理论力学试题库整理版

[该试题库启用前绝密] 注：[02A]表示02物师A 卷，以此类推。

理论力学（卷A ）[02A]

一、填空题（每小题10分，共20分）

1、作平面运动的质点的加速度在极坐标系下的分量表达式为2,2.r a r r a r r θθθθ=-=+；其中r 为径向速度大小的变化所引起的，r r θθ+为横向速度的大小变化所引起的。

2、保守系的拉格朗日方程为

()0d L L dt q q αα??-=??，当0L q α?=?时，q α称为循环坐标，所对应的L

q αα

?=?p 守恒。

二、选择题（每小题10分，共20分）

1、两个质点分别为12,m m 的物体用一个倔强系数为k 的轻弹簧相连，放在水平光滑桌面上，如图所示，当两个物体相距x 时，系统由静止释放，已知弹簧的自然长度为0x ，当物体相距0x 时，1m 速度大小为（

D ）

（A

，（B

（C

，（D

2、一个均质实心球与一个均质实心圆柱在同一位置由静止出发沿同一斜面无滑动地滚下，则（D ） （A ）圆柱先到达底部。

（B ）质量大的一个先到达底部。 （C ）半径大的一个先到达底部。 （D ）球先到达底部。 （E ）同时到达底部。

三、计算题（每小题20分，共60分）

1、一个质点在有心力作用下沿椭圆2(1)

1cos a e r e θ

-=+运动，上式中r

和θ是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的极坐标；a 表示半长轴，e 表示偏心率(01)e <<，证明质点在

“近日点” 处和“远日点” 处的速率之比为：

1211v e v e

+=- 解：由动量守恒2

r h θ= h

r

θγ

∴=

故在近日点处：

120

(1)

(1)

h

v r e a e θθ

===

+-∴

在近日点处：22

(1)(1)

h

v r e a e θπ

θ

===

-- ∴

1211v e v e

+=- 2、圆柱半径为R ，质量为M ，绕其轴作角速度为0ω的转动，然后将此圆柱无初速放在摩擦系数为μ的水平桌面上，问圆柱何时开始作纯滚动？

解：由质心运动定理和转动定理，物体的运动微分方程为

c Mx f

d I fR dt

f Mg

ω

μ=???=-??=??

12I MR =

可解出：c x gt μ= 02g

t R

μωω=-

+ 当满足关系c x R ω=时，园柱体作无滑滚动，由此可解出03g

t g

ωμ=

3、轴为竖直而顶点向下的抛物线形光滑金属丝，以匀角速度ω绕竖直轴转动，另一质量为m 的小环套在此金属丝上。并沿金属丝滑动，已知抛物线的方程为2

4x ay =，a 为常数，试求小环的运动微分方程。 解：本题可用两种方法求解

法一：用转动参照系的物理定律列出小环的运动微分方程如下

2sin (1)cos (2)

mx m x my N mg

ωθθ?=-?

=-? 由（2）式 cos mg

N my θ=+

（3）

把（3）代入（1）可得：

2

()mx m x my mg tg ωθ=-+ （4）

又有，dy tg dx θ=，24x y a =，242x x y x x a a =

=，2122x

y x x a a =+， 故有：222

2

2(1)0442x x x m x mx mg m x a a a

ω+++-=

法二：用拉格朗日方程求小环的运动微分方程

22221

[()].2

T m x y x V mgy ω=++=

22221

[()]2

L T V m x y x mgy ω=-=++-

又 2

2

1

,42x y y x a a

==

，利用这些公式有 22222

2

21[(1)]244x x L m x x mg a a

ω=++-

由拉格朗日方程

()0d L L

dt x x

??-=??可得 22222(1)0442x x x

m a x m x mg m x a a a

ω+++

-= 理论力学（卷B ）[02B]

一、填空题（每小题10分，共20分）

1、刚体作一般运动时，刚体内任意一点P 的速度为'A v v r ω=+?；加速度为

'

'2'()A d a a r r r dt

ωωωω=+

?+?-：其中,A A v a 表示基点的速度与加速度，'r 表示P 点相对于基点的位矢。

2、虚位移是 约束所许可的条件下，不是由于时间的改变所引起的位移 ；对 稳定约束 ，实位移是虚位移中的一个。对 不稳定约束 ，实位移与虚位移不一致。

二、选择题（每小题10分，共20分）

1、在以加速度a 向上运动的电梯内，挂着一根倔强系数为k ，质量不计的弹簧，弹簧下面挂着一质量为

M 的物体，M 处于A 点，相对电梯的速度为零，当电梯的加速度突然变为零后，电梯内的观测者看到M 的最大速度为（A ）

（A ）（B ）（C ）2（D ，（E ）上面四个答案都不对 2、两人各持一均匀直棒的一端，棒重W ，一人突然放手，在此瞬间，另一人感到手上承受的力变为（B ） （A ）3W ， （B ）4W ， （C ）6W ， （D ）2W ， （E ）34W

三、计算题（每小题20分，共60分）

1、从有心力场中运动的质点的总机械能()

2222

12k m m r r E r

θ+-

=出发，并利用在近日点处0,0r θ==

及守恒量2

r h θ=，导出偏心率公式e =

解： 由222

2221122mk h mk E mr m r r r

θ=-=-

又 ,0,1cos 1p p

r r e e

θθ===

++ 我们可得到：

222

21(1)(1)2h mk e E m e p p +=+- 又

22h k p = 所以有22

1(1)(1)2h E m e e p ??=+-+????

可解出2e = 2、质量为m ，长为2a 的均匀棒AB ，用铰链固定在A 点，棒从水平位置在铅直面内无初速开始运动，当棒在重力作用下，通过与竖直位置成45ο

时，求棒的角速度。

解：由机械能守恒2

01sin 452I mga ω= 2

22114

(2)3

33

I m m a ma =

==

可解出ω=

3、在一光滑水平直管中，有一质量为m 的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子的一端的坚直轴转动，如果起始时，球距离转动轴的距离为a ，球相对管子的速度为零。用拉格朗日方程求小球的运动微分方程。 解：小球的绝对速度为'

()()v v r xi j xi xi xk ωωω=+?=+?=-

2221

(),02

T m x x V ω=+=

2221

()2

L T V m x x ω=-=+

()0d L L dt x x ??-=?? 2,L L mx mx x x

ω??==?? 可得2

0mx mx ω-=

理论力学（卷C ）[03A]

一、判断题（对的打“√”, 错的打“×”, 每题2分）

1、切向加速度是因为速度的方向变化所引起的。

2、保守力作功与路径无关。

3、在有心力场中运动的质点动量守恒。

4、内力不改变质点组的总动能。

5、刚体作定点转动的自由度是3。

6、作用在刚体上的力可沿作用线移动而作用效果不变。

7、若作用在刚体上的所有外力的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。 8、轨道磨损和河岸冲刷是科里奥利力的影响。 9、质点发生实位移是需要时间的。

10、在稳定约束的情况下，实位移是虚位移中的一个。 1×；2√；3×；4×；5√；6√；7×；8√；9√；10√ 二、填空题（每题4分）

1、在自然坐标系下，质点的切向加速度为dv

a dt

τ=，法向加速度为2n v a ρ=。

2、在两个平动参照系之间的速度变换关系为v v v '=+0，加速度的变换关系为0a a a '=+。

3、在有心力场中运动的质点所受的力矩为零，因而 角动量 守恒。

4、当质点组所受合外力为零时，质点组的 总动量 守恒。

5、当质点组的内力和外力都是保守力时，质点组的 机械能 守恒。

三、选择题

1、作一维运动的简谐振子，其拉格朗日量可写为（1） （1）221122L mx kx =

- （2）212L mx = （3）21

2

L kx =- （4）0L =

2、一实心圆柱体，沿一斜面无滑动的滚下，下列说法正确的是（1） （1）机械能守恒，动量矩不守恒。 （2）质心动量守恒。 （3）机械能不守恒，动量矩守恒。 （4）没有守恒量

3、火车在平直轨道上以匀加速0a 向前行驶，在车中用线悬挂着一小球，当小球静止时，悬线与竖直线的夹角θ可表达为（2） （1）0tg θ= （2）0

a tg g

θ=

（3）0tg a θ= （4）tg g θ= 4、质量为1m 和2m 的两自由质点互相吸引，它们之间的引力势能为12

2

km m r

-，开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a ，当两点的距离为

1

2

a 时，质量为1m 的质点的速度为（

1） (1)1v m

=(2)1v m =

(3)1v m

=； (4)1v m =

四、计算题

1、试导出下面有心力量值的公式22

2mh dp F dr

-=，式中m 为质点的质量，r 为质点到力心的距离，

2h r θ==常数，p 为力心到轨道切线的垂直距离。

解：由于质点在有心力场中运动，因此，质点的机械能守恒，角动量守恒，在极坐标系下，质点的机械能可表达为：

2

1()2

mv V r E += 由于角动量守恒，故有pv h =，h

v p

=

，代入上式

22

1()2

mh p V r E -+= 把上式两边对 r 求导有：2

2()12dv r dp mh dr dr

--= 又 ()dv

F r dr

=-； 221()2dp F r mh dr -=

2、一段半径R 为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。

解：首先求质心的位置

设单位弧长的质量为λ，则质心的坐标为：

2c RCos ds RCos Rds

y m

R θ

θ

θθθλθλθλ

-

-

=

=

??2R Sin Cos ds R

θ

θ

θ

θθ

θ

-==?

这样可求得悬挂点离质心的距离为：

(1)c Sin Sin R y R R

R θ

θ

θ

θ

=-=-=-

其次求圆弧的转动惯量 2

3

0(2)2(1)2

I R S i n R d s R C o s d

θ

θ

θ

λ

λ

θθ-==-

?

?34()R S i n λθθ=- 又2m R λθ=

，2

02((1)Sin I mR θθ

∴=-

由复摆动的周期公式2τ

=

我们有：2τπ

=3、在一光滑水平直管中，有一质量为m 的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a ，球相对于管子的速度为零，试由拉格朗日方程求小球沿管的运动规律。

解：小球的绝对速度为2

2

2

2

v x x ω=+

因而动能为2221

()2

T m x x ω=+ 势能为0v =

2221

()2

L T V m x x ω=-=+

由()0d L L dt x x

??-=??可得小球的运动方程为：20mx mx ω-=

即2

0x x ω-=。

上式的通解为：t t

x Ae Be ωω-=+

t

t

x A e B e

ωωωω-=+

利用初始条件，0t =，x a =，0x =。可得2

a A B == 故小球沿管的运动规律线为()2

t t

a x e e ach t ωωω-=

+= 理论力学（卷D ）[03B]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”, 每题2分） 1、法向加速度是因为速度的大小变化所引起的。 2、非保守力做功与路径无关。

3、在有心力场中运动的质点角动量守恒，机械能守恒。

4、内力不改变质点组的总动量。

5、刚体作一般运动时，自由度是6。

6、内力不改变质点组质心运动状态。

7、若作用在刚体上的所有外力的力矩的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。

8、由于地球是一个转动参照系，惯性离心力的作用将使重力加速度随着纬度而变化。 9、自由落体偏东是科里奥利力的影响。

10、虚位移是约束许可的条件下，可能发生的位移，是不需要时间的。

1、×；

2、×；

3、√；

4、√；

5、√；

6、√；

7、×；

8、√；

9、√；10、√ 二、填空题（每题4分）

1、在极坐标系下，质点的横向加速度为2a r r θθθ=+。径向加速度为2

r a r r θ=+。

2、相对性原理可表述为 所有的惯性系对于描述力学现象都是平权的，等价的 。。

3、由于有心力为保守力，因而 机械能 守恒。

4、作定点转动刚体上任意一点的线速度与角速度的关系为v r ω=?。

5、刚体的平衡条件为00F M ==、。

三、选择题（每题5分）

1、在有心力场中运动的质点，下列说法正确的是（2） （1）动量守恒，角动量守恒，机械能守恒。 （2）动量不守恒，角动量守恒，机械能守恒。 （3）角动量不守恒。 （4）机械能不守恒。

2、细杆绕通过杆的一端O 点的水平轴转动，在重力作用下，当无初速地自水平位置转到竖直位置时，细杆的角速度ω为（3） （1

）ω=

（2

）ω=

（3

）ω=； （4

）ω=。 3、质量为1m 和2m 的两自由质点互相吸引，它们之间的引力势能为12

km m r

-，开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a ，当两质点的距离为

1

2

a 时，质量为1m 的质点的速度可表为：

（1） （1

）1v m =2

）1v m =3

）1v m =4

）1v m =4、自由质点在球坐标系下的拉格朗日量为（设势能为()V r ）（1）

（1）2222221()()2L m r r r Sin V r θθ?=

++- （2）2221

()2L m r r θ=+ （3）212L mr = （4）222

12

L mr Sin θ?=

四、计算题（第1题15分，第2题15分，第3题10分）

1、小环的质量为m ，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为2

4x ay =，试求小环自2x a =处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。

解：小环的受力情况如图所示，采用自然坐标，小环的运动微分方程为：

dv

m mgSin dt θ= 2

v m

R mgCos θρ

=-

又

dv dv ds dv v dt ds dt ds

== dy

Sin ds θ=-

dv dy

mv mg ds ds

∴=-， vdv gdy =-

v 又根据

3'2

2

1

()

y y ρ

''=

+， 2x y a '=

， 1

2y a ''= 在抛物线顶点处0y '=，1

2y a

''=，所以 2a ρ= 2

2mv R y mgCos mg θρ

=

+=

2、矩形均质薄片ABCD ，边长为a 与b ，重为mg ，绕坚直轴AB 以初角速ω转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k ，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？

解：由题意，把矩形薄片分成许多小窄条，对dx 的窄条所受的阻力为2

()F kb x dx ω=

力矩为：23

z dM kb x dx ω=-

总力矩为：23240

1

4

a

z M kb x dx kb a ωω=-=-

?

由转动定理：2

2411

3

4

d ma kb a dt ωω=- 最后可解出：20

43m

t kba ω=

3、在极坐标系下，写出质点在平方反比引力场中的拉格朗日量，并推导出质点的运动微分方程。 解：在极坐标系下，粒子的动能为2221

()2

T m r r θ=

+ 对于平方反比引力，势能为：2

()mk V r r =-

拉格朗日量为：2222

1()2mk L m r r r

θ=++

由拉格朗日方程

()0d L L dt q q αα

??-=??有 L mr r

?=?，222L mk m r r r θ?=-?，222

2()mk m r r r θ+=- 2L mr θθ?=?， 0L

θ?=? 2()0d

mr dt

θ∴= 即：2mr θ=常数 理论力学（卷E ）[04A]

一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，每题2分）

1、作匀速圆周运动的质点的向心加速度，是由于速度的方向变化引起的。

2、平方反比引力是保守力。

3、在有心力场中运动的质点的角动量不守恒。

4、对于质点组来说，所有内力的矢量和为零。

5、内力对质点组质心的运动没有影响。

6、作一般运动的刚体的自由度是3

7、刚体的重心和质心无论在什么情况下都是重合在一起的。

8、如果质点相对于转动参照系静止，则科里奥利加速度为0

9、由于地球自转的影响，赤道处的重力加速度将大于地球两极的重力加速度。 10、虚功原理可表述为，对于处于平衡状态的力学体系，诸约束力在任意虚位移中所作的虚功之和等于零。 1、√； 2、√； 3、×； 4、√； 5、√；6、×； 7、×； 8、√； 9、×； 10、×

二、填空题（每题4分）

1、在极坐标系中，径向速度大小的变化所引起的加速度为r ，横向速度大小的变化所引起的加速度为

r r θθ+。

2、惯性力的主要特点是 没有施力者，没有反作用力 。

3、若地球半径为6400km ，重力加速度为2

9.8m s ，则第一宇宙速度的量值为7.9km s 4、柯尼希定理表述为 质点组的总动能等于质心的平动动能加相对质心系的动能_ 5、若拉格朗日函数L 中不显含广义坐标q α，则q α称为 循环坐标 。

三、选择题（每题5分）

1、在平方反比引力作用下，质点作平面运动，若采用平面极坐标，则体系的拉格朗日函数为（2）

（1）222

1()2L m r r θ=+ （2）22221()2mk L m r r r θ=++

（3）2212mk L mr r =+ （4）2

2212mk L mr r

θ=+

2、设1v 为第一宇宙速度，则第二宇宙速度为（4）

（1）12v

（21

（31

（41

3、半径为a ，质量为M 的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度ω转动，则绕此轴的

动量矩为：（2） （1）213J Ma ω=

， （2）212J Ma ω=， （3）223J Ma ω=， （4）22

5

J Ma ω= 4、对于空间转动参照系，科里奥利力定义为（3）

（1）'

v ω?， （2）'

2m v ω? （3）'

2m v ω-? （4）'

m v ω-?

四、计算题（第一题15分，第二题15分，第三题10分）

1、矩形均质薄片ABCD ，边长为a 与b ，重为mg ，绕竖直轴AB 以初角速度0

ω转动，此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量

值与面积及速度平方成正比，比例系数为k ，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？

解：如图示；对面元b dx ，所受的力为2

()F kbdx x ω=

则力矩为23

240

1

4

a

z M kb x dx

kb a ωω=-=-

?

由转动定理：2

2411

3

4

d ma

kb a dt ωω=- 234d kba dt m

ω

ω=- 00

12

2

01

1

2

34kba dt m

ωωωωω

ω

ω-

=-

=-=-

2

43m

t kba ω=

2、重为1W 的木板受水平力F 的作用，在一不光滑的平面上运动，

板与

平面间的磨擦系数为μ，在板上放一重为2W 的实心圆柱，此圆柱在板上滚动而不滑动，试求木板的加速度a 。

解：此为平面平行运动动力学问题，列出方程如下：

2c f M a = （1）

2

212

R f M R ω=

（2） c a a R

ω=- （3） 211()F f M M g m a μ--+= 由以上关系式可解出：

2112()

3

F W W a g W W μ-+=+

3、半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端则在碗外，在碗

内的长度为c ，试用虚功原理证明棒的全长为224(2)

c r c

-

解：由虚功原理可得i

i i

F

r mg r δωδδ=

=∑

r x i y j δδδ=+，

mg mgj =-，0w mg y δδ=-=，0y δ= 又(2cos )sin 2

l y r θ=--

2

2s i n (2c o s )c o s 0

2l

y r r

δθδθθδθ=--= 即22

2(sin cos )cos 02

l r θθθ-+=

f

f

F

f

22(12cos )cos 02l

r θθ-+=

22(2cos 1)2cos l r θθ

-= 22cos r c θ=， cos 2c r

θ=

这样有：224(2)

c r l c

-=

理论力学（卷F ）[04B]

该卷与“理论力学（卷D ）”完全一致，详见卷D

理论力学（卷G ）[05A]

该卷判断题、填空题、选择题部分与“理论力学（卷C ）”完全一致，详见卷C 四、计算题（第1题15分，第2题15分，第3题10分）

1、一质点在有心力作用下沿椭圆2(1)

1cos a e r e θ

-=+运动，上式中r 和θ是以椭圆焦点为原点，长轴为极轴的

极坐标，a 表示半长轴，e 表示偏心率（01e <<），求质点在“近日点”处和“远日点”处的速率之比。 解：由角动量守恒， 2

r h θ= ∴ v h

r r

θθ==

在近日点处：112

(1)(1)h

v v r e a e θθθ

====

+- 在远日点处：222(1)(1)

h

v v r e a e θθπθ====

+-

∴

1211v e v e

+=- 2、重为w 的人，此人用与地平线成α角的速度0v 向前跳去，当他达到最高点时，抓住一只以相对速度u 迎面飞来的重为T 的一只鸟，问因此而使得此人跳的距离减少了多少？ 解：在最高点时，在抓住鸟前

人在水平方向相对地的速度为：0cos x v v α=

抓住鸟后，人与鸟合为一体，设其水平速度为x v '，则由动量 守恒定律有：

()

()x x x w T w T v u v v g g g

+'--=

()()

x x w T T w T v u v g g g

++'-= 0cos x x T T

v v u v u w T w T

α'=-

=-++ x x x

T

v v v u w T

'?=-=+ 0sin v gt α= ，0

sin v t g

α=

则减少的距离为：0

v sin x v T S t u w T g

α?=?=

+

3、在一光滑水平直管中，有一质量为m 的小球，此管以恒定角速度ω绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a ，球相对于管子的速度为零，试由拉格朗日方程求小球沿管的运动规律。

解：小球的绝对速度为2

2

2

2

v x x ω=+ 因而动能为2221

()2

T m x x ω=+ 势能为0v = 2221

()2

L T V m x x ω=-=+ 由

()0d L L dt x x

??-=??可得小球的运动方程为：20mx mx ω-= 即2

0x x ω-=。

上式的通解为：t t

x Ae Be ωω-=+

t

t

x A e B e

ωωωω-=+

利用初始条件，0t =，x a =，0x =。可得2

a A B == 故小球沿管的运动规律线为()2

t t

a x e e ach t ωωω-=

+= 理论力学（卷H ）[05B]

该卷与“理论力学（卷D ）”完全一致，详见卷D