凑微分法(26)
常微分方程凑微分法
常微分方程凑微分法常微分方程作为数学分析和物理学中非常重要的基础知识，涉及到了一系列的数学理论和方法，其中凑微分法就是其中的一种最常用、最基础的解题技巧。
在本文中，我们将从凑微分法的原理和步骤入手，讲解其具体应用和实现，在实际的数学和物理问题中，通过例题的形式来深入解析凑微分法的精髓和应用。
一、基本原理凑微分法是一种非常简单易懂的解题技巧，其基本思路是通过对微分方程进行一些特定的变换和调整，使得原方程可以化为几个可积的微分表达式，从而达到方便求解的目的。
该方法主要基于微分方程的性质和基本的微积分运算，利用普通微分和降阶的代数运算和技巧，使得原来难以处理的微分方程可以变成一些比较简单的方程，从而可以更加轻松地求解。
具体来说，凑微分法的基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 判定微分方程的阶数和类型，确定需要凑的微分式以及其次数。
2. 通过巧妙的代数运算和微积分操作，将方程中可能的凑微分项进行配对和消去，使得方程变得更加简单。
3. 对更加简单的微分方程进行求解，最终得到原方程的通解或特解。
这三个步骤是凑微分法的核心内容，也是凑微分法能够成功解决大量微分方程问题的关键所在。
二、具体实现在实际的应用中，凑微分法最常用于解决非齐次和高阶微分方程，同时还可以解决一些简单的S型微分方程和变系数微分方程。
下面我们将从不同类型的微分方程出发，介绍凑微分法的具体应用和实现步骤。
1. 非齐次一阶微分方程对于比较简单的一阶非齐次微分方程，凑微分法的应用十分直观和简单，其基本步骤可以概括为：（1）将非齐次方程写成“齐次方程+特解”的形式；（2）找到一个函数v(x)，满足v(x)y’+v’(x)y=p(x)中的v’(x)/v(x)等于齐次方程的解y/h(x)；（3）将v(x)跟上述解h(x)相乘作为新的函数u(x)，得到新的一阶齐次微分方程u'(x)=h(x)；（4）对上述方程求解，得到一阶的齐次解C1，然后将其代入函数u(x)中，得到特解的形式y(x)=C1u(x)+u(x)∫p(x)u^(-2)(x)dx。
一、凑微分法
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
ln | sec x tan x | C.
dx dx 例4. csc xdx x x sin x 2 sin cos 2 2 x x d d (tan ) 2 2 ln | csc x cotx | C. x x x tan cos 2 tan 2 2 2 d (x ) dx 2 ln | sec x tan x | C. cos x sin( x ) x 1 cos x 2 (tan csc x cotx) 2 sin x 例5. x 2 4 3x3 dx
1 x
1 x
1 2 t 原式 t e ( 2 )dt et dt e x C. t
1
定理 :
设f ( x)连续,x (t )及 (t )皆连续,x (t )的反
函数t 1 ( x)存在且连续, 且
f ( (t )) (t )dt F (t ) C ,
g (t )dt
积分公式
带回
x
F ( ( x)) C.
实质上是一种简单换元积分法.
sin x d cos x dx ln | cos x | C. 例2. tan xdx cos x cos x
例3.
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
e
x2
sin x dx , dx , x
微积分凑微分法例题
微积分凑微分法例题微积分是数学中的一门重要分支，它主要研究函数的变化规律。
其中，凑微分法是求微分的常用方法之一。
下面，我们来看几个凑微分法的例题。
例题一：求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 的导数。
解：首先，我们将 f(x) 中的每一项分别求导。
d/dx (x^3) = 3x^2d/dx (2x^2) = 4x然后，我们将两项相加得到 f(x) 的导数。
f '(x) = 3x^2 + 4x例题二：求函数 g(x) = (x^2 + 2x)^3 的导数。
解：我们可以使用凑微分法，将 g(x) 展开后再求导。
g(x) = (x^2 + 2x)^3= (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x) * (x^2 + 2x)= (x^4 + 4x^3 + 4x^2) * (x^2 + 2x)= x^6 + 6x^5 + 16x^4 + 16x^3接下来，我们可以将每一项分别求导。
d/dx (x^6) = 6x^5d/dx (6x^5) = 30x^4d/dx (16x^4) = 64x^3d/dx (16x^3) = 48x^2最后，将所有项相加，得到 g(x) 的导数。
g '(x) = 6x^5 + 30x^4 + 64x^3 + 48x^2例题三：求函数 h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3 的导数。
解：我们可以使用凑微分法，将 h(x) 展开后再求导。
h(x) = (2x + 1)^2 (3x^2 - 1)^3= (4x^2 + 4x + 1) * (27x^6 - 27x^4 + 9x^2 - 1) ^3= 108x^14 + 54x^13 - 108x^12 - 54x^11 + 388x^10 - 270x^8 - 388x^6 + 270x^4接下来，我们将每一项分别求导。
d/dx (108x^14) = 1512x^13d/dx (54x^13) = 702x^12d/dx (-108x^12) = -1296x^11d/dx (-54x^11) = -594x^10d/dx (388x^10) = 3880x^9d/dx (-270x^8) = -2160x^7d/dx (-388x^6) = -2328x^5d/dx (270x^4) = 1080x^3最后，将所有项相加，得到 h(x) 的导数。
不定积分的计算(凑微分法)
7.1.2.1 换元积分法
1.第一类换元法（凑微分法） 2.小结、作业
1
利用积分的基本公式和积分法则所能计算的不定积
分是非常有限的。例如: cos 2xdx , 2x 18dx 就不能用积分
的基本公式和积分法则求出，因此，有必要进一步研究 不定积分的求法。本节我们将介绍换元积分法。
如例1，例2，例3可直接写成：
cos
2xdx
1 2
cos
2xd 2x
1 2
sin
2x
C
3
1 5x
dx
1 5
3
1 5x
d
3
5x
1 5
ln
3
5x
C
1
x2
e
1 x
dx
e
1 x
d
1
1
e x
C
x
由以上的例子可知，不定积分的第一类换元积分法 没有一个较统一的方法，但是其中有许多技巧。我们不 但要熟记不定积分的基本公式与性质，还需要掌握一些 常用的凑微分形式，
练习3
求
ln x x
dx.
解：
ln xdx x
ln
xd
(ln
x)
1ln2 xC
2
凑微分等式
1 dx d (ln x ) x
练习4 求 2xe x2 dx .
解：
2xex2 dx= e x2 dx 2 = e x2 + C
凑微分等式
2xdx dx2
练习5 求 tan xdx .
解：
tan
例如：
dx 1 d (ax) 1 d (ax b)
a
a
全微分凑微分法
全微分凑微分法全微分凑微分法是微积分中的一种常见方法，用于求解函数的微分。
它通过将函数表示成不同变量之间的关系，并使用凑微分的方法，将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
全微分凑微分法的基本思想是，将函数表示成各个变量之间的关系式，然后对该关系式进行微分。
具体步骤如下：1. 将函数表示成各个变量之间的关系式。
假设有一个函数f(x, y, z)，我们可以将其表示为x、y和z的关系式，如x^2+y^2+z^2=1。
2. 对关系式进行微分。
对上述关系式两边同时求微分，得到2x*dx + 2y*dy + 2z*dz = 0。
3. 将微分表示为各个变量的微分的和。
根据全微分的定义，我们知道dx、dy和dz分别代表x、y和z的微小变化量。
因此，我们可以将上述微分表示为dx = -y*dx/x - z*dz/x，dy = -x*dy/y - z*dz/y，dz = -x*dx/z - y*dy/z。
4. 对微分进行积分。
将上述微分进行积分，就可以得到函数f(x, y, z)的微分形式。
通过对每个变量的微分进行积分，我们可以得到函数在每个变量上的微分。
全微分凑微分法的优点是可以将复杂的函数表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
它适用于各种类型的函数，包括多元函数、隐函数和参数方程等。
然而，全微分凑微分法也有一定的局限性。
首先，它要求函数可以表示为各个变量之间的关系式，因此对于一些复杂的函数，可能无法直接应用该方法。
其次，全微分凑微分法在求解过程中需要进行多次积分，可能会增加计算的复杂性。
全微分凑微分法是微积分中一种常见的求解函数微分的方法。
通过将函数表示为各个变量的关系式，并使用凑微分的方法，可以将函数的微分表示为各个变量的微分的和，从而简化计算过程。
然而，该方法也有一定的局限性，需要对函数进行适当的变换和积分，才能得到最终的微分形式。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的方法来求解函数的微分。
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式不定积分凑微分法是数学中常用的一种函数方法，它是一种“从某种变量微分出别的变量”的求解方法。
不定积分凑微分法公式可以应用于各种函数计算，对研究变量进行深入的分析、控制和模型的构建有很大帮助。
一般情况下，不定积分凑微分法公式主要求解几何型的微分方程。
它把一个方程中的一个变量与另一个变量之间的关系转化成微分方程，并用不定积分凑微分法分析两个变量之间的关系，以求解原方程。
说白了，就是用不定积分凑微分法对微分方程进行求解，以得到原方程的解。
不定积分凑微分法公式的基本形式：int_{x_0}^{x} {f(x}dx=F(x)-F(x_0)其中，f(x)是原方程中某一变量的函数表达式，F(x)是原方程的积分，x_0是不定积分的起始点，x是不定积分的终止点。
除此之外，不定积分凑微分法还可以应用于各种具体的微分方程，比如：1. 一阶微分方程：frac{dy}{dx}=f(x,y)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^{x} {f(xy(x))dx=y(x)-y(x_0)}2. 二阶微分方程：frac{d^2y}{dx^2}+p(x)frac{dy}{dx}+q(x)y=g(x)此时，不定积分凑微分法公式可以写成：int_{x_0}^x{(frac{1}{2}p(xy^2+q(xy+g(x))dx=F(x)-F(x_0)} 以上就是不定积分凑微分法的一般形式和具体公式，它是一种解决微分方程的有效手段。
不定积分凑微分法最大的优点是能够求解一个微分方程，而一个微分方程大多由一系列问题系统所构成，因此，使用不定积分凑微分法可以解决复杂的多变量系统问题。
总之，不定积分凑微分法公式是一种广泛应用的数学方法，它可以应用于多个变量间的关系求解，有效地帮助我们研究和模型某一变量与另一个变量之间的关系，从而有效解决实际函数问题，是一种有效的解决办法。
自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式
不定积分凑微分法公式是一种常用的数学方法，其可以将复杂函数变换为微分形式，从而使得计算过程更加简单，有效地求解复杂问题。
本文结合具体实例，介绍不定积分凑微分法公式，并运用此方法求解复杂函数，以此来认识并理解不定积分凑微分法公式的应用。
首先，让我们来认识不定积分凑微分法公式。
不定积分凑微分法公式（I.F.D.）是一种数学方法，它利用基本定理将一些复杂的函数转换成微分形式，使得计算变得更加简单，能够有效求解一些复杂的问题。
通俗地说，它就是通过记录函数的不同方程参数来求解函数。
此外，它还可以帮助求解积分函数。
具体而言，这就意味着当一个函数被积分时，可以用I.F.D.来简化函数的形式，从而求得函数的极限，即求出函数的精确结果。
下面，让我们来看看不定积分凑微分法公式是如何运用的。
先来看一个例子，假设我们要求解一个复杂函数y = x^3 + 3x^2 + 4x + 5，《不定积分凑微分法公式》可以将它拆解为y = 3x^2 + 6x + 4，于是我们就可以将这个复杂函数转换为微分形式，从而使得计算变得简单。
除此之外，《不定积分凑微分法公式》也可以帮助求解积分函数。
举个例子，假设要求解积分函数y =e^x dx，可以利用不定积分凑微分法公式，从而求解y = e^x + c，而c为常数。
以上就是不定积分凑微分法公式的具体应用，它可以帮助我们将复杂的函数变换为微分形式，更重要的是，它还能帮助求解积分函数，
使计算过程变得更加简单。
总之，不定积分凑微分法公式是一种非常有益的数学方法，它能帮助我们更好地求解复杂的函数，使计算过程变得更加简单，由此也可以更快捷更加准确地求解函数。
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1 ln 2
1 cos x 1 cos x
C
1 （1 cos x）2
ln 2
1－cos2 x
C
ln 1 cos x C ln csc x cot x C
sin x
方法
csc xdx
csc x(csc x cot x)dx
（三） csc x cot x
csc
1 x cot
)dx
arctan
x
1 ln
1
x2
1 (arctan
x)2பைடு நூலகம்
C
2
2
(三)三角函数的积分，往往利用三角恒等式变形后
再利用上述方法解决。
例14
tan
xdx
sin cos
x x
dx
d(cos x) cos x
ln | cos x | C 公式! cot xdx ln | sin x | C
例15
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
d
tan
x
1 sin2
x
dx
csc2
xdx
d
cot
x
1 dx d(arcsin x)
1 x2 1
1 x2 dx d(arctan x)
例8
x dx 1 dx2
2 3x2
2 2 3x2
1 ( 1) d(2 3x2 ) 1 2 3x2 C
2 3 2 3x2
(2)观察重点不同，所得结果不同——答案不唯一!
步骤：两次积分
g(x)dx= f [( x)]( x)dx
f [( x)]d( x)
u ( x)
f (u)du F(u) C 常省略!
F[( x)] C
引例解(3) sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd cos x cos2 x C.
(一)若 f ( x)dx F( x) C, a 0，则
f (ax b)dx
1 a
f (ax b)d(ax b)
1 a
F (ax b) C
例1 (4x 5)100 dx 1 (4x 5)100 d(4x 5) 4 1 (4x 5)101 C 404
例2 1 dx 1 1 d(3 2x) 1 ln 3 2x C
正确解法
1
1 令2 xu
(1) sin 2xdx 2 sin 2xd 2x 2 sin udu
2020/8/21
1
1
cos u C cos 2x C
2
2
微积分--凑微分法
2
(2) sin 2xdx 2sin x cos xdx 2sin xd sin x
usin x
2
d(csc x cot x
x)
ln
csc
x
cot
x
C
类似地： sec xdx ln sec x tan x C 公式!
2020/8/21
微积分--凑微分法
12
例16 cos 3x cos 2xdx.
sin mx cos nxdx 积
20 ( x 3)2
arcsin( x 3) C 20
例7
1
x2
8x
dx 25
1
(
x
4)2
dx 9
1 32
x
3
1 42
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
1 arctan x 4 C.
3
3
2020/8/21
微积分--凑微分法
7
(二)被积函数为积的形式, 常用凑微分(第一次积分):
x)
1 2
ln
1
2 ln
x
C
例12 e x cos(3e x 1)dx cos(3e x 1)de x
1 cos(3e x 1)d(3e x 1) 1 sin(3e x 1) C
例13 3
3
1
x arctan 1 x2
x
dx
1
x arctan x
( 1
x2
1
x2
1 x2
f x x1dx 1 f x dx
f(
x)
1 x
dx
2
f
(
x )d
0
x 1 dx x
或d(ln x) d (ln x )
f
(1) x
1 x2
dx
f
( 1 )d x
1 x
cos xdx d sin x
f (ex )exdx f (e x )de x
sin xdx d cos x
x
)dx
1 2a
(
d(a x) a x
d(a x)) a x
1 (ln a x ln a x ) C 1 ln a x C公式!
或
2a 1 x2 a2
dx
1 ln
2a
xa xa
C
2a
a x
2020/8/21
微积分--凑微分法
6
例6
1
dx
11 6 x x2
1 d( x 3)
3
例9
1 x2
e
1
x dx
e
1 x
d
(
1
)
1
e x
C
x
例10
e3 x dx 2
e3
xd
x
x
2 e3 x d(3 x ) 2 e3 x C
3
3
2020/8/21
微积分--凑微分法
9
例11
1 dx x(1 2ln x)
1
1 2 ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2 ln
d(1 x
2 ln
3 2x
2 3 2x
2
例3
1
dx
a2 x2
1 d x arcsin x C
1 ( x )2 a
公a式!
a
例4
1
a2 x2
1 arctan a
11
dx a2
1
x
a C公式!
x a2
2dx
1 a
1x d
1 ( x )2 a a
例5
a2
1
x2
dx
1 2a
( a
1
x
a
1
上课
手机 关了吗？
2020/8/21
微积分--凑微分法
1
复习: F( x)dx F (dxF)(xC) F( x) C
凑微分法求不定积分！
5.3 换元积分法 一、第一换元法（凑微分法）
问题 sin 2xdx cos 2x C, 不能直接用公式, 因
验证 ( cos 2x) sin 2x 2 为sin2x是复合函数.
csc xdx
方法
（一）
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
x 2
1
tan
x
d
tan
x 2
2
ln
tan
x 2
C
2020/8/21
微积分--凑微分法
11
csc
方法
xdx （二）
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1 1 cos2 x d(cos x)
udu u2 C sin2 x C
定理 设f (u)及(x)连续,且F u为f u的原函数,则
u x
f x x dx f udu F (x) C
第一类换元积分法(凑微分法)
证 F ( x) F(x) x f x x
注：(1)凑微分法的关键——
将 g( x)dx化为 f [( x)]( x)dx.