非线性规划理论和算法
非线性最优化理论与算法第一章引论本章首先给出了一些常见的最优化问题和非线性最优化问题解的定义，并且根据不同的条件对其进行了划分。
接着给出了求解非线性优化问题的方法，如图解法等，同时又指出一个好的数值方法应对一些指标有好的特性，如收敛速度与二次终止性、稳定性等。
随后给出了在非线性最优化问题的理论分析中常用到的凸集和凸函数的定义和有关性质。
最后给出了无约束优化最优性条件。
第二章线搜索方法与信赖域方法无约束优化的算法有两类，分别是线搜索方法和信赖域方法。
本章首先给出了两种线搜索方法即精确线搜索方法和非精确线搜索方法。
线搜索方法最重要的两个要素是确定搜索方向和计算搜索步长，搜索步长可确保下降方法的收敛性，而搜索方向决定方法的收敛速度。
精确线搜索方法和非精确线搜索方法对于精确线搜索方法，步长ακ满足αk=arg minƒx k+αd kα≥0这一线搜索可以理解为αk是f(x k+αd k)在正整数局部极小点，则不论怎样理解精确线搜索，它都满足正交性条件：d k T∇ƒ(x k+αk d k)=0但是精确搜索方法一般需要花费很大的工作量，特别是当迭代点远离问题的解时，精确的求解问题通常不是有效的。
而且有些最优化方法，其收敛速度并不依赖于精确搜索过程。
对于非精确搜索方法，它总体希望收敛快，每一步不要求达到精确最小，速度快，虽然步数增加，则整个收敛达到快速。
书中给出了三种常用的非精确线搜索步长规则，分别是Armijo步长规则、Goldstein步长规则、Wolfe步长规则。
第一个步长规则的不等式要求目标函数有一个满意的下降量，第二个不等式控制步长不能太小，这一步长规则的第二式可能会将最优步长排除在步长的候选范围之外，也就是步长因子的极小值可能被排除在可接受域之外。
但Wolfe步长规则在可接受的步长范围内包含了最优步长。
在实际计算时，前两种步长规则可以用进退试探法求得，而最后一种步长规则需要借助多项式插值等方法求得。
紧接着，又介绍了Armijo和Wolfe步长规则下的下降算法的收敛性。
信赖域方法线性搜索方法都是先方向再步长，即先确定一个搜索方向d k，然后再沿着这个搜索方向d k选择适当的步长因子αk，新的迭代点定义为x k+1=x k+αk d k。
与线搜索方法不同，信赖域方法是先步长再方向,此方法首先在当前点附近定义目标函数的一个近似二次模型，然后利用目标函数在当前点的某邻域内与该二次模型的充分近似，取二次模型在该邻域内的最优值点来产生下一迭代点。
它把最优化问题转化为一系列相对简单的局部寻优问题。
信赖域方法的思想为：设当前点x k的邻域定义为Ωk=dϵR n d−d k≤∆k其中，∆k称为信赖域半径。
目标函数在极值点附近近似一个二次函数，因此对于无约束优化问题，利用二次逼近，构造如下信赖域模型。
一般的，信赖域模型的目标函数取为m k d=ƒk +g k T d+12d T B k d其中，B k∈R n×n对称，是ƒ在d k处Hesse阵∇2ƒk或者其近似。
这个问题就是信赖域方法模型的子问题。
设d k是信赖域子问题的解，我们称目标函数ƒ在第k步的实下降量Ared k=ƒx k-ƒx k+d k函数的预下降量Pred k=m k0-m k d k定义比值r k=Ared kPred k它衡量了二次模型与目标函数的逼近程度。
一般的，Pred k>0。
若r k<0，x k+d k不能作为下一迭代点，需要缩小信赖域半径，重新计算d k；若r k>0且靠近1，说明二次模型与目标函数在信赖域内有很好的近似，在下一迭代时可以扩大信赖域半径；对其他情况信赖域半径不变。
随后又给出了信赖域算法，只是由于信赖域模型利用负梯度方向为搜索方向，算法的效率很低，然后就给出了建立信赖域方法超线性收敛性的子问题的三种求解方法，分别是折线法、二维子空间方法和精确解方法。
信赖域方法和线性搜索方法是求解非线性优化问题的两类主要的数值方法。
与线性搜索方法相比，信赖域方法思想新颖，具有可靠性、有效性和很强的收敛性。
第三章最速下降法与牛顿方法本章主要介绍最速下降法和牛顿方法，最速下降法又称为梯度法，是根据目标函数的线性近似得到的，但是它的收敛速度并不快。
相比之下，牛顿方法具有快的收敛速度，它是根据目标函数的二次近似得到的，是没有步长搜索的算法。
最速下降法最速下降法从目标函数的负梯度方向一直前进，直到达到目标函数的最低点。
书中首先给出了最速下降法的算法和算法的性质，然后讨论了最速下降法的收敛速度。
最速下降方法的迭代公式是：x k+1=x k+αk d k其中d k=-g k为最速下降方向，ƒx k+αk d k=minα≥0f(x k+αd k)为最优步长。
在最速下降法中，两个相邻的搜索方向是正交的，即d k，d k+1=0最速下降法具有锯齿现象，即在极小点附近，目标函数可以用二次函数近似，其等值面近似于椭圆面，长轴和短轴分别位于对应最小特征值和最大特征值的特征向量的方向。
其大小与特征值的平方根成反比。
最速下降法有一定的优点，如计算量小，存储量小，对初始点没有特殊要求，有着很好的全局收敛性。
但是最速下降法是线性收敛的，当接近最优解时，收敛速度很慢，原因是d k=-g k仅反映ƒx在x k处的局部性质，以及相继两次迭代中搜索方向是正交的。
牛顿方法牛顿方法是用目标函数的二阶展开式来近似的，并用其最小值点来产生下一迭代点得到的。
设函数ƒ二阶连续可微。
ƒx k+s在x k点的二阶近似展开式为m k s≜ƒk +s T g k+12s T G k s若G k正定，则m k s是凸函数。
利用一阶最优性条件G k s=-g k可得二次函数m k s的最小值点s k=-G k−1g k根据目标函数在当前点附近与二次函数的近似，将x k−G k−1g k作为下一迭代点就得到牛顿算法，其中-G k−1g k称为牛顿方向。
牛顿算法最终得到的是目标函数的稳定点。
对于严格凸二次函数，牛顿算法一步就可以得到目标函数的全局最优值点，而对一般的非二次函数，该算法也可以很快地搜索到最优值点。
它是借助目标函数在当前点的二阶Taylor展开式的最小值点逐步逼近目标函数的最小值点，它有很快的收敛速度。
牛顿算法虽然有很快的收敛速度，但是它严重依赖于初始点的选择，而且在每次迭代过程中需要计算目标函数的梯度和Hesse矩阵，这就导致算法效率降低。
第四章共轭梯度法共轭梯度法是介于最速下降法和牛顿方法之间的一种无约束优化算法，它具有超线性收敛速度。
它跟最速下降法相类似，共轭梯度法只用到了目标函数及其梯度值，避免了Hesse矩阵的计算。
因此，它是求解无约束优化问题的一种比较有效而实用的算法。
本章首先讲述了线性共轭方向法，接着给出了线性共轭梯度法和非线性共轭梯度法，最后讲述了共轭梯度法的收敛性。
线性共轭方向法共轭方向法的基本思想是在求解n维正定二次目标函数极小点时产生一组共轭方向作为搜索方向。
在精确线搜索条件下算法最多迭代n步，即能求得极小点。
书中首先给出了线性共轭方向法。
对于二次规划问题min x∈R n ƒx=12x T A x−b T x关于系数矩阵A构造共轭方向，再沿之进行线搜索，这样便得到线性共轭方向法。
接着书中给出了共轭方向的定义和具体的线性共轭方向法及算法的收敛定理。
对于凸二次函数，无论共轭方向法从哪点出发，至多n 次迭代后都终止于目标函数的最优值点。
这个算法具有二次终止性，但是它仅是一个概念性算法，实现它的关键在于如何选取共轭方向，不同的选取会产生不同的共轭方向法。
而且该性质与搜索方向的次序无关。
对于线性共轭方向法，若系数矩阵A 为正的对角阵，则该方法相当于依次沿n 个正坐标轴方向进行精确线搜索。
这种算法克服了最速下降法的慢收敛性，又避免了牛顿法的计算量大和局部收敛性的缺点。
算法简单，易于编程，需存储空间小等优点，是求解大规模问题的主要方法。
线性共轭梯度法在线性共轭方向法中，取d 0=−g 0便得到线性共轭梯度法。
对于严格凸二次函数，仅利用d k −1，而无需利用前k -1个搜索方向d 0，d 1，…，d k −2就可得到与前k 个搜索方向d 0，d 1，…，d k −1共轭的搜索方向d k 。
首先给出了共轭梯度法的迭代公式为x k+1=x k +αk d k ， d k =-g k +βk −1d k −1其中，d −1=0，βk −1由βk −1=g k T g kg k −1T g k −1来决定。
对于凸二次函数，最优步长αk =-g k T d kd k T Ad k 接着给出了完整的线性共轭梯度法和共轭梯度法的性质定理，通过它的性质，我们可以得到最优步长的计算公式可简化为αk =g k T g kd k T Ad k ，利用g k+1−g k =αk Ad k 和g k+1T d i =0和d j T Ad k =0式，参数βk 的计算公式可化简βk =g k+1T g k+1g g T g k由共轭梯度法的迭代公式，容易发现其迭代过程仅比最速下降法稍微复杂一点，但却具有二次终止性。
由于该方法源于线性方程组求解，而且d 0取负梯度方向，故它被称为线性共轭梯度法。
对严格的凸二次函数，牛顿算法具有一步终止性，共轭梯度法具有n 步终止性。
对凸二次函数ƒ x =x T A x −b T x 。
共轭梯度法至多n 步终止。
实际上，若矩阵A 有r 个相异特征值，则它至多r 步迭代后终止。
并且还有设x ∗是凸二次函数ƒ x =12x T A x −b T x 的最优值点，则g 0=A x 0−b =A x 0−x ∗则x k+1−x ∗=x 0−x ∗+P k A g 0= I +P k A A x 0−x ∗最后通过一系列的分析证明，我们可知线性共轭梯度法的效率与矩阵A 的条件数密切相关。
为降低矩阵A 的条件数，如果引入线性变换y =T x （其中T 为一非奇异矩阵），则原凸二次规划问题转化为min 12y T T −T AT −1 y − T −T b Ty 通过以上的分析我们不难发现，对于大规模线性方程组问题，线性共轭梯度法往往成为首选，不过，对于小规模的线性方程组问题，Gauss 消元法更简便。
非线性共轭梯度法线性共轭梯度法在求凸二次函数的最小值点时有良好的性质，将其应用于无约束非线性最优化问题就得到非线性共轭梯度法。
对于共轭梯度法的搜索方向d k =−g k +βk −1d k −1，参数βk −1有多种表达形式。
下面为常见的几种：βk −1=g k T g k −g k −1 d k −1T g k −g k −1 （CW 公式） βk −1=g k T g kg k −1Tg k −1 （FR 公式） βk −1=g k T g k −g k −1g k −1T g k −1(PR 公式) βk −1=−g k T g k d k −1Tg k −1 （Dixon 公式） βk −1=g k T g k d k −1T g k −g k −1（DY 公式） 在最优步长规则下，对凸二次函数，这些表达式是等价的。
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用
线性和非线性最优化理论、方法、软件及应用最优化在航空航天、生命科学、水利科学、地球科学、工程技术等自然科学领域和经济金融等社会科学领域有着广泛和重要的应用, 它的研究和发展一直得到广泛的关注. 最优化的研究包含理论、方法和应用.最优化理论主要研究问题解的最优性条件、灵敏度分析、解的存在性和一般复杂性等.而最优化方法研究包括构造新算法、证明解的收敛性、算法的比较和复杂性等.最优化的应用研究则包括算法的实现、算法的程序、软件包及商业化、在实际问题的应用. 这里简介一下线性和非线性最优化理论、方法及应用研究的发展状况.1. 线性最优化线性最优化, 又称线性规划, 是运筹学中应用最广泛的一个分支.这是因为自然科学和社会科学中许多问题都可以近似地化成线性规划问题. 线性规划理论和算法的研究及发展共经历了三个高潮, 每个高潮都引起了社会的极大关注. 线性规划研究的第一高潮是著名的单纯形法的研究. 这一方法是Dantzig在1947年提出的,它以成熟的算法理论和完善的算法及软件统治线性规划达三十多年. 随着60年代发展起来的计算复杂性理论的研究, 单纯形法在七十年代末受到了挑战. 1979年前苏联数学家Khachiyan提出了第一个理论上优于单纯形法的所谓多项式时间算法--椭球法, 曾成为轰动一时的新闻, 并掀起了研究线性规划的第二个高潮. 但遗憾的是广泛的数值试验表明, 椭球算法的计算比单纯形方法差.1984年Karmarkar提出了求解线性规划的另一个多项式时间算法. 这个算法从理论和数值上都优于椭球法,因而引起学术界的极大关注, 并由此掀起了研究线性规划的第三个高潮. 从那以后, 许多学者致力于改进和完善这一算法,得到了许多改进算法.这些算法运用不同的思想方法均获得通过可行区域内部的迭代点列,因此统称为解线性规划问题的内点算法. 目前内点算法正以不可抗拒的趋势将超越和替代单纯形法.线性规划的软件, 特别是由单纯形法所形成的软件比较成熟和完善.这些软件不仅可以解一般线性规划问题, 而且可以解整数线性规划问题、进行灵敏度分析, 同时可以解具有稀疏结构的大规模问题.CPLEX是Bi xby基于单纯形法研制的解线性和整数规划的软件, CPLEX的网址是/. 此外,这个软件也可以用来解凸二次规划问题, 且特别适合解大规模问题. PROC LP是SAS软件公司研制的SAS商业软件中OR模块的一个程序.这个程序是根据两阶段单纯形法研制的,可以用来解线性和整数规划问题并可进行灵敏度分析, 是一个比较完善的程序.用户可以根据需要选择不同的参数来满足不同的要求。
第六讲线性规划与非线性规划
(2)若有非线性约束条件：c1 x 0 或c2 x 0, 则建立M
文件c.m定义函数c1 x,c2 x, 一般形式为
function [c1,c2]=c(x)
c1=…
c2=… (3)建立主程序。求解非线性规划的函数是fmincon,
调用格式为 x=fmincon(‘fun’,x0,A1,b1);
故它属于一个整数线性规划问题，这里当成一个线 性规划求解，求得最优解刚好是整数x1=9，x2=0， 故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划解法求 得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整 数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法 求解.
二、非线性规划
1、二次规划
❖
标准形式：min
z
1
xT
x1 4x2 5
•
x1, x2 0
❖
改写成标准形式：min z
x1 2x2
1 2
x12
1 2
x22
s.t.
2x1 3x2 x1 4x2
6 5
0 0
0 0
x1 x2
❖ 建立M文件fun1.m
❖ 建立主程序(见MATLAB程序(feixianxingguihua1))
工费用如下表.问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加
工工件的要求，又使加工费用最低？
车床 类型
甲
乙
单位工件所需加工台时数 工件 1 工件 2 工件 3
0.4
1.1
1.0
0.5
1.2
1.3
单位工件的加工费用 工件 1 工件 2 工件 3
13
9
10
11
12
8
可用台 时数
800
运筹学中的非线性规划问题-教案
教案运筹学中的非线性规划问题-教案一、引言1.1非线性规划的基本概念1.1.1定义：非线性规划是运筹学的一个分支，研究在一组约束条件下，寻找某个非线性函数的最优解。
1.1.2应用领域：广泛应用于经济学、工程学、管理学等，如资源分配、生产计划、投资组合等。
1.1.3发展历程：从20世纪40年代开始发展，经历了从理论到应用的转变，现在已成为解决实际问题的有效工具。
1.1.4教学目标：使学生理解非线性规划的基本理论和方法，能够解决简单的非线性规划问题。
1.2非线性规划的重要性1.2.1解决实际问题：非线性规划能够处理现实中存在的非线性关系，更贴近实际问题的本质。
1.2.2提高决策效率：通过优化算法，非线性规划可以在较短的时间内找到最优解，提高决策效率。
1.2.3促进学科交叉：非线性规划涉及到数学、计算机科学、经济学等多个学科，促进了学科之间的交叉和融合。
1.2.4教学目标：使学生认识到非线性规划在实际应用中的重要性，激发学生的学习兴趣。
1.3教学方法和手段1.3.1理论教学：通过讲解非线性规划的基本理论和方法，使学生掌握非线性规划的基本概念和解题思路。
1.3.2实践教学：通过案例分析、上机实验等方式，让学生动手解决实际问题，提高学生的实践能力。
1.3.3讨论式教学：鼓励学生提问、发表观点，培养学生的批判性思维和创新能力。
1.3.4教学目标：通过多种教学方法和手段，使学生全面掌握非线性规划的理论和实践，提高学生的综合素质。
二、知识点讲解2.1非线性规划的基本理论2.1.1最优性条件：介绍非线性规划的最优性条件，如一阶必要条件、二阶必要条件等。
2.1.2凸函数和凸集：讲解凸函数和凸集的定义及其在非线性规划中的应用。
2.1.3拉格朗日乘子法：介绍拉格朗日乘子法的原理和步骤，以及其在解决约束非线性规划问题中的应用。
2.1.4教学目标：使学生掌握非线性规划的基本理论，为后续的学习打下坚实的基础。
2.2非线性规划的求解方法2.2.1梯度法：讲解梯度法的原理和步骤，以及其在求解无约束非线性规划问题中的应用。
非线性规划问题的求解方法
输入参数语法：
x = fmincon(fun,x0,A,b) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x= fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2, ...)
4、其它求解算法
（1）间接法 （2）直接法
直接搜索法 以梯度法为基础的间接法
无约束规划的Matlab求解函数 数学建模案例分析（截断切割，飞机排队）
（1）间接法
在非线性最优化问题当中，如果目标函 数能以解析函数表示，可行域由不等式约束 确定，则可以利用目标函数和可行域的已知 性质，在理论上推导出目标函数为最优值的 必要条件，这种方法就称为间接法（也称为
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
三、Matlab求解有约束非线性规划
1. 用fmincon函数求解形如下面的有约束 非线性规划模型
一般形式：
min f ( X ) s.t. AX b
Aeq X beq l X u c(X ) 0 ceq ( X ) 0
非线性规划
非线性规划（nonlinear programming）1.非线性规划概念非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。
非线性规划研究一个n元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。
目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。
2.非线性规划发展史公元前500年古希腊在讨论建筑美学中就已发现了长方形长与宽的最佳比例为0.618,称为黄金分割比。
其倒数至今在优选法中仍得到广泛应用。
在微积分出现以前，已有许多学者开始研究用数学方法解决最优化问题。
例如阿基米德证明：给定周长，圆所包围的面积为最大。
这就是欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
但是最优化方法真正形成为科学方法则在17世纪以后。
17世纪，I.牛顿和G.W.莱布尼茨在他们所创建的微积分中，提出求解具有多个自变量的实值函数的最大值和最小值的方法。
以后又进一步讨论具有未知函数的函数极值，从而形成变分法。
这一时期的最优化方法可以称为古典最优化方法。
最优化方法不同类型的最优化问题可以有不同的最优化方法，即使同一类型的问题也可有多种最优化方法。
反之,某些最优化方法可适用于不同类型的模型。
最优化问题的求解方法一般可以分成解析法、直接法、数值计算法和其他方法。
(1)解析法：这种方法只适用于目标函数和约束条件有明显的解析表达式的情况。
求解方法是：先求出最优的必要条件，得到一组方程或不等式，再求解这组方程或不等式，一般是用求导数的方法或变分法求出必要条件，通过必要条件将问题简化，因此也称间接法。
(2)直接法：当目标函数较为复杂或者不能用变量显函数描述时，无法用解析法求必要条件。
此时可采用直接搜索的方法经过若干次迭代搜索到最优点。
这种方法常常根据经验或通过试验得到所需结果。
对于一维搜索(单变量极值问题)，主要用消去法或多项式插值法；对于多维搜索问题(多变量极值问题)主要应用爬山法。
第七节非线性规划
bij
Bi'j
j 1
j 1
j 1
j i
j i
j i
式中：Bi'i 和Bi'j 分别是以 及互导纳。
1 xij
为支路导纳建立起来的节点导纳矩阵的自导纳
2019/11/19
13
写成矩阵形式，即得到n个节点电力系统的直流潮流数学模型
P B'0
上式是一个线性方程组，可以一次直接求解得到结果，因而计算 速度非常快。
⑵ 从一定初值出发原来的潮流问题无解。
F(k ) 正值， (k) 0 ⑶ 有别于以上两种情况。
(k) 1, F (k)不为零或不断波动。 这种情况的原因可能是解存在，但计算精度不够。
为计算最优乘子而增加的计算量很少，见图2-10。
2019/11/19
10
第八节 几种特殊性质的潮流计算问题简介
x(k) J (x(k) )(1) f (x(k) )
作为搜索方向，并称之为目标函数在 x(k ) 处的牛顿方向。 接着是如何决定最优步长因子 *(k )的问题。
对一定的 x(k)，目标函数 F(k1是) 步长因子 (k )的一个一元函数
F(k1) F (x(k) (k)x(k) ) ( (k) )
引入标量乘子以调节变量x的修正步长，于是有
f (x) ys y(x(0) ) J (x(0) )(x) y(x) ys y(x(0) ) J (x(0) )(x) 2 y(x) 0
其中 f (x) [ f1(x), f2 (x),, fn (x)]T
2019/11/19
8
其中
上式是一个关于 的三次代数方程，可以用卡丹公式或牛顿法等求
数模(非线性规划模型)
{
}
( )
( )
( )
( )
6
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数 时的最优化问题就叫做非线性规划问题． 时的最优化问题就叫做非线性规划问题． 一般形式: 一般形式:
min f ( X )
gi ( X ) ≥ 0 i = 1,2,..., m; s.t. （1） h j ( X ) = 0 j = 1,2,..., l. f 其中 X = (x1, x2 ,L, xn )T ∈ E n ， , gi , h j 是定义在 En 上的实值函
14
定义
设X ⊂ R n , x∈ X , p∈ R n , p ≠ 0,若存在 t > 0，使得
x + tp∈ X
则称向量 p是点 x处 的可行方向。 关于 X 的可行方向。
解非线性规划问题， 解非线性规划问题，关键在于 找到某个方向， 找到某个方向，使得在此方向 上，目标函数得到下降，同时 目标函数得到下降， 还是可行方向。 还是可行方向。 这样的方向称为可行下降方向。 这样的方向称为可行下降方向。
{
}
( )
( )
( )
( )
8
三. 非线性规划的图解法
线性规划问题： 用图解法求解下面的非 线性规划问题： min s .t .
2 2 f ( x1，x2 ) = x1 + x2
1- x1 − x2 ≤ 0 x1 − 1 ≤ 0 x2 − 1 ≤ 0
9
三角形表示的是可行域。 三角形表示的是可行域。 同心圆表示的是目标函数的等值 线。 最优解为（ ， ） 最优解为（1/2，1/2） 最优值为1/2 最优值为 1/2 1/2
非线性规划求解
1 1
x1 x2
2．输入命令：
H=[1 -1; -1 2]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
i =1 i =1
m
m
1 g i X
其中称 r lng i X 或 r
i =1 i =1
m
m
1 为障碍项， r为障碍因子. g i X
这样问题（1）就转化为求一系列极值问题： min I X , r
X D
0
k
得 X（r ）.
k
k
内点法的迭代步骤
(1) 给定允许误差 0 ，取r1
??xfdx?min定义2对于问题1设若存在使得对一切且都有则称x是fx在d上的局部极小值点局部最优解特别地当时若dx?0??dx????xxxx????xfxf?nrx???????njirxxhxgxd????00局部极小值点局部最优解
数学建模与数学实验
非线性规划
实验目的
1． 直观了解非线性规划的基本内容．
2． 掌握用数学软件求解优化问题．
实验内容
1．非线性规划的基本理论．
2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型． 4．实验作业．
非线性规划
非线性规划的基本概念
*非线性规划的基本解法
返回
非现性规划的基本概念 定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优 x 2 2 2 0 x 1 0 x 2
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
数学建模---非线性规划模型
6.4.3 问题的分析
i i i i i i i
当购买Si的金额为xi（i=0~n），投资组合 x=（x0，x1，…，xn）的净收益总额
R( x) Ri ( xi )
n i 0
（6 ）
整体风险：
Q( x) max Qi ( xi )
资金约束：
1i n
n
（7）
（8 ）
F ( x) f i ( xi ) M
二、多目标规划模型 多目标规划模型的一般形式为
min f1 x , f 2 x , , f p x gi x 0, i 1, 2,....., m s.t. h j x 0, j 1, 2,....., l
T
5.7
2.7 4.5 7.6
320
267 328 131
模型的假设
1. 2.
3.
4.
在一个时期内所给出的ri，qi，pi保持不变。 在一个时间内所购买的各种资产（如股票、 证券等）不进行买卖交易，即在买入后不再 卖出。 每种投资是否收益是相互独立的。 在投资过程中，无论盈利与否必须先付交易 费。
符号的说明
表1
售价（元） 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 5.50 6.00 41000 38000 34000 32000 29000 28000 25000 22000 20000