不可压缩流体动力学基础习题答案

不可压缩流体动力学基础1．已知平面流场的速度分布为xy x u x +=2，y xy u y 522+=。

求在点（1，-1）处流体微团的线变形速度，角变形速度和旋转角速度。

解：（1）线变形速度：y x xu xx +=∂∂=2θ 54+=∂∂=xy yu y y θ角变形速度：()x y y u x u x y z +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=222121ε旋转角速度：()x y x u x u x y z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=222121ω将点（1，-1）代入可得流体微团的1=x θ，1=y θ；23/z =ε；21/z =ω2．已知有旋流动的速度场为322+=y u x ，x z u y 32+=，y x u z 32+=。

试求旋转角速度，角变形速度和涡线方程。

解：旋转角速度：2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx ω2121=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ω2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u xyz ω角变形速度：2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=z u y u y z x ε 2521=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y ε2521=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=y u x u x y z ε由zyxdzdydxωωω==积分得涡线的方程为：1c x y +=，2c x z +=3．已知有旋流动的速度场为22z y c u x +=，0=y u ，0=z u ，式中c 为常数，试求流场的涡量及涡线方程。

解：流场的涡量为：0=∂∂-∂∂=zu y u yz x Ω 22zy cz xu z u zx y +=∂∂-∂∂=Ω22z y cyy u xu x y z +-=∂∂-∂∂=Ω旋转角速度分别为：0=x ω222zy cz y +=ω222zy cy z +-=ω则涡线的方程为：c dzdyzy+=⎰⎰ωω即c y dz z dy +-=⎰⎰可得涡线的方程为：c c y =+224．求沿封闭曲线2 22b y x =+,0=z 的速度环量。

（1）Ax u x =，0=y u ；（2）Ay u x =，0=y u ；（3）0=y u ，r A u =θ。

其中A 为常数。

解：（1）由封闭曲线方程可知该曲线时在z =0的平面上的圆周线。

在z =0的平面上速度分布为：Ax u x =，0=y u涡量分布为：0=z Ω根据斯托克斯定理得：0==⎰z Az s dA ΩΓ（2）涡量分布为：A z -=Ω根据斯托克斯定理得：2b A dA z Az s πΩΓ-==⎰（3）由于0=r u ，r A u =θ则转化为直角坐标为：22b Ay y r A u x-=-=，2bAxu y = 则22bA y u xu x y z =∂∂-∂∂=Ω 根据斯托克斯定理得：A dA z Az s πΩΓ2==⎰5．试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续性条件？ 答：不可压缩流体连续性方程直角坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u z y x （1） 柱面坐标：0=∂∂+∂∂+∂∂+zu r u r u r u zr r θθ （2） （1）0,,=-==z y x u ky u kx u 代入（1） 满足 （2）y x u x z u z y u z y x+=+=+=,, 代入（1） 满足（3）0),(),(2222=+=-+z y x u y x k u y xy x k u 代入（1） 不满足（4）0,sin ,sin =-==z y x u xy k u xy k u 代入（1） 不满足（5）0,,0===z r u kr u u θ 代入（2） 满足（6）0,0,==-=z r u u rku θ 代入（2） 满足 （7）0,sin 2,cos sin 22=-==z ru r u r u θθθθ 代入（2） 满足6．已知流场的速度分布为y x u x2=，y u y 3-=，22z u z =。

求（3，1，2）点上流体质点的加速度。

解：y x y x x y xy y x z uu y u u x u u t u a x z x y x x x x22322320320-=+⋅-⋅+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=y zu u yu u xu u tu a y zy yy xy y 9=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=28z zuu y u u x u u t u a z z z y z x z z =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=将质点（3，1，2）代入a x 、a y 、a z 中分别得：27=x a ，9=y a ，64=z a7．已知平面流场的速度分布为2224y x y t u x+-=，222y x x u y+=。

求0=t 时，在（1，1）点上流体质点的加速度。

解：()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=2222222222222420222244y x y y x y x xy x y x y x yt y u u x u u t u a x y x x x x 当0=t 时，()()2222222222284y x y x x y x xy a x +--+-= 将（1，1）代入得3=xa()()()22222222222224242240y x xy y x xy x x y x y x yt y u u xu u tu a yyy xy y +-⋅++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∂∂+∂∂+∂∂=当t=0时，将（1，1）代入得：1-=ya8．设两平板之间的距离为2h ，平板长宽皆为无限大，如图所示。

试用粘性流体运动微分方程，求此不可压缩流体恒定流的流速分布。

解：z 方向速度与时间无关，质量力：g f x -=运动方程：z 方向：2210dx ud z p υρ+∂∂-= x 方向：→∂∂--=xp g ρ10积分：)(z f gx p +-=ρ∴p 对z 的偏导与x 无关，z 方向的运动方程可写为z pdyu d ∂∂=μ122 积分：21221C x C x z p u ++∂∂=μ 边界条件：h x ±=，0=u 得：01=C ，221h zp C ∂∂-=μ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-=22)(12h x z p h u μ 9．沿倾斜平面均匀地流下的薄液层，试证明：（1）流层内的速度分布为()θμγsin y by u222-=；（2）单位宽度上的流量为θμγsin 33b q =。

解：x 方向速度与时间无关，质量力θsin g f x =，θcos g f y -=运动方程：x 方向：221sin 0dyud x p g υρθ+∂∂-= ①y 方向：yp g ∂∂--=ρθ1cos 0②②→积分)(cos x f gy p +-=θρb y = a p p = )(cos x f gb a +-=θρρ∴θρcos )(y h g p p a -+=∵=b 常数 ∴p 与x 无关①可变为μθρsin 22g dy u d -=积分)21(sin 212C y C y g u++-=μθρ边界条件：0=y ，0=u ；b y =，0=dydu∴b C -=1，02=C∴θμμθρsin )2(2)2(2sin 2y by ry b y g u-=-=θμγθμγsin 3sin )2(23200b dy y by udy Q b b =-==⎰⎰10.描绘出下列流速场解：流线方程： yx u dy u dx =（a ）4=x u ，3=y u ，代入流线方程，积分：c x y +=43直线族 （b ）4=xu ，x u y 3=，代入流线方程，积分：c x y +=283抛物线族 （c ）y u x4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族 （d ）y u x4=，3=y u ，代入流线方程，积分：c y x +=232抛物线族 （e ）y u x4=，x u y 3-=，代入流线方程，积分：c y x =+2243椭圆族 （f ）y u x4=，x u y 4=，代入流线方程，积分：c y x =-22双曲线族 （g ）y u x4=，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c y x =+22同心圆 （h ）4=xu ，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族（i ）4=x u ，x u y 4-=，代入流线方程，积分：c x y +-=22抛物线族 （j ）x u x4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族 （k ）xy u x4=，0=y u ，代入流线方程，积分：c y =直线族 （l ）rcu r=，0=θu ，由换算公式：θθθsin cos u u u r x -=，θθθcos sin u u u r y += 220y x cxr x r c u x +=-=，220y x cyr y r c u y+=+=代入流线方程积分：c yx=直线族（m ）0=r u ，rcu =θ，220y x cyr x r c u x+-=-=，220y x cxr x r c u y+=+=代入流线方程积分：c y x=+22同心圆11.在上题流速场中，哪些流动是无旋流动，哪些流动是有旋流动。

如果是有旋流动，它的旋转角速度的表达式是什么？解：无旋流有：xu y u yx ∂∂=∂∂（或rru u r ∂∂=∂∂θθ）（a ），（f ），（h ），（j ），（l ），（m ）为无旋流动，其余的为有旋流动对有旋流动，旋转角速度：)(21yu x u x y ∂∂-∂∂=ω （b ）23=ω（c ）2-=ω （d ）2-=ω （e ）27-=ω （g ）4-=ω （i ）2-=ω （k ）x 2-=ω12.在上题流速场中，求出各有势流动的流函数和势函数。

解：势函数⎰+=dy u dx u y x ϕ流函数⎰-=dx u dy u y x ψ（a ）⎰+=+=y x dy dx 3434ϕy x dx dy 4334--=-=⎰ψ（e ）⎰⎰⎰⎰-+=-+=yy x x xdy dx y xdy ydx 034340ϕ取),(00y x 为)0,0(则积分路线可选 其中0,0:0,0,0==→y dy xx x dx y x x ==→,0:,0,)34()30(0000⎰⎰⎰⎰-++-+=yyxxxdy ydx xdy dx ϕxy xy 3)30()00(-=-++=2223234x y xdx ydy +=--=⎰⎰ψ其他各题略 13.流速场为rc u u a r ==θ,0)(，r u u b r 2,0)(ωθ==时，求半径为1r 和2r 的两流线间流量的表达式。