不可压缩流体的平面势流解读
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
3) y = 0 将 y=0 代入
驻点：
把驻点坐标代入流函数y：
过驻点流函数值：y = 0
物体轮廓线方程为：
求物体半宽b/2： 把 x=0 代入物体轮廓线方程：
y：物体半宽b/2
已知流函数 -> 速度场，压强场 在物体前部：附面层很薄 粘性影响大的流动区域：很薄 计算结果：与实验较符合
在物体后部：附面层增厚 形成：尾部旋涡 无粘流势流理论：不再适用
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
一般称零流线
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
每一流动都满足拉普拉斯方程：
什么条件？ 无旋条件 二维不可压连续方程：
不可压平面有势流动的流函数方程
不可压连续方程和无旋条件 －> 流函数方程 流函数方程－拉普拉斯方程：仅适用于不可压平面有势流 动
不可压平面有旋流动或可压缩平面有势流动： 不存在流函数方程
三、边界条件： 流体：从无穷远流向某物体 条件：不分离 物面法向流体速度：0，即物面是一条流线
都存在流函数
只有无Байду номын сангаас流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
《工程流体力学》第六章 不可压缩流体平面有势流动
粘性流体切向速度：0 理想流体切向速度：不受限制
第三节 基本解叠加原理 线性方程叠加原理：两个解的和或差也是该方程的解 平面不可压势流势函数和流函数方程：拉普拉斯方程 拉普拉斯方程：线性方程，可以应用叠加原理
复杂流场的解：可由若干简单流场的解叠加得到
两个有势流动势函数： j1，j2
无旋流动：才存在势函数 平面流动：流函数更普遍
流函数与势函数一样：可以用来描述整个流场 由流函数：就可求出流速和压强分布
－流线微分方程
y=c曲线，即等流函数线：流线
给定一组常数值：就可得流线族
流体：不能穿越流线，也不能穿越固体表面 固体表面：可看作流线，通常是零流线
即y=0的流线：代替物体表面
2)在源点左边x轴上，y=0：存在一点s 该点处：源点与直匀流速度：大小相等
方向相反
该点：驻点，复合流场合速度 = 0
求驻点，令： 驻点确在x负轴上
3)从源点流出流体到达驻点s后：不能继续向左流动 被迫分成上下两路 形成绕物体流动轮廓线—— 半无限体
现求半无限体轮廓线方程： 把驻点极坐标： 代入流函数中：
过驻点的流函数值： 轮廓线方程：
可见 源的作用：是提前将前方来流的直匀流推开，与物体头部 作用相同
不同强度的源流：沿轴线排列 并：与直匀流叠加 可得到：直匀流绕实际钝头体物体的流动
三、直匀流与一对等强度源汇的叠加：
源：在x轴(-a, 0)处，强度 Q 汇：在x轴(a, 0 )处，强度 -Q 复合流动：直匀流与该源、汇叠加
注意： 三维流动：不存在流函数
不存在等流函数线 但存在流线
流函数与流量关系： 流动：二维 任意曲线：连接a、b两点 某瞬时过微元段ab的流量：
或
第六章 不可压缩流体平面有势
z (
x 2 y 2 C , 其中C为常数
另一种方法：用积分法求得速度势函数。 2x x y dx 2 xdx x 2 f ( y ) x f ( y ) Vy 2 y y y x f ( y ) f ( y) dy 2 ydy y 2 C y Vx
二、直匀流和点源的叠加 势函数和流函数：
Q Q ln( x 2 y 2 ) V r cos ln r 4 2 Q Q V y V r sin 4 2
V x
速度分布：
Q x V x 2 x 2 y 2 Q y Vy y 2 x 2 y 2 特征： 1）在源点很远距离处，直匀流不受源流 的存在的影响； 2）在源点左边x轴存在一个驻点s； 3）代表直匀流绕物体的流动。 Vx
几种简单平面势流的叠加
一、点源和点涡的叠加 势函数和流函数： Q ln r 2 2 Q ln r 2 2 流线方程：
Q ln r C或r e
其速度分布：
Q C
Q r 2r V r 2r Vr
V cosx V sin y C1
直均流的势函数可写成
V cosx V sin y
类似地，可得流函数为
V sin x V cosy
一、点源与电汇 Q 2rVr 常数 根据流量守恒：
Vr Q Q 2r 2 1 x2 y2
用积分法不可压平面势流的势函数方程和流函数方程一速度势函数与流函数的关系二等势线令速度势函数等于常数得到的曲线族三流线与等势线正交根据等势线的定义有dxdydydxdydxdydxdy几种简单的平面势流设流动速度为与x轴夹角为直均流的势函数可写成类似地可得流函数为sincossincossincossincossincoscossin一点源与电汇根据流量守恒
五理想流体不可压缩无粘性流体平面势流
5.4.3 点涡
物理背景: 与平面垂直的直涡线（强度为Γ ）诱导的流场。
当点涡位于原点O，势函数和流函数为
速度分布式为
2
lnr 2
vr r 0
v
1 r
2 r
第10页/共21页
5.4.4 偶极子
物理背景 点源点汇无限接近(δ →0)形成的流场。
v t
v
v
f
p
兰姆—葛罗米柯方程 （无粘)
v t
v2 2
v
v
f
p
2. 欧拉积分（无粘、无旋 v2
dp
正压、重力 、定常）
gz
常数 (全流场）
2
伯努利积分（无粘、无旋 v2
u kx,
1 2
kx2
f(y)
y
f
'(
y
)
v
ky,
f
(
y
)
1 2
ky2
C
上式中C为常数。速度势函数为
1 2
k(
x2
y2
)
C
(a)
等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第
二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图CE2.3.2中的虚线所示。
挑选一些基本解φ i(ψ i)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
理想不可压缩流体的平面势流及旋涡运动
同心圆。当 ，
故源点是奇点，
不讨论。
流函数ψ
由
0
积分
ψ＝const 为流线，即θ=const，流线是 半射线。等φ线与等ψ线正交。
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
p
有
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
α
L
将矢量 、 分别 表示：
故对封闭周线 L的环量为：
环量是一个标量，它的正负取决 于速度方与线积分的方向。
当速度方向与线积分方向同向时取正， 反向时取负。若是封闭周线，逆时针 为正，顺时针为负。
例：不可压缩流体平面流动的
速度分布为
，
求绕圆
的速度环量。
解：
积分路径在圆上，有
四、斯托克斯定理 斯托克斯定理：任意面积A上的旋
由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使 成为某一个函数
全微分的充要条件，即
而当 t 为参变量，
的全微分为
比较两 式有：
柱坐标
把
称为速度势函数简称势函数
无论流体是否可压缩，是否定常 流只要满足无旋条件 ，总有势函数存 在。故理想流体无旋流也称势流。
用势函数表示速度矢量：
2、势函数的性质
1）流线与等势面垂直
3）流函数ψ与势函数φ的关系：
对不可压平面势流，流函数和势函数同时 存在，它们之间关系是
a:
b: 等φ线与等ψ线垂直
前已证明，流线与等势面垂直，
而
的线是流线故等φ
线与等ψ线垂直。
流体力学C2 不可压缩无粘性流体平面势流
流体微团加速度 = 微团上单位质量的质量力+表面力 v [ (v )v ] f p 矢量式 t
葛罗米柯方程
纳维-斯托克斯(N-S)方程：可写成葛罗米柯方程： 2
v v [ ( ) (v ) v ] f p t 2 u V 2 1 p ( ) 2( y w z v) f x t x 22 x v V 1 p ( ) 2(z u x w) f y t y 2 2 y w V 1 p ( ) 2(x v y u) f z t z 2 z
流函数的物理意义
流线是流体不可能穿越线，也不能穿越固体表面， 故固 体 表面 也 可看 作 是流 线 。通 常 是以 零 流线 （ψ =0）的流线代表物体表面。 流函数的值线又代表流量。 流过PQ连线的流量: dψ =ψ 2-ψ 1 Q y 流出QR边的流量:udy V u 流出PR边的流量:vdx dψ = udy - vdx v dy P dx R 两流线中间任何一个截面上流过的 流量都是相等的。 x o 流线与流线一般是不相交的。 ψ1 ψ2 (流速为0或无限大处流线可分叉) ψ3
无旋流动:速度的旋度为0. 旋转角速度为0:Ω x=∂w/dy-∂v/dz=0,Ω y=0,Ω z=0 无旋流动存在一速度势函数(速度势)Φ (x,y,z,t), 其梯度为流场速度： V=▽Φ 全微分形式： dΦ =udx+vdy+wdz 可得：u=∂Φ /dx，v=∂Φ /dy，w=∂Φ /dz。 对不可压缩理想流体的无旋流动，由基本方程导得 的速度势函数方程形式比较简单，可利用数学对一 些物体的绕流问题进行求解。
o
流线
例C2.2
【例】已知二维定常不可压流动的速度分布为u=ax，v=-ay， a为常数。流线方程及势函数ф 。 解：由流线的微分方程dx/u = dy/v，得： dx/x = -dy/y 积分得流线方程： xy=C 流线是等边双曲线族，以x，y轴为其渐近线。 由u=∂ф /∂x=ax， v=∂ф /∂y= -ay 分别对x,y进行积分,得:ф =ax2/2+f1(y), ф =ay2/2+f2(x) 由无旋:∂v/∂x - ∂u/∂y= 0-0=0 可知流场存在速度势函数ф ,有:f1(y)=ay2/2,f2(x)= ax2/2 则速度势函数ф 为: ф =1/2 a(x2-y2） 等势线族为：a(x2-y2）= C 等势线也是等边双曲线族,以x=y和x=-y两直线为其渐近线。
第八章 理想不可压缩流体平面流动
ψ = 2 x 2 + xy − 2 y2 + c
积分常数 c对流函数的差值及速度 均无影响，忽略不计。
（1) 由速度场求旋转角速度
∂v − ∂u = ∂ (− y − 4x) − ∂ ( x − 4 y)
∂x ∂y ∂x
∂y
= −4 − (−4) = 0
∂u + ∂v = 0 ∂x ∂y 也就是说，不可压缩流 体的平面流动是连续的 必 满足上式。对上式积分 ，得
∫ (udy − vdx) = ψ ( x, y)
ψ ( x , y )是积分结果，称为流函 数。
将上式微分，得 dψ = udy − vdx
ψ ( x, y)的全微分，得
dψ = ∂ψ dx + ∂ψ dy
∂x ∂y ∂z
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ , w = ∂ϕ
∂x
∂y
∂z
或 u = gradϕ
由于速度势存在的条件 是无旋流动，任何一种 具体的 无旋流动，总有一个而 且只有一个速度势，因 次无旋 流动也称为有势流，简 称势流。用速度势表示 流场比 用三个速度更简明。
二、有旋流动 旋转角速度不为零，统称为涡流。
2、流函数
对于平面势流：
u = ∂ϕ ，v = ∂ϕ
∂x
∂y
此时拉普拉斯方程为：
∇ 2ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
=0
在不可压缩流体稳定平 面流动中，另一个描述 流场的 函数是流函数。 由流线微分方程可知， 对于平面流动：
dx = dy 或 udy − vdx = 0 uv
流体力学第5章 平面势流理论
2π r 2π r
M 1 c o s i s i n M 1 ( c o s i s i n ) ( c o s i s i n )
2 π r
2 π r c o s i s i n
M 1 2π z
工程流体力学
若偶极子放置在 z z0 处，且偶极子中源到汇的方向 同 x 轴，则复势
当均流叠加偶极子组合，会有圆柱流线形成。它们 组合流场的复势为
工程流体力学
W (z)
W1 (z) W2 (z) U 0 z
M 2p
1 z
(M
0)
对于这个组合流场，只要选择适当的偶极子强度 M
和均流速度 U
的大小，使一条零流线与圆柱表面 (r
0
a)
正好重合即可。
首先引入 z rei，得
式中 z xiy, i 1
解析复变函数称为流动的复势。平面势流必然对 应一个确定的复势W(z)，而一个复势也代表一种平面 势流。
工程流体力学
5.1.2 几种简单的平面势流复势
1.均匀直线流动（均流）
当流动速度为U 0 ，方向同x轴方向一致时，复势
W ( z ) U 0 x iU 0 y Biblioteka 0 ( x iy ) U 0 z
流线族
U0(1ar22 )rsin
y
U0(1ar22)rsinC
U0
x
如图5.8所示。
图5.8 均流叠加偶极流场
工程流体力学
W(z)
U0z
a2 z
（1）流场的速度分布：
vr r U0(1ar22)cos v rU0(1a r2 2)sin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1)根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。
ϕ称为速度势函数，简称速度势。
即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：z z y y x x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ又由矢量分析：kz i y i x k w i i u V∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2) 即速度势的梯度等于流场的速度。
在柱坐标中：径向速度：r r ∂∂=ϕυ切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s 轴向速度：z z ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。
函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。
在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()⎰⎰++=⋅=B AB AAB z w y x u s V Γd d d d υAB B Aϕϕϕ-==⎰d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。
又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()⎰⎰++=⋅=K K z w y x u s V Γd d d d υ⎰K ϕd ＝ 若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =⎰Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程：0=∂∂+∂∂+∂∂z w y x u υ则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4) (其中2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇称为拉普拉斯算子) 即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。
凡是满足拉普拉斯方程的函数，数学上称为调和函数，所以，速度势点数是一个调和函数。
对柱面坐标，ϕ的拉普拉斯方程为：222222211z r r r r∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕθϕϕϕϕ (5) 〔推导过程为：将r r ∂∂ϕυ＝，θϕυθ∂∂r ＝，z z ∂∂ϕυ＝代入柱面坐标的连续方程，即可〕根据以上讨论可知：只要流体流动无旋。
则必然存在单值的速度势函数，反之，若流场中存在单值的势函数ϕ，则此流动必为无旋流动。
此外，流动无旋，流场中沿封闭曲线的速度环量为零。
即： ϕω⇔0＝ 00=⇒Γ＝ω因此，求解不可压流体的无旋流动问题，便可归结为求解速度势问题，以此求得速度场，再由无旋流动的伯努利方程const g 2g 2=++V p z ρ，求得压力分布。
§6-2 流函数一、不可压缩流体的流函数ψ以上引进的势函数虽然能使问题简化，但它仅限于有势流动(即无旋流动)，对于有旋流动，我们必须根据定常，不可压二元流动的连续方程，引出流函数的概念。
推导如下：由二元不可压流体的连续方程0=∂∂+∂∂y x u υ 则： y xu ∂∂-=∂∂υ (1) 又：平面流动的流线微分方程为：υy u x d d =0d d =-⇒x y u υ (2)由数学分析可知：(1)是(2)成为某一函数),(y x ψ的全微分的充要条件。
即：x y u d d d υψ-= (3)又：y y x x d d d ∂∂+∂∂=ψψψ所以，y u ∂∂=ψ，x ∂∂-=ψυ (4)则， x y x u ∂∂∂=∂∂ψ2 ， y x y∂∂∂-=∂∂ψυ2 022=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂y x x y y x u ψψυ 说明ψ满足连续性方程二、流函数的基本性质(1) 等流函数线为流线显然，在流线上，x y u d d υ-，即⇒=⇒0d ψ 即：c =ψ 即，c =ψ的曲线为流线。
在每条流线上ψ的常数值各不相同。
(2) 即：平面流动中两条流线间通过的流体流量等于两条流线上的流函数之差。
证：取两道流成21,ψψ，再取曲线AB 垂直于各流线，假定垂直纸面的尺寸为1，在AB曲线上取微元线段l d ，其上速度为V，则通过曲线AB 的体积流量为：()⎰⎰+==BABA d ),cos(),cos(d ly V x V u l V q nυ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=BA d )d d (d d l l x l yu υ()12A B B ABAd d d ψψψψψυ-=-==-=⎰⎰x y uX 指向减小方向，l x d d 为负。
为使),cos(y V为正，所以在d x 前加负号。
证毕。
由此可见：两根流线之间的流量等于两流函数的差值。
同时，由于在引出ψ这个概念时，没有涉及流体是有粘性还是无粘性(即理想或实际)，有旋或无旋。
所以，不论是有粘性还是无粘性，有旋还是无旋，只要是不可压流体的平面流动，就存在流函数。
三、流函数方程02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ψψψψz y x (5)1四、边界条件若无穷远处均匀来流绕流一物体时，在不分离的情况下，对于固定不动的边界，在壁面上流体的法向速度为0，而壁面必然是流线，通常令壁面上的流函数值为0，因此，壁面上的边界条件可写作：0=∂∂=n V n ψ或ψ=0 (6a)对于无穷远处均匀来流，当取X 轴与来流方向一致时，则有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂-=∂∂==∂∂=∂∂=∞0x y V y x u ψϕυψϕ (6b)五、ϕ与ψ之间的关系 1．满足柯西黎曼条件对不可压流体的平面无旋(有势)流动，则必然同时存在ψ和ϕ，而对平面无旋流动，由0=z ω，可推出则 0=∂∂-∂∂y ux υ (7)再将y u ∂∂=ψ，x ∂∂-=ψυ代入上式得： 022222=∂∂+∂∂=∇y x ψψψ (8)对极坐标： 0112222222=∂∂+∂∂+∂∂=∇θψψψψr r r r (9)所以不可压流体平面无旋流动的流函数ψ，满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
又：对平面无旋流动，必然存在由⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=x y y x u ψϕυψϕ⇒柯西黎曼条件 2．流线与等势线正交0=∇⋅∇ψϕ是流线与等势线正交的条件⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∇⋅∇j y i x j y i x ψψϕϕψϕ0=∂∂∂∂+∂∂∂∂⇒y y x x ψϕψϕ式就是等势线簇c =ϕ和流线簇c =ψ互相正交的条件。
所以说明c =ϕ(等势线簇) 和流线簇c =ψ正交。
在XY 坐标平面上由c =ϕ及c =ψ画图，构成正交网格，称为流网。
如下图所示。
§6-3 几种简单的势流流动不可压流体平面无旋流动的流函数ψ和势函数ϕ，满足拉普拉斯方程，而且，拉普拉斯方程是线性齐次方程，其解具有叠加性。
设21ϕϕ，是两个有势流动，均满足：012212212=∇=∂∂+∂∂ϕϕϕy x ，022222222=∇=∂∂+∂∂ϕϕϕy x叠加后，可得；()()()021222122212=+∇=∂+∂+∂+∂ϕϕϕϕϕϕy x (1) 同理：()()()021222122212=+∇=∂+∂+∂+∂ψψψψψψy x (2)11ϕ∇=V ，22ϕ∇=V()212121V V V +=∇+∇=+∇=∇=ϕϕϕϕϕ一、 一、平行流(均匀直线流动，无旋，参看下图)设流体作等速直线流动，流场中各点速度大小，方向均相同。
即θcos ∞=V u ，θυsin ∞=Vθθϕsin cos ∞∞+=yV xV (3a)y u x d d d +-=υψθθψcos sin ∞∞+-=yV xV (3b)当取x 轴与来流方向一致时，则有，0=θ，0=υ∞=xV ϕ，∞=yV ψ显然，c =ϕ与c =ψ互相垂直(斜率互为负倒数)，并且都满足拉普拉斯方程。
又：由位流伯努利方程c o n s t g 2g 2=++V p z ρy由const =V ，则const g =+ρpz若平行流在水平面上进行(即z =常数)，或流体重度可忽略不计，则const =p 即流场中压力处处相等。
二、点源与点汇设在无限大平面上流体从一点沿径向直线均匀地向各方流出。
(如图所示)这种流动称为点源。
这个点称为源点。
反之，若流体沿径向直线匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，这个点称为汇点。
r 且r r ∂∂=ϕυ切向速度 0=θυ又：对半径为r ，单位长度的圆柱面，由质量守恒，则流体通过统一圆柱面的流量Q 应相等。
则： 常数=⋅⋅=r r Q υπ12r Qr πυ2=⇒ (4)式中，Q 是点源(或点汇)单位时间流入(或流出)的流量。
称为点源或点汇的强度。
对点源Q ＞0，⇒0>r υ我们取+Q ，对点汇，Q ＜0，⇒0<r υ，取-Q 。
则r r Q r r r r d 2d d d πυϕϕ±==∂∂=点源点汇22ln 2ln 2y x Q r Q +±=±=⇒ππϕ (5)当r =0时，ϕ与r υ都变成无穷大，所以源点(或汇点)是奇点。
所以(4)，(5)仅仅在源点(汇点)以外才适用。
又由柯西黎曼条件：y x∂∂=∂∂ψϕ x y ∂∂-=∂∂ψϕ 则 yy x x d d d ∂∂+∂∂=ψψψ积分：θπψ2Q±= (6)或由极坐标的柯西黎曼条件：s r ∂∂=∂∂ψϕ r s ∂∂-=∂∂ψϕ 则：⎰⎰±=±=∂∂+∂∂=θπθπψψψ2d 2d d Q r r Q s s r r等势线c o n s =ϕ，即c o n s =r 是半径不同得同心圆，(由⇒=⇒==Qc r C r Qππϕ2eln 2圆的方程)，与流线const =ψ(即const =θ)互相正交。
(参图虚线为等势线，实线为流线)。
又将ϕ与ψ代入极坐标的拉普拉斯算子22222211θ∂∂+∂∂+∂∂=∇r r r r 均满足拉普拉斯方程 02=∇ϕ，02=∇ψ由此可见，点源与点汇均是无旋流动。
对无限水平面的无穷远处 02==∞r Qr πυ三、涡流与点涡1、速度分布设有一旋涡强度为J 的直线涡束，该涡束半径为r 0沿Z 轴方向为无限长(如图)，且该涡束好像刚体一样以等角度ω绕自身轴旋转，由于假设直线涡束沿Z 轴方向无限长，即认为在与Z 轴垂直的所有平面上流动情况都一样。
所以，此种流动可视为平面运动处理。
而涡束周围的流体将被带动着做旋转运动。
如图所示，这种运动称为涡流。
设涡束轴为Z 轴，则由涡束所诱导的环流的流线就是以坐标原点为圆心的圆心园。