粒子群优化算法的收敛性分析及其混沌改进算法

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一种改进的混沌粒子群算法

一
却付出了算法容易陷入局部最优的代价．而且在多峰值问题的测试中容易过早收敛王岁花四等提出了一类新颖的ＰＯ算法．该算法在基本ＳＰＯ算法的粒子位置更新公式中增加了一个积分控制项．积分Ｓ控制项根据每个粒子的适应值决定粒子位置的变化．改善了Ｐ０算法摆脱局部极小点的能力围Ｓ柯晶同等提出了一种改进粒子群优化算法（Ｓ．ＳＭＰＯ）ＭＰＯ同时采用局部模式压缩因子方法和全局模式惯性权重方法以获得相对较高的性能，对ＰＯ算法可能出现的停滞现象．Ｓ针ＳＭＰＯ引入了基于全局信息反馈的重新初始化机制阍杨俊杰等１混沌优化搜索技术引入到ＰＯ算法中．出７１把Ｓ提了基于混沌搜索的粒子群优化算法此外，ｖｊｒ等网出杂交（ｙｒ）ＳＩｂｅｇＭ￣提ｈｂｉＰＯ算法．ｉｐｉｄＣｕｒａｎＧ等朋出智能ＰＯ算法．ａｅｅｇ提ＳＶｎｄｎＢｒｈＦ等［提出协同ＰＯＩｑＳ算法等。３改进的混沌粒子群算法．为此，文提出了改进的混沌粒子群算法。本在粒子群算法中引入混沌思想从而改善算法性能。实验结果表明。文算法效果本
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混沌映射优化粒子群

混沌映射优化粒子群
混沌映射优化粒子群算法是一种基于混沌映射的粒子群优化算法。

混沌映射，如Logistic 映射，被用于生成随机数序列，以增加算法的随机性和多样性。

该算法通过设计一种无质量的粒子来模拟鸟群中的鸟，每个粒子仅具有两个属性：速度和位置。

然后通过迭代找到最优解。

在每一次的迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”(pbest，gbest)来更新自己。

在找到这两个最优值后，粒子通过下面的公式来更新自己的速度和位置。

混沌映射优化粒子群算法的具体步骤如下：
1. 初始化粒子群，包括每个粒子的位置和速度。

2. 采用混沌映射生成随机数序列，用来更新每个粒子的速度和位置。

3. 根据粒子的当前位置和历史最优位置来更新粒子的历史最优位置。

4. 根据所有粒子的历史最优位置来更新全局最优位置。

5. 根据更新后的速度和位置，继续迭代。

该算法具有简单、容易实现并且没有许多参数的调节等优势，已被广泛应用于函数优化、神经网络训练、模糊系统控制以及其他遗传算法的应用领域。

混沌优化算法

混沌优化算法1. 简介混沌优化算法（Chaos Optimization Algorithm，简称COA）是一种基于混沌理论的全局优化算法。

它通过模拟混沌系统中的非线性动力学过程，实现对目标函数的最小化或最大化。

COA算法具有快速收敛、全局搜索能力强等特点，在解决复杂优化问题方面具有很大的潜力。

2. 混沌理论基础混沌理论是描述非线性系统动力学行为的数学理论。

在混沌系统中，微小的初始条件差异会导致系统演化出完全不同的结果，这种现象被称为“蝴蝶效应”。

混沌系统具有无序、不可预测、灵敏依赖于初始条件等特点。

3. COA算法原理COA算法基于混沌系统中的非线性动力学过程，通过引入粒子群搜索和随机扰动机制来实现全局优化。

3.1 粒子群搜索COA算法中，将待求解问题看作一个目标函数在多维空间中的最小值寻找问题。

每个个体（粒子）代表一个潜在解，并通过自身的经验和群体的协作来搜索全局最优解。

粒子群搜索算法的核心思想是模拟鸟群觅食的行为，每个粒子根据自身经验和邻居的信息更新自己的位置。

3.2 随机扰动COA算法引入随机扰动机制，通过在搜索过程中引入一定程度的随机性，增加算法的多样性，从而避免陷入局部最优解。

随机扰动可以通过改变粒子个体位置、速度等方式实现。

3.3 算法流程COA算法流程如下：1.初始化种群：随机生成一定数量的粒子，并初始化其位置和速度。

2.计算适应度：根据目标函数计算每个粒子的适应度。

3.更新全局最优解：根据适应度更新全局最优解。

4.更新个体最优解：根据适应度更新每个粒子自身的最优解。

5.更新速度和位置：根据粒子群搜索和随机扰动更新粒子的速度和位置。

6.判断终止条件：如果满足终止条件，则输出全局最优解；否则，返回步骤3。

4. COA算法特点COA算法具有以下特点：•全局搜索能力强：COA算法通过引入粒子群搜索和随机扰动机制，能够在解空间中进行全局搜索，避免陷入局部最优解。

•快速收敛：COA算法通过模拟混沌系统的非线性动力学过程，具有快速收敛的特点，能够在较短时间内找到较优解。

一种改进的混沌粒子群优化算法

ＰＳＯｏｒａｄｊｕｓｔｉｎｇｒｅｌａｔｉｖｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｔｏｓｏｌｖｅｔｈｉｓｐｏｂｒｌｅｍ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｏｐｒｏｓｅｓａｎｉｍｐｏｖｒｅｄｃｈａｏｓ
２０１３年第１０期
文章编号：１００９— ２５５２（２０１３）１０— ０００９—０４中图分类号：ＴＰ３０１．６文献标识码：Ａ
一
种改进的混沌粒子群优化算法
汤可宗，丰建文
（景德镇陶瓷学院信息工程学院，江西景德镇３３３０００）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｉｔｍｉｚａｉｔｏｎ（ＰＳＯ）ｉｓａｐｏｐｕｌａｔｉｏｎ — ｂａｓｅｄｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｇｌｏｂａｌｏｐｉｔｍｉｚａｔｉｏｎ
摘
要：粒子群优化算法（ＰＳＯ）自提出以来，已经被广泛地应用于求解各类复杂的优化问题，过去对粒子群算法的研究主要集中在融入新的优化方法或对其相关参数进行调整，但这样只会使得ＰＳＯ更加复杂。针对这一问题，文中提出一种改进的混沌粒子群优化算法（ＩＣＰＳＯ），ＩＣＰＳＯ从粒子群优化算法的时间与寻优实时角度出发（即在较短的时间内获得较好的解），对粒子速度更新算子进行了简化，每隔一定代数后，在最优解邻近区域引入混沌扰动以避免种群陷入局部最优解。数值实验结果表明：提出的算法相对于文献给出的ＰＳＯ改进算法，不仅能够获得较好

tent对粒子群优化算法的改进

tent对粒子群优化算法的改进粒子群优化算法是一种常用的元启发式优化算法，用于解决许多实际问题。

然而，该算法在解决某些特定问题时可能存在一些局限性和不足之处。

为了克服这些问题，并提高算法的性能，研究人员提出了许多对粒子群优化算法的改进方法。

本文将一步一步回答如何改进粒子群优化算法的问题。

第一步：了解粒子群优化算法的基本原理和流程在改进粒子群优化算法之前，我们首先需要了解该算法的基本原理和流程。

粒子群优化算法是模拟鸟群觅食行为而提出的一种优化算法。

在算法中，候选解被表示为粒子的位置和速度。

这些粒子之间通过信息传递和个体经验来更新其位置和速度，以寻找到最优解。

基本流程如下：1. 初始化粒子的位置和速度。

2. 计算每个粒子的适应度值。

3. 更新每个粒子的最优个体经验值和群体经验值。

4. 根据最优个体经验值和群体经验值更新粒子的速度和位置。

5. 重复执行步骤3和步骤4，直到满足终止条件为止。

6. 返回最优解。

第二步：评估粒子群优化算法的不足之处在进行改进之前，我们需要了解粒子群优化算法可能存在的一些不足之处。

以下是一些常见的问题：1. 可能陷入局部最优解：由于群体经验和个体经验的更新是基于局部搜索，算法可能会陷入局部最优解而无法找到全局最优解。

2. 算法收敛速度慢：由于粒子的移动是基于速度和位置的更新，算法可能需要很多次迭代才能收敛到最优解。

3. 对参数敏感：粒子群优化算法中的参数选择对算法的性能影响很大，但很难确定最佳参数值。

4. 对问题特征的要求高：粒子群优化算法对问题的连续、可微分和单峰性要求比较高，对于非连续、非可微分或多峰性问题效果可能较差。

第三步：改进粒子群优化算法的方法为了改进粒子群优化算法，研究人员提出了许多方法。

以下是一些常用的改进方法：1. 多策略参数调整：改进参数调整策略，尝试不同的参数组合，以提高算法性能。

可以使用自适应参数调整策略或使用启发式算法来选择最佳参数组合。

2. 群体多样性维护：维持群体的多样性可以帮助算法逃离局部最优解。

粒子群算法的混沌优化

２计算ｆｔｅｓｉ］）ｉｎｓ［，并以此初始化ｆｔｅｓｉ］ｉｎｓ［３以种群中最好适应值的粒子标号初始化ｇｅｔ）ｂｓ：４以ｘ［］）ｉ初始化尸［ｉ：＾］５对每个粒子计算其适应值ｆｔｅｓ］若ｆｔｅｓ）ｉｎｓ［ｉ，ｉｎｓ［ｉ］Ｐ。ｉｎｓ＜＾ｔｅｓ．［ｉ］，则Ｐｆｔｅｓ￣，ｉｎｓ［ｉ］＝ｉｎｓ［ｉ，且［ｉ＝ｉｆｔｅｓＪ］ｘ［］：６对每个粒子，更新ｖ［］ｘ［］）ｉ和ｉ；７搜索ｇｅｔ：Ｐｅｔｆｔｅｓｉ＜ｂｓｉｎｓ［Ｂｓ］）Ｂｓ值若ｂｓｉｎｓ［］ＰｅｔｆｔｅＳｇｅｔ，则
［关键词］子群算法粒中图分类号：Ｐ９Ｔ３１算法优化文献标识码：Ａ
文章编号：０９９４（００３— ３８０ｉ０－１Ｘ２１）００１— １
１引言师法自然，人类受到生物系统、物理系统、社会系统等运行机制启发，建立和发展起一个个研究工具来解决和攻克研究过程中遇到的困难。典型的有遗传算法，人工神经网络，粒子群、蚁群算法等。计算智能领域中有两种基于群体智能的算法蚁群优化算法和粒子群优化算法。前者是对蚂蚁群落搜索食物行为的模拟，后者就是本文将要介绍的粒子群优化算法。２ＰＯ算法的思想厦原理Ｓ粒子群优化算法（ａｔｃｅＳａｍＯｔｍｚｔｏ，ＰＯ是由ＥｅｈｒＰｒｉｌｗｒｐｉｉａｉｎＳ）ｂｒａｔ和Ｋｎｅｙ明的一种集群智能方法，是演化计算领域中的一个分支，源于ｅｎｄ发鸟群和鱼群行为的研究与基于达尔文 “ 适者生存，优胜劣汰 ”进化思想的遗传算法不同的是，子群优化算法是通过粒子群之间的协作来寻求最优解的。粒自然界中一些生物的行为呈现群体特征，可以用简单的几条规则将这种群体行为在计算机中建模，实际上就是在计算机中用简单的几条规则来建立粒子的运动模型，但这个群体的行为可能很复杂。例如，Ｒｙｏｄ使用了下ｅｎｌｓ列三个规则作为简单的行为规则：１向背离最近的同伴的方向运动：）２向目的地运动：）３）向群体的中心运动。这即是著名的Ｂｉ（ｉｄＯｄ模型。在这个群体中每个个体的运动都ｏｄＢｒ～ｉ）遵循这三条规则，通过这个模型来模拟整个群体的运动。从生物群集行为中得到启发，ＰＯ算法应用于求解优化问题。在ＰＯＳＳ算法中，每个优化问题的潜在解都可以想象成ｄ维搜索空间上的一个点，我们称之为 “ 子 ” （ａｔｃｅ。粒子在搜索空间中以一定的速度飞行，这个速粒Ｐｒｉｌ）度根据它本身的飞行经验和同伴的飞行经验来动态调整。所有粒子都有一个被目标函数决定的适应值（ｉｎｓａｕ）并且知道自己到目前为止发现Ｆｔｅｓｖｌｅ，的最好位置（ａｔｃｅｂｓ，记为ｐｅｔ和当前的位置，ｐｒｉｌｅｔｂｓ）看作是粒子自己的飞行经验。另外，每个粒子还知道迄今整个群体中所有粒子发现的最好位置（ｌｂｌｂｓ，记为ｇｅｔ（ｂｓ是在ｐｅｔ中的最好值）ｇｏａｅｔｂｓ）ｇｅｔｂｓ，看作是粒子的同伴的经验。每个粒子使用下列信息改变当前位置：１当前位置：）２当前速度：）３当前位置与自己最好位置之间的距离：）

粒子群优化算法及其应用

近几十年来面对信息时代海量数据的出现数据挖掘技术应运而生并得到迅猛发展其中关联规则挖掘作为数据挖掘的重要模式之一它所得到的知识能为支持决策提供依据有着极其重要的研究价值
华中科技大学硕士学位论文粒子群优化算法及其应用姓名：王雁飞申请学位级别：硕士专业：软件工程指导教师：陆永忠 20081024
1.2
1.2.1
课题研究现状
粒子群优化研究现状粒子群优化算法是 1995 年由 Kennedy 和 Eberhart 源于对鸟群和鱼群捕食行为的
1
华中科技大学硕士学位论文
简化社会模型的模拟而提出的一种基于群集智能的演化计算技术[1,2]。该算法具有并行处理、鲁棒性好等特点，能以较大的概率找到问题的全局最优解，且计算效率比传统随机方法高，其最大的优势在于实现容易、收敛速度快，而且有深刻的智能背景，既适合科学研究，又适合工程应用。因此，PSO 一经提出立刻引起了演化计算领域研究者的广泛关注，并在短短几年时间里涌现出大量的研究成果，在函数优化、神经网络训练、模糊系统控制、分类、模式识别、信号处理、机器人技术等领域获得了成功应用。 PSO 算法是基于群集智能理论的优化算法，通过群体中粒子间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索。与进化算法比较，粒子群优化算法不仅保留了基于种群的全局搜索策略，而且又避免了复杂的遗传操作，它特有的记忆使其可以动态跟踪当前的搜索情况调整其搜索策略。与进化算法比较，PSO 算法是一种更高效的并行搜索算法，但其不足之处是在某些初始化条件下易陷入局部最优，且搜索精度比遗传算法低[3]。由于 PSO 算法概念简单，实现容易，短短几年时间，PSO 算法便获得了很大的发展，但是，其数学基础不完善，实现技术不规范，在适应度函数选取、参数设置、收敛理论等方面还存在许多需要深入研究的问题。文献[4-6]展开了一系列研究，取得了一些建设性的成果，如关于算法收敛性的分析。围绕 PSO 的实现技术和数学理论基础，以 Kennedy 和 Eberhart 为代表的许多专家学者一直在对 PSO 做深入的探索，尤其在实现技术方面，提出了各种改进版本的 PSO。对 PSO 参数的研究，研究最多的是关于惯性权重的取值问题。PSO 最初的算法是没有惯性权重的，自从 PSO 基本算法中对粒子的速度和位置更新引入惯性权重[7,8]，包括 Eberhart、Shi 等在内的许多学者对其取值方法和取值范围作了大量的研究[9-11]。目前大致可分为固定惯性权重取值法、线性自适应惯性权重取值法、非线性惯性权重取值法[12-14]等。 PSO 是一种随机优化技术，其实现技术与遗传算法(GA)非常相似，受 GA 的启发，人们提出多种改进的 PSO 算法，如带交叉算子的 PSO、带变异算子的 PSO、带选择算子的 PSO 等等。文献[15]在粒子群每次迭代后，通过交叉来生成更优秀的粒子，

粒子群算法课程设计

粒子群算法课程设计一、教学目标本课程旨在让学生了解和掌握粒子群算法的基本原理和应用。

通过本课程的学习，学生将能够：1.知识目标：理解粒子群算法的数学模型、运算规则和优化原理；掌握粒子群算法的参数设置和调整方法。

2.技能目标：能够运用粒子群算法解决实际优化问题，如函数优化、神经网络训练等；具备对比分析和评估粒子群算法性能的能力。

3.情感态度价值观目标：培养学生的创新意识和团队协作精神，激发对和优化算法的兴趣，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.粒子群算法的基本概念和原理：介绍粒子群算法的起源、发展及其在优化领域的应用。

2.粒子群算法的数学模型：讲解粒子群算法的数学模型，包括粒子、速度、位置等基本元素，以及算法的运算规则。

3.粒子群算法的改进和优化：介绍粒子群算法在不同领域的改进措施，如惯性权重、动态调整策略等，并分析各种改进算法的性能。

4.粒子群算法的应用案例：通过实际案例，使学生了解粒子群算法在函数优化、神经网络训练等方面的应用。

5.粒子群算法的性能评估与优化：分析粒子群算法的性能指标，如收敛性、全局搜索能力等，并探讨如何调整算法参数以提高性能。

三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：教师讲解粒子群算法的基本概念、原理和应用，引导学生掌握算法的核心要点。

2.案例分析法：通过分析实际案例，使学生了解粒子群算法在解决优化问题中的应用和效果。

3.实验法：让学生动手实践，调整算法参数，对比分析不同算法的性能，提高解决问题的能力。

4.讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得和经验，培养团队协作精神和创新意识。

四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：《粒子群算法及其应用》等相关教材，为学生提供系统性的学习资料。

2.参考书：提供相关领域的参考书籍，拓展学生的知识面。

3.多媒体资料：制作PPT、教学视频等多媒体资料，提高课堂趣味性和直观性。

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(大连理工大学计算机系, 辽宁大连 116023)
摘要: 分析了粒子群优化算法的收敛性, 指出它在满足收敛性的前提下种群多样性趋于减小, 粒子将会因速度降低而失去继续搜索可行解的能力; 提出混沌粒子群优化算法, 该算法在满足收敛性的条件下利用混沌特性提高种群的多样性和粒子搜索的遍历性, 将混沌状态引入到优化变量使粒子获得持续搜索的能力. 实验结果表明混沌粒子群优化算法是有效的, 与粒子群优化算法、遗传算法、模拟退火相比, 特别是针对高维、多模态函数优化问题取得了明显改善. 关键词: 粒子群优化算法; 混沌; 多模态函数优化问题; 遗传算法; 模拟退火算法中图分类号: T P301. 6 文献标识码: A
收稿日期: 2005205208; 修回日期: 2005208226. 基金项目: 国家自然科学基金项目 (60373095) ; 国家 973 计划项目 (2100CCA 00700) ; 教育部科学基金项目 (KP0302). 作者简介: 刘洪波 (1971—) , 男, 武汉人, 博士, 讲师, 从事进化计算、神经网络等研究; 王秀坤 (1945—) , 女, 辽宁辽阳
1) +
Υ + x (1) # i, j i, j
Υ . x (2) 3 i, j j
(3)
令
A=
1+ w -
Υ - (1) i, j
Υ(2) i, j
1
-w 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Υ + Υ x (1) # i, j i, j
x (2) 3
i, j j
0
,
0
0
1
则式 (3) 的齐次矩阵形式为
x i, j ( t + 1)
式 (3) 可写为
x i, j ( t) =
k1 +
Α k t 2 i, j
+
k
3
Βt i,
j.
(6)
同理可得
v i, j ( t) =
Α h t 1 i, j
+
h
2
Βt i,
j.
(7)
如果 (1 + w -
Υ - (1) i, j
Υ(2) i, j
)
2
≥
4w
,
则
Χ,
Α,
Β为
实数; 如果 (1 + w -
正态分布的随机数, k = 1, 2, 转 S tep 2.
粒子群在 d 维解空间搜索, 粒子处在一定的位
置上, 由一个适应函数 f (x ) 决定它的适应值, 并有
一个飞行速度直接影响它每次飞翔的距离. 初始时
一群粒子随机地处在解空间中的不同位置, 然后根
据式 (1) 和 (2) 来更新自己的速度和位置, 其中
差异比较; 第 3 项是粒子群行为差异比较; 后两项合
称为粒子的“意识”.
3 粒子群优化算法的收敛性分析
文献[ 10 ] 对粒子群优化算法中粒子轨迹收敛
进行了深入分析, 本文在此基础上进一步分析粒子
的速度对算法收敛性的影响.
假定
Υ(k ) i, j
(
t)
,
x
# i,
j
(
t)
,
x
3 j
( t)
人, 教授, 博士生导师, 从事进化计算、机器学习等研究.
第6期
刘洪波等: 粒子群优化算法的收敛性分析及其混沌改进算法
637
混沌状态引入到优化变量使粒子获得继续搜索的能
力.
2 粒子群优化算法
粒子群优化算法寻优的过程被看成是鸟群协
同觅食, 其目标就是全局最优解. 其算法描述如下:
Step 1: 设优化问题的定义域为 [ - r, r ], 维度
Convergence Ana lysis of Particle Swarm O ptim iza tion and Its Im proved A lgor ithm Ba sed on Chaos
L IU H ong 2bo, W A N G X iu 2kun, TA N G uo2z hen
在, 即粒子的轨迹是发散的;
当 ‖Α‖ <
1 且 ‖Β‖ <
1 时, 有 lim x ( t) = t→+ ∞
k1,
粒子的轨迹是收敛的;
当m ax (‖Α‖, ‖Β‖) =
f (x 1 ( t) ) , …, f (x n ( t) ) ).
Step 4: 针对每个粒子的每一维度执行个性算
子、自意识算子、群意识算子联合操作, 即
v i, j ( t + 1) =
w v i, j ( t) +
Υ(1) i, j
( t)
(x
# i,
j
(
t)
-
x i, j ( t) ) +
Υ - (1) i, j
Υ ) < (2) 2 i, j
4w , 则 Χ, Α, Β为
复数. 为了讨论方便, 如果 Χ, Α, Β 为实数, ‖Α‖,
‖Β‖ 分别表示 Α, Β 的绝对值; 如果 Χ, Α, Β 为复数,
‖Α‖, ‖Β‖ 分别表示 Α, Β 的模值.
定理 1 (粒子群优化算法收敛定理) 粒子群优
对算法收敛性所产生的影响[9, 10 ], 以及惯性因子的更新和种群拓扑结构的改进[11, 12 ], 而深入分析粒子的速度对算法收敛性的影响并给出其具体的证明并不多见. 本文从理论上分析粒子的速度对算法收敛性的影响, 并给出了证明. 同时提出了混沌粒子群优化算法, 该算法在满足收敛性的条件下利用混沌的伪随机性、对初始值敏感性和遍历性引导粒子群中的粒子搜索, 提高种群的多样性和粒子搜索的遍历性, 将
Υ(2) i, j
( t)
(x
3 j
( t)
-
x i, j ( t) ) ,
(1)
x i, j ( t + 1) = x i, j ( t) + v i, j ( t + 1).
(2)
其中: 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ d , w 通常是小于或等于 1
的正常数,
Υ(k ) i, j
=
ckU k (0, 1) , U k (0, 1) 是 [ 0, 1 ] 区间
化算法是收敛的, 当且仅当 m ax (‖Α‖, ‖Β‖) ≤
1. 证明不失一般性, 忽略具体维度标识, 对式
(6) 求极限有
lim x ( t) =
t→+ ∞
lim
t→+ ∞
(k
1
+
k 2Αt +
k 3Βt) =
k1 +
k2
lim Αt
t→+ ∞
+
k3
lim Βt).
t→+ ∞
当 ‖Α‖ > 1 或 ‖Β‖ > 1 时, lim x ( t) 不存 t→+ ∞
第 21 卷第 6 期
V o l. 21 N o. 6
控制与决策
C on trol and D ecision
2006 年 6 月
J un. 2006
文章编号: 100120920 (2006) 0620636205
粒子群优化算法的收敛性分析及其混沌改进算法
刘洪波, 王秀坤, 谭国真
为 d , 令粒子最大速度 vm ax = r. t = 0 时, 对 n 个 d 维粒子的位置和速度进行初始化, 令 v i, j (0) = U (- 1, 1) vmax, x i, j (0) = U (- 1, 1) 3 r, 其中 U (- 1, 1) 是
[ - 1, 1 ] 区间正态分布的随机数.
x i, j ( t)
x i, j ( t) = A x i, j ( t - 1) .
(4)
1
1
式 (4) 中系数矩阵的特征多项式为
(1 -
Κ) (w -
Κ(1 + w -
Υ - (1) i, j
Υ ) (2) i, j
+
Κ2 ).
(5)
该特征多项式存在三个根值, 即
Κ= 1,
Αi, j = 1 + w -
(D ep a rtm en t of Com p u ter, D a lian U n iversity of T echno logy, D a lian 116023, Ch ina. Co rresponden t: L IU Hong2bo , E2m a il: lhb@ dlu t. edu. cn)
是常数,
即 Υ(k) i, j
=
Υ(k ) i, j
( t)
,
x
# i,
j
=
x
# i,
j
(
t)
,
x
3 j
=
x
3 j
( t).
由式 (1)
和 (2)
消
去速度相关的参数, 则
x i, j ( t + 1) =
(1 + w -
Υ - (1) i, j
Υ(2) i, j
)
x
i,
j
(
t)
-
w x i, j ( t -
Step 2: 若满足终止条件, 则输出结果 x 3 和
f (x 3 ) 并结束算法; 否则, 转 Step 3.
Step 3: t = t + 1, 实施最优保存策略, 即
x
# i
( t)