非线性规划的理论与算法
非线性规划算法
非线性规划算法现代数学算法的发展，使得计算机在解决多种实际问题中发挥出越来越重要的作用。
其中，非线性规划算法作为一种重要的优化算法，被广泛应用于生产、经济、地质和金融等领域。
本文将介绍非线性规划问题的定义、特点、求解方法和应用。
一、非线性规划问题的定义非线性规划问题是指在目标函数和约束条件中至少有一项是非线性函数的数学规划问题。
具体的表示形式可以是以下形式：$$\min f(x)$$$$s.t.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ g_i(x) \leq 0, \ \ i=1,2, \cdots, m $$$$h_j(x) =0,\ \ j=1,2, \cdots, n$$其中，$x$为决策变量，$f(x)$为目标函数，$g_i(x)$和$h_j(x)$分别是不等式约束和等式约束条件。
二、非线性规划问题的特点非线性规划问题与线性规划问题相比，具有以下几个特点：1. 非线性规划问题的数学模型较为复杂。
在考虑实际问题时，目标函数中经常包含各种复杂的非线性函数，如三角函数、指数函数、对数函数等等。
同时，约束条件的不等式表达式也可能是非线性函数。
2. 非线性规划问题的求解难度较大。
因为非线性规划问题的目标函数和约束条件不再满足线性性质，导致求解过程中出现很多非线性优化问题。
这也意味着，非线性规划问题中需要用到高级的优化算法，这些算法的计算成本和正确性都需要严格考虑。
3. 非线性规划问题的解可能存在多个局部最优解。
相比线性规划问题，非线性规划问题的解集合往往具有多个局部最优解。
这意味着，解决这类问题时需要针对不同的局部解进行分析，从而找到全局最优解。
三、非线性规划求解方法通常情况下，非线性规划问题的求解方法包括以下几种:1. 梯度方法。
梯度方法是一种基于梯度信息的优化算法，能保证解的收敛性和稳定性。
这种方法的主要思想是通过计算目标函数的梯度信息来确定下一步迭代的方向和步长。
2. 共轭梯度法。
共轭梯度法是在梯度法基础上改进而来的算法，更加高效和优化。
非线性规划在运筹学中的理论与实践
非线性规划在运筹学中的理论与实践非线性规划是数学规划中的一个重要分支，它在运筹学中具有广泛的应用。
本文将从理论与实践两个方面讨论非线性规划在运筹学中的作用。
一、非线性规划的理论基础非线性规划是研究目标函数和约束条件都为非线性函数的优化问题。
在运筹学中，非线性规划的理论基础主要包括两个方面：一是非线性函数的性质和优化方法；二是约束条件的处理和求解。
1. 非线性函数的性质和优化方法非线性函数具有丰富的性质，如凸性、可导性、二次性等。
这些性质为非线性规划问题的解决提供了理论基础。
在优化方法方面，常用的非线性规划算法包括梯度法、牛顿法、拟牛顿法等。
这些算法可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。
2. 约束条件的处理和求解与线性规划相比，非线性规划的约束条件更加复杂。
一般来说，约束条件可以分为等式约束和不等式约束。
等式约束可以通过拉格朗日乘子法进行处理，而不等式约束则可以通过KKT条件来求解。
此外，还可以采用罚函数法、投影法等方法来处理约束条件。
二、非线性规划在运筹学中的实践应用非线性规划在运筹学中有着广泛的实践应用，涉及到生产计划、物流优化、资源配置等方面。
1. 生产计划中的非线性规划在生产计划中，考虑到生产成本、销售需求以及资源限制等因素，常常需要对生产计划进行优化。
非线性规划方法可以帮助实现最小化生产成本、最大化利润等目标。
例如，在汽车制造领域，可以利用非线性规划方法优化生产线的布局，提高生产效率。
2. 物流优化中的非线性规划物流优化是运筹学的重要应用领域之一。
通过对供应链网络进行优化，可以实现库存降低、运输成本最小化等目标。
非线性规划可以在考虑各种限制条件的情况下，对供应链网络进行优化设计。
例如，在仓储和配送中心的选址问题中，可以利用非线性规划方法优化选址方案，提高物流效率。
3. 资源配置中的非线性规划在资源配置问题中，需要考虑到资源的有限性以及不同资源之间的相互关系。
非线性规划可以帮助实现资源的合理配置，以最大化整体效益。
非线性规划理论和算法
非线性最优化理论与算法第一章引论本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。
接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。
随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。
最后给出了无约束优化最优性条件。
第二章线搜索方法与信赖域方法无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。
本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。
线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。
精确线搜索方法和非精确线搜索方法对于精确线搜索方法，步长ακ满足αk=arg minƒx k+αd kα≥0这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件：d k T∇ƒ(x k+αk d k)=0但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。
而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。
对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。
书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。
第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。
但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。
在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。
算法大全第03章-非线性规划
另外，由于 xi (i = 1,L, n ) 只取值 0 或 1，所以还有
xi (1 − xi ) = 0, i = 1,L, n.
最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案， 所以这个最佳投资决策问题归 结为总资金以及决策变量（取 0 或 1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因 此，其数学模型为：
max Q =
∑b x
i =1 n i
n
i
∑a x
s.t. 0 <
∑a x
i =1 i
i =1 n
i
i
i
≤A
xi (1 − xi ) = 0, i = 1,L, n.
上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问 题，其中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题。可概括为一般形式
k k k
k
x k +1 = x k + t k p k 。
若x
k +1
已满足某种终止条件，停止迭代。
k +1 k
4° 以 x 代替 x ，回到 1°步。 1.5 凸函数、凸规划 设 f ( x ) 为定义在 n 维欧氏空间 E
(n)
中某个凸集 R 上的函数，若对任何实数
α (0 < α < 1) 以及 R 中的任意两点 x (1) 和 x ( 2 ) ，恒有 f (αx (1) + (1 − α ) x ( 2 ) ) ≤ αf ( x (1) ) + (1 − α ) f ( x ( 2 ) )
这里 t k ∈ R , p ∈ R , p
1 k n k
= 1 ，并且 p k 的方向是从点 x k 向着点 x k +1 的方向。式（1）
九.非线性规划(NonlinearProgramming)
九. 非线性规划(Nonlinear Programming)非线性规划是研究目标函数和约束条件中至少包含一个非线性函数的约束极值最优化问题。
由于非线性问题的复杂性，非线性规划与线性规划相比在理论和算法上呈现出明显的多样性，成果非常丰富。
非线性规划的理论成果包括约束极值问题到达极值解的充分和必要条件（即最优性条件）、非线性规划的对偶理论等。
非线性规划的算法种类繁多，但本质上都是采用数值计算迭代方法求解非线性方程组。
解非线性规划问题时所用的计算方法最常见的是迭代下降算法，即算法同时具有迭代和下降两种特征:迭代：从一点x(k)出发，按某种规则算出后继点x(k+1)；用x(k)代替x(k+1)，重复上述过程，产生点列{x(k)}；下降：对某个函数，每次迭代后，后继点的函数值要有所减少。
评价算法的几个要素通用性与可靠性对参数与数据的敏感性准备与计算的工作量收敛性一维搜索算法可以归纳为两大类：试探法和函数逼近法。
试探法：黄金分割法（0.618法）；Fibonacci法（斐波那契法）函数逼近法：牛顿法；割线法；抛物线法；插值法多维搜索中使用导数的最优化算法（无约束问题）最速下降法（梯度法）；牛顿法（二阶梯度法）；共轭梯度法；拟牛顿法；……多维搜索无约束最优化的直接方法（不用导数）模式搜索法；Rosenbrock算法；单纯形法；……有约束最优化方法可行方向法；惩罚函数法；线性逼近法及二次规划；SQP(序贯二次规划)法；……十.多目标数学规划(Multiobjective Programming)多目标规划标准形式：(VP)实际问题往往难以用一个指标来衡量，需要用一个以上相互间不很协调（甚至相互冲突）的衡量指标，形成多目标规划问题。
x f x f V T p )](,),(min[1符号V －min 表示区别于单目标求最小，指对向量形式的p 个目标求最小。
由于实际问题中p 个目标量纲不同，有必要对每个目标事先规范化。
数学建模非线性规划
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
5
SUTM外点法
对一般的非线性规划： min f X
s.t.hgji
X X
0 0
i 1,2,..., m; j 1,2,..., l.
(1)
m
l
可设：TX , M f X M min0, gi X 2 M hj X 2 (2)
z
(
x1,
x2
)
1 1
-21
x1 x2
2 6
T
x1 x2
2、 输入命令：
s.t.
1 1
21
x1 x2
2 2
0 0
x1 x2
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
性约束条件．因为线性近似通常只在展开点附近近似程度较
高，故需要对变量的取值范围加以限制，所增加的约束条件是：
xj
x
k j
k j
j 1,, n
求解该线性规划问题，得到最优解X k1 ；
(4) 检验X k1 点对原约束是否可行。若X k1 对原约束可行，
则转步骤(5)；否则，缩小步长限制，令
k j
k j
7. [x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8. [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
17
例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
非线性规划理论与算法_图文
firstorderopt: [ ] cgiterations: [ ] lambda =
3、问题：
4、外点法（外部惩罚函数法）
（1）几何解释
（2）算法步骤（外点法）：
（3）外点法框图
No
yes
（4）应注意的问题
例 :
（5）一般模型的外点法
算法步骤相同
(6)算法收敛性
5、内点法（障碍函数法） （1）集合结构
（2）算法思想
内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内 部移动的，对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩 罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比边 界是一道障碍物，阻碍迭代点穿越边界。
内点法要求可行点集的内点集合非空，否则算法无法 运行。这样一来内点法只对不等式约束的优化问题才可能 有效。
（3）算法分析
（4）算法步骤（内点法）：
内点法框图
No
yes
例 解
（5）算法收敛性： （6）罚函数法的缺点
(7)内、外点法的优缺点的比较
外点法
内点法
1.任意x(0)∈Rn
1. x(0)∈S 0(参阅P220讨论内点的选取)
二次规划问题（quadratic programming）的Matlab解
函数 quadprog
格式: x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x
为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
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第五章 非线性规划：理论和算法5.5 约束优化我们现在继续讨论更一般的有约束的线性优化问题。
特别的,我们考虑一个具有非线性目标函数和（或者）非线性约束的优化问题。
我们可以将这种问题表示为下面的一般形式：I∈≥∈=i x g i x g x f i i x ,0)(,0)()(min ε (5.10) 在本节的末尾，我们假设f 和i g ，i ε∈⋃I 全部是连续可微的。
拉格朗日函数是研究有约束的优化问题的一个重要工具。
为了定义这个函数，我们结合每个约束的乘子i λ——称作拉格朗日乘子。
对于问题（5.10）拉格朗日函数如下定义：∑I⋃∈-=ελλi iix g x f x L )()(:),( （5.11） 本质上，我们考虑的是目标函数违反了可行约束时的惩罚函数。
选择合适的i λ，最小化无约束函数(),L x λ等价于求解约束问题（5.10）。
这就是我们对拉格朗日函数感兴趣的最根本的原因。
与这个问题相关的最重要问题之一是求解最优问题的充要条件。
总之，这些条件称为最优性条件，也是本节的目的。
在给出问题（5.10）最优性条件之前，我们先讨论一个叫做正则性的条件，由下面的定义给出：定义5.1：设向量x 满足ε∈=i x g i ,0)(和I ∈≥i x g i ,0)(。
设J ⊂I 是使得0)(≥x g i 等号成立的指标集。
x 是问题（5.10）约束条件的正则点，如果梯度向量)(x g i ∇（i J ∈⊂I ）相互线性无关。
在上述定义中与J ε对应的约束，即满足0)(=x g i 的约束称为在x 点处的有效约束。
我们讨论第一章提到的两个优化的概念，局部和全局。
回顾（5.10）的全局最优解向量*x ，它是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于所有的x 都成立。
相比之下，局部最优解*x 是可行的而且满足)()(*x f x f ≤对于{}ε≤-*:x x x （0>ε）成立。
因此局部解一定是它邻域的可行点中最优的。
下面我们考虑的最优性条件仅仅判别局部解，则可能是全局最优解，也可能不是。
幸运的是，这里存在一类局部最优解和全局解一致的问题——凸优化问题。
附录A 中讨论的就是基于凸集的凸优化问题。
定理5.1 （一阶必要条件）设*x 是问题（5.10）的局部最小值，假设*x 是这个问题的约束的正则点。
则存在i λ，I ∈ εi 使得：0)()(**=∇-∇∑I∈ ελi iix g x f （5.12）I ∈≥i i ,0λ（5.13）I ∈=i x g i i ,0)(*λ（5.14）注意，（5.12）左边表达的意思是拉格朗日函数(),L x λ对每个变量x 的梯度。
一阶条件在局部最小值，局部最大值及鞍点处满足。
当目标函数和约束函数是二次连续可微的时候，可以用函数的曲率排除最大值和鞍点。
根据定理5.1，我们考虑拉格朗日函数(),L x λ和这个函数对每个变量x 的海森矩阵，来计算目标函数和约束函数在当前点处的曲率。
定理5.2（二阶必要条件）假设函数f 和i g （i ε∈⋃I ）都是二次连续可微的。
假设*x 是问题（5.10）局部最小值而且是这个问题的约束正则点。
则存在i λ，i ε∈⋃I 满足（5.12）—（5.14）及下面的条件：∑I∈∇-∇ ελi i ix g x f )()(*2*2 （5.15）在*x 处有效约束的切线子空间处是半正定的。
定理后半部分可以改写为含有效约束的雅阁比矩阵的形式。
设)(*x A 表示*x 处有效约束的雅阁比矩阵，设)(*x N 表示基于)(*x A 的零空间。
则定理的最后一个条件等价于下面的条件：)()()()(**2*2*x N x g x f x N i i i T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇∑I ∈ ελ （5.16） 是半正定的。
二阶必要条件并非常常保证给出的解的局部最优性。
局部最优性的充分条件更加严格和复杂，因为要考虑到退化的可能性。
定理5.3（二阶充分条件）假设函数f 和i g ，i ε∈⋃I 都是连续二次可微的。
同时假设*x 是问题（5.10）可行点而且是这个问题的约束正则点。
设)(*x A 表示*x 处有效约束的雅阁比矩阵，设)(*x N 表示基于)(*x A 的零空间。
如果存在i λ，i ε∈⋃I 满足（5.12）—（5.14）及下面的条件：I ∈=i x g i ,0)(*暗示0>i λ （5.17）和)()()()(**2*2*x N x g x f x N i i i T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-∇∑I ∈ ελ （5.18） 是正定的，则*x 是问题（5.10）的局部最小值。
定理5.1、5.2和5.3中列出的条件称作Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件，以它们的发明者命名的。
一些求解约束优化问题的方法表达成一系列简单的可以用一般迭代步骤求出解的简单优化问题。
这些“简单”的问题可以是无约束的，此时可以应用我们前面章节介绍的方法求解。
我们在5.5.1中考虑这些策略。
在其他情况下，这些简单的问题是二次规划且可以应用第七章中的方法求解。
这个策略的典型例子是5.5.2中讨论的连续二次规划问题。
5.5.1广义简约梯度法在本节中，我们介绍一种求解有约束的非线性规划的方法。
这种方法建立在前文讨论的无约束优化法之最速下降法的基础上的。
这种方法的思想是利用约束减少变量的个数，然后用最速下降法去求解简化的无约束的问题。
线性等式约束首先我们讨论一个约束是线性方程组的例子。
2212341123421234min ()()4440()2220f x x x x xg x x x x x g x x x x x =+++=+++-==-++-+=在其他变量给定情况下，很容易求解只有两个变量的约束方程。
给定1x ，4x ，令214388x x x =+- 和31433x x x =--+。
把这些变量代入目标函数，然后得到下面简化的形式：()2214114144min (,)38833f x x x x x x x x =++-+-++这个简化形式是无约束的，因此可以利用5.4.1节的最速下降法求解。
例1：用最速下降法求min f(x)=f=(x −2)2+(y −4)2 Matlab 程序：M 文件：function [R,n]=steel(x0,y0,eps)syms x;syms y;f=(x-2)^4+exp(x-2)+(x-2*y)^2;v=[x,y];j=jacobian(f,v);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=0;syms kk;while (temp>eps)d=-T;f1=x1+kk*d(1);f2=y1+kk*d(2);fT=[subs(j(1),x,f1),subs(j(2),y,f2)];fun=sqrt((fT(1))^2+(fT(2))^2);Mini=Gold(fun,0,1,0.00001);x0=x1+Mini*d(1);y0=y1+Mini*d(2);T=[subs(j(1),x,x0),subs(j(2),y,y0)];temp=sqrt((T(1))^2+(T(2))^2);x1=x0;y1=y0;n=n+1;endR=[x0,y0]调用黄金分割法：M文件：function Mini=Gold(f,a0,b0,eps)syms x;format long;syms kk;u=a0+0.382*(b0-a0);v=a0+0.618*(b0-a0);k=0; a=a0;b=b0;array(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; while((b-a)/(b0-a0)>=eps) Fu=subs(f,kk,u); Fv=subs(f,kk,v); if(Fu<=Fv) b=v; v=u;u=a+0.382*(b-a); k=k+1; elseif(Fu>Fv) a=u; u=v;v=a+0.618*(b-a); k=k+1; endarray(k+1,1)=a;array(k+1,2)=b; endMini=(a+b)/2; 输入：[R,n]=steel(0,1,0.0001)R = 1.99999413667642 3.99999120501463 n = 1 非线性等式约束现在考虑用一个线性方程去逼近一个拥有非线性约束问题的可能性，而线性问题就可以像上面的例子那样解决。
要了解如何工作的，考虑下面的例子，它和前面提到的例子类似，但是它的约束是非线性的。
221234211234221234min ()()4440()2220f x x x x xg x x x x x g x x x x x =+++=+++-==-++-+=在当前点x 我们用Taylor 级数逼近约束方程：()()()()Tg x g x g x x x≈+∇-于是：)4(442)4,4,1,2()444()(214321144332211143211=+-+++≈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----+-+++≈x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g 和0)2(2)(24443212=++-++-≈x x x x x x x g广义简约梯度法（GRG ）的思想是求解一系列子问题，每个子问题可以利用约束的线性逼近。
在算法的每一步迭代中，利用先前获得的点重新计算线性化约束的点。
一般来说，即使约束是线性逼近的，但每一步迭代获得值也是逐步逼近最优点的。
线性化的一个性质是在最优点，线性化的问题和原问题有相同的解。
使用GRG 的第一步是选择一个初值。
假设我们开始设()00,8,3,0x =，而这个值恰好逼近公式，我们构造的首个逼近问题如下：22123412342123min ()()4440()220f x x x x xg x x x x g x x x x =+++=++-==-+++=程序思路与例1相似，具体参考例1程序。
5.5 约束优化现在我们这个逼近问题的等式约束，用其他变量表示其中的两个变量。
不妨选择2x 和3x ，即得：214248x x x =+-和3141232x x x =--+把这些表达式代入目标函数，获得简化的问题：22141141441min (,)(248)232f x x x x x x x x ⎛⎫=++-+--++ ⎪⎝⎭求解这个无约束的最小化问题，得到140.375,0.96875x x =-=再代入上面表达式，得：234.875, 1.25x x =-=。
因此GRG 方法的第一步迭代产生了一个新点1(0.375, 4.875,1.25,0.96875)X =--继续这个求解过程，在新点上我们重新线性化约束函数，利用获得的线性方程组，把其中两个变量用其他变量表示，然后代入目标函数，就可以得到新的简化问题，求解这个新的简化问题得到新的点2X ，依此类推。