分式及其运算
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
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分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
分式的基本概念与运算
专题：分式一、知能要点：1、分式的乘除：（1）分式的乘法；（2）分式的除法。
2、分式的乘方3、分式的加减法：（1）同分母相加减；（2）异分母相加减；4、分式的混合运算；5、整数指数幂；6、科学记数法7、比例的性质：（1）基本性质；（2）合比性质；（3）等比性质。
8、分式的恒等证明的一般方法，即欲证明A=B ，常采取以下的方式：（1）由繁到简，从比较复杂的一边向简单的一边推导；（2）作差，即证明A —B=0；（3）作比，即证明：1=BA ；（3）左右归一，即由A=C ，B=C ，推导A=B 。
二、典型例题：例题1、保留两个有效数字用科学记数法表示下列各数：（1）－32700 （2）0.0098 （3）－0.002048例题2：先化简22222442)2)((b ab a ab a a b a b b a +--+---再选取一个你喜欢且使分式有意义的数代入并求值。
例题3：有一道题“先化简，再求值: 41)4422(22-÷-++-x x x x x 其中3-=x ”，王小虎做题时，把3-=x 错误抄成了3=x ，但他计算的结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？例题4：已知： ;41314131;31213121;211211-=⨯-=⨯-=⨯ （1）请你写出第n 个等式，并予以验证；（2）利用这个等式计算：())10)(9(1)3)(2(1)2(11)1(1+++++++++++x x x x x x x x （3）请利用这种方法计算：())20)(18(1)6)(4(1)4(21)2(1+++++++++++x x x x x x x x 例题5：已知：a 、b 、c 为实数，且31=+b a ab ，41=+c b bc ，51=+c a ac ，求ac bc ab abc ++的值。
例题6、已知a cb a bc b a c c b a ++-=+-=-+，求abcc a c b b a ))()((+++的值。
专题03 分式及其运算(4大考点)(学生版)
第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x，1π，224x+，x2﹣23，1x，12xx++中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个（2022·内蒙古包头·1x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：2269111a aa a++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，从-3，-1，2中选择合适的a 的值代入求值．注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不为0，否则分式无意义。
知识点：分式的概念一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
（1）分式有意义的条件:分母不为零，即()0AB B≠（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。
即A B（0A =且0B ≠）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M =2211121x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭－－＋＋＋，下列说法正确的是（）A ．当x =1时，M 的值为0B ．当x =﹣1时，M 的值为﹣12C ．当M =1时，x 的值为0D ．当M =﹣1时，x 的值为0【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若21(1)ma =--（m 为正整数），且a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，则2()m m ab b b c +--的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．0或2-【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数1y ，2y ，其中1y 的图象与x 轴交点的横坐标为2且经过点()1,2，22y mx =-．(1)求函数1y 的关系式；(2)当2y 的图象经过两点11,22n ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),1n 时，求22n m +的值；(3)当1x >时，对于x 的每一个值，都有12y y <，求m 的取值范围．核心考点二分式的基本性质（2020·河北·中考真题）若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b +=+B ．22a ab b -=-C ．22a a b b=D ．1212aa b b =（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）3224x x x -+．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
初中数学分式及其计算
1、分式的概念
A
A
一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示成 的形式，如果 B 中含有字母，式子 就叫做
B
B
分式。其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。
A
A
A
当 B≠0 时，分式 有意义，当 B=0 时，分式 无意义；当 A=0 且 B≠0，分式 的值等于 0.
＝
＝
，
．
故选：A．
)
，
D．
5.下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误(
A．①
B．②
【解答】解：
＝
﹣
﹣
＝
＝
．
故从第②步开始出现错误．
故选：B．
)
C．③
D．④
﹣
6.已知 P＝
(a≠±b)
(1)化简 P；
(2)若点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
解：(1)P＝
﹣
＝
(2)∵点(a，b)在一次函数 y＝x﹣
)
【解析】(x+3
x3
x3
x2 9
7
2 x2 8x
=(
)
x 3 x 3
x3
x 3
( x 4)( x 4)
·
2 x( x 4)
x 3
x4
，
2x
当 x=1 时，原式
1 4 5
．
2 1 2
a b 2 2a 2b
4a 2
3a
14 先化简，再求值：(
B
B
B
2、分式的性质
(1)分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式， 分式的值不变。
第4讲 分式及其运算
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
22ຫໍສະໝຸດ a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
分式的意义及运算
（2பைடு நூலகம்为了节约时间，王老师与小刚约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校．如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由．
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
4.零指数、负整数指数幂：
任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即 ；
当n为正整数时， （
【基础知识与技能的训练】
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.计算 ·（- ）等于（ ）
分式的意义及运算
【知识要点】
一：分式及其基本性质
1.分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母那么式子 叫做分式。
2．分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式的值为0：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A．k＞2B．1＜k＜2C． D．
解：k= = = =1+ ，
∵a＞b＞0，∴0＜ ＜1，
分式方程训练
【知识要点】
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：
使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，原方程无解。
因此，解分式方程一定要验根
（4）先化简 ，然后从不等组 的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
分式及其运算
分式及其运算分式，也叫有理式，是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式，分子与分母都可以是整数多项式，且分母不能为0。
分式的运算是数学中的重要内容之一，主要包括分式的加减乘除四则运算。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成，用横线隔开。
分子表示分子部分的表达式，分母表示分母部分的表达式。
分式的形式可以用以下表示方法：$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。
例如，$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。
其中，3是分式的分子，5是分式的分母；$x^2+1$是分式的分子，2x是分式的分母。
二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算：将同分母分式的分子相加（或相减），分母保持不变，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$；$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。
2.异分母分式的加减运算：先找到它们的最小公倍数（简称最小公倍数），然后将分子通分，再进行加减运算。
最后将结果化简到最简形式。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。
三、分式的乘除运算1.分式的乘法：将分式的分子与分母分别相乘，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。
分式及其运算(完整版)
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零，否则分式无意义 ❖当分子为零且分母不为零时， 分式值为零。
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第2课时
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（一）问题情景
问题1 小学学过分数计算，请你快 速计算下列各式，并说出计算根据：
（ 1）6 8
（2） 240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不 等于零的数，分数的值不变.
表示成 A 形式。如果B中含有字母，式 AB
子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
.
思考： 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
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分类：
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（二）类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
① 11 3,② 1 1 b,③ 1 1 (a 3 ) aa 3 a1 b a1 (a 3 )
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
.
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
5, x , a xy
y , 2004 xy x 2004 x 30
。
。。。。
.
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式.
分式的概念:
分式的运算法则公式
分式的运算法则公式一、分式的加法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的和可以表示为一个新的分式：a/b + c/d = (ad + bc)/bd例如：1/2+2/3=(1*3+2*2)/(2*3)=7/6二、分式的减法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的差可以表示为一个新的分式：a/b - c/d = (ad - bc)/bd例如：2/3-1/4=(2*4-1*3)/(3*4)=5/12三、分式的乘法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)例如：1/2*2/3=(1*2)/(2*3)=1/3四、分式的除法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的除法可以表示为一个新的分式：(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)例如：1/2÷2/3=(1/2)*(3/2)=(1*3)/(2*2)=3/4五、带分数的乘积法则公式设a是一个整数，b/c是一个带分数，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：a*(b/c)=(a*b)/c例如：2*(11/2)=(2*3)/2=3设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的倒数可以表示为一个新的分式：1/(a/b)=b/a例如：1/(2/3)=3/2设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的负数可以表示为一个新的分式：-(a/b)=(-a)/b=a/(-b)例如：-(2/3)=(-2)/3=2/(-3)以上就是关于分式的运算法则公式的详细介绍。
通过运用这些公式，我们可以简化分式的运算，更加方便地求解分式的加减乘除问题。
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第三讲 分式及其运算第一部分 知识梳理一、分式的基本概念及性质1．概念一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式（B ≠0）。
①在分式 中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
②对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
③分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0。
2．分式的基本性质和变形应用（1）分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
（2）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 分式约分的步骤:①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
3．最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
二、分式的运算1．分式的四则运算①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
③分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
④分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
三、分式方程1．概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．解分式方程的基本思想将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
3．解分式方程的基本方法（1）去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。
但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
①产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
②检验根的方法：将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。
为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根;如果使最简公分母等于0，就是原方程的增根。
必须舍去。
（2）换元法：为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决。
换元法是解分式方程的一种常用方法，利用它可以简化求解过程.用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；④检验做答。
第二部分例题与解题思路方法归纳【例题1】给定下面一列分式：，…，（其中x≠0）（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．〖选题意图〗这是找规律的题目，考查分式的定义。
需要同学们认真读题发现并利用规律。
〖解题思路〗依据题意，把任意一个分式除以前面一个分式，得到，则可以根据这个规律写出后续的分式。
〖参考答案〗解：（1）﹣÷=﹣；÷（﹣）=﹣…规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；（2）第7个分式应该是．【课堂训练题】1．已知2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，若10+=102×（a，b为正整数），则a+b=．〖参考答案〗解：由已知得a=10，b=a2﹣1=102﹣1=99，∴a+b=10+99=109．2．指出下列解题过程是否存在错误，若存在，请加以改正并求出正确的答案．题目：当x为何值，分式有意义？解：=，由x﹣2≠0，得x≠2．所以当x≠2时，分式有意义．〖参考答案〗解：解题过程存在错误；改正：当（x+1）（x﹣2）≠0，即x≠﹣1且x≠2时，分式有意义．【例题2】若a=，b=，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b 的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论．〖选题意图〗本题主要考查了分式的基本性质以及有理数的大小的比较。
主要运用到数学中的分类讨论思想，是一道综合性很强的考题。
〖解题思路〗本题中观察a，b可得出的结论是一个分式，如果分式的分子和分母都加1后，得到的新的分式比原来的分式大．进而我们可推断出如果分式的分子和分母都加一个任意的正数后，得到的新的分式比原来的大．〖参考答案〗解：若m、n是任意正整数，且m＞n，则．若m、n是任意正实数，且m＞n，则．若m、n、r是任意正整数，且m＞n；或m、n是任意正整数，r是任意正实数，且m＞n，则．若m、n是任意正实数，r是任意正整数，且m＞n；或m、n、r是任意正实数，且m＞n，则．【课堂训练题】1．问题探索：（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．〖参考答案〗解：（1）＜（m＞n＞0）证明：∵﹣=，又∵m＞n＞0，∴＜0，∴＜．（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；则可得：＞，所以住宅的采光条件变好了．2．根据分式的基本性质，对于分式，当分式的分子和分母都乘以10时，分式的值不变，但原分式可变形为了．这样，分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法，把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数，但不能改变分式的值．（1）；（2）．〖参考答案〗解：（1）分子分母都乘以6，得===；（2）分子分母都乘以10，得===．【例题3】“约去”指数：如，，…你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性．（供参考：x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2））〖选题意图〗本题是一道猜想并验证的题目，利用公式x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），并应用了整体思想。
立方和的公式在书本上并未例出，但在考题中经常出现，建议同学们识记。
〖解题思路〗根据x3+y3=（x+y）（x2﹣xy+y2），证明成立。
〖参考答案〗证明：∵==，∴正确．【课堂训练题】 1．计算：．〖参考答案〗解：原式=))(()2(22b a b a b a b a b a -++⨯+-=．2．计算： （1）；（2）（a ﹣2b ﹣1）﹣3•（2ab 2）﹣2；（3）； （4）．〖参考答案〗解：（1）原式=×（﹣）2=（）2=；（2）原式=（a 6b 3）×（）2=；（3）原式22)1()1(1)1)(1()1(-+⨯-⨯-+-m m m m m m m m =；（4）原式=1－))(()2(22y x y x y x y x y x -++⨯+-=1－y x y x ++2=yx yx y x +--+2=．【例题4】已知[（x 2+y 2）﹣（x ﹣y ）2+2y （x ﹣y ）]÷4y=1，求﹣的值．〖选题意图〗本题利用合并同类项、以及分式的加减运算法则、求代数式的值，综合性很强。
〖解题思路〗先对所给的等式化简，可求出2x ﹣y 的值，然后化简所求代数式，再把2x ﹣y 的值整体代入求值即可．〖参考答案〗解：[（x 2+y 2）﹣（x ﹣y ）2+2y （x ﹣y ）]÷4y =（x 2+y 2﹣x 2+2xy ﹣y 2+2xy ﹣2y 2）÷4y =（4xy ﹣2y 2）÷4y=x ﹣y∵x ﹣y=1，∴2x ﹣y=2，∴yx y x x +--214422=﹣====．【课堂训练题】 1．已知a+b+c=0，求的值．〖参考答案〗解：==∵a+b+c=0，则a+b=﹣c ，a+c=﹣b ，b+c=﹣a ，∴原式==﹣3．故答案为﹣3．2．不等于0的三个数a 、b 、c 满足，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．〖参考答案〗证明：∵∴∴ (bc+ac+ab)(a+b+c)=abc∴abc+b 2c+bc 2+a 2c+abc+ac 2+a 2b+ab 2+abc=abc ∴b 2c+bc 2+a 2c+ac 2+a 2b+ab 2+2abc=0∴(b 2c+a 2b+ab 2+abc)+(bc 2+a 2c+ac 2+abc)=0 ∴b(bc+a 2+ab+ac)+c(bc+a 2+ac+ab)=0∴(b+c)(bc+a2+ab+ac)=0∴(b+c)[(bc+ab)+(a2+ac)]=0∴(b+c)[b(a+c)+a(a+c)]=0∴(b+c)(b+a)(a+c)=0所以a+b=0或b+c=0或c+a=0，至少有两个为相反数.【例题5】计算：|﹣3|+（1﹣）0+﹣（）﹣2〖选题意图〗本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型。
解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算。
〖解题思路〗本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式的化简、负整数指数幂四个考点。
在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
〖参考答案〗解：原式=3+1+2﹣4=2．【课堂训练题】1．计算：+|3﹣π|+10．〖参考答案〗解：原式=+π﹣3+1=2+π﹣3+1=2+π﹣2．2．计算（1）（﹣1）2011+（﹣）﹣2﹣（π﹣1）0﹣|﹣3|；（2）〖参考答案〗解：（1）（﹣1）2011+（﹣）﹣2﹣（π﹣1）0﹣|﹣3|=﹣1+4﹣1﹣3=﹣1；（2）=1﹣16﹣8=﹣23；【例题6】甲、乙两容器内都盛有酒精，甲有v1千克，乙有v2千克．甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1：n 1，乙中纯酒精与水之比为m 2：n 2，问将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？〖选题意图〗溶液问题是分式方程中难度比较大的一类题，主要考查“溶质=溶液×百分比”的等量关系式。
得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键。
从具体的实例到抽象代数式的转化，能良好的考查同学们数学建模的能力。
〖解题思路〗分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．〖参考答案〗解：∵甲有v 1千克，甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1：n 1， ∴甲中的纯酒精的重量为v 1×=；甲中的水的重量为v 1×=；同理可得乙中的纯酒精的重量为，水的重量为，∴两者混合后所得液体中纯酒精与水之比为：（+）：（+）=．【课堂训练题】1．有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时v 1、v 2、v 3、v 4千米，且满足v 1＞v 2＞v 3＞v 4＞0，其中，v 水为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下．（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？〖参考答案〗解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为441)][(v v v v v v S i i i +=⨯++-=水 水 （）各艇追上④号艇的时间为，∵v1＞v2＞v3＞v4，∴t1＜t2＜t3．即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．在学习“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时，有意义”小明的做法是：先化简，要使有意义，必须x﹣2≠0，即x≠2；小丽的做法是：要使有意义，只须x2﹣4≠0，即x2≠4，所以x1≠﹣2，x2≠2．如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．2．下列分式，当x取何值时有意义．（1）；（2）．3．（2011浙江杭州）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ， 当a<6时，使分式无意义的x 的值共有 个．4．已知x=﹣1时，分式 (x ﹣b)/(x+a)无意义，x=4时分式的值为零，则a+b= ．5．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：当x 取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得＞0则有（1）⎩⎨⎧--01201 x x 或（2）⎩⎨⎧--01201 x x 解不等式组（1）得：x ＞1；解不等式组（2）得：x ＜21 ∴不等式的解集是：x ＞1或：x ＜21 ∴当x ＞1或：x ＜21时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x 取何值时，分式的值为负？6．已知：，求证：x+y+z=0．7．（1）你能利用分式的基本性质，使分式的分子不含“﹣”号吗（不能改变分式的值）？试一试，做一做，然后与同伴交流．（2）不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含“﹣”号：①；②．（3）你能不改变分式的值，使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．8．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“﹣”号．（1）；（2）；（3）．9．通分：（1）和；（2）和；（3）和；（4）和．10．化简：．B类试题：11．（1）x取何值时，分式的值为零？无意义？（2）当m等于什么时，分式的值为零．12．若分式的值恒为负值，试求x的取值范围．13．不改变分式的值，把分式中的分子、分母的各项系数化为整数，并使次数最高项的系数为正数．14．已知分式的值是a，如果用m，n的相反数代入这个分式所得的值是b，问a与b的关系是否能确定？若能确定，求出它们的关系，若不能确定，请说明理由．15．已知+=3，求的值．16．计算：17.化简分式：18．已知．19.（1）先化简，再求值．[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=3，y=1.5；（2）已知分式：；，下面三个结论：①A，B相等；②A，B互为相反数；③A，B互为倒数，请问那个正确？为什么？20．已知：非零实数a，b，c满足，求证：ab+bc=2ac．C类试题：21．一组按规律排列的式子：，，，，…（ab≠0），（n为正整数）分别写出第5个、第8个、第n个式子？22．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：设，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a），∴x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：已知：，其中x+y+z≠0，求的值．23．若使为可约分数，则自然数n的最小值应是多少？24．已知，试比较A，B，C的大小．25．已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x的值的总和．26．先阅读下列材料，再解答后面的问题．∵，，，…，，∴===．（1）在和式…中，第五项为，第n项为；（2）计算．27．计算（1）；（2）…．28．若a+b+c=0，求证：=0．29．一艘船由A到B顺水航行每小时走v1千米，由B到A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？30．已知A、B两地相距s千米，王刚从A地往B地需要m小时，赵军从B地往A地，需要n小时，他们同时出发相向而行，需要几时相遇？课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：因为当分母不为0时，分式有意义．小明的做法错误在于他先把分式约分，使原来的分式中字母x的取值范围缩小了．小丽的做法正确．2．解：（1）要使分式有意义，则分母3x+2≠0，解得：x≠﹣；（2）要使分式有意义，则分母2x﹣3≠0，x≠．3．答案：6，24．解：∵分式有意义的条件是分母不为零，当x=﹣1时，分式无意义，∴x+a=﹣1+a=0，a=1，当x=4时分式的值为零，∴x﹣b=4﹣b=0，b=4，∴a+b=1+4=5．5．解：依题意，得＜0，则有（1）或（2）解不等式组（1）得：＜x＜1；解不等式组（2）得：不等式组无解，∴不等式的解集是：＜x＜1∴当＜x＜1时，分式的值为负．6．解：设=k，则x=ka﹣kb，y=kb﹣kc，z=kc﹣ka，x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0，∴x+y+z=0．7．解：（1）能．==；（2）①==；②=；（3）①==；②==．8．解：（1）=；（2）=；（3）=﹣．9．解：（1）两式的最简公分母为10a 2b 3c ，故=，cb a bc b a 322210452 ， （2）两式的最简公分母为6x 2y ，故=，，（3）两式的最简公分母为8ab 2c 2，故=，，（4）两式的最简公分母为y 2﹣1，故=，．10．解：原式==B 类试题：11．解：（1）要使分式的值为0，则，解得x=﹣3； 要使分式无意义，则x 2﹣6x+9=0，解得x=3．（2）要使分式的值为0，则，解得m=3． 12．解：首先x 2+3x+2≠0，（x+1）（x+2）≠0，x≠﹣1且x≠﹣2． 又=，要使其值为负值，则x+1＜0，解得x ＜﹣1．所以x ＜﹣1且x≠﹣2．13．解：=．14．解：互为相反数．∵b==，∴a+b=+=0，∴ab 互为相反数．答：a 与b 的关系能确定，它们互为相反数．15．解：∵+=3，∴y+x=3xy ， ∴===．16．解：原式==．17．解：原式=+﹣==．18解：因为==， 可得：，解得A =－1，B=1，所以AB=﹣1．19．解：（1）原式=（x 2﹣2xy+y 2+x 2﹣y 2）÷2x=（2x 2﹣2xy ）÷2x=x ﹣y ；将x=3，y=1.5代入x ﹣y ，得：原式=x ﹣y=3﹣1.5=1.5．（2）B=﹣==﹣； 故A 、B 互为相反数，②的结论正确．20．证明：∵，即b b c a 1111+=+，∴bac c a 2=+，即（a+c ）b=2ac ∴ab+bc=2ac ． C 类试题：21．解：分子的变化规律是：（﹣1）1b 2、（﹣1）2b2+3、…（﹣1）n b 3n ﹣1；分母的变化规律是：a 1、a 1+1、a 2+1…a n ﹣1． ∴分式的变化规律是：nn n a b 13)1(--； ∴第5个分式是：51451535)1(ab a b -=--⨯ 第8个分式是：82381838)1(ab a b =--⨯ 第n 个分式是：n n n ab 13)1(--． 22．解：设===k ，则：，（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z=k （x+y+z ），∵x+y+z≠0，∴k=2，∴原式===．23．解：要使6513+-n n 可约分，不妨设分子与分母有公因数a ， 显然应用a ＞1，并且设分子：n ﹣13=ak 1，①分母：5n+6=ak 2．②其中k 1，k 2为自然数．由①得n=13+ak 1，将之代入②得5（13+ak 1）+6=ak 2，即71+5ak 1=ak 2，所以a （k 2﹣5k 1）=71．由于71是质数，且a ＞1，所以a=71，所以n=k 1•71+13．故n 最小为84．24．解：∵1998×1999＜1998×2000，2000×2001＞1999×2001， ∴＜，则A ＞B ；∵1998×2001＞1998×2000，2000×1999＜1999×2001，∴＞，则C ＜B ；∴C ＜B ＜A ．25．解：=，∵为整数，∴故x﹣3为2的约数，则x﹣3=±1或±2，∴x=4或x=2或x=5或x=1，故所有符合条件的x的值的和为4+2+5+1=12．26．解：（1）在和式++中，第五项为：，第n项为：；（2）+++=﹣+﹣+﹣+﹣=﹣==．27．解：（1）==；（2）+…+，=﹣+﹣+…+﹣，=﹣=．28．证明：由a+b+c=0，得b2+c2﹣a2=﹣2bc，a2+c2﹣b2=﹣2ac，a2+b2﹣c2=﹣2ab∴左边=++=﹣﹣﹣=﹣∵a+b+c=0，∴﹣=0，故原式成立．29．解：设A到B的路程是1．则往返时间的和=，则平均速度V==．答：往返一次平均每小时走千米．30．解：∵甲的速度为，乙的速度为，∴相遇需要时间==时．。