第13讲 几何不等式 深圳中学 周峻民

·竞赛专题几何不等式深圳中学 周峻民一、知识与方法几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。

其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。

1．将几何问题转为代数问题（1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>，c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a +=，2z x b +=，2x yc +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数,,x y z 的代数不等式.（2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；2222224442(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 22264sin sin sin A B C =；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。

2．几何方法利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式：（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系．事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙； （2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位．其内容丰富，涉及面宽，富于智巧．证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识．下面给出几个重要的几何不等式：·Ptolemy （托勒密）不等式若ABCD 为四边形，则AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≤⋅，等号成立当且仅当ABCD 四点共圆．·Erdös-Mordell （埃尔多斯-莫德尔）不等式设P 是ABC ∆内的任意一点，P 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别是,,PD p PE q PF r ===，并记,,PA x PB y PC z ===，则()2x y z p q r++≥++，等号成立当且仅当ABC ∆是正三角形且P 为此三角形的中心．·Weitzenberk （外森比克）不等式设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 34222≥++，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．·Euler （欧拉）不等式设ABC ∆的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ，则2R r ≥，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．·Fermat （费马）问题在ABC ∆中，使PA+PB+PC 为最小的平面上的P 点称为费马点．当120BAC ∠≥︒时，A 点为费马点；当每个内角均小于120︒时，则与三边张角为120︒的P 点为费马点．·三角嵌入不等式设,,x y z R ∈，(21)A B C k π++=+，k Z ∈，则C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．二、范例选讲例题1． 设P 是ABC ∆内的一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于30︒．BCBC证明1：连接AP 、BP 、CP ，并延长交对边于D 、E 、F ，则1PBC PCA PABABC ABC ABCS S S PD PE PF AD BE CF S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=． 设,,PAB PBC PCA αβγ∠=∠=∠=，则sin sin sin PF PD PE PD PE PFy PA PB PC PA PB PCαβγ≤⋅⋅=⋅⋅=． 令123,,PD PE PFx x x AD BE CF ===，那么1231x x x ++=，且PD PE PF y PA PB PC =⋅⋅312123111x x x x x x =⋅⋅---312233112x x x x xx x x x =⋅⋅+++18≤=，当且仅当12313x x x ===时取等号，所以1sin sin sin 8αβγ≤，由此推出sin ,sin ,sin αβγ中至少有一个不大于12． 不失一般性，设1sin 2α≤，则30α≤︒或150α≥︒．当150α≥︒时，,30βγ<︒，命题也成立．当1sin sin sin 8αβγ=时，点P 既是ABC ∆的重心，又是ABC ∆的垂心，此时ABC∆是正三角形．证明2：（反证法）设30,,120PAB PBC PCA ︒<∠∠∠<︒，则sin sin30PDPAB PA=∠>︒，即2PD PA >；同理2PE PB >，2PF PC >．于是有()2PD PEPF PA PB PC ++>++，这与Erdös-Mordell 不等式矛盾．例题2． 求证：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线之和不小于4+ 证明：设四边形ABCD 是任一面积为1的凸四边形（如图1），于是有()11sin 2eg gf fh he α=+++()12eg gf fh he ≤+++()()12e f g h =++2122e f g h +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即对角线之和为e f g h +++≥另一方面，有111122sin sin sin sin 2222ABCD S ab A bc B cd C da D ==+++四边形()12ab bc cd da ≤+++()()12a c b d =++2122a b c d +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则4a b c d +++≥． 综上所述，命题成立．例题3． 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于,,A B C '''，求证：18427AI BI CI AA BB CC ⋅⋅<≤'''⋅⋅． 证明：令c AB b CA a BC ===,,． 由角平分线定理，易得IA A B A C a IA c b b c '''===+，∴AA a b c IA b c '++=+，∴IA b cAA a b c+='++，易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ，∴1,12IA b c AA a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭． 同理，1,12IB a c BB a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭，1,12IC a b CC a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭，则2IA IB IC AA BB CC '''++='''． 以下分三种处理方法完成剩下的证明． （法一）令123111,,222IA IB IC t t t AA BB CC =+=+=+'''，则12312311,,,1,22t t t t t t ⎛⎫∈++= ⎪⎝⎭，∴31231231111118222222327t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+++≤= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，∴()()12312312233112311111112228424t t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴18427AI BI CI AA BB CC ⋅⋅<≤'''⋅⋅． （法二）令,,IA IB IC x y z AA BB CC ==='''，则2=++z y x ，且1,,,12x y z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴38327x y z xyz ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，211139(2)2222416xyz x x z z z z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-->--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 又112z <<，21392416z ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在区间端点取到最小值，∴2213913911241624164xyz z ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫>--+>--+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（法三）令m k c k n b n m a +=+=+=,,，则2222()2()2()AI BI CI m n k m n k m n kAA BB CC m n k m n k m n k ⋅⋅++++++=⋅⋅'''⋅⋅++++++ 41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m ．例题4． 设四边形ABCD 是一个有内切圆的凸四边形，它的每个内角和外角都不小于60︒，证明：333333133AB AD BC CD AB AD -≤-≤-，并求等号何时成立． 证明：由余弦定理，2222222cos 2cos BD AD AB AD AB ABD CD BC CD BC C⎧=+-⋅⋅⎨=+-⋅⋅⎩． 由已知条件，60,120A C ︒≤∠∠≤︒，故11cos ,cos ,22A C ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，于是有()2223BD AB AD AB AD -++⋅()()22216cos AB AD AB AD A =+-⋅+()2224AB AD AB AD ≥+-⋅()220AB AD =-≥，即()2213AB AD AB AD ++⋅2BD ≤222cos CD BC CD BC C =+-⋅⋅22CD BC CD BC ≤++⋅．再由四边形ABCD 是一个有内切圆的凸四边形，可知AD BC AB CD +=+，所以AB AD CD BC -=-．结合上式，就有333313AB AD BC CD -≤-，等号成立当且仅当1cos 2A =，AB AD =，1cos 2C =-或者0AB AD CD BC -=-=，即AB AD =且CD BC =．同理可证另一个不等式成立，等号成立的条件同上．例题5． 设ABC ∆的内切圆与三边AB ，BC ，CA 分别相切于点P ，Q ，R ．证明：BC 6CA ABPQ QR RP++≥．证明1：设,,a BC b CA c AB ===，,,p QR q RP r PQ ===，则只需证明6a b cT r p q=++≥． 设2a b cs ++=，根据BQ BP s b ==-，应用余弦定理可得()()2221cos r s b B =--()2222212a c b s b ac ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭()()222s b b a c ac⎡⎤---⎣⎦=()()()24s b s a s c ac---=，故r =；同理可得p =q =．由均值不等式，T =≥= 另一方面，由于,,a b c 是构成三角形的三边长，所以()()()()()()()()()2222222220,0,0,c a b a b c a b c a a b c b c a b c a b b c a c a b c a b c ⎧<+-+-=--≤⎪⎪<+-+-=--≤⎨⎪<+-+-=--≤⎪⎩以上三式相乘，即得()()()222222b c a c a b a b c a b c +-+-+-≤（此处可以考虑用均值不等式证明），所以6T =≥．证明2：设,,AP AR x BP BQ y CR CQ z ======，r 为ABC ∆的内切圆半径，则r =O 是ABC ∆的内切圆的圆心，在四边形APOR 中，PR AO⊥，所以2AO RP AP PO ⋅=⋅2RP xr =，所以B1RP ==． 由柯西不等式，(12AB x y RP=+=1112⎛≥+⎝1=+1BC PQ ≥1CA QR ≥．以上三式相加，即得BC CA AB PQQR RP ++3≥+336≥+=．例题6． 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点，求证：ABC QRS S S ∆∆≤41．（QRS ∆是塞瓦三角形） 证明1：令γβα===RACRQC BQ SB AS ,,，由塞瓦定理1=αβγ，则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS S S ABC ASR ；同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ ，)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR ． 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43， 即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα， 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ，只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα，显然6)()111(≥+++++γβαγβα，当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心．证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,，则zx QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,，))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=⋅⋅=∆∆；同理))((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++=⋅⋅=∆∆，))((z y z x xyAB BC CR CQ S S ABCCQR ++=⋅⋅=∆∆，只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43， 即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz ，通分整理得3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++， 即22223()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥+++364xyz ≥⋅=， 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++， 事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++)()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥，当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心． 证明3：令,,AS BQ CRAB BC CAαβγ===，且)1,0(,,∈γβα，则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=-，由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=，整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-， )1(γα-=⋅⋅=∆∆ACAB ARAS S S ABC ASR ； 同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BSBQ S S ABC BSQ ，)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CR CQ S S ABC CQR ， 只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα， 事实上(1)(1)(1)αγβαγβ-+-+-()αβγαββγγα=++-++12αβγ=-1=-114=-⋅43411=-≥，当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心．例题7． 设六边形ABCDEF 是凸六边形，且AB BC CD ==，DE EF FA ==，60BCD EFA ∠=∠=︒．设G 和H 是这个六边形内部的两点，使得120AGB DHE ∠=∠=︒．试证：AG GB GH DH HE CF ++++≥．证明：以直线BE 为对称轴，作C 和F 关于该直线的对称点C '和F '，则ABC '∆和DEF '∆都是正三角形，G 和H 分别在这两个三角形的外接圆上．根据Ptolemy 定理得C G AB AG C B GB C A '''⋅=⋅+⋅，因而C G AG GB '=+；同理，HF DH HE '=+．于是AG GB GH DH HE ++++C G GH HF ''=++C F CF ''≥=，等号成立当且仅当线段CF 和C F ''以直线BE 为对称轴．例题8． 已知四边形1234A A A A 既有外接圆又有内切圆，内切圆与边12A A ，23A A ，34A A ，41A A 分别切于1234,,,B B B B ．证明：222223341241122334418A A A A A A A A B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证明：设四边形1234A A A A 的内切圆半径为r ，记1232A A A α∠=，2342AA A β∠=，3412A A A γ∠=，4122A A A θ∠=。