大学数学c1练习题及答案
大学高等数学上考试题库（附答案）
《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =（C ）()f x x = 和 ()()2g x x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 2．函数()()sin 420ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）23．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微5．点0x =是函数4y x =的（ ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点6．曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭8．x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.（A ）arctan xe C + （B ）arctan xe C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++9．下列定积分为零的是（ ）.（A ）424arctan 1x dx x ππ-+⎰ （B ）44arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x xe e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题（每题4分，共20分）1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．21xy x =-的垂直渐近线有条. 4．()21ln dxx x =+⎰.5．()422sin cos xx x dx ππ-+=⎰.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭②()20sin 1lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①()()13dx x x ++⎰ ②()220dxa x a >-⎰ ③x xe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数323y x x =-的图像.2．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．B 2．B 3．A4．C 5．D 6．C 7．D 8．A9．A10．C 二．填空题1．2-2．33-３．２４．arctan ln x c+５．２三．计算题１①2e②162.11xyx y'=+-3. ①11ln||23xCx+++②22ln||x a x C-++③()1xe x C--++四．应用题１．略２．18S=《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭5.函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121x x e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .3.函数211xy x =+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰______________________.5. 定积分2121sin 11x x dx x-+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:①()1lim 12x x x →+②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1y y xe =-所确定的隐函数的导数x y '.3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰ ②()220dx a x a>+⎰③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数313y x x =-的图象.(要求列出表格)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》试卷2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=- 3.①3sec 3xc + ②()22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》试卷3（上）一、 填空题(每小题3分, 共24分)1. 函数219y x=-的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.3. 函数221()32x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.4. 设()f x 可导, ()x y f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321421sin 1x xdx x x -+-⎰=______________.7. 20_______________________.x td e dt dx-=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy .3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积. 七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解.八、(7分)求微分方程x yy e x'+=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案一．1．3x < 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e 5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+=三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰ =221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且 切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即 法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)xr r r iy eC x C x -++=⇒=-±=+八.11()dxdxxx x y ee edx C -⎰⎰=+⎰1[(1)]x x e C x=-+ 由10,0y x C ==⇒=1xx y e x-∴=《高数》试卷4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ ）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（ ）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、 不存在3、=--→211)1sin(limx x x （ ）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d = 6、设⎰+=C xdx x f 2cos2)( ，则 =)(x f （ ）.A 、2sinx B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x - 7、⎰=+dx x x ln 2（ ）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C x x++-2ln 18、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx x π B 、⎰1ydy π C 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-14)1(dx x π 9、⎰=+101dx e e xx（ ）.A 、21lne + B 、22ln e + C 、31ln e+ D 、221ln e +10、微分方程 x e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）. A 、x e y 273=* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 272=*二、填空题（每小题4分）1、设函数x xe y =，则 =''y ；2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 xx x x --+→11lim； 2、求x x y s i n ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ； 6、解方程21xy xdx dy -=；四、应用题（每小题10分）1、 求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.2、 利用导数作出函数323x x y -= 的图象.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、x e x )2(+； 2、94； 3、0 ； 4、x e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212；5、)12(2e- ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、38； 2、图略《高数》试卷5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ ）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.A 、 x x c o slim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→ 3、=+∞→xx xx )1(lim （ ）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a x x ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C x xdx 211tan 7、计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin8、曲线2x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）. A 、⎰104dx xπ B 、⎰10ydy πC 、⎰-10)1(dy y π D 、⎰-104)1(dx x π 9、设a ﹥0，则=-⎰dx x a a22（ ）.A 、2a B 、22a πC 、241a 0D 、241a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程.A 、0ln2=+'xyy x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2=-'+y y y x D 、0)6(2=-+'dy x y dx y x二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 x xe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；4、=⎰-113cos xdx x ；5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分 ⎰eedx x 1ln ；6、求方程y xy y x =+'2满足初始条件4)21(=y 的特解.四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.2、利用导数作出函数 49623-+-=x x x y 的图象.参考答案（B 卷）一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、x e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x x e C e C 221+. 三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ； 6、x e xy 122-= ；四、1、 29； 2、图略。
大学数学实操考试题及答案
大学数学实操考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是函数f(x) = x^2 + 3x + 2的最小值？A. -1B. 0C. 1D. 2答案：B2. 函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的最大值是：A. 1B. πC. -1D. π/2答案：A3. 如果一个数列是等差数列，且a_3 = 7，a_5 = 13，那么这个数列的公差d是：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 以下哪个选项是微分方程dy/dx = x^2 - y^2的解？A. y = x^2B. y = x - 1C. y = x + cD. y = c/x答案：D5. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) 的值是________。
答案：47. 如果函数f(x)在点x=a处可导，那么曲线y=f(x)在该点处的切线方程是y - f(a) = f'(a)(x - a)，其中f'(a)是函数f(x)在x=a处的________。
答案：导数8. 定积分∫[0, 1] x dx的值是________。
答案：1/29. 矩阵A = [1 2; 3 4]的行列式|A|是________。
答案：-210. 二阶偏导数fxx(x, y)表示函数f(x, y)对x的________偏导数。
答案：二阶三、解答题（共75分）11. （15分）计算定积分∫[1, e] (2x + 1) dx。
答案：首先计算原函数F(x) = ∫(2x + 1) dx = x^2 + x + C。
然后计算F(e) - F(1) = (e^2 + e) - (1 + 1) = e^2 + e - 2。
12. （15分）解微分方程dy/dx - 2y = 4x。
答案：首先求解齐次方程dy/dx - 2y = 0，得到y = Ce^(2x)。
大学数学精选试题及答案
大学数学精选试题及答案一、选择题1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且满足f(a)f(b) < 0，则下列结论正确的是：A. 函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点B. 中值定理在(a, b)内不成立C. 函数f(x)在(a, b)内单调递增D. 函数f(x)在(a, b)内单调递减答案：A2. 已知数列{an}满足a1 = 1，且an+1 = an + 2n，求数列的通项公式an。
A. an = n^2B. an = n(n+1)C. an = 2n - 1D. an = 2^n - 1答案：B二、填空题3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx 的值为 ________。
答案：1/34. 设矩阵A为3阶方阵，且|A| = 2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为________。
答案：1/2三、解答题5. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定存在最大值和最小值。
证明：根据连续函数的性质，我们知道如果函数在闭区间上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
首先，由于f(x)在[a, b]上连续，根据闭区间上连续函数的性质，f(x)在[a, b]上也连续。
因此，根据极值定理，f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
6. 求解二元一次方程组：\[\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1\end{cases}\]解：将方程组写成增广矩阵形式，通过高斯消元法求解。
首先，我们有\[\begin{bmatrix}1 & 1 & | & 5 \\2 & -1 & | & 1\end{bmatrix}\]通过行变换，我们得到\[\begin{bmatrix}1 & 0 & | & 3 \\0 & 1 & | & -1\end{bmatrix}\]因此，方程组的解为 x = 3，y = -1。
大学-线性代数习题答案01
1 2 5 1
2 0 2 1
4 2 0 7
cc427cc3311040
1 2 3 0
2 0 2 1
10 2
14 0
4 1
10
1 2 3
10 2 (1)43
14
4 1 10 c2 c3 9 9 10
1 2 2 0 0 2 0
10
3
14
c1
1 2
c3
17
17
14
2 1 41
(2)
3 1
1 2
bf cf ef
ab ac ae
b c e
解 bd cd de adf b c e
bf cf ef
b c e
1 1 1 adfbce 1 1 1 4abcdef
1 1 1
a 1 00
(4)
1 0
b 1
1 c
0 1
0 0 1 d
解
a1 1 b 0 1
0 1 c
0 0 1
r1 ar2
0 1 0
5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2
解 逆序数为 n(n1)
3 2(1 个)
5 2 5 4 (2 个)
(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)
(b
a)(c
a)(d
a)(c
b)(d
b) c(c
1 b
a)
1 d(d b a)
=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)
武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A卷)
x 2+ax +b(x −1)(x +2) , x /= 1d x 1+cos 2x√ cos 2 x x10 1+x 2a武汉大学2016-2017学年第一学期末《高等数学C1》试卷(A 卷)一. 计算 lim n →∞ n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)√ √ √二. 计算 lim x −√ a + x −a . (7分) x →a +x 2−a 2续.(7分)2,x = 1四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .六. 设y = arctan 1+x , 求y II . (7分)1−x七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)八. 计算J 1+cos 2x d x . (7分)九. 计算J 1 d x . (7分)2+ x +1十. 计算J ln cos xd x . (7分)十一. 设f (x ) = x arctan 1+ J x e t 2 d t , 求f I(1). (7分)十二. 计算J 1(√1 + x + 2x） d x . (7分) 十一. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ, 使得f (b ) − f (a ) =ξf I (ξ) ln b . (7分) 十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)一. 设f(x ) = , 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连− √ 2 2✓ ✓ x 2 − a 2 x → +ax →a + (x − a )(x + a )(x − a )(x + a ) 1 − − −武汉大学2016-2017学年第一学期末 《高等数学C1》试卷(A 卷)答案一. 计算 lim n →∞n [ln(n + 2) − ln n ].(7分)解.lim n →∞ n [ln(n +2) ln n ] = lim n →∞n ln(1+ 2 )(2分) = lim nn →∞ln[(1+ 2 n ) 2 ] n = 2(5分).二. 计算 limx →a +√x −√a +√x −a . (7分) x −a解.√x − √a + √x − a√x − √a √x − a ](2分)li m √ = lim [ + x − a √x − a = lim [ ✓(x − a )(x + a )(√x + √a ) + ✓(x − a )(x + a )] = √2a. (5分)三. 设f (x ) =x 2+ax +b(x −1)(x +2), x /= 1, 求a, b 使得函数f (x )在x = 1处连续.(7分)2,x = 1解. 由lim(x 1)(x + 2) = 0, 1 + a + b = 0, a = b 1(3分). 又 x →1由x 2− (b + 1)x + b = (x − 1)(x − b )及lim (x −1)(x −b ) = 1−b = 2得, b = −5.由此, a = 4(4 分).x →1 (x −1)(x +2)1+2四. 若y = √x 2 + x − 1 − √x 2 − 2x + 3, 求d y . (7分)解. 由y l =√2x +1 − √ x −1 (5分), d y = [ √2x +1 − √ x −1 ]d x.(2分) 2 x 2+x −1 x 2−2x +3 2 x 2+x −1 x 2−2x +32x →a +d x −1+cos 2xr √五. 设y = y (x )由方程y 2 + ln y 2 = x 6确定, 求d y .解. 方程两边同时对x 求导得, 2yy l + 2 y l = 6x 5(5分). 故d y = 3x 5y (2分).yd x y 2+1六. 设y = arctan 1+x , 求y ll . (7分)1−x解.1 + 1+x21 − x + 1 + x1y l= 1−x (1−x ) = 1 + (1+x )2 (1−x )2=(1 − x )2 + (1 + x )2 1 + x 2(4分),y ll = 2x.(3分)(1 + x 2)2七. 求函数f (x ) = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1在区间[−1, 2]上的最大值与最小值. (8分)解. 由f l(x ) = 5x 4−20x 3+15x 2 = 5x 2(x −1)(x −3), 函数在区间[−1, 2]有驻点x = 0, x = 1(4分). 又f (−1) = −10, f (0) = 1, f (1) = 2, f (2) = −7, 函数 在区间[−1, 2]上的最大值为f (1) = 2, 最小值为f (−1) = −10(4分). 八. 计算J 1+cos 2 xd x . (7分)解.1 + cos 2x d x = 1 + cos 2x1 + cos2 x 2 cos 2 x d x (3 分) = 1 r( 1 + 1)d x = tan x + x + C. (4分)九. 计算J 21d x . (7分) cos 2 x 2 2r2 +t cos 2 xr r r −r − x 1 01+x 21 + x + 11 d x = (1 + x )32 + ln(1 + x 2)1 a解. 令t = √x + 1, 则x = t 2 − 1, d x = 2t d t (3分),1 2 + √x + 1 d x = r2t d t = 2t − 4 ln |2 + t | + C =2√x + 1 − 4 ln |2 + √x + 1| + C. (4分) 十. 计算J ln cos xd x . (7分)解.ln cos x d x = ln cos x d tan x = tan x ln cos xtan x d ln cos x(3分)cos 2 x = tan x ln cos x + rtan 2 x d x = tan x ln cos x + (11)d xcos 2 x = tan x ln cos x + tan x − x + C.(4分)十一. 设f (x ) = x arctan 1 + J x e t 2d t , 求f l(1). (7分)解. 由f l (x ) = arctan 1 − x + e x 2 (5分), f l(1) = π − 1 + e (2分).x1+x 242十二. 计算J 1 (√1 + x + 2x） d x . (7分)解.r 1 (√2x '2 1 114√2 2= 3 − 3+ ln 2. (2分)十三. 设0 < a < b , f (x )在[a, b ]上可导, 证明存在ξ ∈ (a, b ), 使得f (b )−f (a ) =ξf l (ξ) ln b . (7分)证. 令g (x ) = ln x , 则函数f (x ), g (x )在区间[a, b ]上满足Cauch 中值定理 的条件(3分). 故存在ξ ∈ (a, b )使得0 0 3 1 + x 2 0 r (5分)ξ a d x2 6 f (b ) − f (a ) = f l (ξ) = f l(ξ) .g (b ) − g (a ) g l (ξ) 1即有f (b ) − f (a ) = ξf l (ξ) ln b (4分).十四. 设有一块边长为a 的正方形铁皮, 从四个角截去同样在的小方块, 做成一个无盖的方盒子, 问小方块边长为多少时才能使盒子的容积最大? 最大的容积为多少?(8分)解. 设小正方形的边长为x , 则无盖方盒子的底边长为a − 2x , 高为x ,体积V = (a −2x )2x (3分). 由d V = (6x − a )(2x − a ), 函数V 有驻点x = a , x = a . 故小方块边长为x = a 盒子的容积最大, 此时小盒子的容积为2a 3(5分).627。
大学高数c试题及答案
大学高数c试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)=2，则下列说法正确的是：A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处可微C. f(x)在点x=a处不可导D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 函数y=x^2在区间[0,2]上的定积分为：A. 4B. 8C. 6D. 2答案：B3. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B4. 微分方程y'' + y = 0的通解是：A. y = c1 * cos x + c2 * sin xB. y = c1 * e^x + c2 * e^(-x)C. y = c1 * x + c2D. y = c1 * x^2 + c2 * x答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=________。
答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为________。
答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为________。
答案：x * ln(x) - x + C4. 微分方程y' - 2y = e^(2x)的特解为________。
答案：(1/3) * e^(2x)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数y=x^3-6x^2+9x+15在x=2处的导数。
答案：将x=2代入导数f'(x)=3x^2-12x+9，得到f'(2)=3。
2. 计算定积分∫(0到1) (2x+1)dx。
答案：∫(0到1) (2x+1)dx = [x^2+x](0到1) = 1^2 + 1 - 0^2 - 0 = 2。
3. 求极限lim(x→∞) (1+1/x)^x。
答案：lim(x→∞) (1+1/x)^x = e。
4. 求微分方程y' + 2y = 6的通解。
大学数学考试试题及答案
大学数学考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-3x+2，下列哪个选项是正确的？A. f(x)在x=1处取得最小值B. f(x)在x=3处取得最大值C. f(x)在x=1处取得最大值D. f(x)在x=3处取得最小值答案：A2. 以下哪个选项是复数z=3+4i的模？A. 5B. √7C. √13D. 7答案：C3. 矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]的行列式det(A)等于多少？A. 2B. -2C. 5D. -5答案：B4. 如果序列{an}满足a1=1，且an+1 = 2an + 1，那么a3的值是多少？A. 7B. 9C. 11D. 13答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 求极限lim(x→0)(sinx/x)的值是______。
答案：12. 给定函数g(x)=x^3-6x^2+9x+1，求g'(x)的值。
答案：3x^2-12x+93. 计算定积分∫(0 t o 1) (2x+3)dx的结果。
答案：5/24. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+24=0，求该圆的半径。
答案：√5三、解答题（每题10分，共60分）1. 证明：如果一个数列{an}是单调递增且有界的，则它必定收敛。
答案：略2. 求解微分方程dy/dx = y/x，其中初始条件是当x=1时，y=1。
答案：略3. 计算二重积分∬(D) (x^2+y^2) dA，其中D是区域x^2+y^2≤4。
答案：略4. 证明：对于任意正整数n，n^3-n是6的倍数。
答案：略5. 给定函数f(x,y)=x^2y+2xy^2-x^2-y^2，求该函数在点(1,1)处的梯度和方向导数。
答案：略6. 证明：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么它在该区间上必定有最大值和最小值。
答案：略四、附加题（10分）1. 给定函数f(x)=x^3-3x^2+4，求f(x)的极值点。
大学数学1试题(A)参考答案
大学数学1试题（A）参考答案一、选择题1. 答案：C解析：题目中要求求出f(x)=3x2-7x+5的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=[3*(2x)^(2-1)-7*(1x)^(1-1)]，即f'(x)=6x-7。
根据选项，可知C选项是正确答案。
2. 答案：B解析：题目中要求求出f(x)=2sin(x)+cos(x)的导数。
根据求导法则，导数的求法为f'(x)=2*cos(x)-sin(x)。
根据选项，可知B选项是正确答案。
3. 答案：A解析：题目中要求求出下列等差数列的前n项和。
根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
根据选项，可知A选项是正确答案。
4. 答案：D解析：题目中要求求出平面上一点到x轴的距离。
根据平面几何知识，点P(x,y)到x轴的距离为|y|，即D选项是正确答案。
5. 答案：C据求导法则，在极值点处的导数为零。
对函数f(x)求导得到f'(x)=3x2-3=0，解得x=±1。
根据选项，可知C选项是正确答案。
二、填空题1. 答案：-√3解析：题目中要求求出方程x2+3x+3=0的解。
根据二次方程求根公式，解出x=(-b±√(b2-4ac))/(2a)，代入a=1，b=3，c=3，可得到x=(-3±√(3^2-4*1*3))/(2*1)，计算得x=-√3。
2. 答案：15解析：题目中要求求出3,5,7...97的等差数列的前n项和，根据等差数列的前n项和公式Sn=n*(a1+an)/2，其中a1为首项，an为末项，n 为项数。
根据选项，可得n=16，代入公式计算得Sn=16*(3+97)/2=15*100/2=1500/2=750。
3. 答案：-1解析：题目中要求求出方程sin(x)=cos(x)的解。
根据三角函数的定义，sin(x)=cos(π/2-x)，即sin(x)=sin(π/2-x)，因此x=π/2-x+2kπ，化简得到x=-1/2+2kπ，其中k为整数。
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练习一一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每小题3分，共24分 ） 1. 函数xx f -=11arctan )(当1→x 时的极限是( C ). (A)2π (B) 2π- (C) 0 (D) 不存在. 2. 若c x F dx x f +=⎰)()(，若0a ≠，则=+⎰xdx b ax f )(2( ).(A)cb ax F ++)(2(B))(212b ax F a+ (C)c b ax F a++)(212 (D)c b ax aF ++)(22.3. 若函数 ()⎩⎨⎧>-≤=0)1(02x x b x e x f ax 在x =0处可导，则( ). (A) 1==b a (B) 0,1==b a (C) 1,0==b a (D) 1,2-=-=b a .4. 函数11x x e y e +=- 是( ).(A)偶函数 (B)奇函数 (C)非奇非偶函数； (D)既是奇函数又是偶函数.5. 设函数)(x f 在点a x =处可导，则=--+→xx a f x a f x )()(lim( ).(A) )(2a f ' (B) )(a f ' (C) )2(a f ' (D) 0. 6. 已知x y sin =，则=)10(y( )。
(A) x sin (B) x cos (C) x sin - (D) x cos -. 7. 若()f x 和()g x 均为区间I 内的可导函数,则在I 内,下列结论中正确的是( ). （A ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x = （B ）若()()f x g x >,则'()'()f x g x > （C ）若'()'()f x g x =,则 ()()f x g x c =+ （D ）若'()'()f x g x >,则()()f x g x >. 8.若()(1)(2)(3)f x x x x x =---,则方程'()0f x =根的个数为( ). （A ） 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个.二、填空题（每题3分，共18分。
）9. 函数2132x y x x -=-+的可去间断点为______________________.10. 当0x →时，sin x x -是2x 的____________(填高阶、低阶或同阶)无穷小。
11.设ln(y x =，则=dy _________ .12．已知点(0,1)是曲线322y x bx c =++的拐点，则b =______, c =______；13．已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则()f x dx =⎰_________；14. 设11()x xf x e dx ec =+⎰,则()f x = __ .三、计算题（每题6分，共42分） 15．计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+.16．求极限：21lim(cos )x x x →.17．设函数)(x y y =由方程2y xxy e e +=所确定，求(0)y '。
18. 设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =，求在0t =时曲线的切线方程. 19．求不定积分：2sin 3xdx ⎰.20. 计算不定积分：.21. 计算不定积分： 21arctan xdx x ⎰四、解答题（8分）22.某服装公司确定，为卖出x 套服装，其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求：（1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？ 五、证明题（8分）23.证明：当0x >时，不等式tan ln(1)1arc xx x+>+成立.练习一答案一、选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每小题3分，共24分。
）（B ） 1. D; 2. C; 3. C; 4. B; 5. A; 6. C; 7. C; 8. D.二、填空题（每题3分，共18分。
） 9. 1x =;10.高阶;11.;12. 则0b =, 1c =；;13.2ln x C +;14.21x -. 三、计算题（每题6分，共36分） 15．计算极限011lim[]ln(1)x x x→-+.解：011lim[]ln(1)x x x →-+0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-+=+20ln(1)lim x x x x→-+=0111(1)lim 22x x x →-+== （6分） 16．求极限：210)(cos lim x x x →.解：21)(cos lim xx x →2cos 1cos 110)1cos 1(lim x xx x x --→-+=21-=e （6分）或21)(cos lim x x x →2cos ln limx x x e→=x x x x ecos 2sin lim0-→=21-=e17．设函数)(x y y =由方程xy e e xy 2=+所确定，求(0)y '。
解：两边对x 求导数：xyey e y x y 22='+'+ 3分得：yx e x ye y +-='22 4分(0)2y '= 5分18．设参数方程(1cos )(1sin )ttx e t y e t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩确定函数()y f x =，求在0t =时曲线的切线方程。
解：(1sin cos )t dy e t t dt -=++ ,(1cos sin )t dx e t t dt=+- 'y =/1sin cos /1cos sin dy dy dt t tdx dx dt t t++==+- 0'1t y =∴= （4分）0,2,1t x y ===所以,切线方程为: 10x y --= （2分）19. 求不定积分：2sin 3xdx ⎰解：2sin 3xdx ⎰11sin 6(1cos6)()226xx dx x C =-=-+⎰ （6分） 20．求不定积分：解：令sec x t =，则sec tan sec tan t t dt t t =⎰t C =+1arccos C x=+ （6分）21. 求不定积分：21arctan xdx x ⎰ 解：根据分部积分， 原式1arctan ()xd x=-⎰=211arctan (1)x dx x x x -++⎰211arctan ()1x x dx xx x =-+-+⎰=211arctan ln ||ln(1)2x x x C x -+-++ （6分）四、解答题（8分）22.某服装公司确定，为卖出x 套服装，其单价应为 x p 5.0150-=,同时还确定，生产x 套服装的总成本可表示为225.04000)(x x C +=。
求： （1）为使利润最大化，公司必须生产多少套服装？最大利润为多少？ (2) 为实现利润最大化，其服装单价应定为多少？解：（1）400075.0150)()()(2--=-=x x x C x R x L ( 2分) x x C x R x L 5.1150)()()(-=-='令05.1150)(=-=='x x L ，得100=x （套） ( 2分) 因为05.1)(<-=''x L ，唯一驻点100=x 即为最大值点， 故生产100套服装，其利润最大，最大利润为3500)100(=L （元） ( 2分) （2）实现最大利润所需的单价为1001005.0150=⨯-=p （元）。
(2分) 五、证明题（8分）23．证明：当0x >时，tan ln(1)1arc xx x+>+成立。
证明：作函数()(1)ln(1)arctan f x x x x =++-，则(0)0f =， (2分 )2221()ln(1)1ln(1)011x f x x x x x'=++-=++>++ (2分 )、 所以，()f x 在(0,)+∞上是增函数， （2分）故，当0x >时，()(0)0f x f >=，即：(1)ln(1)arctan 0x x x ++->， 由此，得当0x >时， tan ln(1)1arc xx x+>+ （2分）练习二一、选择题（在每题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填入题后的括号内。
（每题3分，共24分） 1．当0x →时，与2sin x 等价的无穷小量是（ ）.A ．ln(1)x +B . tan xC . 2(1cos )x -D . 1xe -2. 设221()32x f x x x -=-+，则0x =是()f x 的（ ）.A ．可去间断点B . 连续点C ．跳跃间断点D . 振荡间断点3．若()f x 在x 0处可导，则000(2)()lim h f x h f x h→--=（ ）.A ．20()f x 'B ．02()f x '-C ．01()2f x ' D ．0()f x '4．设已知sin ,y x = 则()10y=（ ）.A .sin xB . sin x -C . cos xD . cos x -5. 函数1sin0()0ax x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处可导，则（ ）.A ．0a ≥B ． 01a ≤<C ． 1a >D ． 0a ≤ 6. 已知()ln f x dx x x C =+⎰，则()f x dx '=⎰（ ）.A ．ln x x C +B ． ln x xC ． ln 1x +D ． ln x C +7．若x x f 22cos )(sin ='，则)(x f =( ).A ．C x x +-2sin 21sin B ．C x x +-sin cosC ．C x x +-221D ．C x x +-221二、填空题（每空3分，共18分） 9. 0x =是函数11()2xf x e=+的__________________间断点.10．极限 201sinlimsin x x x x→=______________________.11．函数)12sin(2-=x y ，则dy=___________________.12. 已知参数方程()cos sin x a t y a t t =⎧⎨=-⎩确定函数()y f x =， 则2t dydx π==___________ .13．设曲线21x y e -=与1x =-的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________________. 14. 设函数()xf x e -=,则(ln )f x dx x'=⎰_____________________. 三、计算题 （每题6分，共42分） 15．求极限：011lim 1x x x e →⎛⎫-⎪-⎝⎭. 17．求函数3226187y x x x =---的单调区间、极值、凹凸区间及拐点. 18．设方程x yxy e+=确定了函数()y f x =，求dydx，dy 19．求不定积分22x xedx -⎰.20．求不定积分2ln x xdx ⎰.四、解答题 （共16分）22．(6分)证明：当0x >时， 1ln(x x +>.练习二答案一、C ，B ，B ，B ，C ，D ，C二、9．跳跃（第一），10. 0, 11. ,)12cos(42dx x x - 12. 1-, 13.230x y -+=,14. 1c x+三、15．解：()0001111lim lim lim 111x x x xx x x x x e x e x e e xex e →→→---⎛⎫-== ⎪--+-⎝⎭01lim 22x x x x e e xe →==+（6分） 17．解：2612186(1)(3)y x x x x '=--=+-，1212y x ''=-，令0y '=，0y ''=，得：1,3,1x x x =-==单增区间：(,1)-∞-与(3,)+∞，单减区间：(1,1)-，极大值(1)3f -=，极小值(3)61f =- 凸区间：(,1)-∞，凹区间：(1,)+∞，拐点：(1,29)- （6分）19．解：22x xedx -⎰2222211(2)44x x e d x e C --=--=-+⎰. （6分） 20．解：2ln xxdx ⎰332331111ln (ln)ln 3339xdx x x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰ (6分)四、22t =，则302121t dt t =+⎰222111111222(1)2(ln(1))2(1ln )113t dt t t tt +-==-=-+=+++⎰⎰ (6分)22．证明：令函数()1ln(f x x x =+(0)0f =。