数值计算课程PROJECT- 牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes Methods)
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式
newton-cotes公式
newton-cotes公式
Newton-Cotes 公式是一种数值积分方法，用于近似计算函数的
定积分。
在这个公式中，我们将定积分的区间划分成若干小区间，然
后在每个小区间上使用一个插值多项式来代替原函数。
这样，我们可
以通过求解这些插值多项式的定积分来近似计算原函数的定积分。
Newton-Cotes 公式可以用来计算不同阶数的插值多项式的定积分。
其中最简单的形式是梯形法则，通过将定积分区间划分成两个小
区间，然后在每个小区间上使用线性插值来计算定积分。
更高阶的 Newton-Cotes 公式包括 Simpson 法则和龙贝格-柯朗
尼法则。
这些公式使用更高次的插值多项式来近似计算定积分，从而
提高精度。
然而，Newton-Cotes 公式也有其限制。
随着小区间数量的增加，插值多项式的阶数也会增加，从而使得计算定积分所需的计算量增加。
此外，当函数在某些小区间上变化较大时，使用插值多项式可能会导
致较大的误差。
总之，Newton-Cotes 公式是一种常用的数值积分方法，适用于
近似计算函数的定积分。
通过选择合适的插值多项式阶数和定积分区
间划分方式，我们可以根据需要在精度和计算效率之间进行权衡。
牛顿柯特斯公式求定积分
牛顿柯特斯公式求定积分牛顿-柯特斯公式是数值分析中用于求定积分近似值的重要工具。
咱们先来说说定积分是啥，想象一下，你要计算一条曲线和坐标轴围成的面积，这就是定积分要解决的事儿。
比如说，有个函数 f(x) = x²，从 0 到 2 这个区间，你要算它和 x 轴围成的面积。
这时候，牛顿-柯特斯公式就派上用场啦。
我记得我上学那会，有一次老师在课堂上讲牛顿-柯特斯公式，那可真是让我头疼了好一阵子。
当时我就想，这一堆复杂的公式和符号，怎么能算出面积来呢？老师在黑板上不停地写着公式，还一边解释：“同学们，这个牛顿-柯特斯公式啊，其实就是把积分区间分成若干个小段，然后通过一些加权系数来近似计算定积分的值。
”我看着那些密密麻麻的算式，脑子一片混乱。
课后，我拿着课本，坐在教室里，一个人苦苦思索。
我尝试着按照老师讲的步骤，一步一步地去推导公式，可是总是在某个地方卡住。
后来，我找了班上数学好的同学一起讨论。
我们把公式写在纸上，一点点地分析，突然，就像黑暗中划过一道闪电，我好像明白了其中的关键。
原来，就是要把那些复杂的式子分解开，找到其中的规律。
咱们再回到牛顿-柯特斯公式本身。
它主要包括梯形公式、辛普森公式等等。
梯形公式呢，就像是把曲线下的面积近似看作一个个梯形的面积之和。
而辛普森公式则更精确一些，它把区间分成更多小段，形状更接近曲线。
比如说，还是那个 f(x) = x²的例子，用梯形公式计算从 0 到 2 的定积分，我们先把区间分成两段，[0, 1] 和 [1, 2]。
然后计算每个梯形的面积，相加起来就能得到近似值。
在实际应用中，牛顿-柯特斯公式的用处可大了。
比如在工程计算中，要计算各种复杂形状的面积、体积，或者在物理问题中，计算能量、功等等。
总之，牛顿-柯特斯公式虽然看起来复杂，但只要我们认真去理解，多做练习，就能掌握它的精髓，用它来解决各种求定积分的问题。
就像我当初在困惑中最终找到了解题的关键，只要不放弃，总能攻克难题！现在回想起来，还真是一段难忘的学习经历呢。
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
n
n)
f ( xk )
( ckn)
称为柯特斯求积系数 称为柯特斯求积系数
∫ f ( x ) dx ≈ ( b a ) ∑ c
b a k =0
n
(n)
k
f ( xk )
c
(n) k
n＝1时
C
(1) 0
n n (1)nk = ∫0 ∏(t j) dt k ! (n k )!n j =0 j ≠k
3 b
2 b
∫
b
a
a
( x b)2 dx ] 2
a
(b a ) 3 f ′′(η ) = 12
定理的其它证明从略。 定理的其它证明从略。
复合求积公式
Newton—Cotes求积方法的缺陷： 求积方法的缺陷 求积方法的缺陷： 从余项公式可以看出， 从余项公式可以看出，要提高求积公式的代数精 增加节点个数 必须增加节点个数，而节点个数的增加， 度，必须增加节点个数，而节点个数的增加，会导致 现象； （1）插值多项式出现 ）插值多项式出现Runge现象； 现象 数值稳定性不能保证。（ （2）Newton—Cotes数值稳定性不能保证。（ ） 数值稳定性不能保证。（n>7） ）
I4 ( f ) =
(b a ) [7 f ( x0) + 32 f ( x1) + 12 f ( x 2) + 32 f ( x3) + 7 f ( x 4)] 90
柯特斯公式
n=1时的求积公式 时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
数值分析6.2牛顿-柯特斯公式
选择适合数值计算的编程语言，如Python、C或Matlab等。
算法实现
根据牛顿-柯特斯公式，编写相应的算法代码，包括迭代过程和 计算步骤。
测试和验证
对算法进行测试和验证，确保其正确性和稳定性。
牛顿-柯特斯公式的数值稳定性分析
数值稳定性定义
01
数值稳定性是指算法在计算过程中对微小误差的抵抗
04
对于非连续的非线性方程，该方法可能失效，因为泰勒级数展开的前 提假设被破坏。
对牛顿-柯特斯公式的未来展望和研究方向
未来展望
随着计算机技术的不断发展，牛顿-柯特 斯公式在数值计算领域的应用将更加广 泛。未来可以研究如何改进算法的稳定 性和收敛性，提高求解非线性方程的精 度和效率。
VS
研究方向
针对牛顿-柯特斯公式的应用领域，可以 进一步研究其在科学计算、工程技术和金 融等领域的应用，以及与其他数值计算方 法的结合与优化。同时，可以探索该方法 在并行计算和云计算环境下的实现和应用 。
详细描述
非线性方程的求解是一个常见的问题，而牛顿-柯特斯公式提 供了一种有效的迭代方法。通过不断迭代和修正方程的解， 该方法能够快速收敛到方程的真实解，尤其在处理复杂或高 维非线性方程时表现出色。
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程中的应用
总结词
牛顿-柯特斯公式在求解常微分方程时能够提供高精度的解，尤其适用于初值问题和边界问题。
详细描述
在数值积分中，牛顿-柯特斯公式能够通过迭代的方式，逐步逼近积分的真实值。相比于其他数值积分方法，如 梯形法则和辛普森法则，牛顿-柯特斯公式在处理复杂函数或高维积分时具有更高的精度和效率。
牛顿-柯特斯公式在求解非线性方程中的应用
总结词
牛顿科特斯公式资料
a
a
3
2
因此代数精确度是 1
b
R1( f )= a f (x)dx T kf ''()
取 f (x) x2 代入，得：
b x2 dx (b a) (b2 a2 ) k 2!
a
2
得：
1
b3 (
a3
(b
a)
(b2
a2 ))
k
2! 3
2
k (b a)3 12
Rn ( f )
jk
b n a th a jh d (a th) n n t j hdt h n
1
nn
(t j)dt
a j0 a kh a jh
0 j0 k j
j0 k j 0 j0
jk
jk
jk
jk
求积公式
(1)nk h
n n (t j)dt (1)nk (b a) n n (t j)dt
I ( f )
b a
S 2 ( x)dx
b a 6
f (a) 4 f (a b ) 2
f (b)
称 Simpson 公式
y=P2() y=f()
a a+b/2 b
而 n 4的 牛 顿 柯 特 斯 公 式 则 特 别 称 为 柯 特 斯 公 式 为 ：
C
ba 90
7
f
x0
32
f
x1
由辛普森公式余项
R( f ) (b a)5 f (4) (),
2880
a,b
知其误差为 R( f ) 0
解:柯特斯公式
C 3 17 f (1) 32 f (1.5) 12 f (2) 32 f (2.5) 7 f (3)
数值分析(16)牛顿-柯特斯求积公式PPT文档35页
1、 舟 遥 遥 以 轻飏， 风飘飘 而吹衣 。 2、 秋 菊 有 佳 色，裛 露掇其 英。 3、 日 月 掷 人 去，有 志不获 骋。 4、 未 言 心 相 醉，不 再接杯 酒。 5、 黄 发 垂 髫 ，并怡 然自乐 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
Hale Waihona Puke 27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
35
第五讲 Newton-Cotes公式与数值微分
1 2 1 1 1 2 3 1 I(x )=∫ x dx = ,I1 (x 3 )= × - × + × = ; 0 4 3 4 3 2 3 4 4
3 1 3
3
3
3
1 2 1 1 1 2 3 4 I(x )=∫ x dx = ≠ I1 (x )= × - × + × ; 0 5 3 4 3 2 3 4 所以求积公式具有3次代数精度.
∫
当n=1,
1
1
0.5
x dx
答案: 答案 f ( x ) = x , a = 0.5, b = 1
0.5 ( ∫0.5 2 1 0.5 当n=2, ∫ ( x dx ≈ 0.5 6 1 0.5 当n=3, ∫ x dx ≈ ( 0.5 8 1 0.5 (7 当n=4, ∫0.5 xdx ≈ 90 ≈ 0.430964 x dx ≈
j≠i
ci( n )
牛顿－ 牛顿－柯特 斯求积公式 柯特斯求 积系数
∫
b
a
f ( x )dx ≈ (b − a )∑ f ( xi ) ci( n )
i =0
n
c
(n) i
( −1)n − i n n = ∫0 ∏ (t − j )dt i ! ( n − i )! j =0
j≠i
柯特斯求积系数表： 柯特斯求积系数表：
练习 判断下列求积公式的代数精度： 判断下列求积公式的代数精度：
∫
1
0
2 1 1 1 2 3 f ( x )dx ≈ f - f + f 3 4 3 2 3 4
1
答案: 答案
记 I(f )= ∫ f ( x )d x , I 1 (f ) =
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数值计算课程PROJECT
牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes Methods)
例题介绍：
请在MATLAB环境下编写牛顿-柯特斯公式，以求得π的近似值。
Instruction:
Using the Newton-Cotes method to solve all the following problems.
Solving the problems with MATLAB, printing out your MATLAB code, figures, as well as necessary problem-solving procedures on paper, and submit before final exam. (No late submission is accepted) Students must solve all these questions correctly to get 5 point extra credits, no partial credit is given. Plagiarizing from other’s work will be treated as 0.
Problems I: The value of π can be calculated from the integral 1
2121dx x π-=+⎰(a)Evaluate the integral by using rectangle method, using 60 subintervals.
(b)Evaluate the integral by using midpoint method, using 60 subintervals.
(c)Evaluate the integral by using trapezoidal method, using 60 subintervals.
(d)Evaluate the integral by using Simpson’s 1/3 method, using 60 subintervals.
(e)Evaluate the integral by using Simpson’s 3/8 method, using 60 subintervals.
(f)Compare the results and discuss the error from each method.
MATLAB CODE:
f = @(x) 2/(1 + x^2); n = 60; % #subintervals
a = -1; % min
b = 1; %max h = (b-a)/n;
xi = a:h:b;
part A: 长方形法则
la = 0;
for i=1:length(xi)-1
la = la + h*f(xi(i));
end
fprintf('A. Rectangle method approx: %f\n', la)
part B: 中点法则
lb = 0;
for i = 1:length(xi)-1
lb = lb + h*f((xi(i) + xi(i+1))/2);
end
fprintf('B. Midpoint method approx: %f\n', lb)
part C: 梯形法则
lc = 0;
for i=1:length(xi)-1
lc = lc + h*(f(xi(i)) + f(xi(i+1)))/2;
end
fprintf('C. Trap. method approx: %f\n', lc)
part D: 辛普森1/3法则
ld = (h/3)*(f(xi(1)) + f(xi(end)));
for i = 2:2:length(xi)-1
ld = ld + (h/3)*4*f(xi(i));
end
for i = 3:2:length(xi)-2
ld = ld + (h/3)*2*f(xi(i));
end
fprintf('D. Simpsons 1/3 method approx: %f\n', ld)
part E: 辛普森3/8法则
le = (3*h/8)*(f(xi(1)) + f(xi(end)));
for i = 2:3:length(xi)-1
le = le + (3*h/8)*3*(f(xi(i)) + f(xi(i+1)));
end
for i = 3:3:length(xi)-3
le = le + (3*h/8)*2*f(xi(i));
end
fprintf('E. Simpsons 3/8 approx: %f\n', le)
part F: 误差分析
fprintf('\nF.')
fprintf('Relative error for A is %f %%\n', abs(la-pi)*100/pi) fprintf('Relative error for B is %f %%\n', abs(lb-pi)*100/pi) fprintf('Relative error for C is %f %%\n', abs(lc-pi)*100/pi) fprintf('Relative error for D is %f %%\n', abs(ld-pi)*100/pi) fprintf('Relative error for E is %f %%\n', abs(le-pi)*100/pi)
--------------------------------------------------------
结果如下：(Command Window results below)
A. Rectangle method approx: 3.141407
B. Midpoint method approx: 3.141685
C. Trap. method approx: 3.141407
D. Simpsons 1/3 method approx： 3.141593
E. Simpsons 3/8 approx: 3.141301
F.
Relative error for Rectangle method is 0.005895
Relative error for Midpoint method is 0.002947
Relative error for Trapezoidal method is 0.005895
Relative error for Simpsons 1/3 is 0.000000
Relative error for Simpsons 3/8 is 0.009284。