弹性力学-第三章-应变状态教案资料
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岩土弹塑性力学教学课件(共13章)第3章_应变状态
§3.1 应变状态11
• 三个刚性转动分量及6个应变分量合在一起，才全 面反映了物体变形
xyz x y z xy yz zx
B
B’’ 刚性转动
B’’’
B’
变形
A 刚性平动 A`
§3.1 应变状态12
• 工程应变： ln l0
l0
变形后长度 原始长度
不适用于大变形
• 自然应变/对数应变：
在塑性变形较大时，用-曲线不能真正代表加载和变形的状态。
x y z
• ——弹性体一点的体积改变量
• 引入体积应变有助于简化公式。
• 大于零表示体积膨胀，小于零体积压缩。
• 注意：土力学中塑性体应变符号约定相反。
§3.2 主应变与应变主方向8
应变Lode参数: 为表征偏量应变张量的形式，引入应变Lode参数：
22 3 1 3
1
(1.66)
如果两种应变状态με 相等，表明它们所对应的应变莫尔圆 相似，也即偏应变张量的形式相同。
Vz y
;
zx
Vz x
Vx z
;
§3.3 应变率张量 2
小变形情况下，应变速率分量与应变分量间存在如下关系:
x
Vx x
du x dt
d dt
u x
x
u x
y
Vy y
dv y dt
d v
dt
y
y
v y
z
Vz z
z
dw dt
d w dt z
z
w z
线应变速率
j
Vj,i )
(1.56)
§3.3 主应变与应变主方向 4
由于时间度量的绝对值对塑性规律没有影响，因
弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。
弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w
弹性力学-空间问题的应变分析 (第三章)
x y z yz zx xy 0
（ a）
代入几何方 程，有
v w u 0, 0, 0, y z x u w v u w v 0, 0 0, z x x y y z
积分式（a）中前三式，有
2
N l x m y n z mn yz nl zx lm xy
2 2 2
（3-5）
—— 任意方向线应变计算公式 任意点线应变的张量与矩阵表示：
N l 2 x m2 y n2 z mn yz nl zx lm xy
u0、v0、w0 分别为沿三个坐标轴方向的刚体位移。
对于平面情形，有
u u0 z y v v0 z x
3. 体积应变
设有一微小正平行六面体，棱长：x、y、z ， 变形前体积：V0
z
x y z
z
x
变形后的边长和体积分别为：
x x x, y y y, z z z;
f 3 ( x, y) i jx ky lxy
（c） 将以上三式代回式（c），得
将上式中的第二、第三式分别对z、 y 求偏导，有：
2 f ( y, z ) 0, 2 f1 ( y, z ) 0 2 1 y z
k f l hx 0 c j d l y 0 g b h d z 0
y
x
y
V (x x x) (y y y) (z z z ) xyz (1 x )(1 y )(1 z )
体积应变（相对体积改变） ：
V V0 xyz (1 x )(1 y )(1 z ) xyz e V0 xyz x y z x y y z z x x y z
弹性力学应变状态
第三章 应变状态
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质-变形协调方程
目录
§3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
物体变形 位移与应变的基本关系－几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质-变形协调方程
目录
§3.1 变形与应变概念 §3.2 主应变与主应变方向 §3.3 应变协调方程
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
使用张量符号，几何方程可以表达为：
ij
1 2
ui, j u j,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
弹性力学-第三章 应变分析
(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε
第三章：弹性力学-应变分析
o
x
2 2
略去高阶项
s s 2( sxsx s ys y )
根据
s s 2( sxsx s ys y )
2
2
s x
s y
u u sx sy x y
v v sx s y x y
sxsx sysy 0
u v u v sx x sx y s y sy x sx y s y 0
u 2 u v v 2 sx sx s y s y 0 x y y x
由于 sx 、sy 的任意性，
u v 0 x y
u v 0 y x
同理，当在oyz和oxz平面讨论时，可得
u w w v w 0 0 z x y z z
' 0
另外，由
s sx sx s sy sy
' x
' y
可知，矢量s’相对s的变化量为
sx = s sx
' x
' ' ( x ' x ) ( x x ) ( x ' x ) ( x = = 0 0 0 x0 )
' ' y0 ) s y = s 'y s y = ( y' y0 ) ( y y0 ) = ( y' y) ( y0
对应于刚体转动的相对位 移张量，必为反对称张量。 任何一个二阶张量都可以唯 一分解成一个对称张量和一 个反对称张量 纯变形
ui , j u j ,i
反对称部分
ui, j
1 1 (u i , j u j , i ) (u i , j u j , i ) 2 2
弹性力学_3-应变分析
相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3
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对于微分单元体的变形，将分 为两个部分讨论。一是微分单元体 棱边的伸长和缩短；二是棱边之间 夹角的变化。弹性力学分别使用正 应变和切应变表示这两种变形的。
§3.1 变形5
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
则MN两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
§3.1 变形2
位移与位移分量
根据连续性假设，弹性体在 变形前和变形后仍保持为连 续体。
那么弹性体中某点在变形过
程中由M（x，y，z）移动至M '
（ x'，y'，z' ），这一过程也将
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
正应变_εx, εy, εz表示x，y，
z轴方向棱边的相对伸长
MA MA
度；
x MA
, yz 2 CMB ,
切应变_xy, yz, zx 表示x
和y，y和z，z和x轴之间 的夹角变化。
MB MB
y MB
, xz 2 CMA ,
MC MC
z
MC
, xy 2 AMB .
§3.1 变形6
– A点的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）
– B点的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）
– 将A，B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小 量，则有
A点的位移为 uudx, vvdx
x
x
B点的位移为 uudy, vvdy
y
y
§3.1 变形8
• 因为
M A m a d x u u d x u d x u d x
dw w dx w dy w dz x y z
§3.1 变形13
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
dw w dx w dy w dz x y z
duu xdxu ydyu zdz u xdx1 2vxu ydy1 2w xu zdz1 2vxu ydy1 2u zw xdz xdx1 2xห้องสมุดไป่ตู้dy1 2zxdz zdyydz
弹性力学-第三章-应变状态
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
状态相对位置不变。
• 形状改变（变形）位移：位移不仅使得位置改变，
而且改变了物体内部各个点的相对位置。
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
同理
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为
x
u x
y
v y
z
w z
xy
vu x y
yz
wv y z
zx
uw z x
上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Louis
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z
的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移
函数具有三阶连续导数。
§3.1 变形4
变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情 况，假设从弹性体中分割出一个微 分六面体单元，其六个面分别与三 个坐标轴垂。
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
1 2
ui, j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
x
ij
1 2
xy
1 2
xy
y
1 2 1 2
xz yz
11 21
12 22
13
23
1 2
xz
1 2
yz
31 32 33
z
§3.1 变形12
x
x
• 所以
• 同理可得
• 这些正应变表示了任意一点微分线段的相对 伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零， 反之则小于零。
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。
因为
上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数 是高阶小量的结论。同理可得
yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大
于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
– 首先讨论Oxy面上投影 的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'， M'B'，即变形后的MA，MB的投影
Cauchy于1828年提出） 。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已
知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij
§3.1 变形5
对于微分平行六面体单 元，设其变形前与x，y，z 坐标轴平行的棱边分别为 MA，MB，MC， 变形后分别变为 M'A'，M'B'，M'C'。
设M点的坐标为（x，y，z）
与M点邻近的
位移（u，v，w）
N点的坐标为（x+dx，y+dy，z+dz）
位移（u+du，v+dv，w+dw）
则MN两点的相对位移为（du，dv，dw） 因为位移为坐标的函数，所以
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
§3.1 变形2
位移与位移分量
根据连续性假设，弹性体在 变形前和变形后仍保持为连 续体。
那么弹性体中某点在变形过
程中由M（x，y，z）移动至M '
（ x'，y'，z' ），这一过程也将
是连续的。
在数学上，x'，y'，z' 必为x，y， z的单值连续函数。
§3.1 变形3
设MM‘=S为位移矢量， 位移矢量的三个分量 u，v，w为位移分量，则
正应变_εx, εy, εz表示x，y，
z轴方向棱边的相对伸长
MA MA
度；
x MA
, yz 2 CMB ,
切应变_xy, yz, zx 表示x
和y，y和z，z和x轴之间 的夹角变化。
MB MB
y MB
, xz 2 CMA ,
MC MC
z
MC
, xy 2 AMB .
§3.1 变形6
– A点的位移：u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）
– B点的位移：u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）
– 将A，B两点的位移按泰勒级数展开，略去二阶以上的小 量，则有
A点的位移为 uudx, vvdx
x
x
B点的位移为 uudy, vvdy
y
y
§3.1 变形8
• 因为
M A m a d x u u d x u d x u d x
dw w dx w dy w dz x y z
§3.1 变形13
du u dx u dy u dz x y z
dv v dx u dy v dz x y z
dw w dx w dy w dz x y z
duu xdxu ydyu zdz u xdx1 2vxu ydy1 2w xu zdz1 2vxu ydy1 2u zw xdz xdx1 2xห้องสมุดไป่ตู้dy1 2zxdz zdyydz
弹性力学-第三章-应变状态
§3.1 变形与应变概念
• 由于外部因素——载荷或温度变化 • 位移——物体内部各点空间位置发生变化 • 位移形式_位置的改变与弹性体形状的变化
• 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始
状态相对位置不变。
• 形状改变（变形）位移：位移不仅使得位置改变，
而且改变了物体内部各个点的相对位置。
• 几何方程——位移导数表示的应变 • 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形 • 原因是没有考虑单元体位置的改变
• ——单元体的刚体转动
• 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产
生变形。
§3.1 变形13
通过分析弹性体内无限邻近两点的位 置变化，则可得出刚体的转动位移与 纯变形位移之间的关系。
正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，
同理
切应变分量大于零，表示微分 线段的夹角缩小，反之则增大。
§3.1 变形10
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为
x
u x
y
v y
z
w z
xy
vu x y
yz
wv y z
zx
uw z x
上述公式称为几何方程，又称柯西方程（Augustin-Louis
U =x' （x，y，z）-x = u（x，y，z） V =y'（x，y，z）-y = v（x，y，z） W =z'（x，y，z）-z = w（x，y，z）
位移分量u，v，w也是x，y，z
的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移
函数具有三阶连续导数。
§3.1 变形4
变形与应变分量
为进一步研究弹性体的变形情 况，假设从弹性体中分割出一个微 分六面体单元，其六个面分别与三 个坐标轴垂。
对于小变形问题，为了简化分析， 将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz， Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标 面平行的，变形后棱边将有相应的转动； 但我们讨论的是小变形问题，这种转动所 带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算， 假设各点的位移仅为自身的大小和形状的 变化所确定，则这种微分线段的转动的误 差是十分微小的，不会导致微分单元体的 变形有明显的变化。
1 2
ui, j
uj,i
§3.1 变形11
上式表明应变分量ij 将满足二阶张量的坐 标变换关系，应变张量分量与工程应变分 量的关系可表示为
x
ij
1 2
xy
1 2
xy
y
1 2 1 2
xz yz
11 21
12 22
13
23
1 2
xz
1 2
yz
31 32 33
z
§3.1 变形12
x
x
• 所以
• 同理可得
• 这些正应变表示了任意一点微分线段的相对 伸长度。微分线段伸长，则正应变大于零， 反之则小于零。
§3.1 变形9
以下讨论切应变表达关系。
因为
上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数 是高阶小量的结论。同理可得
yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为： yx大
于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段
正应变 §3.1 变形7
– 微分单元体的棱边长为dx，dy，dz – M点的坐标：（x，y，z） – M点的位移分量：u（x,y,z）,v(x,y,z), w（x,y,z）
– 首先讨论Oxy面上投影 的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'， M'B'，即变形后的MA，MB的投影
Cauchy于1828年提出） 。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已
知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知
应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相
对复杂。 这个问题以后作专门讨论。
几使何用方张程量给符出号的，应几变何通方常程称可为以表工达程为应：变。ij