第九章非线性规划
非线性规划
非线性规划非线性规划是一种涉及非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。
与线性规划不同，非线性规划可能存在多个局部最优解，而不是全局最优解。
非线性规划在许多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学和管理学等。
非线性规划的一般形式可以表示为：最小化或最大化 f(x)，其中 f(x) 是一个非线性函数，x 是决策变量向量。
满足一组约束条件g(x) ≤ 0 和 h(x) = 0，其中 g(x) 和 h(x) 是非线性函数。
为了求解非线性规划问题，可以使用不同的优化算法，如梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些算法的目标是找到目标函数的最小值或最大值，并满足约束条件。
非线性规划的难点在于寻找全局最优解。
由于非线性函数的复杂性，这些问题通常很难解析地求解。
因此，常常使用迭代算法来逼近最优解。
非线性规划的一个重要应用是在经济学中的生产计划问题。
生产活动通常受到多个因素的限制，如生产能力、原材料和劳动力等。
非线性规划可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。
另一个应用是在工程学中的优化设计问题。
例如，优化某个结构的形状、尺寸和材料以满足一组要求。
非线性规划可以帮助找到最佳设计方案，以最大程度地提高性能。
在管理学中，非线性规划可以用于资源分配和风险管理问题。
例如，优化一个公司的广告预算，以最大程度地提高销售额。
非线性规划可以考虑多种因素，如广告投入和市场需求，以找到最佳的广告投放策略。
总之，非线性规划是一种重要的优化方法，用于解决涉及非线性目标函数和约束条件的问题。
它在经济学、工程学和管理学等领域有广泛的应用。
尽管非线性规划的求解难度较大，但通过合适的优化算法，可以找到最佳的解决方案。
第九章非线性规划
它说明第一部 型电视机的利润为 元,最后一部(第500) 型电视机的利润为 元。电视机 的销售收入可以表示为:
电视机的生产受到下下述条件限制:
装配工时限制:每月最多可供使用的工时是 小时,而装配一台电视机 需要 工时,装配一台电视机 需要 工时。
机器加工能力限制:每日最多可供使用的机时是 小时,加工一台电视机 需要 机时,加工一台电视机 需要 机时。
那么,如何决定每种电视机的月产量,使月销售收入最大。
如果我们以二款电视机的月销售收入之和作为目标函数,则电视机生产管理的最优化问题被表示为:
这是目标函数为二次可分离函数,约束条件为线性不等式的非线性规划问题。
[定义]设 , ,
如果 ,并且存在 的邻域 使得:
则 是非线性规划 的局部最优解或局部极小点,称 是非线性规划 的局部最优值或局部极小值。
如果 ,并且存在 的邻域 使得:
则 是非线性规划 的严格局部最优解或严格局部极小点,称 是非线性规划 的严格局部最优值或严格局部极小值。
[定义]设 , ,
如果 ,使得: ,则 是非线性规划 的全局最优解或全局极小点,称 是非线性规划 的全局最优值或全局极小值。
1.非线性规划
我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
高级运筹学-第9章：非线性规划
9.1 基本概念和基本原理
一、什么是非线性规划：
目标函数和约束条件中有非线性函数的规划问题。
例9-1 某企业生产一种产品y需要生产资料x1和x2，用经济计量学方法根据统计 资料可写出生产函数为:
1/ 3 2/ 3 y 2 x1 x2
、 但是投入的资源有限，能源总共1O个单位，而每单位生产资料 x1要消耗1单位 能源，每单位生产资料x2要消耗2单位能源。问:应如何安排生产资料使产出最大？
y=f(x)
X2xBiblioteka 2、性质：fi(X) 为凸集R上的凸函数，则对ki≥0，i=1,2,…,m，有
k1f1(X)+k2f2(X)+…+kmfm(X)仍为凸函数。
3、凸函数的判定：f(X) 定义在凸集R上，若f(X)有连续的二阶导数， 则f(X)为凸函数 H为半正定。
f(X)为严格凸函数 H为正定。
则停止，得近似极值点 . 否则，继续缩短区间， 直至满足给定的精度为 止。
② f(x2)＞f(x1)，取[a1=x2,b1=b0] x’1=a1+(b1-a1) x’2=x1 ⑵ 若求f(x)的极大值点，则 ① f(x2)≥f(x1)，取[a1=a0,b1=x1] x’1=x2 x’2=b1-(b1-a1) ② f(x2)＜f(x1)，取[a1=x2,b1=b0] x’1=a1+(b1-a1) 10 x’2=x1
例 求解 f(x)=-18x2+72x+28 的极大值点，≤0.1，起始搜索区间为[0,3]
解：①用间接法：令 f’(x)=-36x+72=0，得驻点 x=2 又因为f’’(x)=-36＜0，故 x=2 为f(x)的极大值点，fmax=100 ②用直接法中的黄金分割法：令 n-1=，得n=1+(lg)/(lg)≈5.78442 约6步即可，计算结果见下表：
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
非线性规划
概述
在科学管理和其他领域中， 在科学管理和其他领域中，大量应用问题可以归结为 线性规划问题，但是，也有另外许多问题， 线性规划问题，但是，也有另外许多问题，其目标函 数和（ 数和（或）约束条件很难用线性函数表达 如果目标函数和（或）约束条件中包含有自变量的非 如果目标函数和（ 线性函数， 线性函数，则这样的规划问题就属于非线性规划
例 选址问题
个市场， 设有 n 个市场，第 j 个市场位置为 (pj,qj) ，它对某种货物 的需要量为b ）。现计划建立 个仓库， 的需要量为 j（j=1,2,…,n）。现计划建立 m 个仓库，第 i ）。 个仓库的存储容量为 ai 。 试确定仓库的位置，使各仓库 试确定仓库的位置， 对各市场的运输量与路程乘积之和为最小？ 对各市场的运输量与路程乘积之和为最小？
基本概念
向量函数、全局极小点、局部最优解、 向量函数、全局极小点、局部最优解、局部极 小点、梯度、Hesse矩阵、Jacobi阵 小点、梯度、Hesse矩阵、Jacobi阵、 矩阵 数一般形式、凸函数、 数一般形式、凸函数、凸规划 二次函
数值方法的基本思路： 数值方法的基本思路：迭代
给定初始点x0 根据x0,依次迭代产生点列{xk}
例 选址问题
个仓库的位置为(x 设第 i 个仓库的位置为 i,yi) 个仓库到第j个市场的货物供应量为 第i个仓库到第 个市场的货物供应量为 ij 个仓库到第 个市场的货物供应量为z 目标函数为
min
z ij d ij = ∑ ∑ z ij ( x i − p j ) 2 + ( y 来说， 一般来说，求解非线性规划问题比线性规划问题困难 得多。而且， 得多。而且，也不象线性规划那样有单纯形法这一通 用的方法。非线性规划的各种算法大都有自己特定的 用的方法。 使用范围，都有一定的局限性。到目前为止还没有适 使用范围，都有一定的局限性。到目前为止还没有适 合于各种问题的一般算法 的一般算法， 合于各种问题的一般算法，这是需要深入研究的一个 领域。 领域。
非线性规划
其中L( X , ) f ( X ) T h( X )称为Lagrange函数。
定理2：(二阶充分条件)设X * E n是问题(1)的可行解，f , h j ( j 1,2,..., l ) 在X*二次可微。如果存在向量* E l , 使得L( X * , * ) 0, 且L( X , )的 海塞矩阵H ( X * , * )正定，则X*问题(1)的局部最有解。
可设：T X , M f X M
2 2 min 0 , g X M h X i j m l i 1 j 1
(2)
将问题（ 1 ）转化为无约束问题： min T X , M n
X E
(3)
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
49coscosminsinsin飞机的初始位置第加飞机的初始方向角时间参数第加飞机的调整后的方向角时刻时飞机的距离飞机的距离飞行速度偏差平方和函数求精次数逐步求精搜索法中每权因子次求精每层循环次数飞机最短距离的约束第架飞机的等式约束罚函数符号说明
数学建模与数学实验
非线性规划
经济数学系数学建模研究室
1
实验目的
1、直观了解非线性规划的基本内容。
2、掌握用数学软件求解优化问题。
实验内容
1、非线性规划的基本理论。
2、用数学软件求解非线性规划。 3、钢管订购及运输优化模型 4、实验作业。
2
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回3
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题．
把其符合原始条件的最优解作为(3)的解的近似． 每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上步骤． 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个 由线性规划最优解组成的序列，经验表明，这样的序 列往往收敛于非线性规划问题的解。
非线性规划
第五章 非线性规划的概念和原理非线性规划的理论是在线性规划的基础上发展起来的。
1951年，库恩（H.W.Kuhn ）和塔克（A.W.Tucker ）等人提出了非线性规划的最优性条件，为它的发展奠定了基础。
以后随着电子计算机的普遍使用，非线性规划的理论和方法有了很大的发展，其应用的领域也越来越广泛，特别是在军事，经济，管理，生产过程自动化，工程设计和产品优化设计等方面都有着重要的应用。
一般来说，解非线性规划问题要比求解线性规划问题困难得多，而且也不像线性规划那样有统一的数学模型及如单纯形法这一通用解法。
非线性规划的各种算法大都有自己特定的适用范围。
都有一定的局限性，到目前为止还没有适合于各种非线性规划问题的一般算法。
这正是需要人们进一步研究的课题。
5.1 非线性规划的实例及数学模型[例题6.1] 投资问题：假定国家的下一个五年计划内用于发展某种工业的总投资为b 亿元，可供选择兴建的项目共有几个。
已知第j 个项目的投资为j a 亿元，可得收益为j c 亿元，问应如何进行投资，才能使盈利率（即单位投资可得到的收益）为最高？解：令决策变量为j x ，则j x 应满足条件()10j j x x -=同时j x 应满足约束条件1nj j j a x b =≤∑目标函数是要求盈利率()1121,,,njjj n njjj cx f x x x ax ===∑∑ 最大。
[例题6.2] 厂址选择问题：设有n 个市场，第j 个市场位置为(),j j p q ，它对某种货物的需要量为jb ()1,2,,j n = 。
现计划建立m 个仓库，第i 个仓库的存储容量为i a ()1,2,,i m = 。
试确定仓库的位置，使各仓库对各市场的运输量与路程乘积之和为最小。
解：设第i 个仓库的位置为(),i i x y ()1,2,,i m = ，第i 个仓库到第j 个市场的货物供应量为ijz ()1,2,,,1,2,,i m j n == ，则第i 个仓库到第j 个市场的距离为i j d =目标函数为1111mnmni j i j iji j i j z d z =====∑∑∑∑约束条件为：（1） 每个仓库向各市场提供的货物量之和不能超过它的存储容量； （2） 每个市场从各仓库得到的货物量之和应等于它的需要量； （3） 运输量不能为负数。
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1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年H.W.库恩和 A.W.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
1.1 非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA ,年订货成本为QA F ⨯。
由于平均库存量为2Q ,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
[数据拟合问题] 假设一年期国债利率在市场中的波动符合下述模型εααα+++=---332211n n n n R R R R其中nR 表示一年期国债利率在周期n 开始时的利率,误差ε服从),0(2σN 。
利率的历史观察数据为:表1.9:一年期国债利率历史样本数据 12 3 4 5 6 7 8 9 10 114.28 4.14 3.85 4.07 4.18 4.66 4.51 4.54 4.59 4.48 4.47利用最小二乘法估算3,2,1,=i iα由于在周期t 回归误差的平方为23322112)(---++-=t t t t t R R R R e ααα,N t ,...5,4=比如说,当4=t 时,232124)28.414.485.307.4(ααα++-=e总回归误差为∑==Nt t e e 422我们需要求解下述数学规划问题:min ∑=---++-=Nt t t t t R R R R e 423322112)(ααα..t s 3,2,1),,(=+∞-∞∈i i α其中iα3,2,1,=i 为决策变量,显然,这是无约束非线性规划问题。
[投资组合管理问题] 假设首都基金管理公司拥有大批量股票S ,并且希望在未来的N 天中将其全部卖出。
股票S 在未来N 天的总期望价值为:∑==Nt t t q p S V 1)(其中,N t q t,...,2,1,=是基金公司在第t 日卖出股票S 的数量,N t p t,...,2,1,=是在t 日股票S 的平均价格。
同时,我们假设价格tp 具有下述动态特性:N t q p p t t t ,...,2,1,1=⋅+=-α那么基金管理公司应当如何确定股票S 每日卖出数量?很显然,不同的卖出方案,基金管理公司获得的收益是不同的。
所以目标函数是最大化股票S 的总期望价值。
约束条件为N 日内卖出数量之和应当等于总持有量S ,价格动态特征,以及每日卖出数量大于等于零。
我们可以把它表示为最优化问题:max ∑==Nt t t q p S V 1)(..t s ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=+==-=∑N t q N t q p p S q t t t t Nt t ,...,2,1,0,...,3,2,11α其中tq ,N t ,...,2,1=,这是目标函数为非线性函数,约束条件是线性等式约束条件的非线性规划问题。
[生产管理问题] 首都电器制造厂生产二款电视机,A 和B 。
已知电视机A 每月最大的销售量为500台,电视机B 每月的最大销售量为400台。
工厂采用随销售量增加而递减销售价格的定价方式对电视机进行定价,那么单台电视机的利润是随着销售量的增加而递减。
我们分别以AX 和BX 表示电视机A 和B 的月销售量,那么电视机A 的销售收入可以表示为:2)150(300A A X X -它说明第一部A 型电视机的利润为300元,最后一部(第500)A 型电视机的利润为150元。
电视机B 的销售收入可以表示为:2)400100(200B B X X -电视机的生产受到下下述条件限制:)1( 装配工时限制:每月最多可供使用的工时是1200小时,而装配一台电视机A 需要2工时,装配一台电视机B 需要1工时。
)2( 机器加工能力限制:每日最多可供使用的机时是1350小时,加工一台电视机A 需要1机时,加工一台电视机B 需要3机时。
那么,如何决定每种电视机的月产量,使月销售收入最大。
如果我们以二款电视机的月销售收入之和作为目标函数,则电视机生产管理的最优化问题被表示为:max 2225.02003.0300B B A A X X X X S -+-=..t s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤+0,4005001350312002B A B A B A B A X X X X X X X X 这是目标函数为二次可分离函数,约束条件为线性不等式的非线性规划问题。
1.2 非线性规划模型 现在,我们非线性规划问题的应用进行归纳,建立非线性规划通用数学模型。
非线性规划的数学模型可表示为:)(min x f Xx ∈)1.1(其中:R R f n→:是具有n 个自变量的连续(通常存在一阶导数)函数;nR X ⊆,是nR 的子集合。
通常称X 为非线性规划问题)1.1(的可行域,如果nR X =,则非线性规划问题)1.1(就变为无约束条件的非线性规划问题;如果nR X ⊂,则非线性规划问题)1.1(为带约束非线性规划问题。
如果点X x ∈,则称x 为可行点。
称)(x f 为非线性规划问题)1.1(的目标函数,使)(x f 在可行域X 上达到最小值的点*x 为最优解(极小点),对应的目标函数值)(*x f 为最优值(极小值)。
如果)(x f 是线性函数并且X 是n 维空间中的单纯形,非线性规划)1.1(就变成了线性规划问题。
我们通常将非线性规划和线性规划区别对待,非线性规划的求解方法比线性规划复杂许多。
为了方便讨论,我们定义带约束条件的非线性规划的标准模型如下:min )(x f..t s .,...,2,1,0)(,...,2,1,0)(⎩⎨⎧=≤==s j x g mi x h ji )2.1(其中:R R h ni →:和R R g n j →:都是连续,可导函数。
第一组约束,m i x h i ,...,2,1),(=称为等式约束;第二组约束,s j x g j ,...,2,1),(=称为不等式约束。
非线性规划模型)2.1(的可行域可以表示为:},...,2,1,0)(,,...,2,1,0)(|{s j x g m i x h R x X j i n =≥==∈=∶不难看出,带约束非线性规划模型)2.1(的可行域是n R 的子集合,所以它也是非线性规划模型)1.1(的一个特例。
我们将根据非线性规划的标准模型)1.1(,给出非线性规划解的定义。
[定义1.1] 设X x ∈*,nR X ⊆,R R f n→:)1( 如果X x ∈*,并且存在*x 的邻域}0,||:||{)(**≥≤-∈=δδx x R x x N n 使得:)()(*x f x f ≤ )(*x N X x ⋂∈∀则*x 是非线性规划)1.1(的局部最优解或局部极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的局部最优值或局部极小值。
)2( 如果X x ∈*,并且存在*x 的邻域}0,||:||{)(**≥≤-∈=δδx x R x x N n 使得:)()(*x f x f < }{))((**x ＼x N X x ⋂∈∀则*x 是非线性规划)1.1(的严格局部最优解或严格局部极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的严格局部最优值或严格局部极小值。
[定义1.2] 设X x ∈*,nR X ⊆,R R f n→:)1( 如果X x ∈*,使得:)()(*x f x f ≤ X x ∈∀,则*x 是非线性规划)1.1(的全局最优解或全局极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的全局最优值或全局极小值。
)2( 如果X x ∈*,使得:)()(*x f x f ≤ X x ∈∀,则*x 是非线性规划)1.1(的严格全局最优解或严格全局极小点,称)(*x f 是非线性规划)1.1(的严格全局最优值或严格全局极小值。
图)1.1(从几何上说明了局部极小点,严格局部极小点,和严格全局极小点之间的关系。
)(x f严格局部极小点 局部极小点 严格全局极小点图)1.1(可以看出,对于非线性规划)1.1(,局部或严格局部极小点不是全局或严格全局极小点,反之全局或严格全局极小点一定是局部或严格局部极小点。
对于只有两个决策变量的非线性规划问题,我们可以通过图解法进行求解。
考虑下述带等式约束的非线性规划问题:min 21)(x x x f +=..t s 022221=-+x x)3.1(其可行域X 是以原点为中心,半径等于2的圆周长上的所有点,见图)2.1(:图)2.1(显然,由于非线性规划)3.1(的目标函数是直线,与可行域X 的最小相交点为)1,1(*--=x ,它是非线性规划)3.1(的全局最优解,全局最优值为2)(*-=x f 。
再考虑下述带等式约束的非线性规划问题:max 21)(x x x f =..t s 221=+x x)4.1(显然,非线性规划)4.1(的可行域X 是连接点)0,2(和点)2,0(直线上的所有点,参见图)3.1(:图)3.1(非线性规划)4.1(的目标函数与可行域X 的交点为)1,1(*=x ,它是非线性规划)4.1(的全局最优解,全局最优值为1)(*=x f 。