )yC(y ))xA(x )yC(y)。
证明：(1)x(A(x )yB(y)) P(2)A(a )yB(y) T(1)ES(3)x(B(x )yC(y)) P(4)x(B(x )C(c)) T(3)ES(5)B(b )C(c)GAGGAGAGGAFFFFAFAFT(4）US(6)A(a)B(b) T(2)US(7)A(a )C(c ) T(5)(6)I假言三段论(8)xA(x )C(c ) T(7)UG(9)xA(x)yC(y) T(8)EG四、只要今天天气不好，就一定有考生不能提前进入考场，当且仅当所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。
所GAGGAGAGGAFFFFAFAF以，如果考试准时进行，那么天气就好（15分）。
解：设P：今天天气好，Q：考试准时进行，A(e )：e 提前进入考场，个体域：考生的集合，则命题可符号化为：P x A(x)，xA(x)Q Q P。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF(1)P x A(x) P(2)P xA(x) T(1)E(3)xA(x )PT(2)E(4)xA(x )Q P(5)(xA(x )Q)∧(Q xA(x)) T(4)E(6)Q xA(x) T(5)IGAGGAGAGGAFFFFAFAF(7)Q PT(6)(3)I五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）证明：∵x A∩（B ∪C ）x A ∧x（B ∪C ）x A ∧（x B∨x C ）（ x A ∧x B ）∨（x A ∧x C ）x（A∩B ）∨x A ∩C x（A∩B）∪（A∩C）∴A ∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、A={ x1,x2,x3}，B={ y1,y2}，R={<x1, y1>,<x2, y2>,<x3, y2>}，求其关系矩阵及关系图（10分）。
有就是1，没就是GAGGAGAGGAFFFFAFAF七、设R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它们及R 的关系图（15分）。
r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,< 2,2>,<3,3><5,5>}（自反闭包）s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2> ,<4,2>,<4,3>}（对称闭包）t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2> ,<5,1>,<5,4>,<5,5>}（传递闭包）九、设f：A B，g：B C，h：C A，证明：如果h o g o f ＝I A，f o h o g＝I B，g o f o h＝I C，则f、g、h均为双射，并求GAGGAGAGGAFFFFAFAF出f－1、g－1和h－1（10分）。
解因I A恒等函数，由h o g o f＝I A可得f是单射，h 是满射；因I B恒等函数，由f o h o g＝I B可得g是单射，f 是满射；因I C恒等函数，由g o f o h＝I C可得h是单射，g 是满射。
从而f、g、h均为双射。
由h o g o f＝I A，得f－1＝h o g；由f o h o g＝I B，得g－1＝f o h；由g o f o h＝I C，得h－1＝g o f。
GAGGAGAGGAFFFFAFAF五.(12分)令X={x1,x2,...,xm},Y={y1,y2,...,yn},问:六.(1) 有多少不同的由X到Y的关系?七.(2) 有多少不同的由X到Y的影射?八.(3) 有多少不同的由X到Y的单射，双射?（12分）<G,*>是个群，u∈G，定义G 中的运算“”为a b=a*u-1*b，对任意a,b∈G，求证：<G, >也是个群。