黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题二文201808280114
2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}2．（5分）复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．1B．3C．9D．124．（5分）已知＝2，＝1，θ＝60°，则＝（）A．﹣6B．6C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a4＝9，S4＝24，则a7＝（）A．3B．7C．13D．156．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S＝（）A．1+++…+B．+++…+C．+++…+D．+++…+7．（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等8．（5分）在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”（如图）证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和（朱实二），4个全等的直角三角形的面积的和（朱实四）加上中间小正方形的面积（黄实）等于大正方形的面积（弦实）”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为，现随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计），则其落入小正方形内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线的左顶点为A，过双曲线的右焦点F2作x轴的垂线交C于点M，点M位于第一象限，若△AF2M为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．3πB．C．12πD．48π11．（5分）下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：h）频率分布直方图，如图：其中300﹣400、400﹣500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是（）①寿命在300﹣400的频数是90；②寿命在400﹣500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：150×0.1+250×0.15+350×0.45+450×0.15+550×0.15④寿命超过400h的频率为0.3A．①B．②C．③D．④12．（5分）设函数，则使得f（2x+1）＞f（x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数y＝xlnx，则这个函数的图象在x＝1处的切线方程为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，若2x•2y＝4，则log3x+log3y的最大值为．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣1，则a n＝．16．（5分）已知点A（4，0）及抛物线y2＝4x的焦点F，若抛物线上的点P满足|P A|＝2|PF|，则P的横坐标为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）＝4sin x cos x+2cos2x﹣1，x∈[0，]．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若CD为△ABC的中线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，cos∠BAC＝，求CD的长．18．为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（I）在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的7名女生中，有4人使用国产手机，从这7名女生中任意选取2人，求至少有1人使用国产手机的概率；（II）根据列联表，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关（K2的观测值K精确到0.01）．附：参考公式：（n＝a+b+c+d）19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，将△MAB沿BM向上折起，使平面ABM⊥平面BCDM（Ⅰ）求证：AB⊥CM；（Ⅱ）求点D到平面ACM的距离．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，且C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设B1、B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1、B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝﹣1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN．21．已知函数f（x）＝3e x+1，g（x）＝﹣x2+9x的．（Ⅰ）求函数φ（x）＝（x+1）e x﹣7x+g（x）﹣f（x）的单调区间；（Ⅱ）比较f（x）与g（x）的大小，并证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（I）写出C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C1的交点为M，C3与C1的交点为N，求△OMN的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|（Ⅰ）求不等式f（x）≥5的解集（Ⅱ）当x∈[0，2]，时不等式f（x）≥x2﹣x﹣a恒成立，求实数a的取值范围2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{0，1，2}C．{0，1}D．{1}【解答】解：∁R B＝{x|x≥0}，则A∩（∁R B）＝{0，1，2}，故选：B．2．（5分）复数＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：＝．故选：C．3．（5分）若x，y满足，则z＝x+y的最大值为（）A．1B．3C．9D．12【解答】解：由x，y满足作出可行域如图，联立，解得A（4，5）．化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，当直线y＝﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4+5＝9．故选：C．4．（5分）已知＝2，＝1，θ＝60°，则＝（）A．﹣6B．6C．D．【解答】解：∵＝2，＝1，θ＝60°，∴＝+﹣2＝1+2×1×cos60°﹣2×22＝1+1﹣8＝﹣6．故选：A．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a4＝9，S4＝24，则a7＝（）A．3B．7C．13D．15【解答】解：∵等差数列{a n}中，a4＝9，S4＝24，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a7＝3+6×2＝15．故选：D．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S＝（）A．1+++…+B．+++…+C．+++…+D．+++…+【解答】解：根据程序框图：第一循环：S＝，第二循环：S＝，…当i＝12时，S＝，故选：C．7．（5分）已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，则下列命题中错误的是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等【解答】解：由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不重合的直线，知：在A中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理得m⊥n，故A 正确；在B中，若m∥α，α∩β＝n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m∥n，α∥β，则由线面角的定义得m与α所成的角和n与β所成的角相等，故D正确．故选：B．8．（5分）在古代，直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．三国时期吴国数学家赵爽用“弦图”（如图）证明了勾股定理，证明方法叙述为：“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实．”这里的“实”可以理解为面积．这个证明过程体现的是这样一个等量关系：“两条直角边的乘积是两个全等直角三角形的面积的和（朱实二），4个全等的直角三角形的面积的和（朱实四）加上中间小正方形的面积（黄实）等于大正方形的面积（弦实）”．若弦图中“弦实”为16，“朱实一”为，现随机向弦图内投入一粒黄豆（大小忽略不计），则其落入小正方形内的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知，大正方形的面积为16，一个直角三角形的面积为，则中间小正方形的面积为16﹣4×＝16﹣8．∴随机向弦图内投入一粒黄豆，则其落入小正方形内的概率为．故选：D．9．（5分）已知双曲线的左顶点为A，过双曲线的右焦点F2作x轴的垂线交C于点M，点M位于第一象限，若△AF2M为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：把x＝c代入双曲线，解得y2＝，∴|MF2|＝，∴△AF2M为等腰直角三角形，|AF2|＝a+c，MF2⊥AF2，∴＝a+c，即a2+ac＝c2﹣a2，∴c2﹣2a2﹣ac＝0，即e2﹣e﹣2＝0，解得e＝2或e＝﹣1（舍）．故选：B．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．3πB．C．12πD．48π【解答】解：作出几何体的直观图如图所示：由三视图可知：PB⊥平面ABC，AB⊥BC，三棱锥是正方体的一个角，正方体的棱长为2，正方体的外接球与三棱锥的外接球是一个，∴外接球的半径r＝＝．∴外接球的表面积S＝4πr2＝12π．故选：C．11．（5分）下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：h）频率分布直方图，如图：其中300﹣400、400﹣500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是（）①寿命在300﹣400的频数是90；②寿命在400﹣500的矩形的面积是0.2；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：150×0.1+250×0.15+350×0.45+450×0.15+550×0.15④寿命超过400h的频率为0.3A．①B．②C．③D．④【解答】解：由频率分布直方图得：某种电子元件寿命在[100，200）的频率为0.001×100＝0.1，频数为0.1×200＝20，寿命在[200，300）的频率为0.0015×100＝0.15，频数为0.15×200＝30，寿命在[500，600）的频率为0.0015×100＝0.15，频数为0.15×200＝30，寿命在[300，400）的频率大于0.15，频数大于30，寿命在[400，500）的频率大于0.15，频数大于30，在①中，寿命在300﹣400的频数小于：200﹣20﹣30﹣30﹣30＝90，故①错误；②寿命在300﹣500的两个矩形的面积和为1﹣0.1﹣0.15﹣0.15＝0.6，结合图形得到400﹣500的矩形的面积是0.2，故②正确；③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：150×0.1+250×0.15+350×0.4+450×0.2+550×0.15，故③错误；④寿命超过400h的频率大于0.3，故④错误．故选：B．12．（5分）设函数，则使得f（2x+1）＞f（x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：当x＜0时，f（﹣x）＝（﹣x）2•e﹣x＝＝f（x），当x＞0时，f（﹣x）＝＝x2•e x＝f（x），当x＝0时，f（x）＝0，∴f（x）是偶函数，又当x≥0时，f′（x）＝2xe x+x2e x＝e x（x2+2x）≥0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减．∵f（2x+1）＞f（x﹣1），∴|2x+1|＞|x﹣1|，解得x＜﹣2或x＞0．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知函数y＝xlnx，则这个函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1+lnx，∴f'（1）＝1+ln1＝1f（1）＝0，即切点坐标为（1，0），∴切线方程为y＝x﹣1，故答案为：y＝x﹣1．14．（5分）已知x＞0，y＞0，若2x•2y＝4，则log3x+log3y的最大值为0．【解答】解：若2x•2y＝4，则x+y＝2，故2≥2，xy≤1，（x＞0，y＞0），则log3x+log3y＝log3（xy）≤0，故答案为：0．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝2a n﹣1，则a n＝2n﹣1．【解答】解：∵S n＝2a n﹣1①，∴S n﹣1＝2a n﹣1﹣1②（n＞1），①﹣②得：S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1，即a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得：a n＝2a n﹣1，即＝2，∵S1＝a1＝2a1﹣1，即a1＝1，∴数列{a n}为首项是1，公比是2的等比数列，则a n＝2n﹣1．故答案为：2n﹣116．（5分）已知点A（4，0）及抛物线y2＝4x的焦点F，若抛物线上的点P满足|P A|＝2|PF|，则P的横坐标为2﹣2．【解答】解：设P（，y0），则|PF|＝+1，|P A|＝，∴﹣y02+16＝4（++1），解得y02＝8﹣8，∴P点横坐标为：＝2﹣2．故答案为：2﹣2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）＝4sin x cos x+2cos2x﹣1，x∈[0，]．（Ⅰ）求f（x）的值域；（Ⅱ）若CD为△ABC的中线，已知AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，cos∠BAC＝，求CD的长．【解答】解：（Ⅰ），化简得．因为，所以，当时，取得最大值1，当或时，取得最小值，所以，，所以f（x）的值域为[1，3]．（Ⅱ）因为AC＝f（x）max，BC＝f（x）min，由（Ⅰ）知，AC＝3，BC＝1，又因为，根据余弦定理得AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠BCA＝8，所以．因为AC2＝AB2+BC2，所以△ABC为直角三角形，B为直角．故在Rt△ABC 中，，所以．18．为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25 名男生、10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：（I）在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的7名女生中，有4人使用国产手机，从这7名女生中任意选取2人，求至少有1人使用国产手机的概率；（II）根据列联表，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关（K2的观测值K精确到0.01）．附：参考公式：（n＝a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）设7名女生中，使用国产手机的4人分别为a1，a2，a3，a4，使用非国产手机的3人为b1，b2，b3．从7人中任选2人，共有21种情况，分别是：a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4，b1b2，b1b3，b2b3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，a4b1，a4b2，a4b3．其中，事件A“至少有1人使用国产手机”包含18种情况，所以，答：至少有1人使用国产手机的概率为．（Ⅱ）由列联表得：．由于2.57＜2.706，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M是AD的中点，将△MAB沿BM向上折起，使平面ABM⊥平面BCDM（Ⅰ）求证：AB⊥CM；（Ⅱ）求点D到平面ACM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，，，BC＝4，所以，在△BCM中，BC2＝BM2+CM2，所以CM⊥BM；因为平面ABM⊥平面BCDM且BM是交线，CM⊂平面BCDM所以CM⊥平面ABM，因为AB⊂平面ABM，所以AB⊥CM．（Ⅱ）解：取BM中点E，连接AE．因为AB＝AM且E为BM中点，所以AE⊥BM．因为AE⊂面ABM，面ABM⊥面BCDM，BM是交线，所以AE⊥平面BCDM，故AE长即为点A到平面BCDM的距离，算得．由（Ⅰ）可知，CM⊥AM，△ACM是直角三角形，，所以.．设点D到平面ACM的距离为h，因为V D﹣ACM＝V A﹣MCD，所以，解得h＝1，故点D到平面ACM的距离为1．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的焦距为2，且C过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设B1、B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1、B2的任意一点，过点P作PM⊥y轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y＝﹣1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ON⊥EN．【解答】（Ⅰ）解：由题意知焦距为，∴．又∵椭圆过点，∴代入椭圆方程得，∵a2＝b2+c2，解得a＝2，b＝1，故所求椭圆C的方程是；（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），x0≠0，则M（0，y0），，∵点P在椭圆C上，∴，即，又B2（0，1），∴直线B2N的方程为，令y＝﹣1，得，∴，又B1（0，﹣1），E为线段B1D的中点，∴，∴，，因＝．∴，即ON⊥EN．21．已知函数f（x）＝3e x+1，g（x）＝﹣x2+9x的．（Ⅰ）求函数φ（x）＝（x+1）e x﹣7x+g（x）﹣f（x）的单调区间；（Ⅱ）比较f（x）与g（x）的大小，并证明．【解答】解：（Ⅰ）由φ（x）＝（x+1）e x﹣7x+g（x）﹣f（x）可得，φ'（x）＝（x﹣1）（e x ﹣2），令φ'（x）＝0，得x1＝ln2，x2＝1，令φ'（x）＞0，得x＜ln2或x＞1，令φ'（x）＜0，得ln2＜x＜1．故φ（x）的单调递增区间是（﹣∞，ln2）和（1，+∞），单调递减区间是（ln2，1）．（Ⅱ）f（x）＞g（x）．证明如下：设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝3e x+x2﹣9x+1，则h'（x）＝3e x+2x﹣9．h'（x）＝3e x+2x﹣9为增函数，因为h'（0）＝﹣6＜0，h'（1）＝3e﹣7＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得h'（x0）＝0．当x＞x0时，h'（x）＞0，当x＜x0时，h'（x）＜0．所以h（x）在x＝x0处取得最小值，且h（x）min＝h（x0）＝．又，所以，所以＝＝（x0﹣1）（x0﹣10），因为x0∈（0，1），所以（x0﹣1）（x0﹣10）＞0，所以h（x）min＞0，所以f（x）＞g（x）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．（I）写出C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C1的交点为M，C3与C1的交点为N，求△OMN的面积．【解答】解：（Ⅰ）直角坐标与极坐标互化公式为，，圆C1的方程为x2+y2﹣4x﹣8y＝0，把，代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0，所以C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ＝0．∵直线C2的极坐标方程为θ＝（ρ∈R）．∴C2的平面直角坐标方程为y＝x．（Ⅱ）分别将，代入C1的极坐标方程ρ＝4cosθ+8sinθ，得，，则△OMN的面积为：＝＝8+5，所以△OMN的面积为8+5．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|（Ⅰ）求不等式f（x）≥5的解集（Ⅱ）当x∈[0，2]，时不等式f（x）≥x2﹣x﹣a恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥5即为|x+1|+|x﹣2|≥5①，当x＜﹣1时，①式化为﹣（x+1）﹣（x﹣2）≥5，解得x≤﹣2；当﹣1≤x≤2时，①式化为（x+1）﹣（x﹣2）≥5，无解；当x＞2时，①式化为（x+1）+（x﹣2）≥，解得x≥3；所以f（x）≥5的解集为{x|x≤﹣2或x≥3}；（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）＝3，则当x∈[0，2]，不等式f（x）≥x2﹣x﹣a恒成立化为x2﹣x﹣a≤3恒成立；设g（x）＝x2﹣x﹣a，则g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）＝2﹣a；所以g（2）≤3，即2﹣a≤3，得a≥﹣1；所以实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．。
黑龙江省大庆市2018年高考数学二模试卷文科 含解析
2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R，集合A={x|x≥1}，那么集合∁R A等于（）A．{x|x＞1} B．{x|x＞﹣1}C．{x|x＜1} D．{x|x＜﹣1}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1 C．D．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（）A．2﹣B．3﹣2C．2﹣ D．﹣24．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab25．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．410．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为______．14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=______．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为______．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2018年黑龙江省大庆市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集为R ，集合A={x |x ≥1}，那么集合∁R A 等于（ ） A ．{x |x ＞1} B ．{x |x ＞﹣1} C ．{x |x ＜1} D ．{x |x ＜﹣1} 【考点】补集及其运算．【分析】根据全集R 及A ，求出A 的补集即可． 【解答】解：∵全集为R ，集合A={x |x ≥1}， ∴∁R A={x |x ＜1}． 故选：C ．2．复数﹣的实部与虚部的和为（ ）A ．﹣B ．1C ．D ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得实部和虚部，然后作和得答案．【解答】解：由﹣=，得复数﹣的实部与虚部分别为，1，∴数﹣的实部与虚部的和为．故选：D ．3．如图，设，为互相垂直的单位向量，则向量﹣可表示为（ ）A ．2﹣B ．3﹣2C ．2﹣D ．﹣2【考点】向量的三角形法则．【分析】以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，求出向量的终点坐标以及的终点坐标，可得向量﹣的坐标，从而得到答案．【解答】解：以，为互相垂直的单位向量所在的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系，则向量的终点坐标为（3，﹣1），的终点坐标为（2，1），故向量﹣可表示为：（3，﹣1）﹣（2，1）=（1，﹣2）=﹣2，故选D．4．已知a＜0，0＜b＜1，则下列结论正确的是（）A．a＞ab B．a＞ab2C．ab＜ab2D．ab＞ab2【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＜0，0＜b＜1，∴a＜ab，故A错误；b2＜1，a＜ab2，故B错误；ab＜0，ab＜ab2，故C正确，D错误；故选：C5．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，5名学生学分的标准差，则（）1212C．s1=s2 D．s1，s2大小不能确定【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据表中数据，计算甲、乙两班的平均数、方差与标准差，即可得出结论．【解答】解：根据表中数据，计算甲班的平均数为=×（8+11+14+15+22）=14，乙班的平均数为=×（6+7+10+23+24）=14；甲班的方差为=×[（8﹣14）2+（11﹣14）2+（14﹣14）2+（15﹣14）2+（22﹣14）2]=，乙班的方差为=×[（6﹣14）2+（7﹣14）2+（10﹣14）2+（23﹣14）2+（24﹣14）2]=，∴＜，标准差为s1＜s2．故选：B．6．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．12πB．6πC．4πD．2π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱，根据三视图判断半圆柱的高与底面半径，把数据代入半圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为半圆柱，且半圆柱的高为3，底面半径为2，∴几何体的体积V=×π×22×3=6π．故选：B．7．已知函数f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣∞，﹣]C．[，+∞）D．（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），由题意f′（x）≤0在R上恒成立，利用二次函数的性质求出a的取值范围即可得到满足题意的a范围．【解答】解：f（x）=﹣x3+x2﹣ax+1，∴f′（x）=﹣3x2+2x﹣a，由题意f′（x）≤0在R上恒成立，∴△≤0，即4﹣4×3a≤0，解得：a≥，∴实数a的取值范围为[，+∞），故答案选：C．8．直线y=k（x+1）（k∈R）与不等式组 ，表示的平面区域有公共点，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得．【解答】解：作出不等式组所对应的可行域（如图△ABC），k表示过定点（﹣1，0）的直线y=k（x+1）的斜率，数形结合可得当直线经过点A（0，2）时，直线的斜率取最大值2，当直线经过点B（0，﹣2）时，直线的斜率取最小值﹣2，故选：A．9．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5 C．D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，满足执行循环的条件，故a=，n=2，当n=2时，满足执行循环的条件，故a=5，n=3，当n=3时，满足执行循环的条件，故a=，n=4，当n=4时，满足执行循环的条件，故a=，n=5，…当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=5，n=2018，当n=2018时，满足执行循环的条件，故a=，n=2018当n=2018时，不满足执行循环的条件，故输出的a值为，故选：C．10．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．11．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【考点】数列的应用．【分析】设{a n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a7=a6+2a5，求出q，代入a m a n=16a12化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到， +＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．12．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B． C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，|PF|=|PM|，于是∠PFM=∠PMF=∠MFO=∠MNQ，设=λ，则cos∠MNQ=，利用二倍角公式求出cos∠PFx，列出方程解出λ．【解答】解：过N作l的垂线，垂足为Q，则|NF|=|NQ|，设=λ，则，∴cos∠MNQ=．∴cos∠MFO=．∵|PM|=|PF|，∴∠PMF=∠PFM，∴∠PFM=∠MFO，∴cos∠PFx=﹣cos2∠MFO=1﹣2cos2∠MFO=1﹣．∵tan∠PFx=，∴cos∠PFx=，∴1﹣=，解得λ2=10．即．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，则此双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程，进而可知a和b的关系，利用c=进而求得a 和c的关系式，则双曲线的离心率可得．【解答】解：∵中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∴=，即b=∴c== a∴e==故答案为：；14．已知数列{a n}是公差为3的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a10=．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知，利用等比数列的性质列式求得首项，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，d=3，且a1，a2，a5成等比数列，∴，即，解得：．∴．故答案为：．15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为25π．【考点】球的体积和表面积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半径，求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PF•PE，因为AE=2，所以侧棱长PA==2，PF=2R，所以20=2R×4，所以R=，所以S=4πR2=25π故答案为：25π．16．已知a＞0且a≠1，f（x）=x2﹣a x．当x∈（﹣1，1），均有f（x）＜，则实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．【考点】函数恒成立问题．【分析】化简不等式f（x）＜为x2﹣＜a x，构造函数h（x）=x2﹣，g（x）=a x，根据图象建立不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣a x，∴f（x）＜可化为x2﹣a x＜，即x2﹣＜a x，令h（x）=x2﹣，g（x）=a x，则如图，当x∈（﹣1，1），不等式f（x）＜等价于h（x）=x2﹣恒在g（x）=a x下方，即g（﹣1）≥h（﹣1），且g（1）≥h（1）．∴．解得，又a＞0且a≠1，即实数a取值范围是[，1）∪（1，2]．故答案为：[，1）∪（1，2]．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC 成等差数列．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x，求f（A）的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由等差数列及正弦定理，得到B（Ⅱ）化简f（x），由B的值，得到A的取值范围，由此得到f（A）的范围．【解答】解：（I）∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，∴2bcosB=ccosA+acosC．在△ABC中，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，R为△ABC外接圆的半径，可得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sin（A+C），又A+C=π﹣B，∴2sinBcosB=sin（π﹣B）=sinB，∵，∴sinB≠0，∴，∴．（II）=．∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，故f（A）的取值范围为．18．某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25，30），[30，35]，[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知[35，40）岁年龄段中的参加者有8人．（1）求n的值并补全频率分布直方图；（2）从[30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取2人作为领队，在选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）先求出年龄在[35，40）之间的频率，从而求出n，进而得到第二组的频率及矩形高，由此能作出频率分布直方图．（II）由已知得[30，35）之间的人数为12，[35，40）之间的人数为8，从而采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人，由此利用列举法能求出选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率．【解答】解：（I）年龄在[35，40）之间的频率为0.18×5=0.2，∵，∴．…∵第二组的频率为：1﹣（0.18+0.18+0.18+0.18+0.01）×5=0.3，∴矩形高为．…所以频率分布直方图如右图所示．…（II）由（I）知，[30，35）之间的人数为0.18×5×40=12，又[35，40）之间的人数为8，因为[30，35）之间的人数与[35，40）之间的人数的比值为12：8=3：2，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30，35）内有3人，[35，40）内有2人．…记年龄在[30，35）岁的3人分别为a1，a2，a3，记年龄在[35，40）岁的2人为b1，b2．选取2名领队的情况有10种：（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）；其中至少有1人的年龄在[35，40）内的情况有7种：（a1，b1），（a2，b1），（a1，b2），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．…∴选取的2名领队中至少有1人的年龄在[35，40）内的概率为．…19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．（1）求证：AB1∥平面BC1D；（2）求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）欲证AB1∥平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D 内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知OD ∥AB1，OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC⊥平面AA1C1C，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥B﹣AA1C1D的体积求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积即可．【解答】解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．（2）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面AA1C1C，∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC．作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C，∵AB=BB1=2，BC=3，在Rt△ABC中，，，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积==3．∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积为3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P （x1，y1），Q（x2，y2），与椭圆方程联立消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，△＞0，即4k2﹣m2+1＞0．由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得•=k2．解得k．利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，解得，∴椭圆C的标准方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，即4k2﹣m2+1＞0，且，，故．∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，∴．即，又m≠0，∴，即，又∵4k2﹣m2+1＞0，∴0＜m2＜2，由于直线OP，OQ的斜率存在，∴m2≠1．故=．令t=m2，则0＜t＜2，且t≠1，记f（t）=t（2﹣t）=﹣t2+2t，∴f（t）的值域为（0，1）．故△OPQ面积的取值范围为（0，1）．21．已知函数f（x）=lnx+（a≥0）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线（1﹣e）x﹣y+1=0平行，求a的值；（2）若不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）对函数求导，f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，即可求a的值；（2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导．需要用到两次求导．再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），，…f'（1）=3﹣a﹣e，由题意得3﹣a﹣e=1﹣e，…解得a=2．…（2）不等式f（x）≥a对于x＞0的一切值恒成立，等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0对于x＞0的一切值恒成立．记g（x）=xlnx+a+e﹣2﹣ax（x＞0），则g'（x）=lnx+1﹣a．…g'x=0x=e a﹣1x g'（x），g（x）的变化情况如下表：e a﹣1．…记h（a）=a+e﹣2﹣e a﹣1（a≥0），则h'（a）=1﹣e a﹣1，令h'（a）=0，得a=1．a h'a h a，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，满足题意．…当1≤a≤2时，函数h（a）在[1，2]上为减函数，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，满足题意．当a＞2时，函数h（a）在（2，+∞）上为减函数，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不满足题意．综上，所求实数a的取值范围为[0，2]．…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（1）求证：AC•BC=AD•AE；（2）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=4，CF=6，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）首先连接BE，由圆周角定理可得∠C=∠E，又由AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，可得∠ADC=∠ABE=90°，则可证得△ADC∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得AC•AB=AD•AE；（Ⅱ）证明△AFC∽△CFB，即可求AC的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE，又AB=BC…故AC•BC=AD•AE…（Ⅱ）解：∵FC是⊙O的切线，∴FC2=FA•FB…又AF=4，CF=6，从而解得BF=9，AB=BF﹣AF=5…∵∠ACF=∠CBF，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB…∴…∴…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l与圆C的极坐标方程；（2）设直线l与圆C的两个交点为M，N，求M，N两点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π），以及△MON的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣2y+3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）联立，消去ρ可得：可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得极坐标．进而得出△MON的面积S．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去t可得直角坐标方程：x﹣1=2（y﹣2），即x﹣2y+3=0，可得极坐标方程：ρcosθ﹣2ρsinθ+3=0．圆C的方程是x2+y2﹣2x﹣4y=0，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ=0，即ρ=2cosθ+4sinθ．（2）联立，消去ρ可得：2（cos2θ﹣4sin2θ）+3=0，可得，由ρ≥0，0≤θ＜2π，可得：，或．∴点M，N的极坐标分别为：，．∴∠MON=，∴△MON的面积S==3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣a|+5x，其中a＞0．（Ⅰ）当a=5时，求不等式f（x）≥5x+1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1，由此求得x的范围．（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的两个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得不等式的解集，再根据不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求得a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，不等式f（x）≥5x+1，即|2x﹣5|+5x≥5x+1，即|2x﹣5|≥1，即2x﹣5≤﹣1，或2x﹣5≥1．求得x≤2，或x≥3，故原不等式的解集为{x|x≤2，或x≥3}．（Ⅱ）∵a＞0，不等式f（x）≤0，即①，或②．解①可得≤x＜，故①无解；解②可得x≤，故原不等式的解集为{x|x≤}．再根据已知原不等式的解集为{x|x≤﹣1}，可得=﹣1，∴a=﹣3．2018年9月19日。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
xy0
13．已知实数 x, y 满足约束条件 x y 4 0 ，则 z 2 x y 的最大值为
.
y1
14. 在一次连环交通事故中 ,只有一个人需要负主要责任 ,但在警察询问时 ,甲说： “主要责任在 乙”；乙说： “丙应负主要责任 ”；丙说： “甲说的对 ”；丁说： “反正我没有责任 ”四，人中只
有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是
的频数分布表：
最高气温（℃）
[15,20) [20,25) [25,30) [35,40) [35,40) [10,15)
天数
1
17
32
29
6
5
（ 1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过
400 杯的概率；
字迹清楚； （ 3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答 题无效； （ 4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、 选择题 ：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的 .
，则实数 a 的取值范围是 （
）
A. ( ,1)
B. ( ,3)
C. ( 1,2)
D. ( 2,1)
第 II 卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分 .第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第
22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（本大题共 4 小题 ,每题 5 分 .）
17． (本小题满分 12 分 )
已知 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和， S4 , S2, S3 成等差数列，且 a2 a3 a4 18.
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案
普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。
$(-4,-3)$B。
$[-4,-3]$C。
$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。
$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。
$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。
$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。
$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。
$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。
$\frac{2}{3}$B。
$\frac{1}{5}$C。
$\frac{2}{5}$D。
$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。
黑龙江省哈尔滨市2018届高考第二次模拟数学(文)试题含答案
D哈尔滨市第六中学2018届高三第二次模拟考试文科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合2{|23,},{|3}A x x x Z B y y x =-≤≤∈==-, 则A B I 的子集个数共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2．若复数z 满足z (2－i)＝1＋7i ，则||z =( )A.B.C. D. 2 3. 已知2cos()423πθ-=，则sin θ=（ ） A.79B. 19C. 19-D. 79-4. 在ABC ∆中，,3,||1AD AB BC BD AD ⊥==uu u r uu u r uuu r ，则AC AD ⋅=uuu r uuu r（ ）A.1B.2C.3D.45．我国南宋数学家秦九韶给出了求n 次多项式1110n n n n a x a x a x a --++++L 当0x x =时的值的一种简捷算法，该算法被后人命名为“秦九韶算法”．例如，可将3次多项式改写为：323210a x a x a x a +++ ()()3210a x a x a x a =+++然后进行求值．运行如图所示的程序框图，是求哪个多项式的值（ ） A. 432234x x x x ++++ B. 4322345x x x x ++++ C. 3223x x x +++ D. 32234x x x +++ 6. 一个四棱柱的三视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A. 12B. 24C. 36D. 487．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+ (0,0,0)2A πωϕ>><<的部分图像如图所示，若将函数()f x 的图像上点的纵坐标 不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移6π个单位，所得到的函数()g x 的解析式为（ ）A. ()12sin4g x x = B. ()2sin2g x x = C. ()12sin 46g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D. ()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8. 圆O ：224x y +=上到直线l ：0x y a -+=的距离等于1的点恰好有4个，则a 的取值范围为( )A. [B. (C. [1,1]-D. (1,1)-9. 已知,m n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A. //αβ且//l αB. αβ⊥且l β⊥C. α与β相交，且交线垂直于lD. α与β相交，且交线平行于l10. 若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习，则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ） A.16 B. 13 C. 12 D. 2311. F 是抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的准线上，若2PF FQ =uu u r uu u r，则||PQ =A.92B. 4C.72D. 3 12. 已知函数53()272f x x x x =---+，若2()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1)-∞ B. (,3)-∞ C. (1,2)- D. (2,1)-第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．已知实数,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 .14. 在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”,四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是 .15. 已知平面四边形ABCD 中，AB=AD=2，BC=CD, 90BCD ∠=︒，则四边形ABCD 面积的最大值为 .16. 已知函数()(1)||4f x x x a =--+有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，423,,S S S 成等差数列，且23418a a a ++=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n n b a S =⋅，求123n b b b b ++++L ．18．(本小题满分12分)某冷饮连锁店计划按天订购一种冷饮，每天的进货量相同，进货成本每杯5元，售价每杯8元，未售出的冷饮降价处理，以每杯3元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温有关．如果最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；如果最高气温位于区间[20,25)，那么需求量为400杯；如果最高气温低于20℃，那么需求量为300杯．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据数据，得到下面的频数分布表：（1） 估计九月份这种冷饮一天的需求量不超过400杯的概率；（2） 设九月份一天销售这种冷饮的利润为Y （单位：元）．当九月份这种冷饮一天的进货量为500杯时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于500的概率．19．(本小题满分12分)如图，四棱锥E-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M,N 分别为BC,DE 中点． （1）证明：CN//平面AEM ；（2）若ABE ∆是等边三角形，平面ABE ⊥平面BCE ，,2CE BE BE EC ⊥==，求三棱锥N AEM -的体积．20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>， 其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ，过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，线段AB 的中点为G ， AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,DE 两点，且1AF 、12F F 、2AF构成等差数列.（1）求椭圆C 的方程；（2）记1G FD ∆的面积为1S ， OED ∆（O 为原点）的面积为2S ， 试问：是否存在直线AB ，使得1212S S =？说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数2()ln (1)1()f x x x a x x a R =---+∈ （1） 当0a =时，求()f x 的极值；（2） 当(1,)x ∈+∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.22. (本小题满分10分)在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程是22(13sin )16ρθ+=，点P 是曲线1C 上的动点.点M 满足2OP OM =uu u r uuu r(O为极点). 设点M 的轨迹为曲线2C . 以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xoy ，已知直线l的参数方程是1(x tt y t =+⎧⎨=⎩为参数）. （1）求曲线2C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设直线l 交两坐标轴于,A B 两点，求ABM ∆面积的最大值．23. (本小题满分10分)已知0a >， 0b >，且222a b +=. （1）若2214211x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明： ()55114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭．二模文数答案一、选择题：DBCC DCDB DAAC二、填空题：13. 5 14. 甲15. 16.三、解答题：17.解：（1）设等比数列的公比为,则.由题意得,即，解得.故数列的通项公式为.（2）由（1）有.则18.解：（1）（2）当最高气温不低于25℃，那么需求量为600杯；当最高气温位于区间，那么需求量为400杯；当最高气温低于20℃，那么需求量为300杯；故当最高气温不低于20℃时，，19.（1）证明：取中点，连结．因为中，分别为中点，所以．又因为四边形是平行四边形，所以．又是中点，所以，所以．所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取中点，连结，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又由（1）知平面，所以．又因为为中点，所以．20．（1）因为、、构成等差数列，所以，所以，又因为，所以，所以椭圆的方程为．（2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直．设方程为，由消去y整理得，显然．设，，则，故点的横坐标为，所以．设,因为，所以，解得，即．∵和相似，且，则，∴，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.21.解：（1）时，，由解得有极小值，无极大值.（2）由的令，①当时，，在上单调增，不合题意；当时，由解得或②当时，，，在上单调增，不合题意；③当时，，当时，，在上单调递增，不合题意；④当时，，当时，，在上单调递减，不符合题意；综上所述，的取值范围是22解：（1）在极坐标系中，设点.由，得，代入曲线的方程并整理，得，再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为.直线的参数方程(为参数)化为普通方程是.（2）由直线的方程为，可知.因为点在曲线上，所以设，，则点到直线的距离即为底边上的高，所以，所以，所以，。
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，] 8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣612．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．2018年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝1﹣i，∴在复平面内对应的点为（1，﹣1），故选：D．2．（5分）已知集合，集合B＝{x|y2＝4x}，则A∩B＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵集合＝[，]，集合B＝{x|y2＝4x}＝[0，+∞），∴A∩B═[，]∩[0，+∞）＝[0，]．故选：A．3．（5分）命题p：“∃x0∈R，x02+1＜2x0”的否定￢p为（）A．∃x0∈R，x02+1≥2x0B．∃x0∈R，x02+1＞2x0C．∀x∈R，x2+1≥2x D．∀x∈R，x2+1＜2x【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题即￢p：∀x∈R，x2+1≥2x，故选：C．4．（5分）某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥，其底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积为V＝••1•1•1＝．故选：A．5．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，执行如图所示的程序框图，则输出的M一定满足（）A．S n＝B．S n＝nM C．S n≥nM D．S n≤nM【解答】解：根据程序框图：算法的作用是求{a n}中的最小项．故：S n＝a1+a2+…+a n≥M+M+…+M＝nM，故：S n≥nM，故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）＝f（x），则（）A．f（x）在（，π）单调递减B．f（x）在（0，）单调递增C．f（x）在（，）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）＝，函数的最小正周期为π，则：ω＝2，由于f（﹣x）＝f（x），且|φ|＜，解得φ＝．故：f（x）＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ（k∈Z），解得（k∈Z），当k＝1时，f（x）在（，π）单调递增．当k＝0时，f（x）在（﹣）单调递增．所以f（x）在（）单调递减．所以A错误．故选：D．7．（5分）如果实数x，y满足关系，则的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；设z＝＝1+，则z的几何意义是区域内的点到M（5，7）的斜率加上1，由，可得A（0，4），由，可得B（2，2）；由图象可知，当MA的斜率最小为k＝＝，MB的斜率最大为k′＝＝，所以的取值范围是：[，]．故选：C．8．（5分）A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，＝3﹣2，M为线段AB 的中点，则•的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，A，B是圆O：x2+y2＝1上两个动点，||＝1，则△OAB为等边三角形且∠AOB＝60°，则||＝||＝1，•＝||×||×cos60°＝，M为线段AB的中点，则＝（+），则•＝（3﹣2）•（+）＝（3﹣2）•（+）＝（32﹣22+•）＝（3﹣2+）＝；故选：B．9．（5分）△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cos A cos B cos C＞0，则的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：△ABC中，由cos A cos B cos C＞0知，△ABC是锐角三角形，由正弦定理可知sin B＝sin2A＝2sin A cos A，∴b＝2a cos A，∴＝＝tan A，∵A+B+C＝180°，B＝2A，∴3A+C＝180°，A＝60°﹣＞30°，∵2A＜90°，∴A∈（30°，45°），＜tan A＜1，则＜＜．故选：D．10．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形，设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴CO1＝＝，∴OO1＝，∴高PD＝2OO1＝2，∵△ABC是边长为4正三角形，∴S△ABC＝＝4，∴V三棱锥P﹣ABC＝＝∴r2＝．则球O的表面积为4πr2＝．故选：D．11．（5分）函数y＝的图象与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A．﹣4B．﹣2C．﹣8D．﹣6【解答】解：在同一坐标系内作出函数y＝与函数y＝3sinπx（﹣4≤x≤2）的图象，如图所示，则函数y＝的图象关于点（﹣1，0）对称，同时点（﹣1，0）也是函数y＝2sinπx（﹣4≤x≤2）的对称点；由图象可知，两个函数在[﹣4，2]上共有4个交点，且两两关于点（﹣1，0）对称；设对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2＝2×（﹣1）＝﹣2，∴4个交点的横坐标之和为2×（﹣2）＝﹣4．故选：A．12．（5分）已知S为双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上的任意一点，过S分别引其渐近线的平行线，分别交x轴于点M，N，交y轴于点P，Q，若（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．（1，2]B．[2，+∞）C．（1，]D．[，+∞）【解答】解：设S（m，n）与渐近线y＝平行的直线方程为则M（m﹣，0），P（0，n﹣）．与渐近线y＝﹣平行的直线方程为则N（，0），Q（0，n+，|OM|＝||，|ON|＝||，|OP|＝||，|OQ|＝||，∴（+）•（|OP|+|OQ|）＝+（||），要使（+）•（|OP|+|OQ|）≥4恒成立，则．∴双曲线离心率e＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）等比数列{a n}中，a3＝18，a5＝162，公比q＝±3．【解答】解：∵a3＝18，a5＝162，∴q2＝＝9，公比q＝±3．故答案为：±3．14．（5分）利用随机模拟方法计算y＝1和y＝x2所围成图形的面积．首先利用计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，a1＝RAND，b＝RAND，然后进行平移和伸缩变换，a＝2（a1﹣0.5），若共产生了N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则所围成图形的面积可估计为．（结果用N，N1表示）【解答】解：由题意a1＝∈[0，1]，a＝2（a1﹣0.5）＝2a1﹣1∈[﹣1，1]，又b∈[0，1]，由N个样本点（a，b），其中落在所围成图形内的样本点数为N1，则＝，如图所示；∴所围成图形的面积可估计为S＝．故答案为：．15．（5分）设O为抛物线：y2＝2px（p＞0）的顶点，F为焦点，且AB为过焦点F的弦．若|AB|＝4p，则△AOB的面积为【解答】解：∵抛物线y2＝2px的焦点为F（，0）∴设弦AB所在直线的方程为y＝k（x﹣），（k≠0）与抛物线y2＝2px联解，得ky2﹣2py﹣kp2＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1y2＝﹣p2．根据抛物线的定义，得|AB|＝x1+x2+p＝4p∴x1+x2＝y12+y22＝3p，得y12+y22＝6p2．由此可得|y1﹣y2|2＝（y12+y22）﹣2y1y2＝6p2﹣（﹣2p2）＝8p2．∴S△AOB＝S△AOF+S△BOF＝|OF|•|y1﹣y2|＝××，因此，三角形的面积为：．故答案为：．16．（5分）f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x）．若f′（x）＞f（x）﹣1，f （1）＝2018，则不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．【解答】解：不等式f（x）＞2017e x﹣1+1⇔＞2017．令g（x）＝，∵f′（x）＞f（x）﹣1，∴g′（x）＝＞0，∴函数g（x）在R上单调递增，而g（1）＝＝2017，∴g（x）＞g（1），∴x＞1．∴不等式f（x）＞2017e x﹣1+1（其中e为自然对数的底数）的解集为{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知数列{a n}为正项数列，a1＝3，且﹣＝2（+）（n∈N*）．（1）求数列{a n}通项公式；（2）若b n＝+（﹣1）n•a n，求{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由﹣＝2（+）（n∈N*），∴＝∴a n+12﹣2a n+1＝a n2+2a n，∴a n+12﹣a n2＝2（a n+1+a n），∴（a n+1﹣a n）（a n+1+a n）＝2（a n+1+a n），∵数列{a n}为正项数列，∴a n+1﹣a n＝2，∵a1＝3，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，（2）b n＝+（﹣1）n•a n＝22n+1+（﹣1）n•（2n+1）＝2×4n+（﹣1）n•（2n+1），设c n＝2×4n，则{c n}的前n项和为＝设d n＝（﹣1）n•（2n+1），当n为偶数时，{d n}的前n项和为（﹣3+5）+（﹣7+9）+…（﹣2n+1+2n+1）＝2×＝n，当n为奇数时，{d n}的前n项和为﹣3+（5﹣7）+（9﹣11）+…（2n﹣1﹣2n﹣1）＝﹣3﹣2×＝﹣3﹣（n﹣1）＝﹣n﹣2，故当n为偶数时，S n＝+n，当n为奇数时，S n＝﹣n﹣2＝﹣n﹣，综上所述S n＝．18．（12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T，早高峰时段3≤T≤9，T∈[3，5）基本畅通；T∈[5，6）轻度拥堵；T∈[6，7）中度拥堵；T∈[7，9]严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内40个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示．（1）据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率．【解答】解：（1）∵频率直方图中，T∈[5，6）对应的小矩形最高，∴据此直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数为：＝5.5．由频率直方图估计早高峰时段交通拥堵指数的平均数为：0.15×3.5+0.2×4.5+0.3×5.5+0.2×6.5+0.1×7.5+0.05×8.5＝5.55．（2）由题知严重拥堵中交通指数T∈[7，8）的有4个，记为a，b，c，d，交通指数T∈[8，9）的有2个，记为A，B，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有15个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（A，B），选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]包含的基本事件有8个，分别为：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），∴恰有一个路段的交通指数T∈[8，9]的概率p＝．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E，F分别为PC，P A的中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，CD＝2．（1）求证：平面PBC⊥平面PBD；（2）求三棱锥P﹣EFB的体积．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，在△BCH中，有BH＝CH＝1，∴∠BCH＝45°．又在△DAB中，有AD＝AB＝1，∴∠ADB＝45°．∴∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°．∴BC⊥BD．∵PD⊥CD，平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PD⊂平面PCD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又∵BD∩PD＝D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，∴BC⊥平面PBD，又BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；（2）解：∵AB∥CD，且AB⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，则CD∥平面P AB，在Rt△PDA中，由AD＝PD＝1，可得D到P A的距离为，即D到平面P AB的距离为．又E为PC的中点，可得E到平面P AB的距离为．在Rt△P AB中，由AB＝1，P A＝，且F为P A的中点，可得．∴．20．（12分）已知F为椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，|OF|＝，P，Q分别为椭圆C的上下顶点，且△PQF为等边三角形．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P的两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于异于点P的点A，B，求证：直线AB过定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：由题意可得：c＝＝b，a2＝b2+c2，解得c＝，b＝1，a＝2．∴椭圆C的方程为：＝1．（2）证明：设直线l1的方程为：y＝kx+1，（k＞0），则直线l1的方程为：y＝﹣x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2+8kx＝0，解得x1＝﹣，+1＝，可得A（﹣，）．联立，化为：（4+k2）x2﹣8kx＝0，解得x2＝，y2＝﹣×+1＝，可得B（，）．∴直线AB的方程为：y﹣＝（x﹣），化为：y﹣＝（x﹣），化为：y＝x﹣．∴直线AB过定点：．21．（12分）已知函数h（x）＝ae x，直线l：y＝x+1，其中e为自然对数的底．（1）当a＝1，x＞0时，求证：曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）若函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，求实数a的取值范围；（3）对于第（2）中的两个交点的横坐标x1，x2及对应的a，当x1＜x2时，求证：a＞．【解答】解：（1）证明：当a＝1，x＞0时，令g（x）＝，g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g″（x）＞0，g′（x）递增，g′（x）＞g′（0）＝0，∴g（x）递增，g（x）＞g（0）＝0，∴曲线f（x）＝h（x）﹣x2在直线l的上方；（2）由y＝ae x和y＝x+1，可得ae x＝x+1，即有a＝，设m（x）＝，可得m′（x）＝，当x＞0时，m′（x）＜0，m（x）递减；当x＜0时，m′（x）＞0，m（x）递增，可得m（x）在x＝0处取得极大值，且为最大值1，图象如右上：由图象可得0＜a＜1时，a＝有两解，可得函数h（x）的图象与直线l有两个不同的交点，则a的范围是（0，1）；（3）证明：由（2）可得ae x1＝x1+1，ae x2＝x2+1，作差可得a＝，要证a＞，即证＞，由x1＜x2时，即证x2﹣x1＞，即为x2﹣x1＞1﹣＝1﹣，可令t＝x2﹣x1，即为t＞1﹣，设n（t）＝t﹣1+，t＞0，n′（t）＝1﹣＝＞0，可得n（t）在t＞0上递增，可得n（t）＞n（0）＝0，可得t＞1﹣成立，则当x1＜x2时，a＞．请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以原点O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）点P（0，1），直线l与曲线C交于M，N，求+的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝﹣4，即ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝﹣4．∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2＝﹣4，即＝1．（2）将直线l：（t为参数），转换为：（t为参数），代入曲线，得到：7t2+40t﹣75＝0，所以，（t1和t2为M和N对应的参数），则＝＝．故+的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z为正实数，且x+y+z＝2．（1）求证：4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）求证：++≥4．【解答】解：（1）在等式x+y+z＝2两边平方得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz，由基本不等式可得4＝x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz＝（x2+y2）+z2+2xy+2yz+2xz≥2xy+z2+2xy+2yz+2xz＝4xy+2yz+2xz+z2，当且仅当x＝y时，等号成立，因此，4﹣z2≥4xy+2yz+2xz；（2）由基本不等式可得++＝≥2（x+y+z）＝4，当且仅当x＝y＝z＝时，等号成立．。
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1，3}，则a＝（）A．0B．1C．2D．32．（5分）已知复数z＝，则在复平面内，z的对应点位于（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内3．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．804．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．10B．8C．3D．25．（5分）函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（4，8）7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π8．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.99．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于直线x＝﹣对称11．（5分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为4m，圆直径为2m．若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）二、填空题：本题共4小题每小题5分，共2013．（5分）已知向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则（+）•（﹣2）＝．14．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1 上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|＝4，则△PF1F2的面积为．15．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：①若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β；②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则n∥α；③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，则α∥β．其中正确命题的序号为（填所有正确命题的序号）16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sin B cos C+sin C＝2sin A，sin A+sin C＝2sin A sin C，b＝3，则a+c＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6017．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，S n+1＝3S n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD，点E为PC中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面P AB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量80 后、90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了100 位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80 后员工中，用分层抽样方法抽出6名员工进行海外体验活动培训，再在这6 名员工中随机选出 4 名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝klnx﹣1+，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．2018年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1，3}，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵A∩B＝{1，3}；∴3∈B；∴a＝3．故选：D．2．（5分）已知复数z＝，则在复平面内，z的对应点位于（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内【解答】解：∵z＝＝，∴在复平面内z的对应点的坐标为（﹣2，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．（5分）某高校调查了320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）A．68B．72C．76D．80【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：（0.02+0.07）×2.5＝0.225，∴这320 名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是：0.225×320＝72．故选：B．4．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【解答】解：作出实数x，y满足条件对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x+3y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+经过点B时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大．由，解得B（2，2）．此时z的最大值为z＝2×2+3×2＝10，故选：A．5．（5分）函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）＝＝＝＝．∴函数y＝sin（x﹣）﹣cos（x﹣）的最大值为．故选：C．6．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长大于2，则该椭圆的长轴长的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（4，+∞）C．（2，4）D．（4，8）【解答】解：根据题意，椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，即e＝＝，则c＝a，又由椭圆短轴长大于2，即2b＞2，则b＞1，则有a2﹣c2＝b2＞1，即＞1，解可得a＞2，则该椭圆的长轴长2a＞4，即该椭圆的长轴长的范围为（4，+∞）；故选：B．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+2πB．2+6πC．4+πD．2+4π【解答】解：由题意可知几何体的组合体，上部是三棱柱，底面边长为2，底面三角形的高为1，棱柱的高2，下部是圆柱，高为2，底面半径为：，所以几何体的体积为：＝2+4π，故选：D．8．（5分）执行如图的程序框图，若输入a的值为2，则输出S的值为（）A．3.2B．3.6C．3.9D．4.9【解答】解：执行如图所示的程序框图，若输入a＝2，则k＝1时，S＝1+＝2；k＝2时，S＝2+＝；k＝3时，S＝+＝；k＝4时，S＝+；k＝5时，S＝+＝＝3.9；此时终止循环，输出S＝3.9．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（﹣2））＝（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝，则f（﹣2）＝log2（1+2）﹣1＝log2，f（f（﹣2））＝f（log2）＝＝．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的图象（）A．关于点（﹣，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于直线x＝﹣对称【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为T＝π，∴ω＝＝2；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位，得y＝f（x+）＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+）的图象，∴函数g（x）＝sin（2x+）；g（﹣）＝sin（﹣+）≠0，图象不关于点（﹣，0）对称，A错误；g（﹣）＝sin（﹣+）＝0，图象关于点（﹣，0）对称，B正确，D错误；g（﹣）＝sin（﹣+）≠±1，图象不关于x＝﹣对称，C错误；故选：B．11．（5分）某广场有一个如图所示的太极八卦图案，该图案是由八个共顶点的全等且相邻的等腰三角形被一个内有阴阳鱼图案的圆覆盖的中心对称图形，且图案对角连线过圆心，长度为4m，圆直径为2m．若在图案内任取一点，则该点取自圆内黑色部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意知，八个全等等腰三角形的面积为8××2×2×sin45°＝8；黑色部分图案的面积为π×12＝；∴所求的概率为P＝＝．故选：D．12．（5分）已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：由不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，即成立，令f（x）＝，则f′（x）＝＝令f′（x）＝0，可得：x1＝2a﹣1，x2＝﹣a，∵a∈（﹣∞，0），∴x1＝2a﹣1＜0，x2＝﹣a＞0∵x∈（0，+∞），∴当x∈（0，﹣a），f′（x）＞0，则f（x）在x∈（0，﹣a）单调递增∴当x∈（﹣a，+∞），f′（x）＜0，则f（x）在x∈（﹣a，+∞）单调递减当x＝﹣a时，f（x）取得最大值为f（﹣a）＝＜k，即f（a）＝＜k，∵a∈（﹣∞，0），f（a）＜f（0）≤k．即k≥3．故选：B．二、填空题：本题共4小题每小题5分，共2013．（5分）已知向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则（+）•（﹣2）＝﹣29．【解答】解：向量＝（2，5），＝（﹣5，t），若⊥，则•＝2×（﹣5）+5t＝0，解可得t＝2，则＝（2，5），＝（﹣5，2），则有+＝（﹣3，7），﹣2＝（12，1），则（+）•（﹣2）＝（﹣3）×12+7×1＝﹣29；故答案为：﹣2914．（5分）已知点P是双曲线﹣y2＝1 上的一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|+|PF2|＝4，则△PF1F2的面积为．【解答】解：不妨设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|＝2，又|PF1|+|PF2|＝4，∴|PF1|＝3，|PF2|＝，又|F1F2|＝2c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝，∴△PF1F2的面积为＝．故答案为：．15．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题：①若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥β；②若m⊥β，n⊥β，m⊂α，n⊄α，则n∥α；③若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若m，n异面，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，则α∥β．其中正确命题的序号为②④（填所有正确命题的序号）【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在①中：若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中：若m⊥β，n⊥β，m⊂α⇒α⊥β且m∥n，又n⊄α，则n∥α，故②正确；在③中：若m⊂α，n⊂β，a∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，故③错误；在④中：在①中，∵m∥β，∴在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，∴m1∥α．∵m，n是两条异面直线，∴直线m1与n是两条相交直线，又n∥α，∴α∥β，故④正确．故答案为：②④．16．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2sin B cos C+sin C＝2sin A，sin A+sin C＝2sin A sin C，b＝3，则a+c＝3．【解答】解：∵2sin B cos C+sin C＝2sin A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴cos B＝，又B是△ABC内角，∴B＝，∵sin A+sin C＝2sin A sin C，sin B＝，∴sin B（sin A+sin C）＝3，∴b（a+c）＝3ac，又b2＝a2+c2﹣2ac cos，b＝3，∴2a2c2﹣3ac﹣9＝0，解得ac＝3，∴a+c＝＝3．故答案为：3．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共6017．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝3，S n+1＝3S n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n＝，求数列{b n}的前n项和T n，并求使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合．【解答】解：（I）∵a1＝3，S n+1＝3S n+3．∴S n+1+＝3（S n+）．S1+＝．∴数列{S n+}是等比数列，公比为3，首项为．∴S n+＝，∴S n＝﹣．∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣﹣＝3n．n＝1时，也成立．∴a n＝3n．（II）b n＝＝＝2，∴数列{b n}的前n项和T n＝2+……+＝2≥1．T n＞（m2﹣3m），∴1＞（m2﹣3m），∴﹣1＜m＜4，使T n＞（m2﹣3m）对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合为{0，1，2，3}．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD，点E为PC中点．（Ⅰ）证明：DE∥平面P AB；（Ⅱ）若P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PB中点M，连结EM，AM∵E是PC的中点，∴EM∥BC，EM＝BC，∵AD∥BC，BC＝2AD，∴EM AD，∴四边形ADEM是平行四边形，∴AM∥DE，∵DE⊄平面P AB，AM⊂平面P AB，∴DE∥平面P AB．解：（Ⅱ）由条件∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，则△DFC是边长为2的等边三角形，四边形ABFD是边长为2的菱形，等腰梯形ABCD的面积S＝＝3，∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成角，∵P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，直线PB与平面ABCD所成角为60°，∴∠PBA＝60°，P A＝，∴四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝＝6．19．（12分）近年来，随着科学技术迅猛发展，国内有实力的企业纷纷进行海外布局，如在智能手机行业，国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外设多个分支机构，需要国内公司外派大量80 后、90 后中青年员工，该企业为了解这两个年龄层员工对是否愿意接受外派工作的态度，随机调查了100 位员工，得到数据如表：（Ⅰ）根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.1 的前提下认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”，并说明理由；（Ⅱ）该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动，在参与调查的80 后员工中，用分层抽样方法抽出6名员工进行海外体验活动培训，再在这6 名员工中随机选出 4 名准备参加活动时发言，求参与发言的员工愿意接受外派人数不少于不愿意接受外派人数的概率．参考数据：参考公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【解答】解：（Ⅰ）根据调查的数据，计算K2＝＝≈2.778≥2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1 的前提下，认为“是否愿意接受外派与年龄层有关”；（Ⅱ）由于参与调查的80 后员工愿意接受外派与不愿意接受外派人数相同，用分层抽样方法抽出6名员工，愿意接受外派与不愿意接受外派的各3名，设不愿意接受外派的3人为A、B、C，愿意接受外派的为d、e、f，现从这6人中选4人（相当于其中2人没有抽到），基本事件是AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15种，“愿意接受外派的人数不少于不愿意接受外派人数”即“愿意接受外派的人数为2人或3人”，基本事件是（转化为2人没有被抽到），即Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共12种，故满足题意的概率为P＝＝．20．（12分）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F在y轴的正半轴上，点A是抛物线上的一点，以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F．（I）求抛物线的标准方程：（Ⅱ）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PQ恰与抛物线相切时，求直线m的方程．【解答】解：（Ⅰ）设所求抛物线方程为x2＝2px（p＞0），由以A为圆心，2为半径的圆与y轴相切，切点为F，所以p＝2，即该抛物线的标准方程为x2＝4y．（Ⅱ）由题知，直线m的斜率存在，不妨设直线m：y＝kx+6，P（x1，y1），Q（x2，y2），由，消y得x2﹣4kx﹣24＝0，即 (1)抛物线在点P（）处的切线方程为，令y＝﹣1，得x＝，所以R（），而Q，F，R三点共线，所以k QF＝k FR，及F（0，1），得（）（+16x1x2＝0，整理得﹣4[（x1+x2）2﹣2x1x2]+16+16x1x2]＝0，将（1）式代入得k2＝，即k＝，故所求直线m的方程为y＝或y＝﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝klnx﹣1+，且曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，∵y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，∴f′（1）＝0，即k＝1，∴f′（x）＝，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（II）f（x）＝lnx﹣1+，∵f（x）＞ax对0＜x＜1恒成立，∴a＜在（0，1）上恒成立，设g（x）＝＝（0＜x＜1），则g′（x）＝＝，令h（x）＝2x﹣xlnx﹣2（0＜x＜1），则h′（x）＝2﹣lnx﹣1＝1﹣lnx＞0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x）＜h（1）＝0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减，∴g（x）＞g（1）＝0，∴a≤0．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．（I）若点Q在射线OP上，且|OP|•|OQ|＝4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（4，），求△MOP面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设Q（ρ，θ），P（ρ1，θ）（ρ＞0，ρ1＞0），则ρ1＝sinθ+cosθ，又|OP|•|OQ|＝4，∴ρρ1＝4，即，∴＝sinθ+cosθ，∴ρsinθ+ρcosθ＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρsinθ+ρcosθ＝4，得点Q轨迹方程为x+y＝4；（Ⅱ）设P（ρ，θ）（ρ＞0），则ρ＝cosθ+sinθ，∵M（4，），∴△MOP面积＝+sinθ）2＝，当且仅当sin2θ＝1时，取“＝”，取即可，∴△MOP面积的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，求证：（Ⅰ）a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）≥4．【解答】证明：（Ⅰ）设a＞0，b＞0，且a2b+ab2＝2，∴（a3+b3）﹣2＝a3+b3﹣a2b﹣ab2＝a2（a﹣b）+b2（b﹣a）＝（a﹣b）（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，∴a3+b3≥2；（Ⅱ）（a+b）（a5+b5）＝a6+b6+a5b+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5+ab5＝（a3+b3）2﹣2a3b3+a5b+ab5＝（a3+b3）2+ab（a4﹣2a2b2+b4）＝（a3+b3）2+ab（a2﹣b2）2，∵a＞0，b＞0，a3+b3≥2，∴（a+b）（a5+b5）≥4．。
2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(文科)试题
绝密 启用前普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)文科数学本试卷共８页,２４题(含选考题).全卷满分１５０分.考试用时１５０分钟. 祝考试顺利注意事项:１．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．其中第Ⅱ卷第(２２)题~第(２４)题为选考题,其它题为必考题．２．答题前,考生务必将密封线内项目填写清楚．考生作答时,请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效 ,在试题卷 ㊁草稿纸上答题无效．３．做选考题时,考生须按照题目要求作答,并用２B 铅笔在答题纸上把所选题号的题目涂黑．４．考试结束后,将本试题和答题纸一并交回．第Ⅰ卷(选择题,共６０分)一㊁选择题(本大题共１２小题,每小题５分,共６０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)１．已知集合S ＝{１,２},T ＝{x |x ２＜４x －３},则S ɘT ＝(㊀㊀)A．{１}㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀B ．{２}㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀C ．１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀D．２２．(２０１７ 桂林市模拟)复数z ＝(a ＋i )(１－i ),a ɪR ,i 是虚数单位．若|z |＝２,则a ＝(㊀㊀)A．１B ．－１C ．０D．ʃ１３．(２０１７ 福建质检)某公司为了增加其商品的销售利润,调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表:广告费用x (万元)２３５６销售利润y (万元)５７９１１由表中数据,得线性回归方程l:^y ＝^b x ＋^a ,^b ＝ðni ＝１(x i －x )(y i －y )ðn i ＝１(x i －x )２,^a ＝y －^b x æèççöø÷÷,则下列结论错误的是(㊀㊀)A．^b ＞０B ．^a ＞０C ．直线l 过点(４,８)D．直线l 过点(２,５)４．已知数列{a n }为等差数列,a ２＋a ３＝１,a １０＋a １１＝９,则a ５＋a ６＝(㊀㊀)A．４B ．５C ．６D．７５．(２０１７ 沈阳市质检)已知函数f (x )＝l o g ５x ,x ＞０,２x ㊀㊀,x ɤ０,{则f f １２５æèçöø÷æèçöø÷＝(㊀㊀)A．４B ．１４C ．－４D．－１４数学试卷(二)㊀㊀第１页(共８页)６．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(㊀㊀)A．９＋３B．１８＋２３C．９３＋３D．１８３＋２７．(２０１７ 兰州市实战考试)已知直线a x＋y－１＝０与圆C:(x－１)２＋(y＋a)２＝１相交于A,B,且әA B C为等腰直角三角形,则实数a的值为(㊀㊀) A．１７或－１B．－１C．１或－１D．１８．按如下的程序框图,若输出结果为２７３,则判断框应补充的条件为(㊀㊀)A．i＞７B．iȡ７C．i＞９D．iȡ９９．已知三棱锥PＧA B C,在底面әA B C中,øA＝６０ʎ,øB＝９０ʎ,B C＝３,P Aʅ平面A B C,P A＝２,则此三棱锥的外接球的体积为(㊀㊀) A．８２π３B．４３πC．４２π３D．８π１０．(２０１７ 昆明市统测)过点A(１,２)的直线l与x轴的正半轴交于点B,与直线lᶄ:y＝２２x交于点C,且点C在第一象限,O为坐标原点,设|O B|＝x,若f(x)＝|O B|＋|O C|,则函数y＝f(x)的图象大致为(㊀㊀)㊀１１．(２０１７ 广州市模拟)已知双曲线x２a２－y２b２＝１(a＞０,b＞０)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的２倍,则其渐近线方程为(㊀㊀) A．２xʃy＝０B．xʃ２y＝０C．４xʃ３y＝０D．３xʃ４y＝０１２．(２０１７ 沈阳市一监)已知偶函数f(x)(xʂ０)的导函数为fᶄ(x),且满足f(１)＝０,当x＞０时,x fᶄ(x)＜２f(x),则使得f(x)＞０成立的x的取值范围是(㊀㊀) A．(－ɕ,－１)ɣ(０,１)B．(－ɕ,－１)ɣ(１,＋ɕ)C．(－１,０)ɣ(１,＋ɕ)D．(－１,０)ɣ(０,１)数学试卷(二)㊀㊀第２页(共８页)第Ⅱ卷(非选择题,共９０分)㊀㊀本卷包括必考题和选考题两部分,第１３题~第２１题为必考题,每个试题考生都必须做答,第２２题~第２４题为选考题,考生根据要求做答．二㊁填空题(本大题共４小题,每小题５分,共２０分．把答案填在答题纸上)１３．(２０１７ 贵阳市监测)已知向量m ＝(λ＋１,１),n ＝(λ＋２,２),若(m ＋n )ʊ(m －n ),则λ＝㊀㊀㊀㊀．１４．如果实数x ,y 满足条件x －y －２ȡ０,x －２ɤ０,y ＋１ȡ０,ìîíïïïï则z ＝x ＋３y 的最小值为㊀㊀㊀㊀．１５．设２x ＝５y ＝m ,且１x ＋１y＝２,则m ＝㊀㊀㊀㊀．１６．已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a １＝１,a n ＋１＝２S n (n ɪN ∗),则a n ＝㊀㊀㊀㊀．三㊁解答题(本大题共６小题,共７０分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)１７．(本小题满分１２分)在әA B C 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c o s B －２c o s A ２a －b ＝c o s C c．(１)求a b的值;(２)若角A 是钝角,且c ＝３,求b 的取值范围．１８．(本小题满分１２分)对某市工薪阶层关于 楼市限购政策 的态度进行调查,随机抽查了５０人,他们月收入(单位:百元)的频数分布及对 楼市限购政策 赞成人数如下表:月收入(百元)[１５,２５)[２５,３５)[３５,４５)[４５,５５)[５５,６５)[６５,７５)频数５１０１５１０５５赞成人数４８１２５２１(１)根据以上统计数据填写下面２ˑ２列联表,并回答是否有９５％的把握认为月收入以５５百元为分界点对 楼市限购政策 的态度有差异?月收入低于５５百元人数月收入不低于５５百元人数总计赞成a ＝㊀㊀b ＝㊀㊀不赞成c ＝㊀㊀d ＝㊀㊀总计(２)若从月收入在[５５,６５)的被调查对象中随机选取２人进行调查,求至少有一人赞成 楼市限购政策 的概率．参考公式:K ２＝n (a d －b c )２(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ),其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ㊀㊀æèçöø÷参考值表:P (K ２ȡk ０)０．０５００．０１００．００１k ０３．８４１６．６３５１０．８２８数学试卷(二)㊀㊀第３页(共８页)１９．(本小题满分１２分)如图所示的多面体中,四边形A B C D 是菱形㊁B D E F 是矩形,E D ʅ面A B C D ,øB A D ＝π３．(１)求证:平面B C F ʊ平面A E D ;(２)若B F ＝B D ＝a ,求四棱锥A ＧB D E F 的体积．２０．(本小题满分１２分)(２０１７ 海口市调研)设直线l :y ＝k (x ＋１)(k ʂ０)与椭圆x ２＋４y２＝m ２(m ＞０)相交于A ,B 两个不同的点,与x 轴相交于点C ,O 为坐标原点．(１)证明:m ２＞４k ２１＋４k２;(２)若A C ң＝３C B ң,求әO A B 的面积取得最大值时椭圆的方程．２１．(本小题满分１２分)(２０１７ 广西质检)设函数f (x )＝c l n x ＋１２x ２＋b x (b ,c ɪR ,c ʂ０),且x ＝１为f (x )的极值点．(１)若x ＝１为f (x )的极大值点,求f (x )的单调区间(用c 表示);(２)若f (x )＝０恰有两解,求实数c 的取值范围．请考生在第２２㊁２３两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．２２．(本小题满分１０分)选修４－４:坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 的参数方程为x ＝１＋c o s αy ＝si n α{(α为参数),在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρs i n θ＋π４æèçöø÷＝２２．(１)求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程;(２)动点A 在曲线C 上,动点B 在直线l 上,定点P 的坐标为(－２,２),求|P B |＋|A B |的最小值．２３．(本小题满分１０分)选修４－５:不等式选讲设a ,b ,c ɪR ＋且a ＋b ＋c ＝１．(１)求证:２a b ＋b c ＋c a ＋c ２２ɤ１２;(２)求证:a ２＋c ２b ＋b ２＋a ２c ＋c ２＋b ２aȡ２．数学试卷(二)㊀㊀第４页(共８页)。
黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试2018年高中数学仿真模拟试题(二)理_4525
销售利润 y （万元） 5 7 9 11
由表中数据，得线性回归方程 l ：
y
b x
a
，
b
n i 1
xi x yi y
n
2
xi x
i 1
,
a
y
b x
，则下列结论错误的是（
）
A． b 0
B． a 0
C．直线 l 过点 4,8
D．直线 l 过点 2,5
4.已知数列an 为等差数列， a2 a3 1， a10 a11 9 ，则 a5 a6 （ ）
普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(二)
理科数学
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合 S 1, 2 ，T x x2 4x 3 ，则 S T （ ）
A． 1
B． 2
C21 C22 C92
18 ， C92
∴
1 C92
50 1 10
2
0
118
=
50 38 36
=
22 9
元，
22
即此时顾客领取的奖金的平均值为 元.
9
19.解析：（1）证明：作 FM / /CD 交 PC 于 M .
∵点 F 为 PD 中点， ∴ FM 1 CD .
2 ∵点 E 为 AB 中点，
同)，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别
可领取奖金 a 元，10 元、 5 元、1元．若经营者将顾客摸出的 3 个球的颜色情况分成以下类别: A ：1个黑球， 2 个红球； B ： 3 个红球； C ：恰有1个白球； D ：恰有 2 个白球； E ： 3 个
黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(文科)试题(精编含解析)
普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,应选B.考点：集合的交集运算.2. （2017·桂林市模拟）复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. （2017·福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售利润（万元）57911由表中数据，得线性回归方程：，，则下列结论错误的是（）A. B. C. 直线过点 D. 直线过点【答案】D【解析】【分析】求出回归直线方程，根据回归方程进行判断．【详解】=，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=，=8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选：D．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4. 已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. （2017·沈阳市质检）已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的表达式从内向外依次代入求值即可．【详解】f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【详解】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S=2×+3×2×3=18+2．故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. （2017·兰州市实战考试）已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。
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普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(二)文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2S =，{}243T x x x =<-，则ST =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．1D ．22.（2017·桂林市模拟）复数()()1z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位.若2z =，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±3.（2017·福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：由表中数据，得线性回归方程l ：y bx a =+，()()()121,ni i i n i i x x y y b a y bx x x ==⎛⎫-- ⎪ ⎪==- ⎪- ⎪⎝⎭∑∑，则下列结论错误的是（ ） A ．0b > B ．0a > C ．直线l 过点()4,8 D ．直线l 过点()2,5 4.已知数列{}n a 为等差数列，231a a +=，10119a a +=，则56a a +=（ ） A ．4 B ．5 C.6 D ．7 5.（2017·沈阳市质检）已知函数()5log ,0,2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则125f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．4B ．14 C.4- D ．14- 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．9．18+3 D ．27.（2017·兰州市实战考试）已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A ．17或1- B ．1- C.1或1- D ．1 8.按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框应补充的条件为（ ）A ．7i >B ．7i ≥ C.9i > D ．9i ≥9.已知三棱锥P ABC -，在底面ABC △中，60A ∠=，90B ∠=，BC ，PA ⊥平面ABC ，2PA =，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．3 B ． C.3D ．8π10.（2017·昆明市统测）过点(A 的直线l 与x 轴的正半轴交于点B ，与直线l y '=:交于点C ，且点C 在第一象限，O 为坐标原点，设OB x =，若()f x OB OC =+，则函数()y f x =的图象大致为（ ）A． B． C. D．11.（2017·广州市模拟）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．20x y±= B．20x y±= C.430x y±= D．340x y±=12.（2017·沈阳市一监）已知偶函数()()0f x x≠的导函数为()f x'，且满足()10f=，当0x>时，()()2xf x f x'<，则使得()0f x>成立的x的取值范围是（）A．()(),10,1-∞- B．()(),11,-∞-+∞C.()()1,01,-+∞ D．()()1,00,1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2017·贵阳市监测）已知向量()1,1mλ=+，()2,2nλ=+，若()()//m n m n+-，则λ=．14.如果实数x，y满足条件20,20,10,x yxy--≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则3z x y=+的最小值为．15.设25x y m==，且112x y+=，则m=．16.已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足11a=，()12n na S n N*+=∈，则na=．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2cos cos2B A Ca b c-=-.（1）求ab的值； （2）)若角A 是钝角，且3c =，求b 的取值范围.18. 对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：（1）)根据以上统计数据填写下面22⨯列联表,并回答是否有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异？（2）若从月收入在[)55,65的被调查对象中随机选取2人进行调查,求至少有一人赞成“楼市限购政策”的概率.（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）参考值表：19. 如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形、BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ，3BAD π∠=.（1）求证：平面//BCF 平面AED ；（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积.20. （2017·海口市调研）设直线()():10l y k x k =+≠与椭圆()22240x y m m +=>相交于A ，B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，O 为坐标原点.（1）证明：222414k m k>+； （2）若3AC CB =，求OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程. 21. （2017·广西质检）设函数()()21ln ,,02f x c x x bx b c R c =++∈≠，且1x =为()f x 的极值点.（1）若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）； （2）若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（2）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为()2,2-，求PB AB +的最小值.23.选修4-5：不等式选讲 设,,a b c R +∈且1a b c ++=.（1）求证：21222c ab bc ca +++≤； （2）求证：2222222a c b a c b b c a+++++≥.试卷答案一、选择题1-5:BDDAB 6-10:BCBAB 11、12：CD 二、填空题13.0 14.2-21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩三、解答题 17.解析：（1）∵cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-，∴()()cos 2cos cos 2c B A C a b -=-， 在ABC △中，由正弦定理有，sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos C B C A A C B C -=-，即()()sin 2sin B C A C +=+， ∵A B C π++=， ∴sin 2sin A B =，∴2ab=. （2）由余弦定理2222299493cos 02366b a b b b A b b b+-+--===<⋅∴b > ∵b c a +>， ∴32b b +>， ∴3b <，②由①②得b 的范围是).18.解析：（1）由题意得22⨯列联表：根据列联表中的数据得2K 的观测值()250297311 6.27 3.84132184010k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为月收入以55百元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异. （2）设月收入在[)55,65的5人为A ，B ，a ，b ，c ，其中A ，B 表示赞成者，a ，b ，c 表示不赞成者.从5人中选取2人的情况有：(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共10种，其中至少有一人赞成的有(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，共7种，故所求概率为710P =. 19. 解析：（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以//BC AD ， 因为BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以//BC 平面ADE .因为BDEF 是矩形，所以//BF DE ， 因为BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以//BF 平面ADE ，又BC ，BF ⊂平面BCF 且BC BF B =，所以平面//BCF 平面AED .（2）连接AC ，交BD 于点O （图略）. 因为四边形ABCD 是菱形，所以AO BD ⊥， 又因为ED ⊥面ABCD ，AO ⊂面ABCD ， 所以AO ED ⊥，而BD ED D =，所以AO ⊥平面BDEF . 即AO 是四棱锥A BDEF -的高.因为四边形ABCD 菱形，BF BD a ==，所以2AO a =，所以四棱锥A BDEF -的体积3113326V Sh a a ==⨯⨯⨯=. 20.解析：（1）依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故()1y k x =+可化为11x y k=-. 将11x y k=-代入2224x y m +=，消去x ， 得()()222214210k y ky k m +-+-=，①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，()()2222441140k k m k ∆=--+>，整理得222414k m k>+. （2）设()11,A x y ，()22,B x y .由①，得122214ky y k+=+， 因为3AC CB =，得123y y =-，代入上式，得2214ky k-=+. 于是，OAB △的面积12222211221442k k S OC y y y k k =⋅-==≤=+， 其中，上式取等号的条件是241k =，即12k =±. 由2214k y k -=+，可得214y =±. 将12k =，214y =-及12k =-，214y =这两组值分别代入①，均可解出252m =.所以，OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程是2228155x y +=. 21.解析：()2c x bx c f x x b x x++'=++=，又()10f '=，则10b c ++=，所以()()()1x x c f x x--'=且1c ≠.（1）因为1x =为()f x )的极大值点，所以1c >，当01x <<时，()0f x '>；当1x c <<时，()0f x '<； 当x c >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，(),c +∞；单调递减区间为()1,c . （2）①若0c <，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()0f x =恰有两解，则()10f <，则102b +<，所以102c -<<；②若01c <<，则()()21ln 2f x f c c c c bc ==++极大值，()()112f x f b ==+极小值，因为1b c =--，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值，()12f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解；③若1c >，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值，()12f x c =--极大值，则()0f x =只有一解.综上，使()0f x =恰有两解的c 的取值范围为102c -<<. 22.解析：（1）由曲线C 的参数方程1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩可得，()22221cos sin 1x y αα-+=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y -+=.由直线l的极坐标方程sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得()sin cos 4ρθθ+=，即4x y +=. （2）设点P 关于直线l 的对称点为(),Q a b ，则()()224,22211,2a bb a -++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=---⎪⎩解得2,6,a b =⎧⎨=⎩由（1）知，曲线C 为圆，圆心坐标为()1,0C ，故11PB AB QB AB QC +=+≥-=.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以PB AB +1.23.证明：（1）因为()222221222422a b c a b c ab bc ca ab bc ca c =++=+++++≥+++，所以()22112422222c ab bc ca ab bc ca c +++=+++≤. （2）因为222a c ac b b +≥，222b a ab c c +≥，222c b bc a a+≥， 所以222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a b c c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222c b a c a b a b c a b c b c c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。