高等数学(第七版上册)同济大学 习题1.1答案(函数与极限)
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同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习;>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
1
y
+
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-
-
-
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yf(x)
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拐点
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无
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无
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yf(x)
练习7-6
总习题七
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练习8-5
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练习8-7
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总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
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练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
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无
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0
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无
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yf(x)
高等数学(同济第七版)课后答案解析
lIllCPI =xJC(M =2x Jlf
(2)当1()W*WI5时，点〃在(/上.点。在汕上(图1-6).
ICPI =x.14()1=2x -20.
设点()到。。的距髙为奴则
h丨I = 45- 2x
20=25=25，
W A =y(45 -2x).故
74■
二如(45 -2、)= -厅十+I8x.
(3)当!5<x<20时，点户、。都在网上(图1-7).
解当0i时.s（t）二!F.
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
解M二彼二—乂
sin40
50=—/*[ HC+ (HC+2col40°• /e)],
得
BC=単_col40。・力，
n
所以
為2-cos40°
L=——+n .
hsin40°'
而h>0H^-cot 40° • A>0,«此湿周函数的定义域为(040。).
由15.设x()y平面上冇正方形/) ={(x,y)IOWjcW1,0Wy WI}及f[线2：x+y= £(£N()).若S(〃表示正方形〃位于宜线，左下方部分的面积，试求SJ)与/之间的函数关系.
1时1=*-15,\A(J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/，则
(2)当1()W*WI5时，点〃在(/上.点。在汕上(图1-6).
ICPI =x.14()1=2x -20.
设点()到。。的距髙为奴则
h丨I = 45- 2x
20=25=25，
W A =y(45 -2x).故
74■
二如(45 -2、)= -厅十+I8x.
(3)当!5<x<20时，点户、。都在网上(图1-7).
解当0i时.s（t）二!F.
当I V，w2时，s（!）=I - y（2-/）2=一£f2+ 2/-1 ,
当/>2HhS（f） =1.
放
/>2.
Q 16.求联系华氏温度(用F表示)和扱氏温度(用C表示)的转换公式.并求
(1)90叩的等价摄氏温度和-5 °C的等价华氏温度：
(2)是否存在一个温度值.使华氏温度汁和摄氏温度汁的读数是样的？如果存在，那么该温度值是多少？
解M二彼二—乂
sin40
50=—/*[ HC+ (HC+2col40°• /e)],
得
BC=単_col40。・力，
n
所以
為2-cos40°
L=——+n .
hsin40°'
而h>0H^-cot 40° • A>0,«此湿周函数的定义域为(040。).
由15.设x()y平面上冇正方形/) ={(x,y)IOWjcW1,0Wy WI}及f[线2：x+y= £(£N()).若S(〃表示正方形〃位于宜线，左下方部分的面积，试求SJ)与/之间的函数关系.
1时1=*-15,\A(J\=2x-20.
设点Cfl|AH的距离为/，则
同济大学高等数学第七版1_1映射与函数
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幂函数的图形和性质
yx
(是常数)
y x2
y
1
yx
(1,1)
y x
图像特点及性质：
o
1、图形都通过点（1，1）。
2、 0 时，图形过原点， 且在 (0,) 内单调增加。
1 y x
1
x
3、
0 时，图形在 (0,)
内单调减少。
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M *表示 M 中排除 0 的集 ;
2. 集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
若 例如 , 且 , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B . ,
元素 a 属于集合 M , 记作 a M .
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
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表示法： (1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 A a1 , a2 , , an
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n , 注 : M 为数集 (2) 描述法： M x x所具有的特征 . M 表示 M 中排除 0 与负数的集 例: 整数集合 Z x x N 或 x N p p 与 q 互质 p Z, q N , 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。
高等数学同济第七版上册课后习题答案
高等数学同济第七版上册课后习题答案高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于学生的数学素养和后续专业课程的学习都具有至关重要的作用。
而同济大学出版的《高等数学》第七版上册更是被广泛采用的教材之一。
课后习题是巩固知识、检验学习效果的重要手段，因此，准确的课后习题答案对于学生的学习帮助极大。
在这本教材的上册中，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用等重要章节。
每一章的课后习题都经过精心设计，旨在帮助学生深入理解和掌握所学的知识点。
对于函数与极限这一章节，课后习题主要围绕函数的概念、性质、极限的定义、计算方法等展开。
例如，求某些复杂函数的极限可能需要运用到极限的四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则等方法。
在解答这些习题时，需要学生对这些方法有清晰的理解和熟练的运用。
答案中应该详细说明每一步的计算过程和依据，让学生能够明白解题的思路。
导数与微分这部分的习题则侧重于导数的定义、求导法则以及微分的计算。
像复合函数求导、隐函数求导等都是常见的题型。
在给出答案时，要着重解释求导的步骤和关键要点，帮助学生掌握求导的技巧。
微分中值定理与导数的应用这一章节的习题相对较难，需要学生能够灵活运用中值定理解决问题，并且能够运用导数判断函数的单调性、极值和凹凸性等。
答案中应该清晰地展示如何运用定理进行推理和计算，以及如何根据导数的性质得出函数的相关性质。
不定积分的习题主要考查积分公式的运用和积分方法的选择，如换元积分法、分部积分法等。
答案中要详细说明积分的思路和方法，帮助学生理解不同积分方法的适用情况。
定积分及其应用部分的习题涉及定积分的计算、定积分的几何应用和物理应用等。
在答案中，不仅要给出定积分的计算过程，还要清晰地展示如何将定积分应用于求解面积、体积、做功等实际问题。
在提供课后习题答案时，要注重答案的规范性和准确性。
每一道题的答案都应该有清晰的步骤和逻辑，避免跳跃性的思维和不严谨的表述。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解),DOC
(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
解得 z 14
9
即所求点为 M（0，0，14 ）.
9
7. 试证：以三点 A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证： (a b) c a (b c) .
3 i 14
1 j 14
2 k.
14
14. 三个力 F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力 R 的大小和方向余弦.
解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）
| R | 22 12 42 21
cos 2 , cos 1 , cos 4 .
故 A 的坐标为 A(-2, 3, 0).
13. 一向量的起点是 P1（4，0，5），终点是 P2（7，1，3），试求：
（1） P1P2 在各坐标轴上的投影； （2） P1P2 的模；
（3） P1P2 的方向余弦；
（4） P1P2 方向的单位向量.
解：（1） ax Pr jx P1P2 3,
ay Pr jy P1P2 1,
练习 5-2
练习 5-3
练习 5-4
总习题五
练习 6-2
练习 6-3
(2) s 22 (3)2 (4)2 29
(3) s (1 2)2 (0 3)2 (3 4)2 67
(4) s (2 4)2 (1 2)2 (3 3)2 3 5 .
5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)教材包含 笔记 课后习题 考研真题 函数与极限(圣才出品
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数 M，使得对于一切 xn 都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
lim
n
xn
a
，且
a＞0（或
a＜0），则存在正整数
N＞0，当
n＞N
时，都有
xn＞0
（4）初等函数
5 类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1．数列极限的定义
数列{xn}收敛于
a⇔
lim
n
xn
a
⇔∀ε＞0，∃正整数
N，当
n＞N
时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
lim
n
xn
不存在。
2．收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
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第 1 章 函数与极限
1.1 复习笔记
一、映射与函数 1．函数 （1）函数的性质（见表 1-1）
表 1-1 函数的性质
（2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数 f 和反函数 f－1 的单调性一致。 b．f 的图像和 f－1 的图像关于直线 y＝x 对称。 ②复合函数 g 与 f 能构成复合函数 f°g 的条件是：f 的定义域与 g 的值域的交集不能为空集。 （3）函数的运算 设函数 f（x），g（x）的定义域为 Df，Dg，且定义域有交集为 D，则可定义这两个函
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
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练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
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<<>>
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练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
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练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
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-
0
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无
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-
yf(x)
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无
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↗
无
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总习题三
x
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不存在
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2
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练习4-2
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总习题四
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练习6-2
练习6-3
总习题六
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练习7-2
练习7-3
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+
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练习9-1
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练习9-4
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练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
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yf(x)
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总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
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总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
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x
0
(01)
1
y
+
+
1.1映射与函数 同济大学高数(第七版)上册
y -x
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性
f ( x )
y
y f ( x)
y f ( x)
f ( x)
f ( x )
-x o x
f ( x)
x
o
x
x
2 （两边对折重合）,如 y x
偶函数图形关于y轴对称
奇函数的图形关于原点对称
3 y x （一边旋转180度得到另一边），如
函数的奇偶性质：
（1）奇函数和偶函数的定义域必定是关于原点对称的； （2）两个偶函数的和、差、积、商仍是偶函数； （3）两个奇函数的和、差仍是奇函数，两个奇函数的积、商是偶函数； （4）奇函数与偶函数的积、商是奇函数； （5）奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数， （6）任一定义在区间(-a,a)(a＞0)上的函数可表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
二、函数的概念及其几种特性
1.函数的概念
X 和Y , 若 x X , 按照某种对应法则 f , 对应 定义 设给定两个非空实数集 唯一确定的一个实数 y Y , 则称 f 是定义在X上的函数, 简记为y f ( x), 其中x为自变量, y为因变量.
X 称为函数f 的定义域, 记为D f , 数x对应的数f ( x)称为x的函数值, 函数值的集合称为函数 f 的值域, 记为R f .
x (, 1) (1, )
x [1,4) (4, )
例2 判断下列函数是否相同
(1) f ( x) x,
x (,)； (2) f ( x) lg x 2 , g ( x) 2 lg x, g ( x) x 2 , x (,)
(1)表示不同的函数，因为它们的对应法则不同 . (2)表示不同的函数，因为它们的定义域不同 .
函数的单调性