高数函数与极限习题ppt课件

x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
7、无穷小的比较
8、等价无穷小的替换性质
9、极限的唯一性、局部有界性、保号性
8
（三）连续
连续定义
lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
第一章 函数与极限习题课
1
一、主要内容
（一）函数的定义 （二）极限的概念 （三）连续的概念
2
（一）函数
基本初等函数
复合函数
函数 的定义
函数 的性质
初等函数 反函数 隐函数
双曲函数与 反函数与直接 反双曲函数 函数之间关系
奇偶性 单调性 有界性 周期性
3
1.函数的定义 函数的分类 2.函数的性质 有界、单调、奇偶、周期 3.反函数 4.隐函数 5.基本初等函数 6.复合函数 7.初等函数 8.双曲函数与反双曲函数
连续函数的 运算性质
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
间断点定义
第一类 第二类 可跳 无振 去跃 穷荡 间间 间间 断断 断断 点点 点点
连续函数
的性质
9
1、连续的定义
单侧连续 连续的充要条件 闭区间的连续性
2、间源自文库点的定义
间断点的分类 第一类、第二类
3、初等函数的连续性
连续性的运算性质 反函数、复合函数的连续性
n
1 x
lim (1 x2 )(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
n
1 x
(1 x 2n )(1 x 2n )
1 x 2n1
lim
lim
n
1 x
n 1 x
1 . (当 x 1时, lim x2n1 0.)
1 x
2
若F (1) 0, 则 1 , f (1 1) f (1);

2,
可设p( x) x3 2x2 ax b(其中a, b为待定系数)
又lim p( x) 1, x x0
p( x) x3 2x2 ax b ~ x ( x 0)
从而得 b 0, a 1. 故 p( x) x3 2x2 x
14
x 1, x 1

1 x3

lim
x0
sin x
x

1

cos x2
x
1
(1 sin x)cos
x

1 2
1
原式 e2 . 13
例
设p( x)是多项式,且 lim x
p( x) x2
x3

2,
lim p( x) 1,求p( x). x x0
解
lim x
p( x) x2
x3
证明必有一点 [0,1]使得f ( 1) f ( ).
2
证明 令 F ( x) f ( x 1) f ( x),
2
则 F ( x)在[0, 1]上连续. 2
F (0) f (1) f (0), 2
F (1) f (1) f (1),
2
2
讨论: 若F (0) 0, 则 0, f (0 1) f (0);
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
5
1、极限的定义：" N"定义
" X"定义
单侧极限 极限存在的条件
" "定义
2、无穷小与无穷大
无穷小； 无穷大； 无穷小与无穷大的关系
无穷小的运算性质
3、极限的性质
四则运算、复合函数的极限 6
4、求极限的常用方法 a.多项式与分式函数代入法求极限;
2
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
lim f ( x) lim( x 1) 0. 故f ( x)在x 1连续.
x1
x1
f ( x)在(,1) (1,)连续.
16
例 设f ( x)在闭区间[0,1]上连续,且f (0) f (1),
例6
讨论f
(x)


cos
x
2
,
x

的连续性. 1
解 将f ( x)改写成
1 x, x 1
f
(x)

cos
x 2
,
1
x

1
x 1, x 1
显然f ( x)在(,1),(1,1),(1,)内连续.
15
当x 1时,
lim
x1
f (x)
lim (1
x1
x)
2. lim x1
f (x)
lim
x1
f (x)
lim f ( x) lim cos x 0. 故f ( x)在x 1间断.
x1
x1
2
当x 1时,
x
lim f ( x) lim cos 0.
x1
x1
4
（二）极限
数列极限
lim
n
xn

a
函数极限
lim f ( x) A lim f ( x) A
x x0
x
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
无穷小
左右极限 无穷小的比较 lim f (x) 0
判定极限
两个重要 等价无穷小
存在的准则 极限
及其性质
无穷小 的性质
n
12
例
求
lim(1

tan
x
)
1 x3
.
x0 1 sin x
解
原式

lim[1

(1

tan
x

1)]
1 x3
x0
1 sin x

lim[1

tan
x

sin
x
1
]x3
x0
1 sin x
lim tan x sin x0 1 sin x
x

1 x3

sin x(1 cos x) lim x0 (1 sin x)cos x
4、闭区间上连续函数的性质
最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理
10
二、例题
11
例 当 x 1时,
求 lim(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n ). n
解 将分子、分母同乘以因子(1-x), 则
原式 lim (1 x)(1 x)(1 x2 )(1 x4 )(1 x2n )
b.消去零因子法求极限;
c.无穷小因子分出法求极限;
d.利用无穷小运算性质求极限;
e.利用左右极限求分段函数极限；
f.利用等价无穷小；
g.利用重要极限 5、判定极限存在的准则
夹逼定理、单调有界原理
7
6、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
sin
lim
1;
某过程
(2) lim(1 1 )x e