高中数学-数列经典例题(裂项相消法)(1)
数列裂项相消求和的典型题型
1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{
1+n n a a 的前100项和为()
A .100101
B .99101
C .99100
D .1011002.数列,)
1(1+=
n n a n 其前n 项之和为,109则在平面直角坐标系中,直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为()A .-10B .-9C .10D .9
3.等比数列}{n a 的各项均为正数,且6223219,132a a a a a ==+.
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{
n b 的前n 项和.4.正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ;(Ⅱ)令,)1(1n
n a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T .5.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且12,4224+==n n a a S S .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2
11*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T .6.已知等差数列}{n a 满足:26,7753=+=a a a .}{n a 的前n 项和为n S .
(Ⅰ)求n a 及n S ;(Ⅱ)令),(1
1*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T .7.在数列}{n a 中n n a n a a 211)11(2,1,+
==+.(Ⅰ)求}{n a 的通项公式;(Ⅱ)令,2
11n n n a a b -=+求数列}{n b 的前n 项和n S ;
(Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n T .
8.已知等差数列}{n a 的前3项和为6,前8项和为﹣4.
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)设),,0()4(*1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S .
9.已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*,N n m ∈?都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--.
(Ⅰ)求53,a a ;
(Ⅱ)设),(*1212N n a a b n n n ∈-=-+证明:}{n b 是等差数列;
(Ⅲ)设),,0()(*11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S .
10.已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足16,557263=+=a a a a .
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式;
(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2
222*33221N n b b b b a n n n ∈++++= 求数列}{n b 的前n 项和n S .11.已知等差数列}{n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且421,,S S S 成等比数列.
(1)求数列}{n a 的通项公式;
(2)令,4)1(1
12+--=n n n a a n b 求数列}{n b 的前n 项和n T .12.正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足:0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .
(1)求数列}{n a 的通项公式n a ;
(2)令,)2(122n
n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ,证明:对于,*N n ∈?都有645 1.A ;2.B 3.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42,∴q 2=. 由条件可知各项均为正数,故q=. 由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1,∴a 1=. 故数列{a n }的通项式为a n = .(Ⅱ)b n =++…+ =﹣(1+2+…+n )=﹣, 故=﹣=﹣2(﹣) 则++…+=﹣2[(1﹣)+(﹣)+…+(﹣)]=﹣, ∴数列{}的前n项和为﹣. 4.解:(Ⅰ)由正项数列{a n}满足:﹣(2n﹣1)a n﹣2n=0, 可有(a n﹣2n)(a n+1)=0 ∴a n=2n. (Ⅱ)∵a n=2n,b n=, ∴b n===, T n===. 数列{b n}的前n项和T n为. 5.解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,由S4=4S2,a2n=2a n+1有: , 解有a1=1,d=2. ∴a n=2n﹣1,n∈N*. (Ⅱ)由已知++…+=1﹣,n∈N*,有: 当n=1时,=, 当n≥2时,=(1﹣)﹣(1﹣)=,∴,n=1时符合. ∴=,n∈N* 由(Ⅰ)知,a n=2n﹣1,n∈N*. ∴b n=,n∈N*. 又T n=+++…+, ∴T n=++…++, 两式相减有:T n=+(++…+)﹣=﹣﹣ ∴T n=3﹣. 6.解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴有, 解有a1=3,d=2, ∴a n=3+2(n﹣1)=2n+1; S n==n2+2n; (Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1, ∴b n====, ∴T n===, 即数列{b n}的前n项和T n=. 7.解:(Ⅰ)由条件有,又n=1时,, 故数列构成首项为1,公式为的等比数列.∴,即. (Ⅱ)由有,, 两式相减,有:,∴. (Ⅲ)由有.∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=. 8.解:(Ⅰ)设{a n}的公差为d, 由已知有 解有a1=3,d=﹣1 故a n =3+(n ﹣1)(﹣1)=4﹣n ; (Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有,b n =n ?q n ﹣ 1,于是 S n =1?q 0+2?q 1+3?q 2+…+n ?q n ﹣1. 若q ≠1,将上式两边同乘以q ,有qS n =1?q 1+2?q 2+3?q 3+…+n ?q n . 上面两式相减,有 (q ﹣1)S n =nq n ﹣(1+q+q 2+…+q n ﹣ 1)=nq n ﹣ 于是S n = 若q=1,则S n =1+2+3+…+n= ∴,S n =. 9.解:(Ⅰ)由题意,令m=2,n=1,可有a 3=2a 2﹣a 1+2=6再令m=3,n=1,可有a 5=2a 3﹣a 1+8=20 (Ⅱ)当n ∈N *时,由已知(以n+2代替m )可有a 2n+3+a 2n ﹣1=2a 2n+1+8于是[a 2(n+1)+1﹣a 2(n+1)﹣1]﹣(a 2n+1﹣a 2n ﹣1)=8即b n+1﹣b n =8 ∴{b n }是公差为8的等差数列 (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)解答可知{b n }是首项为b 1=a 3﹣a 1=6,公差为8的等差数列则b n =8n ﹣2,即a 2n+1﹣a 2n ﹣1=8n ﹣2 另由已知(令m=1)可有 a n = ﹣(n ﹣1)2.∴a n+1﹣a n = ﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n =2nq n ﹣1. 当q=1时,S n =2+4+6++2n=n (n+1) 当q ≠1时,S n =2?q 0+4?q 1+6?q 2+…+2n ?q n ﹣ 1.两边同乘以q ,可有qS n =2?q 1+4?q 2+6?q 3+…+2n ?q n . 上述两式相减,有 (1﹣q )S n =2(1+q+q 2+…+q n ﹣1)﹣2nq n =2?﹣2nq n =2? ∴S n =2? 综上所述,S n = . 10.解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ,则依题意可知d >0由a 2+a 7=16, 有,2a 1+7d=16① 由a 3a 6=55,有(a 1+2d )(a 1+5d )=55②由①②联立方程求,有d=2,a 1=1/d=﹣2,a 1=(排除)∴a n =1+(n ﹣1)?2=2n ﹣1 (Ⅱ)令c n =,则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减,有 a n+1﹣a n =c n+1,由(1)有a 1=1,a n+1﹣a n =2∴c n+1=2,即c n =2(n ≥2), 即当n ≥2时, b n =2n+1,又当n=1时,b 1=2a 1=2 ∴b n = 于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6,n ≥2, . 11.解(1)因为S 1=a 1,S 2=2a 1+2×12 ×2=2a 1+2,S 4=4a 1+ 4×32×2=4a 1+12,由题意得(2a 1+2)2=a 1(4a 1+12),解得a 1=1,所以a n =2n -1. (2)b n =(-1)n -14n a n a n +1=(-1)n -14n (2n -1)(2n +1)=(-1)n -1(12n -1+12n +1 ).当n 为偶数时, T n =(1+13)-(13+15)+…+(12n -3+12n -1)-(12n -1+12n +1)=1-12n +1=2n 2n +1 .当n 为奇数时, T n =(1+13)-(13+15)+…-(12n -3+12n -1)+(12n -1+12n +1)=1+12n +1=2n +22n +1 . 所以T n n 为奇数,n 为偶数.(或T n =2n +1+(-1)n -12n +1)12.(1)解由S 2n -(n 2+n -1)S n -(n 2+n )=0,得[S n -(n 2+n )](S n +1)=0, 由于{a n }是正项数列,所以S n +1>0.所以S n =n 2+n (n ∈N *). n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n , n =1时,a 1=S 1=2适合上式. ∴a n =2n (n ∈N *). (2)证明由a n =2n (n ∈N *)得b n =n +1(n +2)2a 2n =n +14n 2(n +2)2=1161n 2-1(n +2) 2T n … =1161+122-1(n +1)2-1(n +2)2<=564(n ∈N *).即对于任意的n ∈N *,都有T n <564.