非线性规划的粒子群算法
线性和非线性优化的算法研究
线性和非线性优化的算法研究优化问题是现代科学与工程领域中的重要问题之一。
在日常生活中，我们经常面临着各种各样的优化问题。
例如，我们要求自己每天的工作和生活都能够更加高效地完成，我们要让自己的饮食和运动更加合理科学，我们的公司要最大化盈利并最小化成本，我们的政府要优化资源配置以满足人民的不同需求等等。
为了解决这些优化问题，科学家们利用数学建立了各种优化模型，并研究了相应的优化算法。
其中，线性和非线性优化算法是两种最常用也最基础的优化算法之一。
1. 线性优化的算法研究线性优化问题指的是目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
这类问题在现实中非常常见。
例如，制定一个最佳的生产计划以最大化利润、最小化成本；设计一个最优的物流运输方案以最小化总运费等等。
线性优化问题的数学基础是线性代数和线性规划。
线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在许多优化问题的模型建立中，经常需要使用向量和矩阵进行表达。
而线性规划是一个针对线性优化问题的数学分支，它的主要目标是寻找一个在所有满足约束条件的解中，能够最大/最小化目标函数值的解。
而解决线性规划问题有两个重要的算法：单纯形法和内点法。
单纯性法是由美国数学家George Dantzig在1947年发明的算法。
它是目前解决线性规划问题最重要且最常用的算法之一。
单纯性法的核心思想是：通过不断地将无界的解空间向各约束的可行域逼近，最终找到全局最优解。
单纯性法不断调整进入基变量和离开基变量，直到找到满足约束条件的最大/最小值。
此外，内点法是针对线性规划问题的另一种重要算法。
它于1984年被美国数学家Narendra Karmarkar发明，相对于单纯性法而言，内点法对于大规模更为复杂的问题具有很高的求解效率。
内点法的基本思想是：将可行域内的每个解都转化为具有一定可行性的解，然后在这个集合中找到全局最优解。
2. 非线性规划的算法研究对于非线性优化问题，目标函数和/或约束条件包含非线性项。
求解非线性规划问题的混合粒子群算法
Ｃ ｍ ｕ ｒＥ ｇｎ ｅｉ ｎ ｐ ｌａｉ ｓ 算 机 工程 与应 用 ｏ ｐ ｔ ｎ ｉｅｒ ｇ ａ ｄＡ ｐｉ ｔ ｎ 计 ｅ ｎ ｃ ｏ
求解非线性规划 问题 的混合粒子群 算法
廖 锋 ， 兴宝 高
ＬＩ ＡＯ Ｆ ｎ ＧＡＯ Ｘｉ ｇ ａ ｅ ｇ， ｎ —ｂ ｏ
摘
要： 用粒子群算法求解非线性规划 问题 时不可避免的会产 生不可行点 ， 处理好 不可行 点是 粒子群算法取得 良好优 化结果的关
键。 依据粒子的 目标 函数值与违反约束的程度提 出了一种处理不可行点的合理选择 方案， 并运用融合差分演化 的混合粒子群算法 求解约束优化 问题 ， 数值 实验表 明该算 法的有效性。
ｄ ｇ ｅ ， ｎ ｐ ｌ ｎ ｙ ｒ ｐ ｒｉｌ ｗ ｒ ｏ ｔ ｚ ｔ ｎ ａ ｇ ｒ ｈ ｅ ｒ ｅ ａ ｄ ａ ｐｙ ａ ｈ ｂ ｉ ａ ｃｅ ｓ ａ ｍ ｐ ｉ ａ ｉ ｌ ｏ ｔ ｍ ｃ ｍｂ ｎ ｄ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌ ｅ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ｓ ｌ ｅ ｏ ｓｒ ｅ ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ｄ ｔ ｍｉ ｏ ｉ ｏ ｉｅ ｄ ｆ ｒ ｎ ｉ ｖ ｌ ｔ ｔ ｏｖ ｃ ｎ ｔｉ ｄ ｏ ｔ ａ ｏ ｎ ｍｉａｉ ｏ
ｒ ｕｔ ｈ ｕｈｒ ｐｏ ｏｅ ａ ｅｓｎｂｅ ｓｌ ｔｍ ｔｏ ｏ ｄ ａ ｗｔ ｉｆ ｓ ｌ ｐ ｉ ｓｂ ｓｄ ｏ ｂｅｔｆｎ ｔ ｎ ｖｌｅ ａｄ ｖ ｌ ｅ ｅ ｌ ｅ ａｔｏｓ ｒ ｓ ｎ ｒ ｏａ ｌ ｅｅ ｅ ｄ ｔ ｅｌ ｉ ｎｅ ｉ ｅ ｏ ｔ ａｅ ｎ ｏｊｃ ｕ ｃ ｏ ａ ｎ ｉａ ｓ ． Ｔ ｐ ａ ｃ ｈ ｈ ａｂ ｎ ｉ ｕ ｏｔ
陕西师范大学 数学与信 息科 学学 院 ， 西安 ７ ６ ０２ １ ０
Ｃ ｌ ｇ ｆＭａｈ ｍａｉｓ ａ ｄ Ｉ ｆｒ ｔ ｎ Ｓ ｉｎ ｅ Ｓ ａ ｎ ｉ ｏｍａ ｉｅｓｔ ， ’ｎ ７ ０ ２， ｉａ ｏｌ ｅ ｏ ｔｅ ｔ ｎ ｎ ｍａｉ ｃｅ ｃ ， ｈ ｎ ｘ Ｎ ｒ ｌＵｎｖ ｒｉ Ｘｉａ ６ Ｃｈｎ ｅ ｃ ｏ ｏ ｙ １ ０
粒子群算法的研究现状及其应用
智能控制技术课程论文中文题目: 粒子群算法的研究现状及其应用姓名学号:指导教师：年级与专业：所在学院：XXXX年XX月XX日1 研究的背景优化问题是一个古老的问题，可以将其定义为：在满足一定约束条件下，寻找一组参数值，使系统的某些性能指标达到最大值或最小值。
在我们的日常生活中，我们常常需要解决优化问题，在一定的范围内使我们追求的目标得到最大化。
为了解决我们遇到的最优化问题，科学家，们进行了不懈的努力，发展了诸如牛顿法、共轭梯度法等诸多优化算法，大大推动了优化问题的发展，但由于这些算法的低运行效率，使得在计算复杂度、收敛性等方面都无法满足实际的生产需要。
对此，受达尔文进化论的影响，一批新的智能优化算法相继被提出。
粒子群算法（PSO ）就是其中的一项优化技术。
1995 年Eberhart 博士和Kennedy 博士[1]-[3]通过研究鸟群捕食的行为后，提出了粒子群算法。
设想有一群鸟在随机搜索食物，而在这个区域里只有一块食物，所有的鸟都不知道食物在哪里。
那么找到食物最简单有效的办法就是鸟群协同搜寻，鸟群中的每只鸟负责离其最近的周围区域。
粒子群算法是一种基于群体的优化工具，尤其适用于复杂和非线性问题。
系统初始化为一组随机解，通过迭代搜寻最优值，通过采用种群的方式组织搜索，同时搜索空间内的多个区域，所以特别适合大规模并行计算，具有较高的效率和简单、易操作的特性。
目前使用的粒子群算法的数学描述[3]为：设粒子的寻优空间是m 维的，粒子的数目为ps ，算法的最大寻优次数为Iter 。
第i 个粒子的飞行速度为T i i1i2im v [v v ]= ,,,v ，位置为T i i1i2im x [x x x ]= ,,,，粒子的个体极值T i i1i2im Pbest [,]P = ,P ,P ，全局极值为T i i1i2im Gbest [,]g = ,g ,g 。
粒子群算法的寻优过程主要由粒子的速度更新和位置更新两部分组成，其更新方式如下：i+11122v ()()i i i i i v c r Pbest x c r Gbest x =+−+−；i+1i+1i x x v =+，式中：12c c ，为学习因子，一般取2；12r r ，是均与分布着[0,1]上的随机数。
非线性智能优化算法的研究与应用
非线性智能优化算法的研究与应用第一章研究背景随着信息时代的到来，人类社会已经进入了一个高速变化的时代。
在这个时代里，诸如物流、交通、金融、电力、互联网等领域的问题变得越来越复杂，传统的解决方法已经难以满足实际需求。
这时，非线性智能优化算法便应运而生，被广泛应用在各个领域，且效果显著。
第二章研究内容2.1 定义非线性智能优化算法是指以自适应性、并行性和学习能力为特征的一类计算方法。
该类算法本质上是一种搜索过程，通过迭代更新一组解决问题的可能解，直至找到最优解。
2.2 类型目前，非线性智能优化算法主要分为以下几类：（1）粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）（2）遗传算法（Genetic Algorithm，GA）（3）模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）（4）蚁群算法（Ant Colony Optimization，ACO）（5）人工免疫系统算法（Artificial Immune System，AIS）（6）差分进化算法（Differential Evolution，DE）2.3 应用非线性智能优化算法已经广泛应用于各个领域。
其中，常用的应用包括：（1）组合优化问题，如旅行商问题、装载问题、背包问题等。
（2）连续优化问题，如函数优化、参数优化等。
（3）系统优化问题，如系统参数优化、系统控制优化等。
（4）机器学习问题，如神经网络训练、支持向量机参数调节等。
（5）图像处理问题，如图像分割、图像匹配等。
（6）信号处理问题，如数字滤波、信号降噪等。
第三章研究现状随着计算机技术的快速发展和各种学科领域知识的融合，非线性智能优化算法也得到了广泛的应用。
在各个学科领域中，都有大量优秀的学者进行相应研究，推动了非线性智能优化算法的普及和发展。
3.1 研究机构国内外许多知名高校、研究机构，如中科院计算所、清华大学计算机科学与技术系、中国科技大学计算机科学与工程系、纽约大学人工智能实验室等，都在非线性智能优化算法研究领域拥有重要的研究成果。
解非线性约束规划问题的新粒子群优化算法
【 计算机与通信工程】
解非线性约束规划 问题 的新粒子群优化算 法。
刘 淳安
（ 宝鸡文理学 院 数学系 ， 陕西 宝鸡 ７１ ７ ２０ ） ０
摘要： 给出非线性约束规划问题的一种新解法． 首先把带约束的非线性规划问题转化成为 ２ 目 个 标的优化问题， 在对搜索算子及各种参数进行合理设计的同时， 提出了一种新粒子群优化算法 （Ｓ Ｍ ）最后的数据实验表明该算法对带约束的非线性规划问题求解是非常有效的． Ｔ— ｅ。 关 键 词： 非线性规划 ； 约束规划； 粒子群优化
收稿 日期 ：０６— ９—１ ２０ ０ ６ 基金项 目： 陕西省 自 然科学基础研究计 划项 目（０６ １）宝鸡文 理学院重点科研 计划项 目（Ｋ５８ ； 鸡文理 学 ２０Ａ２ ； Ｚ ２４ ）宝 院院级科研计划项 目（ ２ １） Ｊ ５７ ． Ｋ
・
作者简介： 刘淳安（９２ ， 陕西淳化县人， １７ 一）男， 硕士， 讲师 ， 主要从事最优化、 进化算法与人工智能研究 ．
ｗ ｔ ｅｎ ｎｉｅｒｃ ｎｔ ｉｅ ｐｉ ｚｔ ｎ ｐｏ ｌ ． ｉ ｔ ｏ ｎａ ｏ ｓ ａｎ ｏ ｔ ａ ｉ ｒｂｅ ｈｈ ｌ ｒ ｄ ｍｉ ｏ ｍｓ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌ ｅｒｐｏ ｒｍｍｉｇ ｏ ｓ ａｎ ｒｇａｍｆ ｇ ａｔ ｌ ｗ ｒ ｏ ｔ ｚｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎｉ ａ ｒｇａ ｎ ｎ ；ｃ ｎｔ ｉｔ ｏ ｒｎ ｉ ；ｐ ｒｃｅｓ ａｍ ｐｉ ａｉ ｒ ｐ ｎ ｉ ｍｉ ｏ
ｉ ｍ Ｔ — ）ｉｆ ａ ｙ ｒ ｏｅ Ｔ ｅ ｍ ｒ ａ ｅｐ ｒ ｅ ｔｈｗ ａ ｔｅ ｇ ｉ ｍ ｉ ｅ ｃｖ ｅｌ ｇ ｆｈ （ ＳＭＣ ｓｉ ｌ ｐｓ ． ｈ ｕ ｅ ｃｌ ｘｅ ｍ ｎ ｓｏ ｓｈ ｔｈ ｌ ｒｈ ｅｔ ｅ ｎｄａ ｎ ｔ ｌｐ ｎ ｏ ｄ ｎ ｉ ｉ ｔ ａｏｔ ｓｆ ｉ ｉ ｉ
一种求解非线性二层规划的粒子群算法
［ 键 词 ］ 非 线 性 二 层 规 划 ；Ｋ Ｔ 条 件 ；罚 函数 法 ；粒 子群 算 法 关 — ［ 图 分 类 号 ］ ０ ２ 中 ２４ ［ 献标识码］Ａ 文 ［ 章 编 号 ］ １ ７ —１０ （０ ２ ４ ０ １ ０ 文 ６ ３ ４ ９ ２ １ ）０ 一Ｎ ０ — ３
二 层规 划是 一种 具 有递 阶结 构 的系统 优化 问题 ，其数 学模 型可 以表 示为 ：
（ ＋ １ 一 ｃ ・ （ ）＋ Ｃ ｆ ） ｃ ￡ Ｊ １・ｒ ｎ ） ・（ ｂ ｓｆ ｚ ）＋ Ｃ ａ ｄ（ ｐ ｅｔ— ２・ｒ ｎ （ ａ ｄ ）・（ ｂ ｓ — ｚ ） ｇ ｅｔ
．
（ ） ３ （ ） ４
考 虑如 下形 式 的二层 二 次规 划 问题 ：
ｍ ｎ Ｆ ｘ 一 ｄｘ＋ｄ ｙ （ ） （‘ ｙ ） ｉ （ ，） Ｔ ＋ ｚ ， Ｒ ｚ ，Ｔ ｒ
Ｓ ｔ ｍｉ ｆ（ ｊ ．． ｎ ｘ， ）一 ｃ ＋ Ｔ ＋ （ ， Ｑ（ ， ， ２ Ｔ ２ Ｙ） ｚ Ｙ） Ｓｔ ．． ＋ ≤ ｂ （） １
求 解该 类 问题 的粒 子群 算法 。
１ 基 本 概 念
记 ＝Ｑ ］ 中。 。 ∈ Ｑ ×则层标数（）以为 Ｑ ［ ， Ｑ ｍ Ｒ一 ∈ｌ 下 目函 厂，可写： ： 其 ∈ ， Ｑ ， ｚ
ｆ ｘ， （ ）一 ｃ ＋ Ｔ ２ ＋ Ｘ Ｑ ｚ＋ （Ｑ１ ） Ｙ＋Ｙ Ｑ Ｙ ‘２ ｒ ２ ｚ ｒ ｏ （） ２ 定 义 １ 称集 合 Ｓ ＝ ｛ ｚ， ）Ｊ ≥ ０ Ｙ≥ ０ Ａ （ Ｙ ， ， ｘ＋ Ｂ ｙ≤ ｂ ）为 二层 二 次 规 划 问 题 的 约 束 域 ； 合 集
［ 收稿日期］２ １ ０ —２ ０ ２— ２ ６ ［ 基金项 目］国家自然科学基金项 目 （ ０ ２ １８ 。 １ ９ ６ ６ ） ［ 作者简介］朱智慧 （ ９ ２一 ，男 ，２ ０ １８ ） ０ ２年大学毕业 ，讲师 ，硕士生 ，现主要从事最优化理论与算法方面的教学与研究工作。
多变量约束优化方法
多变量约束优化方法多变量约束优化问题是指在给定一组目标函数和一组约束条件下，通过调整多个自变量的取值，找到使目标函数最优化且满足约束条件的解。
这类问题在实际应用中非常常见，如工程设计、金融管理、运筹学、物流和供应链管理等领域。
传统的优化方法对于多变量约束优化问题求解存在一些问题，如计算复杂度高、易陷入局部最优解等。
因此，为了有效解决这类问题，研究者们提出了多种多变量约束优化方法，下面将介绍其中几种主流的方法。
一、线性规划方法（Linear Programming, LP）线性规划是最简单且常用的多变量约束优化方法之一、它的目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划问题可以通过单纯形法（Simplex Method）或内点法（Interior Point Method）求解。
虽然线性规划方法的计算复杂度比较低，但它只适用于线性目标函数和线性约束条件的情况。
二、非线性规划方法（Nonlinear Programming, NLP）非线性规划方法可以处理目标函数和约束条件是非线性的情况。
常用的非线性规划方法有梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代的方式，在每一步计算目标函数在当前点的梯度，并根据梯度的信息调整自变量的取值，以逐步逼近最优解。
非线性规划方法的计算复杂度较高，但是可以处理复杂的实际问题。
三、遗传算法（Genetic Algorithm, GA）遗传算法是一种通过模拟生物进化过程的优化方法。
它通过模拟自然选择、交叉和变异等过程，逐步解空间中的最优解。
遗传算法具有全局收敛性和并行计算的特点，对于复杂的多变量约束优化问题有较好的适应性。
四、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）粒子群优化算法是一种通过模拟鸟群或鱼群的行为进行优化的方法。
在粒子群优化算法中，每个个体（粒子）的位置代表潜在解，速度代表解的方向。
粒子的位置和速度通过迭代的方式进行更新，直到找到最优解。
粒子群优化算法的改进研究及在石油工程中的应用
粒子群优化算法在多个工程领域中得到了成功的应用，以下是一些典型的例 子：
1、优化问题：粒子群优化算法在函数优化、多目标优化等优化问题中发挥 出色，如旅行商问题、生产调度问题等。
2、控制问题：粒子群优化算法在控制系统设计和优化中也有广泛的应用， 如无人机路径规划、机器人动作控制等。
3、机器学习问题：粒子群优化算法在机器学习领域中用于参数优化、模型 选择等问题，如支持向量机、神经网络等模型的优化。
粒子群优化算法的基本原理
粒子群优化算法是一种基于种群的随机优化技术，通过模拟鸟群、鱼群等群 体的社会行为而设计的。在粒子群优化算法中，每个优化问题的解都被看作是在 搜索空间中的一只鸟（或鱼），称为“粒子”。每个粒子都有一个位置和速度， 通过不断更新粒子的位置和速度来搜索最优解。
粒子群优化算法的实现步骤
粒子群优化算法在石油工程中的 应用
石油工程中经常遇到各种优化问题，例如钻井轨迹优化、生产计划优化、储 层参数反演等。粒子群优化算法在解决这些优化问题中具有广泛的应用前景。以 下是一些具体的应用案例：
1、钻井轨迹优化：在石油钻井过程中，需要确定钻头的钻进轨迹以最大限 度地提高油气资源的采收率。粒子群优化算法可以用于优化钻井轨迹，以降低钻 井成本和提高采收率。
遗传算法与粒子群优化算法的改 进
遗传算法的改进主要包括增加基因突变概率、采用不同的编码方式、调整交 叉和突变操作、增加选择策略的多样性等。这些改进能够提高遗传算法的搜索能 力和收敛速度，使得其更加适用于求解各种复杂的优化问题。
粒子群优化算法的改进主要包括增加惯性权重、调整速度和位置更新公式、 增加约束条件、引入随机因素等。这些改进能够提高粒子群优化算法的全局搜索 能力和收敛速度，使得其更加适用于求解各种非线性优化问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
XX大学
智能优化算法课内实验报告书
院系名称：
学生姓名：
专业名称：
班级：
学号：
时间：
非线性规划问题的粒子群算法
1.1背景介绍
1.1.1 非线性规划简介
具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要的分支，非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的机制问题且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。
1951年H.W库恩和A.W塔克发表的关于最优性条件的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。
在50年代可得出了可分离规划和二次规划的n种解法，它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。
50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。
非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。
非线性规划问题广发存在于科学与工程领域，是一类比较难以解决的优化问题，没有普遍使用的解法。
传统的求解该问题的方法（如罚函数，可行方向法，以及变尺度法等）是基于梯度的方法所以目标函数与约束式必须是可微的，并且这些方法只能保证求的局部最优解。
1.1.2 粒子群算法简介
粒子群算法（Particle Swarm optimization，PSO）的基本概念源于对于鸟群捕食行为的简化社会模型的模拟，1995年由Kenndy和Eberhart等人提出，它同遗传算法类似，通过个体间的协作和竞争实现全局搜索系统初始化为一组随机解，称之为粒子。
通过粒子在搜索空间的飞行完成寻优，在数学公式中即为迭代，它没有遗传算法的交叉及变异算子，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO算法的改进主要在参数选择、拓扑结构以及与其他优化算法相融合方面。
据此当前典型的改进算法有：自适应PSO算法、模糊PSO算法、杂交PSO 算法、混合粒子算法（HPSO）和离散PSO算法等等。
其中自适应和模糊PSO 算法是EberhartShi研究了惯性因子ω对优化性能的影响，发现较大的ω值有利于跳出局部极小点，较小的ω值有利于算法的收敛。
自适应PSO算法通过线性地减少ω值动态的调整参数ω，而模糊PSO算法则在此基础上利用模糊规则动态调
整参数ω的值，即构造一个2输入、1输出的模糊推理机来动态地修改惯性因子ω。
杂交和混合粒子群算法（HPSO ）是受遗传算法、自然选择机制的启示，将遗传算子与基本PSO 相结合而得。
杂交PSO 在基本PSO 中引入了杂交算子，两者均取得了满意的结果，改善了算法的性能。
基本PSO 算法是求解连续函数优化的有力工具，但对离散问题却无能为力。
因此Kenndy 和Eberhart 发展了离散PSO 算法，用于解决组合优化问题等。
在一定程度上完善发展了基本PSO 算法，并将其应用于旅行商问题（TSP ）的求解，取得了较好的结果。
目前PSO 已经广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其它遗传算法的应用领域。
最初应用到神经网络训练上，在随后的应用中PSO 又可以用来确定神经网络的结构。
一般说来，PSO 比较有潜在的应用包括系统设计、多目标优化、分类、模式识别、调度、信号处理、决策、机器人应用等。
其中具体应用实例是非线性规划的粒子群算法。
总之，PSO 算法的应用十分广泛，它有着比较好的发展前景，值得做进一步的研究。
4 基本粒子群算法
4.1 粒子群算法简介
粒子群算法是一个非常简单的算法，且能够有效的优化各种函数。
从某种程度上说，此算法介于遗传算法和进化规划之间。
此算法非常依赖于随机的过程，这也是和进化规划的相识之处，此算法中朝全局最优和局部最优靠近的调整非常的类似于遗传算法中的交叉算子。
此算法还是用了适应值的概念，这是所有进化计算方法所共有的特征。
在粒子群算法中，每个个体称为一个“粒子”，其实每个粒子代表着一个潜在的解。
例如，在一个D 维的目标搜索空间中，每个粒子看成是空间内的一个点。
设群体由m 个粒子构成。
m 也被称为群体规模，过大的m 会影响算法的运算速度和收敛性。
PSO 算法通常的数学描述为：设在一个D 维空间中，由m 个粒子组成的种群1(,...,,...,)i D X x x x =，其中第i 个粒子位置为12(,,...,)T i i i iD x x x x =，其速度为12(,,...,,...,)T i i i id iD V v v v v =。
它的个体极值为12(,,...,)T i i i iD p p p p =，种群的全局极值为12(,,...,)T g g g gD p p p p =，按照追随当前最优例子的原理，粒子i x 将按(4.1)、(4.2)式改变自己的速度和位置。
))()()(())()()(()()1(2211t x t p t r c t x t p t r c t v t v ij gj ij ij ij ij -+-+=+ (4.1) )1()()1(++=+t v t x t x ij ij ij (4.2)式中j=1,2,…,D ，i=1,2,…m ，m 为种群规模，t 为当前进化代数，12,r r 为分布于[0,1]之间的随机数；12,c c 为加速常数。
从式(4.1)中可知，每个粒子的速度由三部分组成：。