高中数学第四章导数应用41函数的单调性与极值利用导数求最值素材北师大版1-1.

利用导数求最值导数是研究数学和其他自然科学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有利工具，研究导数，有利于对数学的本质和价值的认识。

导数的工具性已渗透到数学的很多分支，在函数的研究中得到充分的体现，主要涉及到研究曲线的切线问题、函数的单调性、函数的极值、最值等。

下面就利用导数求最值作一阐述，供参考。

一、函数的最大值与最小值在闭区间[b a ,]上连续，在（b a ,）内可导，)(x f 在[b a ,]上求最大值与最小值的步骤：先求 )(x f 在（b a ,）内的极值；再将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

求可导函数极值的步骤：首先：求导数)('x f ；再求导数)('x f =0的根；最后：检查)('x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取极小值。

二、利用导数求最值例1、设0>x ，求32)1(32)1(211ln -+--+x x x x 的最小值。

解：设32)1(32)1(211ln )(-+--+=x x x x x f ，则2222)1(2)1()1(1)1(2)1(11)(-+---=-+---='x x x xx x x x x f⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=2222212)1()1(21)1()1(211)1(x x x x x x x x x x.12)1(23xx x +-= 令0)(='x f ，由0>x ，解得1=x 。

列表：由表可知，当1=x 时，)(x f 有最小值1。

评注：利用导数求最值，先确定函数的极值是关键，同时，最值通常应在极值及端点处取得。

当函数f （x ）为连续函数且在[]b a ,上单调时，其最大值、最小值在端点处取得；当连续函数f （x ）在（a ，b ）内只有一个可疑点时，若在这一点处f （x ）有极大（小）值，则可以判定f （x ）在该点处取得最大（小）值，这里（a ，b ）也可以是无穷区间。

练习1：已知a ≥ 0，函数f （x ）＝（x 2－2ax ）e x，当x 为何值时，f （x ）取得最小值？并证明你的结论； 三、利用导数求最值的运用 （一）求函数的值域例2 、求函数x x x x f --++=4325)(的值域．解：由⎩⎨⎧≥-≥+0403x x 得)(x f 的定义域为43≤≤-x 。

因为0421315)4()32()5()(>++++='--'++'='='x x x x x x f y ，所以)(x f 在[]4,3-上单调递增，故当3-=x 时，4,715=--=x y 最小时，7220+=最大y 。

所以值域为[]7220,715+--。

评注：求函数的值域转化为求)(x f 在闭区间[]4,3-上的最大值和最小值的问题，考虑其单调性易求值域，必须注意函数的定义域。

练习2：已知x ，y 为正实数，且满足关系式04222=+-y x x ，求xy 的最大值。

（二）利用最值求参数的值（或范围） 例3、设132<<a ，函数)11(23)(23≤≤-+-=x b ax x x f 的最大值为1，最小值为26-，求a ，b 的值。

解：)(333)('2a x x ax x x f -=-=，当x 变化时，)(),('x f x f 变化情况列表如下：当x=0时，f （x ）取极大值b ，而)()0(a f f >，)1()1(f f <-，故需比较f （0）与f （1）的大小。

∵0123)1()0(>-=-a f f ，∴f （x ）最大值为f （0）=b=1。

又0)2()1(21)23(21)()1(23<-+=--=--a a a a a f f 。

∴)1()(min -=f x f ，∴2623123-=-=+--a b a ，∴1,36==b a 。

评注：这是一道求函数的最值的逆向思维问题。

本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小，列表解题一目了然，从而确定出a ，b 的值。

（三）利用最值研究恒成立问题 例4、设函数,5x 2x 21x )x (f 23+--=若对于任意]2,1[x -∈都有m )x (f <成立，求实数m 的取值范围。

解： ,2x x 3)x (f 2--='令,0)x (f ='得32x -=或1x =。

∵当32x -<或1x >时，,0)x (f >'∴)x (f y =在)32,(--∞ 和),1(∞+ 上为增函数， 在)1,32( -上为减函数，∴)x (f 在32x -=处有极大值，在1x =处有极小值。

极大值为27225)32(f =-, 而7)2(f =, ∴)x (f 在]2,1[ -上的最大值为7。

若对于任意x ]2,1[ -∈都有m )x (f <成立, 得m 的范围 7m >。

评注：利用最值可以研究一类恒成立问题，一般地，f(x)≥a 对x ∈R 恒成立⇔ f(x)的最小值≥a 成立；f(x)≤a 对x ∈R 恒成立⇔f(x)的最大值≤a 成立。

练习2：已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与x ＝1时都取得极值。

⑴求a 、b 的值；⑵若对2[1,2],()x f x c ∈- 恒成立，求c 的取值范围。

四、利用最值证明不等式例5、已知)0()(3≠++=a d cx ax x f 是R 上的奇函数，当x=1时，f(x)取得极值-2。

（1）求 f(x)的单调区间和极大值；（2）对任意)1,1(,21-∈x x ，求证：不等式4)()(21<-x f x f 恒成立。

解：（1）∵f(x)是奇函数，R x ∈， ∴f(0)=0, ∴d=0因此c ax x f cx ax x f +=+=2'33)(,)( 由条件f(1)=-2为f(x)的极值，∴f ,(1)=0，∴⎩⎨⎧=+-=+032c a c a ，解之得：a=1，c=-3则33)(,3)(2'3-=-=x x f x x x f ， 令0)('=x f ，得1±=x∴f(x)的单调减区间是[-1，1]，f(x)的单调增区间是(][)∞+-∞-，和11，当x=-1时，f(x)有极大值2。

（2）证明：由（1）知f(x)在[-1，1]上是减函数，且f(x)在[-1，1]上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2∴对任意)1,1(,21-∈x x ， 恒有4)1()1()()(21=--<-f f x f x f评注：本题（2）借助于最值证明不等式，最值的研究利用了导数法，同时对于可导函数，某点为极值点的必要条件是这点的导数为0；某一点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号。

此外，函数的极值点也可能是不可导点。

附练习答案：1、解：（1）对函数f （x ）求导数，得 f′（x ）＝（x 2－2ax ）e x+（2x －2a ）e x＝［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x。

令f′（x ）＝0，得［x 2+2（1-a ）x-2a ］e x＝0，从而x 2+2（1－a ）x －2a ＝0。

解得2111a a x +--=2211a a x ++-=，其中x 1＜x 2。

当x 变化时，f′（x ），f （x ）的变化如下表： x （－∞ ，x 1 ）x 1 （ x 1 ， x 2）x 2 （x 2 ，+∞）f ′（x ） +0 — 0 + f （x ）极大值极小值当f （x ）在x ＝x 1处取到极大值，在x ＝x 2处取到极小值.当a≥0时，x 1＜－1，x 2 ≥0，f （x ）在（x 1，x 2）为减函数，在（x 2，+∞）为增函数. 而当x ＜0时，f （x ）＝x （x －2a ）e x＞0； 当x ＝0时，f （x ）＝0. 所以当211a a x ++-=时，f （x ）取得最小值。

2、解：由题意，)20(2212≤<-=x x x x xy ，设f （x ）)20(2212≤<-=x x x x 。

当20<<x 时，222)23()('x x x x x f --=，令0)('=x f ，得23=x 或x=0（舍去）。

当x 在(]2,0内变化时，y /，y 有如下变化情况：由上表可知，当x=23时，f （x ）最大值为833，亦即xy 的最大值为833。

3、解：⑴1,22a b =-=-； ⑵令32321()22g x x ax bx x x x =++=--，故对任意2[1,2],()x g x c c ∈-- 恒成立。

∵2()32(1)(2)g x x x x x '=--=-+，列表知对任意[1,2]x ∈-，y ＝()g x 的最大值为g（2）＝2，∴2＜c 2－c ，得c ＜－1或c ＞2。