成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试 数学(理)试题(含答案)
成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题:(每小题5分，共60分)1.在直角坐标系中,直线330x y --=的倾斜角是( )A.30°B.120°C.60°D.150°2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有50名,高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本,已知在高二年级的学生中抽取了6名,则在高一年级的学生中应抽取的人数为( ) A.6B.8C.10D.123.圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A. ()()22211x y -+-= B. ()()22211x y +++= C. ()()22215x y -+-=D. ()()22215x y +++=4.下图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，4.845.若,x y 满足约束条件0,+3020,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，,则z 2x y =+的最小值是( )A. 0B. 3C. 4D. 66.在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( ) A. 310B.710C. 25D. 357.执行下面的程序框图，则输出的n = ( ) A.17 B.19 C.21 D.238.设R x ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（ ）（参考数据：32.0946≈） A ．3.1419 B ．3.1417 C ．3.1415 D ．3.141310.圆224210x y x y ++--=上存在两点关于直线()2200,0ax by a b -+=>>对称，则14ab+的最小值为（ ） A ．8 B ．9C ．16D ．1811.设集合()(){}()()(){}2222,41,,21A x y x y B x y x t y at =-+==-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈⋂≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．403⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．403⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭12.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线,切点分别为,A B ,则PA PB ⋅的最小值为( )A. 103B. 403C. 214D. 223-二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.在区间[]0,5上随机地取一个数 x ,则 x 满足2x ≤的概率为__________14.命题“2,220x R x x ∀∈-+≤”的否定为__________15.执行如图所示的程序框图,如果输出3s =,那么判断框内应填入的条件是__________.16.设R m ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线20mx y m --+=交于点(,)P x y ，则3PA PB +的最大值是__________三、解答题：（本大题共70分）17（10分）已知直线12:310,:30l x y l x y --=+-=, (1)直线1l 与2l 的交点P 的坐标; (2)过点P 且与1l 垂直的直线方程18(12分）从含有两件正品,a b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率. (1).每次取出不放回. (2).每次取出后放回.19（12分）已知直线L: 与圆C: , (1) 若直线L 与圆 相切,求m 的值; (2) 若 ,求圆C 截直线L 所得的弦长.20（12分）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[)[)[]50,60,60,70,90,100⋅⋅⋅分成5组，制成如图所示频率分直方图． （1）求图中x 的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在[)50,60内的男生数与女生数的比为3:2，若在满意度评分值为[)50,60的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．21.（12分）为助力湖北新冠疫情后的经济复苏,某电商平台为某工厂的产品开设直播带货专场.为了对该产品进行合理定价,用不同的单价在平台试销,得到如下数据:(1)根据以上数据,求y 关于x 的线性回归方程;(2)若该产品成本是4元/件,假设该产品全部卖出,预测把单价定为多少时,工厂获得最大利润?(参考公式:回归方程,y bx a =+其中121()(),)()nii i nii xx y y b a y bx xx ==--==--∑∑。
22.（12分） 已知圆M 的方程为：222260x y x y +---=，以坐标原点为圆心的圆N ，圆N 内切于圆M . （1）求圆N 的方程；（2）圆N 与x 轴交于E 、F 两点，圆内的动点D 使得DE 、DO 、DF 成等比数列，求DE DF ⋅的取值范围；（3）过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A 、B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行？请说明理由.参考答案1.答案：C解析：先将直线方程化为斜截式3y =-,再根据tan k θ==[0,]θπ∈,得到倾斜角60θ=︒. 2.答案：C 解析：3.答案：A 解析：4.答案：C解析：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后， 所剩数据84,84,86,84,87的平均数为8484868487855++++=；方差为()()()()222218848584858485878555⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦.故选C.5.答案：C解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由2z x y =+，可得1122y x z =-+，作出直线:20l x y +=，平移直线l ，由图可得，当直线l 平移到经过点B 的位置时，直线在y 轴上的截距最小，此时2z x y =+取得最小值，由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，可得点B 的坐标为()2,1所以2z x y =+的最小值是2214+⨯= 6.答案：C解析：学生在确定选修地理的情况下,从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科的方法有(历史，政治),(历史,化学),（历史,生物）,（历史,物理）,(政治,化学),（政治,物理），（政治,生物）,（化学,生物）,（化学,物理）,（生物,物理）,共10种.其中含有生物的选择方法有:（历史,生物）,（政治,生物）,（化学,生物）,（生物,物理）,共4种.则所选的两科中一定有生物的概率42105P ==.故选C. 7.答案：C解析：由程序框图知S 等于正奇数数列135，，，的前k 项和，其中*12n k k +=∈N ，，当前k 项和大于100时退出循环，则2[1(21)]135(21)2k kS k k +-=++++-==，当10k =时，100S =；当11k =时，121S =，退出循环.则输出的n 的值为211121⨯-=，故选C.8.答案：B解析：250x x -<，即05x <<，11x -<等价于02x <<， 故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<。
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。
故选B 。
解析：11. 答案：C【详解】解：由“,t R A B ∃∈⋂≠∅”是真命题，即存在实数t 使得圆22(4)1x y -+=与圆22()(2)1x t y at -+-+=有交点， 则存在实数t 2≤，即关于实数t 的不等式22(1)4(2)160a t a t +-++≤有解， 即2216(2)4(1)160a a +-⨯+⨯≥， 解得403a ≤≤，故选C.12.答案：C 解析：(()()()222222cos 12cos 111PA PB PC APB PC APC PC PC ⎛⎫⋅=∠=-⨯∠-=--= ⎪⎝⎭2223PC PC+- ∵()()22221324108PC t t t t =++-=-+≥ ∴22222138384PC PC +-≥+-= 故选C. 13.答案：25解析：14.答案：2000,220x R x x ∃∈-+> 解析：15.答案：k≤7解析：第一步, 42log (1)log 3,213s s k k =⋅+==+=;第二步, 4232log (1)log 3log 4log 4,314s s k k =⋅+=⋅==+=; 第三步, 4242log (1)log 4log 5log 5,5s s k k =⋅+=⋅==; ……第n 步, 2(1)2log (1)log (2)log (2),2n s n n n k n +=+⋅+=+=+, 若输出3s =,则2log (2)3,28,6,28n n n k n +=+===+=, 说明8k =时结束,故应填7k ≤.16.答案：解析：17.答案：1. 解方程组31030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得1{2x y ==∴交点()1,2.P2.1l 的斜率为3,故由点斜式方程得过点P 且与1l 垂直的直线方程为()21,y x -=--即370x y +-=.解析：18.答案：1.每次取出不放回的所有结果有()()(),,,a a a b a c ()()(),,,b c c a c b 其中左边的字母表示第一次取出的产品,右边的字母表示第二次取出的产品,共有6个基本事件,其中恰有一件次品的事件有4个,所以每次取出不放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为4263=.2.每次取出后放回的所有结果: ()()()(),,,,a a a b a c b a ()()()()(),,,,,b b b c c a c b c c 共有9个基本事件,其中恰有一件次品的事件有4个,所以每次取出后放回,取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为49. 解析：答案： 19、解析： 试题分析:本题第(1)问,由于直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,即有 ,只要解出m 即可;第(2)问,先求出圆心到直线的距离 ,由于原的半径为1,则由勾股定理可求出弦长。
四川省2020-2021学年高二上学期期中数学(理科)试题
冕宁中学 2020—2021 学年度上期高 2022届半期考试高二数学试卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 若P ：2000,220x R x x ∃∈++≤，则p ⌝为（ ）A. 2000,220x R x x ∃∈++> B. 2000,220x R x x ∃∉++>C. 2,220x R x x ∀∈++≤ D. 2,220x x x ∀∈++>R【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定形式直接判断选项.【详解】特称命题“2000,220x R x x ∃∈++≤，”的否定:p x R ⌝∀∈，2220x x ++>.故选：D2. 若直线2x =的倾斜角为α，则α=（ ） A. 0B.3πC.2π D. π【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角的定义判断即可；【详解】解：直线2x =，垂直于x 轴，故倾斜角为2π 故选：C3. 已知点()()1111A B --，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程为（ ） A 222x y +=B. 22x y +=C. 221x y +=D. 224x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求圆心和半径，得到圆的方程.【详解】由条件可知圆心是线段AB 的中点，所以圆心坐标1111,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭，即()0,0， AB 长为圆的直径，()()22111122AB =--+--=，所以圆的半径2r =，则以线段AB 为直径的圆的方程为222x y +=. 故选：A4. 过（1，2）且与直线240x y -+=垂直的直线方程为（ ） A. 230x y -+= B. 240x y +-=C. 240x y ++=D. 210x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】依题意设直线方程为20x y n ++=，再根据直线过点()1,2，即可求出参数的值，从而求出直线方程； 【详解】解：设直线方程为20x y n ++=，因为直线过点()1,2 所以2120n ⨯++=，解得4n =-，所以直线方程为240x y +-= 故选：B5. 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为（a ，），则a<0，b>0.直线y ＝－，其斜率k ＝>0，在y 轴上的截距为－>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．考点：圆与直线.6. 已知方程22121x y m m -=++表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. 3(,)2-∞-(1,)⋃-+∞ D. 33(2,)(,1)22--⋃-- 【答案】D 【解析】()()210m m ++<，且()21m m +≠-+，所以322m -<<-或312m -<<-．故选D ．7. 已知直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ) A. 1 B. 1-C. 2-或1-D. -2或1【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以分别令0y =以及0x =计算出直线在x 轴和y 轴上的截距，然后根据截距相等即可列出算式并通过计算得出结果．【详解】由直线的方程20ax y a +--=得此直线在x 轴和y 轴上的截距分别为2a a+和2a +, 由22a a a+=+得1a =或2a =-,故选D ． 【点睛】本题考查直线的相关性质，主要考查直线与x 轴和y 轴的截距，考查计算能力，考查方程思想，是简单题．8. 已知命题:,sin()sin p x R x x π∀∈-=；命题:,q αβ均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>，下列命题是真命题的是( ) A. p q ∧⌝ B. p q ⌝∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ∧【答案】A 【解析】【详解】由三角函数的诱导公式知，得命题:,sin()sin p x R x x π∀∈-=为真命题；又因为取，，αβ>，但sin sin αβ>不成立，所以命题为假命题.进而根据复合命题的真值表易知，非是假命题，非是真命题.所以p q ∧⌝真 ，p q ⌝∧⌝假，p q ⌝∧假 ，p q ∧假，故选A9. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( )A. 13B. 12C. 23D.34【答案】B 【解析】试题分析：不妨设直线:1x ylc b +=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l 24b =12c e a ⇒==，故选B. 考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线:1x yl c b+=，即0bx cy bc +-=⇒椭圆中心到l2142b c e a =⇒==，利用方程思想和数形结合思想建24b=是本题的关键节点.10. 直线0x y --=上有动点P ，过P 作221x y +=的一条切线，切点为M ，则minPM=（ ）A.B.2C.D.3【答案】A 【解析】 【分析】连接OP ，则PM =，要使PM 取得最小值，只需OP 取得最小值，利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：依题意，连接OP ，则PM ，要使PM 取得最小值，则OP 需取最小值，()min 220022211OP --==+-，所以2min 213PM =-=故选：A11. 已知椭圆22195x y +=上有一点12P F F ，为左右焦点，1260PF F ︒∠=，则12PF F S=（ ）A.533B.52C.532D.32【答案】C 【解析】 【分析】首先根据椭圆的定义和余弦定理求出1PF ，再代入三角形的面积公式求解. 【详解】由条件可知293a a =⇒=，25b =，则2424c c =⇒=， 设1PF x =，26PF x =-，124F F =，12PF F △中，根据余弦定理可知()2261624cos60x x x -=+-⨯⋅，解得：52x =， 1215534sin 60222PF F S∴=⨯⨯⨯=. 故选：C【点睛】思路点睛：涉及圆锥曲线焦点三角形问题时，经常考查定义转化1PF 和2PF ，以及余弦定理的综合应用.12. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆C 于,A B 两点，若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A. 30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 3,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，设F '为椭圆的左焦点，连接AF '，BF '，则四边形AFBF '是平行四边形，可得4||||||||2AF BF AF BF a =+='+=．取(0,)M b ，由点M 到直线l 的距离不小于45，可得224534+，解得1b ．再利用离心率计算公式221c be a a==-即可得出．【详解】解：如图所示，设F '为椭圆的左焦点，连接AF '，BF '，则四边形AFBF '是平行四边形， 4||||||||2AF BF AF AF a ∴=+='+=，2a ∴=．取(0,)M b ，点M 到直线l 的距离不小于45，∴224534+，解得1b ． 22213112c b e a a∴==--=． ∴椭圆E 的离心率的取值范围是30,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦．故选：A ．【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．第Ⅱ卷 （共 90 分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 圆224470x y x y ++-+=与圆22410130x y x y +--+=的位置关系是_____.【答案】外切 【解析】 【分析】直接利用圆1C 与2C 两圆心之间的距离与两圆半径之间的关系即可得到答案． 【详解】圆()()22221:4470221C x y x y x y ++-+=⇒++-=，故圆心为：1(2,2)C -，半径11r =，圆()()22222:4101302516C x y x y x y +--+=⇒-+-=故圆心为：()22,5C ，半径24r =，12||5C C ∴==，又125r r +=，1221||C C r r ∴=+，∴圆1C 与2C 外，故答案为：外切.14. 在空间直角坐标系中，点()123P ，，关系yOz 平面对称的坐标为M ，关于x 轴对称的点坐标为N ，则MN =_____.【答案】 【解析】 【分析】首先求出对称点的坐标，再根据空间直角坐标系上任意两点间的距离公式计算可得；【详解】解：点()123P ，，关系yOz 平面对称的坐标为M ，关于x 轴对称的点坐标为N ，则()1,2,3M -，()1,2,3N --所以MN ==故答案为：15. 动直线1y kx =-与曲线y =k 的取值范围是_____.【答案】(][),11,-∞-+∞【解析】 【分析】作出图形，可知曲线21y x =-为圆221x y +=的上半圆，数形结合可得出k 的取值范围. 【详解】在等式21y x =-两边平方并整理得221x y +=，由21y x =-可知0y ≥， 所以，曲线21y x =-为圆221x y +=的上半圆，如下图所示：当直线1y kx =-过点1,0A 时，则10k -=，可得1k =，由图象可知，当直线1y kx =-与曲线21y x =-的交点在第一象限时，1k >； 当直线1y kx =-过点()1,0B -时，则10k --=，可得1k =-.由图象可知，当直线1y kx =-与曲线21y x =-的交点在第二象限时，1k <-. 综上所述，k 的取值范围是(][),11,-∞-+∞.故答案为：(][),11,-∞-+∞.【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法.本题是利用直线与半圆的交点个数求参数，要注意动直线所过的一些关键点，利用一些临界点来进行分析.16. 下列命题：①2:,10p x R x x ∀∈++≥；②000:,sin cos 2q x R x x ∃∈+=；③():0,1xr x e x ∀∈-∞>+，；④:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题，其中正确的结论是______．(填写所有正确的序号) 【答案】①③【解析】 【分析】利用配方法判断①；利用辅助角公式判断②；利用导数判断③；利用否命题的定义判断④【详解】2213:,1024p x R x x x ⎛⎫∀∈++=++> ⎪⎝⎭，正确；000sin cos 24x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭，错误；设()()1'1xxf x e x f x e =--⇒=-，()0x ∈-∞，时，()()'0,f x f x <递减，()()001x f x f e x >=⇒>+，正确；:s 若0ab ≠，则0a ≠的否命题是若0ab =，则0a =，错误，故答案为：①③【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查特称命题、全称命题、导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知直线()1:120l m x y -++=，()()28110l x m y m +++-=：. （1）若12l l ⊥，求m ；（2）若12//l l ，求m ,并求此时两条直线间的距离.【答案】（1）79；（2）3，10. 【解析】 【分析】对于直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=，（1）若12l l ⊥，则12120A A B B +=，即可解得；（2）若12//l l ，则1221A B A B =且1221A C A C ≠即可求出参数的值，再根据两平行直线的距离公式计算可得；【详解】解：（1）直线()1:120l m x y -++=，()()28110l x m y m +++-=：.因为12l l ⊥，所以()()81110m m ⨯-++⨯=，解得79m =（2）根据直线1:(1)20l m x y -++=，2:8(1)(1)0l x m y m +++-=，且12l l //， 可得()()1118m m -+=⨯且()()1128m m -⨯-≠⨯，解得3m =， 所以1:220l x y ++=，2:8420++=l x y所以两直线之间的距离d ==【点睛】对于直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=，（1）若12l l ⊥，则12120A A B B +=，（2）若12//l l ，则1221A B A B =且1221A C A C ≠；18. 2:540p x x -+≤，:2q x a -≤.（1）若p 是q 充分不必要条件，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，若p q ∧为假，且p q ∨为真，求x 的取值范围. 【答案】（1）{}23a a ≤≤；（2）{|31x x -≤<或}14x <≤.. 【解析】 【分析】首先求出命题p 与q ；（1）令{}|22B x a x a =-≤≤+，{}|14A x x =≤≤依题意可得AB ，即可得到不等式组，解得即可；（2）因为p q ∧为假，且p q ∨为真，所以p 、q 一个为真一个为假，再分类讨论，分别计算可得，最后取并集；【详解】解：因为2540x x -+≤，所以()()410x x --≤，解得14x ≤≤，所以:14p x ≤≤， 因为2x a -≤，所以22a x a -≤≤+，所以:22q a x a -≤≤+ （1）令{}|22B x a x a =-≤≤+，{}|14A x x =≤≤ 因为p 是q 充分不必要条件，所以A B ，所以2421a a +≥⎧⎨-≤⎩解得23a ≤≤所以[]2,3a ∈（2）当1a =-时，:31q x -≤≤，因为p q ∧为假，且p q ∨为真，所以p 、q 一个为真一个为假，当p 真、q 假，则1431x x x ≤≤⎧⎨-⎩或解得14x <≤当p 假、q 真，则3114x x x -≤≤⎧⎨⎩或解得31x -≤<综上可得{|31x x -≤<或}14x <≤.【点睛】本题考查充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 19. 过圆外一点(0,3)P 作圆()2224x y -+=的两条切线分别与圆交于,A B 两点（1）求切线,PA PB 的方程； （2）求直线AB 的方程.【答案】（1）0x =，512360x y +-=；（2）230x y -=. 【解析】【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求解，利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程；（2）首先求以PC 为直径的圆，然后两圆相减即是直线AB 所在直线方程.【详解】（1）当过点()0,3P，斜率不存在时，直线0x =与圆相切，满足条件， 当斜率存在时，设切线方程3y kx =+，即30kx y -+=， 圆心()2,0到直线30kx y -+=的距离2d ==，解得：512k =-， 切线方程：5312y x =-+，即512360x y +-=， 所以切线,PA PB 的方程分别为0x =，512360x y +-=； （2）设圆()2224x y -+=的圆心()2,0C ，CP 的中点 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，PC ==半径r =,以CP 为直径的圆是()22313124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，直线AB 为两圆公共弦所在直线， 两圆方程相减即是直线AB 的方程，所以()()222224313124x y x y ⎧-+=⎪⎨⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，相减后得230x y -=. 所以直线AB 的方程是230x y -=.【点睛】易错点睛：涉及直线与圆相切，和直线与圆相交问题求直线方程时，容易忽略斜率不存在情况的讨论，造成丢解情况，需注意这个问题.20. 已知椭圆2214x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线段PD D ，为垂足，动点的A 满足AP PD =.（1）求A 的轨迹方程M ；（2）直线:10l mx y m ++-=与M 相交于,B C 两点，当弦BC 最短时，求直线l 的方程. 【答案】（1）224x y +=；（2）20x y -+=. 【解析】 【分析】（1）首先设点(),A x y ，并表示点P 的坐标，代入椭圆方程，直接求解点A 的轨迹方程；（2）首先求直线过定点，根据圆的性质，可知当定点是BC 的中点时，此时弦BC 最短，并求此时直线l 的方程. 【详解】（1）设点(),A x y ，(),0D x ，由条件可知点P 是AD 的中点，即,2y P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 将点P 代入椭圆方程，22144x y +=，即224x y +=，则动点A 的轨迹方程是224x y +=，是以原点为圆心，2r 的圆；（2）直线:10l mx y m ++-=，变形()()110m x y ++-=，直线过定点()1,1N -，当点()1,1N -是线段BC 的中点时，此时弦BC 最短， 此时10110ON k -==---，所以直线BC 的斜率1k =，则直线l 的方程1120y x x y -=+⇒-+=.【点睛】结论点睛：本题第二问考查与圆的几何性质有关的最值，具体结论如下：（1）设O 为圆的圆心，半径为r ，圆外一点A 到圆上的距离的最小值为AO r -，最大值为AO r -； （2）过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；（3）记圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d r +，最小值为d r -；（4）过圆内一点的弦，当点为弦的中点时，此时弦长最短.21. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的离心率为2e =，且点()21P ，在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点,A B 都在椭圆C 上，且AB 的中点M 在线段OP （不包括端点）上. ①求直线AB 的斜率； ②求AOB 面积的最大值.【答案】（1）22163x y +=；（2）①1-；②2. 【解析】 【分析】（1）利用离心率，点代入椭圆方程，及222a c b -=，解方程即得参数a ，b ，即得方程；（2）先利用两点坐标代入椭圆方程，再作差即求得直线AB 的斜率；设直线AB 的方程，联立椭圆的方程，利用弦长公式计算AB 的长度，再利用点到直线的距离公式计算AOB 的高，即得到面积，最后利用基本不等式求其最大值即可.【详解】解：（1）离心率2c e a ==，()21P ，代入椭圆C 方程得22411a b +=，又222a c b -=，解得a b c ===C 的方程是22163x y +=；（2）①点,A B 都在椭圆C 上，设()()1122,,,A x y B x y ，则222211221,16363x y x y +=+=，作差得()()()()121212122x x x x y y y y +-=-+-，即()()()()1212121212y y y y x x x x +-+=--，因为1212AB y y k x x -=-，121212OP OM y y k k x x +===+，1AB k ∴=-，即直线AB 的斜率是1-； ②设直线AB 的方程是y x t =-+，联立椭圆22163x y+=得2234260x tx t -+-=，由()221612260t t ∆=-->解得33x -<<，且21212426,33t t x x x x -+==，故AB ===又O 到直线AB的距离为d =，故AOB面积22119223322t t S AB d +-=⋅==≤=，当且仅当229t t =-时，即292t =时等号成立，故AOB 面积的最大值为2. 【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．22. 已知椭圆22221(0)x y E a b a b +=>>：的左右焦点分别是1F 和2F ，离心率为13，以P 在椭圆E 上，且12PFF △的面积的最大值为（1）求椭圆E 的方程；（2）已知直线:2(0)l y kx k =+≠与椭圆E 交于不同的两点,M N ，若x 轴上存在点G ，使得GM GN =，求点G 的横坐标的取值范围.【答案】（1）22198x y ；（2）2001212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，.【解析】 【分析】（1）先判断P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大，得到bc =13c e a ==，222+=a b c ，即解得参数a ，b ，得到方程；（2）先联立方程得到中点坐标()00,E x y ，再利用已知条件得到GE MN ⊥，设点G 坐标(),0G m ，得到m ，k 的关系，讨论m 的取值范围，即得结果.【详解】解：（1）依题意，显然当P 在短轴端点时，12PF F △的面积最大为122c b ⨯⨯=即bc =又由离心率为13c e a ==，222+=a b c ，解得2229,8,1a b c ===， 故椭圆E 的方程为22198x y ；（2）联立方程组222198y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()228936360k x x ++-=，因为直线l 恒过定点(0,2)，故直线与椭圆必有两个交点，设()()1122,,,M x y N x y ，则1223689k x x k -+=+，设,M N 中点为()00,E x y ，则120218289x x kx k +-==+，002218162=28989k y kx k k k -=+⋅+=++，,GM GN GE MN =∴⊥，设(),0G m ， 则22161891889GE k k k k m k+==---+，化简得2228899k m k k k --==++. 当0k >时89k k +≥89=k k 时，即3k =时等号成立，故012m -≤<； 当0k <时89k k +≤--89=k k 时，即3k =-时等号成立，故012m <≤； 综上，点G 的横坐标的取值范围为2001212⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦，. 【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。
2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷
2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷一、选择题1. 命题“ ∀x∈R，x2+x+2>0”的否定是( )A.∃x0∈R,x02+x0+2>0B.∃x0∈R,x02+x0+2<0C.∀x∈R,x2+x+2≤0D.∃x0∈R,x02+x0+2≤02. 已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与l2:mx+3y−6=0平行，则实数m的值( )A.−3B.2C.±2D.−3或23. 在空间直角坐标系O−xyz中，点M(0,m,0)到点P(1,0,2)和点Q(1,−3,1)的距离相等，则实数m的值为( )A.1B.−2C.2D.−14. 圆(x+3)2+(y+4)2=16与圆x2+y2=4的位置关系为( )A.外切B.相离C.相交D.内切5. 曲线方程√x2+(y+4)2+√x2+(y−4)2=10的化简结果为( )A.y225+x29=1 B.x225+y216=1 C.x225+y29=1 D.y225+x216=16. 如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A.3 5B.15C.45D.257. 设m→，n→为非零向量，则“存在负数λ，使得m→=λn→”是“m→⋅n→<0”的()A.既不充分也不必要条件 B.充分必要条件C.充分而不必要条件D.必要而不充分条件8. 设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S4S2=3，则S6S4=()A.73B.2C.1或2D.3109. 圆x2+y2+2x−6y+1=0关于直线ax−by+3=0(a>0, b>0)对称，则1a+3b的最小值是( )A.163B.2√3C.4D.20310. 方程√x−1⋅ln(x2+y2−1)=0所表示的曲线的图形是( )A. B.C. D.11. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“勾2+股2=弦2”．设F是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，直线y=√3x交椭圆于A，B两点，若|AF|，|BF|恰好是Rt△ABF的”勾”“股”，则此椭圆的离心率为( )A.√32B.√3−1C.12D.√3−1212. 如图，圆C 与x 轴相切于点 T(1,0) ，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方）且 |AB|=2，过点A 任作一条直线与圆O ： x 2+y 2=1 相交于M ，N 两点，|NB||NA|+|MA||MB|的值为( )A.2√2B.2C.√2−1D.3二、填空题等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=150，则a 2+a 8=________．设点A (−2,0)和B (0,3)，在直线l:x −y +1=0上找一点P ，使|PA|+|PB|取到最小值，则这个最小值为________.已知平面区域{x ≥0，y ≥0，x +2y −4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x −a)2+(y −b)2=r 2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．已知边长为2√3的菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，沿对角线BD 折成二面角A −BD −C 为120∘的四面体ABCD ，则该四面体的外接球的表面积为________． 三、解答题已知△ABC 的三个顶点坐标为A(−3, 1)，B(3, −3)，C(1, 7)． (1)求BC 的中线所在直线方程的一般式方程；(2)求△ABC 的面积．设命题p ：实数x 满足x 2−4ax +3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x−32−x≥0.(1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =3 ，c =√2 ，∠B =45∘. (1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值.如图，已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切．过点B(−2, 0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．(1)求圆A 的方程；(2)当MN =2√19时，求直线l 的方程.如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，P ，Q 分别是AA 1，A 1C 1的中点.(1)设棱BB1的中点为D，证明：C1D // 平面PQB1；(2)若AB=2，AC=AA1=AC1=4，∠AA1B1=60∘，且平面AA1C1C⊥平面AA1B1B，求二面角Q−PB1−A1的余弦值.已知点A(0, −2)，椭圆E:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．参考答案与试题解析2020-2021学年四川成都高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】全称命因与特末命题命正算否定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】空间两点体的存离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】余于视理异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】必要条水表综分条近与充要条件的判断平面常量么量积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】等比数使的前n种和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】基本常等式簧最母问赤中的应用关于射、从递对称高圆的方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】曲常与树程函表的透象【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系圆的射纳方程两点间来距离循式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两点间来距离循式中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二元验我不等烛（组）判平面区域圆的射纳方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】此题暂无答案【考点】两点间来距离循式直线的三般式方疫【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】复合命题常育真假判断逻辑使求词“或”“且”“非”根据较盛必食例件求参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】正因归理余于视理同角正角测数解的当本关系两角和与表擦正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与三相交的要质圆的射纳方程点到直使的距离之式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题椭圆较标准划程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2020-2021学年四川省成都市郫都区高二(上)期中数学试卷(理科)
2020-2021学年四川省成都市郫都区高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线y=√3x+2的倾斜角是()A. 2π3B. π3C. 5π6D. π62.在空间直角坐标系中点P(1,3，−5)关于xOy对称的点的坐标是()A. (−1,3，−5)B. (1,−3,5)C. (1,3，5)D. (−1,−3,5)3.高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6，24，33的学生在样本中，那么样本中还有两个学生的学号应为()A. 15，42B. 15，43C. 14，42D. 14，434.某地在国庆节7天假期中的楼房认购量(单位：套)与成交量(单位：套)的折线图如图所示，小明同学根据折线图对这7天的认购量与成交量作出如下判断：①成交量的中位数为16；②认购量与日期正相关；③日成交量超过日平均成交量的有2天，则上述判断中正确的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 05.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是()A. 726π5mm2B. 363π10mm2C. 363π5mm26. 过点(−√3,−1)的直线l 与圆x 2+y 2=4相切，则直线l 在y 轴上的截距为( )A. 4√33B. −4√33C. 4D. −47. 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上点数之和概率最大时，其和为( )A. 6B. 7C. 8D. 98. 已知直线l 1：x +2ay −1=0，与l 2：(2a −1)x −ay −1=0平行，则a 的值是( )A. 0或1B. 1或14C. 0或14D. 149. 已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x −2y −2=0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A. 4x −3y −3=0B. 3x −4y −3=0C. 3x −4y −4=0D. 4x −3y −4=010. 甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率( )A. 29B. 49C. 59D. 7911. 已知M 、N 分别是圆C ：(x +1)2+(y −6)2=1和圆D ：(x −2)2+(y −6)2=1上的两个动点，点P 在直线l ：y =x 上，则|PM|+|PN|的最小值是( )A. 3√17−2B. 10C. √65−2D. 1212. 已知实数x ，y 满足x 2+(y −2)2=1，则|√3x+y|2√x 2+y 2的最大值为( )A. 12B. √32C. 1D. 2√77二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校田径队有男生56人，女生42人，现用分层抽样的方法从田径队中抽取一个容量为28的样本，那么抽到男生的人数是______．14. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +1≥0x −y +2≤0x +y −3≤0，则z =x +2y 的最大值为______．15. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为______ ．16. 如图，已知圆O ：x 2+y 2=16，A ，B 是圆O 上两个动点，点P(2,0)，则矩形PACB 的顶点C 的轨迹方程是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 若{a n }的前n 项和为S n ，点(n,S n )均在函数y =32x 2−12x 的图象上．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =3a n a n+1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n ．18. 近年来，“双11”网购的观念逐渐深入人心．某人统计了近5年某网站“双11”当天的交易额，统计结果如表：(1)请根据上表提供的数据，用相关系数r 说明y 与x 的线性相关程度，线性相关系数保留三位小数．(统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间线性关系的强弱．若相应于变量x 的取值x i ，变量y 的观测值为y i (1≤i ≤n)，则两个变量的相关系数的计算公式为：r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2.统计学认为，对于变量x ，y ，如果r ∈[−1,−0.75]，那么负相关很强；如果r ∈[0.75,1]，那么正相关很强；如果r ∈(−0.75,−0.30]或r ∈[0.30,0.75)，那么相关性一般；如果r ∈[−0.25,0.25]，那么相关性较弱)；(2)求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2020年该网站“双11”当天的交易额． 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −；参考数据：√1860≈43.1．19.已知函数f(x)=2√3sinxcosx+cos2x，x∈R．)的值及函数f(x)的最小正周期T；(Ⅰ)求f(π6(Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(A)=1，a=3且b=3c，求△ABC的周长．20.某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：(1)在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；[0,10)范围内的概率；(3)求学生对A餐厅评分的平均数．21.如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=2√2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．22.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；(3)是否存在实数k，使得直线L：y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：直线y=√3x+2的斜率为√3，设其倾斜角为α(0≤α<π)，则tanα=√3．∴α=π．3故选：B．由已知直线方程求出直线的斜率，利用斜率等于倾斜角的正切值得答案．本题考查直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间向量的坐标的概念，向量的坐标表示，空间点的对称点的坐标的求法，记住某些结论性的东西将有利于解题，属于中档题．利用空间直角坐标系中任一点P(a,b，c)关于坐标平面yOz的对称点为(−a,b，c)即可得出正确选项．【解答】解：过点A(1,3，−5)作平面xOy的垂线，垂足为H，并延长到A′，使AH′=AH，则A′的横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来纵坐标的相反数，即得：A′(1,3，5)．故选C．3.【答案】A=9，即组距为9，【解析】解：由题意可知，每组人数为455所以另外两个学生的学号为6+9=15，和33+9=42，故选：A．根据系统抽样的定义，算出每组人数即组距，再利用第一组抽到的学号依次加上组距即本题主要考查了系统抽样，是基础题．4.【答案】D【解析】解：由图可知：(1)成交量分别为：13，8，32，16，26，38，166；由此可知其中位数为26，故①错误；(2)在“10月1日认购量为223套”而“10月2日认购量为105套”，由此可知认购量与日期不成正相关，故②错误；(3)平均成交量为；2897，超过平均成交量只有1天；故③错误．故选：D．利用图表中的数据即可求解．本题考查了数据分析，考查学生的计算能力，分析能力；属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】先求出芝麻落在军旗内的概率，再利用几何概型中的面积型可得：军旗的面积大约为S=3 10×π×112=36310π(mm2)，得解．本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型，属中档题．【解答】解：利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率P=30100=310，设军旗的面积为S，由题意可得：Sπ×112=310，所以S=310×π×112=36310π(mm2)．故选：B．6.【答案】D【解析】解：根据题意，圆x2+y2=4，对于点(−√3,−1)，有(−√3)2+(−1)2=4，则切线l的方程为−√3x−y=4，变形可得y=−√3x−4，直线l在y轴上的截距为−4；故选：D．根据题意，分析可得点(−√3,−1)在圆x2+y2=4上，由圆的切线方程可得切线l的方程为−√3x−y=4，变形分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程的计算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：同时向上掷两枚骰子，向上的点数之和共有以下36种结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，其中和为2是1种，和为3是2种，和为4是3种，和为5是4种，和为6是5种，和为7是6种，和为8是5种，和为9是4种，和为10是3种，和为11是2种，和为12是1种，故向上点数之和概率最大时，其和为7，故选：B．列举出所有情况，看所求的所得点数之和的情况数，即可求出向上点数之和概率最大时，其和为7．本小题主要考查随机事件、等可能事件的概率等基础知识，关键是找到所有存在的情况，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=−1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由2a−1=−a≠−1，解得：a=1．综上，a=0或14，故选：C．先检验当a=0时，是否满足两直线平行，当a≠0时，两直线的斜率都存在，由2a−1a=−a 2a ≠−1−1，解得a的值．本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验．9.【答案】D【解析】解：由题意，直线x−2y−2=0的斜率为k=0.5，倾斜角为α，所以tanα=0.5，过点(1,0)的倾斜角为2α，其斜率为tan2α=2tanα1−tan2α=43，故所求直线方程为：y=43(x−1)，即4x−3y−4=0．故选：D．先求直线x−2y−2=0的斜率，进而转化为倾斜角，用2倍角公式求过点(1,0)的斜率，再求解直线方程．本题考查的知识点是点斜式方程，二倍角的正切公式，是直线与三角函数的综合应用，难度中档．10.【答案】C【解析】解：设甲到达的时刻为x，乙到达的时刻为y，则所有的基本事件构成的区域为：Ω={(x,y)|{0≤y≤240≤x≤24}，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域为A={(x,y)|{0≤x≤240≤y≤24|x−y|≤8}，这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为S阴=1−16×16=5，先利用线性规划作出平面区域，再结合几何概型中的面积型求概率即可．本题考查了线性规划及几何概型中的面积型求概率，属中档题．11.【答案】C【解析】解：根据题意：知M、N分别是圆C：(x+1)2+(y−6)2=1和圆D：(x−2)2+ (y−6)2=1上的两个动点，点P在直线l：y=x上，画出图形如图所示：作圆D和圆E关于直线x=y对称，所以点E(6,−2)，C(−1,6)，故：|PD|+|PC|=|CE|=√(6+1)2+(2−6)2=√65，所以|PM|+|PN|的最小值是√65−2．故选：C．直接利用对称问题的应用求出圆D关于直线x=y的对称圆E，进一步利用两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，点关于向的对称问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：根据题意，实数x，y满足x2+(y−2)2=1，则点(x,y)为圆x2+(y−2)2=1上的点，设P(x,y)是圆x2+(y−2)2=1上任意一点，过点P作直线√3x+y=0的垂线，垂足为T，则|√3x+y|2的几何意义为PT的长|PT|，√x2+y2=√(x−0)2+(y−0)2，其几何意义为线段|OP|的长度，√3x+y| 2√x2+y2=|PT||PO|=sin∠POT，设直线y=kx与圆x2+(y−2)2=1相切，则有√1+k2=1，解可得k=±√3，则直线y=√3x与圆x2+(y−2)2=1相切于第一象限，此时sin∠POT取得最大值，且其最大值为sinπ3=√32，故√3x+y|2√x2+y2的最大值为√32；故选：B．根据题意，分析可得点(x,y)为圆x2+(y−2)2=1上的点，再设P(x,y)是圆x2+(y−2)2=1上任意一点，分析|√3x+y|2和√x2+y2的几何意义，即可得√3x+y|2√x2+y2=|PA||PO|=sin∠POT，据此分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析√3x+y|2√x2+y2的几何意义，属于综合题．13.【答案】16【解析】解：∵男生和女生分别有56人和42人，∴用分层抽样的方法从中抽取一个容量为28的样本，则应抽取的男生人数为5656+42×28=16人，故答案为：16．根据男生和女生的人数，根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．14.【答案】7【解析】解：由约束条件{x +1≥0x −y +2≤0x +y −3≤0作出可行域如图，联立{x =−1x +y −3=0，解得A(−1,4)．化z =x +2y 为y =−12x +z2．由图可知，当直线y =−12x +z2过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为−1+8=7． 故答案为：7．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】127【解析】 【分析】本题主要考查几何概型中的体积类型，属于基础题．根据安全飞行的定义，则安全的区域为以棱长为1的正方体内，则概率为两正方体的体积之比． 【解析】解：蜜蜂“安全飞行”区域为棱长为1的正方体，其体积为1． 而棱长为3的正方体的体积为27．故所求概率为127． 故答案为：127．16.【答案】x 2+y 2=28【解析】解：设点C(x,y)，点P(2,0)，则AB 和CP 的交点为M(2+x 2,y 2)为矩形PACB 的的中心， 且OM ⊥AB ，∴OB 2=OM 2+MB 2=OM 2+MP 2， 即16=[(2+x 2)2+(y 2)2]+[(2+x 2−2)2+(y2)2]，即64=[x 2+4x +4+y 2]+[x 2−4x +4+y 2]，即x 2+y 2=28， 故答案为：x 2+y 2=28．设点C(x,y)，则AB 和CP 的交点为M(2+x 2,y 2)，再根据OB 2=OM 2+MP 2，化简可得结果．本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的弦的性质，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵点(n,S n )均在函数y =32x 2−12x 的图象上，∴S n =32n 2−12n ．当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n −2， 当n =1时，a 1=1，适合上式． ∴a n =3n −2． (2)b n =3a n a n+1=3(3n−2)(3n+1)=13n−2−13n+1，∴数列{b n }的前n 项和T n =(1−14)+(14−17)+⋯+(13n−2−13n+1)=1−13n+1=3n3n+1．【解析】(1)由于点(n,S n )均在函数y =32x 2−12x 的图象上，可得S n =32n 2−12n.利用“当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1”即可得出； (2)利用“裂项求和”即可得出．本题考查了利用“当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1”求通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意，根据表格中的数据，可得：x −=15(1+2+3+4+5)=3，y −=15(9+12+17+21+26)=17， 则∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=(1−3)(9−17)+⋯+(5−3)(26−17)=43，√∑(ni=1x i −x −)2∑(n i=1y i −y −)2=√10×186≈43.1， 所以r =n i=1i −i −√∑(i=1x i −x −)2∑(i=1y i −y −)2=4343.1≈0.998，所以变量y 与x 的线性相关程度很强．(2)由(1)可得x −=3，y −=17，∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)=43，又由∑(n i=1x i −x −)2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=10，所以b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=4310=4.3，则a ̂=y −−b ̂x −=17−4.3×3=4.1，可得y 关于x 的线性回归方程为y ̂=4.3x +4.1， 令x =6，可得y ̂=4.3×6+4.1=29.9，即2020年该网站“双11”当天的交易额29.9百亿元．【解析】(1)利用已知条件，求解相关系数，判断即可．(2)求出回归直线方程的系数，求解回归直线方程，然后代入x +6，推出结果即可． 本题考查回归直线方程的求法，相关系数的判断，是基本知识的考查．19.【答案】解：(Ⅰ)∵f(x)=2√3sinxcosx +cos2x =√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，…2分∴f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2，…4分∴T =2π2=π…6分(Ⅱ)∵f(A)=1，可得：2sin(2x +π6)=1， 可得sin(2A +π6)=12，可得2A +π6=π6+2kπ，或2A +π6=5π6+2kπ，k ∈Z ，因为△ABC 中，0<A <π， 可得A =π3，…8分由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，可得b 2+c 2−bc =9， 可得方程组{b 2+c 2−bc =9b =3c ，可解得{c =3√77b =9√77，…10分可得周长a +b +c =3+12√77…12分【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简已知可求函数解析式为f(x)=2sin(2x +π6)，即可求解f(π6)的值，利用周期公式即可求解T 的值．(Ⅱ)由题意可得sin(2A +π6)=12，结合范围0<A <π，可求A 的值，由余弦定理可得b 2+c 2−bc =9，即可解得b ，c 的值，从而求解三角形的周长．本题主要考查了二倍角公式，两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)由A 餐厅分数的频率分布直方图，得：对A 餐厅评分低于30的频率为(0.003+0.005+0.012)×10=0.2， 所以，对A 餐厅评分低于30的人数为100×0.2=20． (2)对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为M 1，M 2， 对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为N 1，N 2，N 3， 从这5人中随机选出2人的选法有10种，分别为： (M 1,M 2)，(M 1,N 1)，(M 1,N 2)，(M 1,N 3)，(M 2,N 1)， (M 2,N 2)，(M 2,N 3)，(N 1,N 2)，(N 1,N 3)，(N 2,N 3)，其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法有6种，分别为： (M 1,N 1)，(M 1,N 2)，(M 1,N 3)，(M 2,N 1)，(M 2,N 2)，(M 2,N 3). 故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为P =610=35． (3)学生对A 餐厅评分的平均数为：0.03×5+0.05×15+0.12×25+0.2×35+0.2×45+0.4×55=0.15+0.75+3+7+9+22=41.9．【解析】(1)由A 餐厅分数的频率分布直方图求出对A 餐厅评分低于30的频率，由此能求出对A 餐厅评分低于30的人数．(2)对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为M 1，M 2，对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为N 1，N 2，N 3，从这5人中随机选出2人，利用列举法能求出2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率．(3)利用频率分布直方图能求出学生对A餐厅评分的平均数．本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】(1)证明：连接OB∵AB=BC=2√2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴OA=OB=OC，又∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=O，OB、AC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC；(2)解：由(1)得PO⊥平面ABC，PO=√PA2−AO2=2√3，在△COM中，∠OCM=45°，∴OM=√OC2+CM2−2OC⋅CMcos45°=2√53．S△POM=12×PO×OM=12×2√3×2√53=2√153，S△COM=12×23×S△ABC=43．设点C到平面POM的距离为d.由V P−OMC=V C−POM⇒13×S△POM⋅d=13×S△OCM×PO，解得d=4√55，∴点C到平面POM的距离为4√55．【解析】本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求距离，属于中档题．(1)证明：可得AB 2+BC 2=AC 2，即△ABC 是直角三角形，又POA ≌△POB≌△POC ，可得∠POA =∠POB =∠POC =90°，即可证明PO ⊥平面ABC ；(2)设点C 到平面POM 的距离为d.由V P−OMC =V C−POM ⇒13×S △POM ⋅d =13×S △OCM ×PO ，解得d 即可．22.【答案】解：(1)∵圆C 1：x 2+y 2−6x +5=0，整理，得其标准方程为(x −3)2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为(3,0)．(2)设当直线l 的方程为y =kx ，A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)， 联立方程组{(x −3)2+y 2=4y =kx ，消去y 可得：(1+k 2)x 2−6x +5=0， 由Δ=36−4(1+k 2)×5>0，可得k 2<45． 由韦达定理，可得x 1+x 2=61+k 2，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为{x =31+k 2y =3k 1+k 2，其中−2√55<k <2√55，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为(x −32)2+y 2=94，其中53<x ≤3． (3)结论：当k ∈(−2√57,2√57)∪{−34，34}时，直线L ：y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点． 理由如下：联立方程组{(x −32)2+y 2=94y =k(x −4)，消去y ，可得：(1+k 2)x 2−(3+8k 2)x +16k 2=0， 令Δ=(3+8k 2)2−4(1+k 2)⋅16k 2=0，解得k =±34，又∵轨迹C 的端点(53,±2√53)与点(4,0)决定的直线斜率为±2√57，∴当直线L ：y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点时， k 的取值范围为[−2√57,2√57]∪{−34，34}.【解析】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于较难题．(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；(2)设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；(3)通过联立直线L与圆C的方程，利用根的判别式Δ=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率，即得结论．。
2020-2021学年四川省成都市南开为明学校高二上学期期中考试生物试题
四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试试题（考试时长：90分钟满分：100分）第Ⅰ卷（选择题，共63分）1．下列不是内环境概念要素的是A．指细胞内液B．主要组成为血浆、组织液、淋巴C．指细胞外液D．体内细胞赖以生存的液体环境2．下图为人体内环境三种主要组成部分之间的相互转化模式图，则A．乙的成分可能有抗体、神经递质和氨基酸B．甲中含有血红蛋白、O2和葡萄糖等成分C．与甲相比，乙和淋巴的蛋白质浓度较高D．细胞代谢废物经细胞膜直接进入甲3．下列对人体内环境的相关叙述，正确的是A．血浆渗透压的大小主要与K+、Cl-有关B．内环境温度随着外界温度的变化而变化C．组织液渗透压下降会导致组织水肿D．正常人剧烈运动后，血浆pH维持在7.35 ~7.454．如图表示人体内的细胞与外界环境进行物质交换的过程，下列叙述错误的是A．某人花粉过敏时B的含量将会增多B．某人一次摄入较多的食醋，不会引起内环境pH明显下降，原因是A中含有缓冲物质C．在A、B、C三种液体中，A中CO2浓度最高D．E表示泌尿系统5．人体稳态的维持是机体生命活动正常进行的重要保障，下列叙述正确的是A．剧烈运动时，肌细胞产生的乳酸会使细胞外液的pH显著降低B．血浆、组织液和淋巴等构成了体内细胞生活的液体环境C．人体细胞外液渗透压的高低取决于细胞外液中Na+和Cl−的浓度D．人体处于稳态时，内环境的成分和理化性质稳定不变6．连续奋战在抗洪救灾第一线的战士，内环境依然能保持稳态，其调节机制是A．神经调节B．体液调节C．免疫调节D．神经-体液-免疫调节7．人体内环境的稳态是机体进行正常生命活动的必要条件。
下列关于稳态的叙述，不正确的是A．下丘脑可参与体温、渗透压和酸碱平衡的调节B．正常的血糖含量和含氧量是维持细胞代谢的必要条件C．只有温度、PH等都在适宜的范围内，酶才能正常发挥催化作用D．细胞的生命活动依赖于内环境，也参与内环境的形成和维持8.反射与反射弧的关系是（）A.反射活动可以不完全通过反射弧来实现B.反射活动的完成必须通过反射弧来实现C.只要反射弧完整，必定会出现反射活动D.反射和反射弧在性质上是完全相同的9．下列有关神经兴奋的叙述，正确的是()A．静息状态时神经元的细胞膜内外没有离子进出B．神经细胞兴奋时Na＋内流是被动运输C．突触间隙中的神经递质经主动运输穿过突触后膜而传递兴奋D．组织液中Na＋浓度增大，则神经元的静息电位减小10.突触传递兴奋时递质一旦释放，无论是否与突触后膜上的受体结合，都会迅速地被分解或被重吸收到突触小体或扩散离开突触间隙，使（）A.下一个神经元产生兴奋B.突触得以为下次传递做好准备C.下一个神经元受到抑制D.反射过程完成11.下图为反射弧简图，兴奋在反射弧中按单一方向传导，这是因为（）A.在②中兴奋传导是单一方向的B.在③中兴奋传导是单一方向的C.在④中兴奋传导是单一方向的D.以上说法都对12．如图表示一个完整反射弧结构，其中腓肠肌既与传入神经相连，又与传出神经相连，且传出神经末梢与腓肠肌细胞接触部分类似突触称为“神经—肌肉接头”。
2020-2021学年四川省成都南开为明学校高二下学期期中考试(理)数学试题(解析版)
四川省成都南开为明学校（为明教育四川学区）2020-2021学年高二下学期期中考试（理）试题总分:150分 时间:120分钟一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.复数2(1i)1+i-=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+2.在空间直角坐标系中,点()3,2,1P --关于平面xOy 的对称点的坐标是( )A.(3,2,-1)B.(-3,-2,-1)C.(-3,2,1)D.(3,-2,1)3.设函数()f x 在1x =处存在导数，则(1)(1)lim 3x f x f x→∞+∆-=∆ ( ) A.'(1)f B. 3'(1)f C. 1'(1)3f D. '(3)f 4.已知圆22:1A x y +=在伸缩变换'2{'3x x y y==的作用下变成曲线C ,则曲线C 的方程为( ) A. 22149x y += B. 22194x y += C. 22123x y += D. 22132x y +=5.下图是函数()f x 的导函数'()f x 的图像，则下列判断正确的是( )A.在(2,1)-上，()f x 是增函数B.在(1,3)上，()f x 是减函数C.在(4,5)上，()f x 是增函数D.在(3,2)--上，()f x 是增函数6.下图示,在四面体O ABC ﹣中,设 ,,,OA a OB b OC c D ===⋅为BC 的中点,E 为AD 的中点,则OE = ( )A.111244a b c ++B.111232a b c +-C.111344a b c ++D.111344a b c -+7.如下图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以是( )A.13n n a -=B.21n a n =-C.3n n a =D.12n n a -=8.已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()3'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =( )A.12-B.12 C.1- D.e9.在长方体1111ABCD A B C D -中, 1AB BC ==,1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( )A.15 D.210.如下图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,点,E F 分别是棱,AB BC 的中点,则点1C 到平面1B EF 的距离等于( )A.23 D.4311.定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)3f =，则不等式()3e xf x <的解集为（ ）A.(,0)-∞B.(,2)-∞C.(0,)+∞D.(2,)+∞ 12.设函数()sin()(0)5f x x ωωπ=+>，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.定积分121x dx -⎰的值为 ;14.在极坐标系中，点π(2,)3到直线cos 2ρθ=的距离为 ; 15.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =____ ___;16.定义:如果函数()=y f x 在定义域内给定区间[],a b 上存在00()x a x b <<,满足0()()()f b f a f x b a -=-,则称函数()=y f x 是[],a b 上的“平均值函数”, 0x 是它的一个均值点,例如2=y x 是[]1,1-上的平均值函数, 0就是它的均值点.现有函数3()f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数,则实数m 的取值范围是_______ ___.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知函数2()ln f x x x =-(1)求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)求函数() f x 的单调区间.18. (12分)已知1111,,,,122334(1)n n ⨯⨯⨯⨯+，n S 为前n 项和。
四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高二上学期期中考试化学试题
成都为明学校20-21学年度上学期期中考高二年级化学姓名：_________班级：_________考号：_________（说明：本卷满分100分，考试时间90分钟。
请将★答案★做在“答题卡”上）---------------第Ⅰ卷（选择题，共40 分）一、选择题（共20小题，每小题2分，满分40分）1．下列有关能源的说法正确的是（）A．电能属于一次能源B．用脱硫处理的煤代替原煤作燃料可以有效减少空气中CO2气体的含量C．沼气属于生物质能，可再生D．核能﹑煤﹑石油符合未来新能源标准2．某化学反应的能量变化如图所示．下列有关叙述正确的是（）A．如图可知a一定使用了催化剂B．该反应为放热反应，△H=E1﹣E2C．使用催化剂，可以改变化学平衡常数D．使用催化剂，可降低该反应的活化能3．下列依据热化学方程式得出的结论正确的是（）A．已知C（石墨，s）═C（金刚石，s）△H＞0，则金刚石比石墨稳定B．2H2（g）+O2（g）═2H2O（g）△H＝﹣483.6kJ/mol，则氢气的燃烧热为241.8kJ•mol﹣1 C．H2（g）+F2（g）═2HF（g）△H＝﹣270kJ•mol﹣1，则相同条件下，2mol HF气体的能量小于1mol氢气和1mol氟气的能量之和D．500℃、30MPa下，N2（g）+3H2（g）⇌2NH3（g）△H＝﹣92.4kJ•mol﹣1；将1.5mol H2和过量的N2在此条件下充分反应，放出热量46.2kJ4．已知25°C、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应生成1 mol水放出的热量为57.3kJ，则下列描述正确的是（）A．酸碱中和反应的中和热为57.3kJB．稀盐酸与稀氨水反应生成1 mol水，放出的热量小于57.3 kJC．1 mol强酸和1 mol强碱完全反应，放出的热量一定为57.3 kJD．NaOH（aq）+HCl（aq）＝NaCl（aq）+H2O（l）△H＝+57.3 kJ•mol﹣15．利用H2和O2制备H2O2的原理为：①H2（g）+A（1）⇌B（1）△H1②O2（g）+B（1）⇌A（1）+H2O2（1）△H2已知：A、B均为有机物，两个反应均能自发进行；N A代表阿伏加德罗常数。
四川省成都南开为明学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都南开为明学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（ ）A ．2,210x R x x ∃∈-+≤B ．2,210x R x x ≥∃∈-+C ．2,210x R x x ∃∈-+<D ．2,210x R x x ∀∈-+<2．某校高一年级从1815名学生中选取30名学生参加春节联欢晚会的大合唱节目，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从1815人中剔除15人，剩下的1800人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为301815D ．都相等，且为3018003．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．0D ．无法判断 4．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．5，5B ．3，5C ．3，7D ．5，75．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件:A 选出的球是红色，事件:B 选出的球是绿色.则事件A 与事件B （ ）A ．是互斥事件，不是对立事件B ．是对立事件，不是互斥事件C ．既是互斥事件，也是对立事件D ．既不是互斥事件也不是对立事件6．用秦九韶算法计算多项式()234561235879653f x x x x x x x =+-++++在4x =-时的值时，3V 的值为( )A ．845-B ．220C ．57-D ．347．矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( )A ．7.68B ．8.68C ．16.32D ．17.328．△ABC 的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的周长为22,则顶点C 的轨迹方程是 ( )A ．2213611x y += B ．2212511x y += C ．221,(0)916x y y +=≠ D ．221,(0)3611x y y +=≠ 9．在区间[]0,1上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是（ ） A ．1225 B ．1625 C ．1725 D ．182510．曲线:C x =与直线:0l x y m --=有两个交点，则实数m 的取值范围（ ）A ．11m <<B ．21m ≤<C ．12m -<≤-D ．22m -≤≤ 11．设F 1、F 2分别是椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1(−c,0)的直线交椭圆E 于A,B 两点，若|AF 1|=3|F 1B |，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是（ ）A ．12B ．√52C ．√32D ．√2212．已知1F ，2F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线1BF 与C 的另一个交点为A ，若2BAF ∆为等腰三角形，则12AF AF =（ ） A ．13 B ．12 C ．23 D ．313．从0，1，2，…，9这10个自然数中，任取2个不同的数，则这2个数恰好有一个是偶数的概率____.14．圆：2220x y x y +-+=和圆：22320x y x y ++--=交于,A B 两点，则直线AB的方程是____．15．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为35，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______． 16．已知椭圆C ：22x y 11612+=，过点()P 0,6的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若A 是线段PB 的中点，则点A 的坐标为______．17．求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长为4，右焦点为F （1，0）；（2）离心率e 2=，椭圆过点（2，0）. 18．命题:p 2230mx mx --≤对x ∈R 恒成立，命题:q 22115x y m m +=+-表示焦点在y轴上的椭圆.（1）若命题p 为真命题时，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 19．2013年9月和10月，中国国家主席习近平出访中亚和东南亚国家，先后提出共建“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的重大倡议，即“一带一路”的战略构想．某市为了了解人们对这一复兴中国梦的伟大构想的认识程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组(第一组：[20)25，，第二组：[25)30，，第三组：[30)35，，第四组：[35)40，，第五组：[40]45，)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人．（1）求x ；（2）求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数．．．．．．)； （3）从该市大学生，解放军，农民，工人，企业家五种人中用分层抽样的方法依次抽取5，35，30，20，10人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为90，96，97，95，92，职业组中l ～5组的成绩分别为92，98，93，96，91. (i)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；(ii)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.20．某汽车公司为调查4S 店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的,,,A B C D 四座城市的4S 店一季度汽车销量进行了统计，结果如下：（1）根据统计的数据进行分析，求y 关于x 的线性回归方程；（2）该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市E 开设4个4S 店，预计E 市的4S 店一季度汽车销量是多少台？附：回归方程ˆˆˆya bx =+中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()()121ˆni ii n i i x x y y b x x ==--=-∑∑；ˆˆay bx =-. 21．已知圆C 过点(0,2),(3,1)M N -且圆心在直线210x y ++=上（1）求圆C 的方程（2）设直线10ax y -+=与圆C 交于A 、B 两点，是否存在实数a 使得过点P （2，0）的直线l 垂直平分AB ？若存在，求出a 值，若不存在，说明理由．22．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程； (Ⅱ)若斜率为12的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，点Q 满足22PQ QF =u u u r u u u u r ，求ABQ V 面积的最大值．参考答案1．C【解析】【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为x R ∀∈的否定为x R ∃∈，2210x x -+≥的否定为2210x x -+<，所以原命题的否定为：2,210x R x x ∃∈-+<.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.2．C【解析】【分析】根据抽样的定义和性质得到每个个体被抽到的概率都是相同的，进行判断即可．【详解】 无论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都是相同的，都是301815， 故选：C ．【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，结合每个个体被抽到的概率都是相同的进行判断是解决本题的关键．3．B【解析】【分析】由条件结构，输入的x 值小于0，执行y ＝﹣x ，输出y ，等于0，执行y ＝0，输出y ，大于0，执行y ＝2x ，输出y ，由x ＝1＞0，执行y ＝2x 得解．【详解】因为输入的x 值为1大于0，所以执行y ＝2x ＝2，输出2．故选：B ．本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．4．B【解析】【分析】利用茎叶图、中位数、平均数的性质直接求解．【详解】由茎叶图得：∵甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，∴65＝60+y，解得y＝5，∵平均值也相等，∴5662657074596167657855x+++++++++=，解得x＝3．故选B．【点睛】本题考查实数值的求法，考查茎叶图、中位数、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．A【解析】【分析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件A与B为互斥事件，但事件A BU不是必然事件，所以，事件A与事件B是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.6．C试题分析：原多项式变形为()654323567983512f x x x x x x x =+++-++，即 ()()()()()()3567983512f x x x x x x x =+++-++，()13457,V =⨯-+=- ()()2374634,3447957V V =-⨯-+==⨯-+=-考点：秦九韶算法求多项式的值点评：利用秦九韶算法求多项式的值首先要将多项式改写为每个括号内为关于x 的一次式的形式，由内层括号到外层括号依次为123,,V V V L7．C【解析】【分析】由题可估计出黄豆在椭圆内的概率，由概率列方程即可估计椭圆的面积【详解】 由题可估计出黄豆在椭圆内的概率为：300962040.68300300p -===， 又=0.6846S S p S ==⨯椭圆椭圆长方形，解得：=320.6416.32S 椭圆⨯≈ 故选C【点睛】本题主要考查了概率模拟及其应用，属于基础题．8．D【解析】 由题得2212AC BC AB CA CB AB ++=∴+=>所以点C 的轨迹是以点A,B 为焦点的椭圆（除去椭圆与x 轴的两个交点），由题得2222125a c a b c ===+ 所以6,a b ==所以点C 的轨迹方程为()221,03611x y y +=≠，故选D. 9．C【解析】设所取的两个数分别为x 、y ，可得知事件构成的区域为()6,01,01,5x y x y x y ⎧⎫≤≤≤≤+<⎨⎬⎩⎭，作出图形，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所取的两个数分别为x 、y ，则事件构成的全部区域为(){},01,01x y x y Ω=≤≤≤≤， 区域Ω是边长为1的正方形区域， 事件“这两个数之和小于65”构成的区域为()6,01,01,5A x y x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤+<⎨⎬⎩⎭， 如下图所示： 直线65x y +=交直线1y =于点1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭，区域A 表示的是图中阴影部分区域. 则三角形区域是直角边长为45的等腰直角三角形， 区域A 的面积为22141712525A S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 因此，事件“这两个数之和小于65”的概率为2171725125A S P S Ω===. 故选：C.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，解答的关键就是将问题转化为平面区域型几何概型问题，利用数形结合思想求解，考查计算能力，属于中等题.10．B【分析】根据题意，画出曲线:C x =. 【详解】由x =0x ≥，得到2220x y y =++，即()2211x y ++=，0x ≥，作出曲线:C x =当直线:0l x y m --=经过点()0,2A -时，直线与曲线有两个交点，此时20m -=，解得2m =；当直线与曲线相切时，圆心()0,1-到直线0x y m --=的距离1d ===，解得1m 或1m =；因为直线0x y m --=可化为y x m =-，由截距0m -<得0m >，则1m ， 此时直线与曲线只有一个交点；故满足条件的实数m 的取值范围为21m ≤<+. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数的问题，灵活运用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 11．D设|FB 1|=k(k >0)⇒|AF 1|=3k,|AB|=4k ⇒|AF 2|=2a −3k,|BF 2|=2a −k ，再由|BF 2|2=|AF 2|2+|AB|2⇒|AF 2|=3k ⇒ΔAF 1F 2 是等腰直角三角形⇒c =√22a ⇒e =√22，故选D,【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合程度高，属于较难题型. 设|FB 1|=k(k >0) ，进而求得|AF 2|=2a −3k, |BF 2|=2a −k ， 代入|BF 2|2=|AF 2|2+|AB|2⇒|AF 2|=3k ⇒ΔAF 1F 2 是等腰直角三角形，从而求得离心率. 12．A 【解析】 【分析】设|AF 1|＝t （t ＞0），由已知条件得出|AB|＝|AF 2|，结合椭圆的定义得出2at = ，可求出|AF 1|和|AF 2|，即可求出答案． 【详解】设|AF 1|＝t （t ＞0），由椭圆的定义可得|AF 2|＝2a ﹣t ，由题意可知，|AF 2|＞|BF 2|＝a ，由于△BAF 2是等腰三角形，则|AB|＝|AF 2|，即a+t ＝2a ﹣t ，所以2at =，所以123,22a a AF AF ==，因此12AF 1AF 3= 故选：A ． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题． 13．59【解析】 【分析】先求出“从10个数中取出2个不同的数”所包含的基本事件总数，再求出“这2个数恰好有一个是偶函数”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即是所求概率. 【详解】“从0，1，2，…，9这10个自然数中，任取2个不同的数”共有21045C =个基本事件；“这2个数恰好有一个是偶函数”共有115525C C =个基本事件，所以所求概率为255459P ==. 故答案为59【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型. 14．2520x y --= 【解析】 【分析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程． 【详解】由()22222320x y x y x y x y +-+-++--= 得2520x y --= 故答案为2520x y --=． 【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题，考查了公共弦所在直线的求法，属于基础题．15．2212516y x +=【解析】 【分析】设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，由面积公式以及离心率公式，求出a ，b ，即可得到答案。
四川省成都市青白江区南开为明学校2020-2021学年高二九月月考数学试题
15
依次累加各位数字上的数 该数位的权重，即可得到相对的十进制数；
解： ，
故答案为：15.
14. ， 两点间的距离是__________.
直接利用空间中两点间的距离公式求解.
由题意得： 两点间的距离为 ，
故答案为：
15.在如图所示的程序框图中，若函数 ，则输出的结果是__________.
直线 可整理为 ，
当 ，解得 ，
无论 为何值，直线总过定点 .故选A.
8.若 、 满足约束条件 ，则 最小值为（）.
A. 0B. -1C. -2D. -3
C
画出可行域,再根据线性规划的方法求解即可.
作出 满足约束条件 ,表示的平面区域,
得到如图的 及其内部,其中 ,
将直线 进行平移,
当 经过点 时,目标函数 达到最小值 .故选：C
（2）设计一个求函数值的算法，并画出其程序框图.
（1） ；（2）答案见解析.
（1）根据分段函数 ，先求得 ，再求 .
（2）根据分段函数，由条件结构求解.
（1）因为函数 ，
所以 ；
.
（2）算法如下:
第一步:输入 的值.
第二步:判断 与0的大小关系.
若 ，则 ；
否则 .
第三步:输出函数 的值.
程序框图如下:
数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知两点 ， ，则直线 的斜率为（ ）
A.2B. C. D.
C
直接应用斜率公式计算即可．
已知两点 ， ，由斜率公式得 .故选：C
2.圆心是 ，半径是 的圆的方程为（）
四川省成都市南开为明学校2021届高三第一次调研考试数学(理)试卷Word版含答案
绝密★启用前为明2021届高三第一次调研考试题数学〔理工类〕考前须知：1. 本试卷分第Ⅰ 卷〔选择题〕和第Ⅱ 卷〔非选择题〕两局部。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡相应位置上。
2. 请在答题卡上作答，写在本试卷上无效。
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 全集U ={0,1,2,3,4,5}，集合A ={1,3,5}，那么UA =A.{0,2}B.{2,4}C.{1,2,3}D.{0,2,4} 2. 假设复数z 满足(-1+i)z =2，那么z = -i+i C.-1+i D.-1-i 3.命题“(0,)x ∀∈+∞，sin x <x 〞的否认是A.(0,)x ∀∈+∞，sin x ≥xB.0(0,)x ∃∈+∞，sin x 0≥x 0C.(0,)x ∀∉+∞，sin x ≥xD.0(0,)x ∃∈+∞，sin x 0<x 0 4.在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫(“榫〞，即指木制构件利用 是一个楔子的三视图，那么这个楔子的体积是A.6B.8 C5. 如图，在正方形ABCD 中的阴影局部的上下边界分别是曲线C 1 和C 2，其中C 1是正态分布N 2)的密度曲线，C 1与C 2关于x 轴 对称，假设在正方形中随机取一点，那么该点取自阴影局部的概率是 A. 0.6826 B. 0.9544 C参考数据：随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)的概率为：P (μ－σ<Z ≤μ+σ)=0.6826，P (μ－2σ<Z ≤μ+2σ)= 0.9544，P (μ－3σ<Z ≤μ+3σ)=0.9974.2()e x f x x -=⋅的图象大致是7.为研究A 型病毒细胞的变化规律，将A 型病毒细胞注入一只健康的小白鼠体内进行实验.根据观测数据和统计分析，小白鼠体内病毒细胞的个数y 与相应天数序号n 满足函数关系式12n y -=()n *∈N . A 型病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡.但如果注射某种药物，可杀死小白鼠体内的A 型病毒细胞的98%. 为使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次注射该种药物，最迟应在 参考数据：lg2≈0.301.C ：y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，且l 与x 轴交于点N ，过C 上一点P (a ,b )作PQ ⊥l ，Q 为垂足.假设|PF |=5，那么梯形PQNF 的面积是A.10B.12 C 9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设公比为q =12-，S 6=214，那么数列{a n }的前n 项之积T n 的最大值为A. 16B. 64C.128D. 25610. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a ⊥b . 假设A 1D 与b 所成的角为60°时，那么 a 与侧面ADD 1 A 1所成角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°11.如图的曲线就像横放的一个葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线(也像湖面上上下起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线)，它经过点P (4π,2)和Q (34π,－1.5)，其对应的方程为3||2()|sin |(0)4n y x x ω=⨯⋅≥，假设记[x ]为不超过x 的最大整数，那么 A.1,[]xn ωπ== B.2,[]xn ωπ== C.21,[]xn ωπ== D.22,[]xn ωπ==42423,0,()3,0x x ax x f x x x ax x ⎧-->⎪=⎨-+<⎪⎩有四个零点，那么实数a 的取值范围是 A.(－2,－1) B.(－3,－2) C.(－1,0) D.(－2,0) 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。