《数学教育哲学讲座》PPT课件

纯数学作为逻辑基本构成成分的思 想学派。
主要倡导者有Leibniz、Frege、Russel等人。
●数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学 知识的能力；
●数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体 易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权 利； ●再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之 一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。
在教学领域与数学观相联系的一些基本问题：
学习的本质：数学学习理论的基础由哪些哲学假说或 可能隐含的假说所构成？应采纳何种认识论和学习论？
数学教育哲学讲座
周根龙
2007年7月
一、引言
两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治 下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客 观真理、且数学远离人类事务和价值。
当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议， 如Laktaos(1976)、Davis与Hersh(1980)、Tymoczko (1986),他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数 学是人类创造的产物。
数学假设的合理性又由谁来保证呢？
事实上，非欧几何证明了，Euclid公理和平行公设 被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为 任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。现代 数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而 这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集 合论公理。
2.数学知识的绝对主义观 绝对主义数学观：
认为数学真理是绝对可靠的,数学 是一种而且也许是唯一的一种确定的、 不容置疑的客观知识领域。
演绎法为数学知识的断定提供了保证。
断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识即真 理的依据如下：
首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公 理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数 学定义令其为真，逻辑公理认其为真。
问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数 学到底是什么。┄┄如果不正视数学的本质问题，便 解决不了关于教学上的争议。（Hersh,1979）
教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的 典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、 数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。
二、绝对主义观和可误主义观
这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义 观是潜在的致命威胁。
如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可 靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？
既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么 必定在数学基础中出现了问题。
这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学 派发展起来，其目的是解释数学知识的本质并重 建它们的可靠性。三大学派分别是逻辑主义、形 式主义、构造主义（直觉主义）。
数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据， 是由演绎证明所组成的。
在证明中往往用到两种类型的假设：数学的和逻 辑的。
逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分） 和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推 理运用过程的组成部分。因此我们认为，逻辑毫无疑 问是知识判定的依据。
数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的 数学基础 。
这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：
数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了 数学真理奠定一个系统的并且绝对可靠的基础。这个 假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：数学 哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。
基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基 础主义把验证数学知识的绝对性这一任务视为数学哲 学的中心任务。
其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承 认由真理推导出来真理。
这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设 基础上：涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公 理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。
罗素悖论
Russel通过定义“不是自身的一个元素”这一特性， 提出了这个悖论。Frege规则允许这一特性的外延作为 一个集合。但这样一来，这个集合是自身的一个元素 当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。
1.数学知识的本质
传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。Newton 的《原理》和Spinozn的《伦理学》都采用了Euclid的《几 何原本》的形式（公理化思想）。长期以来，数学一直作 为人类所知的最可靠知识的源泉。
知识的本质是什么？ 其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。
更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相 信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。
教育目的：数学教育的目的是什么？谁提出的目的？ 为谁提出的目的？建立在什么价值标准上的目的？这 个目的使谁受益，谁受损？
数学的本质：数学教学依据什么哲学假说或可能的 隐含假说？这些假说可靠吗？为达到数学教育目的 应采取何种方法？这些方法和目的一致吗？
事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根 本上都出于某一数学哲学，即便是很不规范的教学法也 如此。（Thom,1971）
这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：
●导致人类根本没有可靠的结论；
●放弃数学与生俱来的伪安全性；
●若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任 何社会责任；
●若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究 和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔天地， 是不会终结的产物。
如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：
知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。先验 知识由仅仅根据推理而判定的那些命题所组成，而不依 赖于对现实世界的观察。
数学知识属于先验知识，因为它只由基于推理而断 定的命题所组成。
推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定 的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。因此 数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由 演绎证明所组成的。
数学哲学是哲学的一个分支。它的任务是反思 并解释数学的本质。
数学知识是由具有证明的一组命题所构成的， 由于数学证明仅依据推理而不求助于经验材料， 因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。
数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的 可靠性提供基础，即构建一个系统。在这系统中能够 编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。