天津大学管理学院运筹学第三章非线性规划第四章多目标规划
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非线性规划多目标规划
min f (x) x Rn
⑵ 等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. hj (x) 0, j 1,2, r
⑶ 不等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2, m
针对上述三类非线性规划模型,其常用求解的基 本思路可归纳如下：
1 无约束的非线性规划问题
2 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元 法、拉格朗日乘子法或反函数法,将其化为无 约束问题求解.
3 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复 杂,求解这一类问题，通常将不等式化为等式 约束，再将约束问题化为无约束问题，用线 性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规 划问题.
下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子,其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
表示当约束条件右边的值增大一个单位后，相
应目标函数值的增加值。比如说：如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10。
非线性规划解法
例9 求解非线性规划
min z (x1 1.5)2 x22
s.t.
x12
x22
1,
bj ,
i 1, 2,3 j 1, 2,3, 4
xij 0.
注: 在上面的问题中, 输水费用函数 f x 一般不是x
的线性函数. 因而相应的规划不是线性规划.
问题2 砂石运输问题
设有V立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需
先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂 石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱 子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为 20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑 行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各 为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.
⑵ 等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. hj (x) 0, j 1,2, r
⑶ 不等式约束非线性规划模型： min f (x) s.t. gi (x) 0,i 1,2, m
针对上述三类非线性规划模型,其常用求解的基 本思路可归纳如下：
1 无约束的非线性规划问题
2 只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元 法、拉格朗日乘子法或反函数法,将其化为无 约束问题求解.
3 具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复 杂,求解这一类问题，通常将不等式化为等式 约束，再将约束问题化为无约束问题，用线 性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规 划问题.
下面介绍一个简单的非线性规划问题的 例子,其中的一些约束条件是等式，这类非线 性规划问题可用拉格朗日方法求解.
表示当约束条件右边的值增大一个单位后，相
应目标函数值的增加值。比如说：如总存储空间由 24 变 为 25 时 ， 最 优 值 会 由 12.71 变 为 12.71 0.3947 13.10。
非线性规划解法
例9 求解非线性规划
min z (x1 1.5)2 x22
s.t.
x12
x22
1,
bj ,
i 1, 2,3 j 1, 2,3, 4
xij 0.
注: 在上面的问题中, 输水费用函数 f x 一般不是x
的线性函数. 因而相应的规划不是线性规划.
问题2 砂石运输问题
设有V立方米的砂石,要由甲地运到乙地, 运输前需
先装入一个有底无盖并在底部装有滑行器的木箱中. 砂 石运到乙地后, 从箱中倒出,在继续用空箱装运. 不论箱 子大小, 每装运一箱, 需0.1元, 箱底和两端的材料费为 20元/米2, 箱子两侧的材料费为5元/米2, 箱底的两个滑 行器与箱子同长, 材料费为2.5元/米. 问木箱的长宽高各 为多少米,才能使运费与箱子的成本费的总和为最小.
天津大学管理运筹学管理运筹学——线性规划
x1 , x2 0
(2) (3)
-2
2
1 O
-1 0 1
2
(3)
3 4 x1
最优解： x1 = 0， x2 = 1 最优目标值 z = 3
2. LP 解的几种情况
（1）唯一解
（2）多重最优解
（3）无可行解
（4）无有限最优解
注：出现（3）、（4）情况时，建模有问题
图解法的结论：
● 线性规划的可行域是凸集
授课内容：
• 线性规划 • 图论与网络分析 • 网络计划 • 风险型决策 •排队论 • 博弈论
绪论
一、运筹学的产生与发展
• 产生于二战时期，运筹学（Operational Research) 直
译为“运作研究”。
• 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
7x1+12x2=16820
7x1+12x2=84
0
9x1+4x2=360
20 40 60
X*=（20，24）， Z*=428
x1
80 100
课堂练习
图解法求解线性规划
(1) x2 (2)
min z 2x1 3 x2
4
x1 x2 4 (1)
3
st
2 x1 x2 x1 2 x2
2 2
10
300
12
产品 资源
甲
乙
煤
9
4
电
4
5
油
3
10
单价
7
12
线性规划模型三要素：
（1）决策变量
设Su甲b产je品ct生T产o，x1，乙产品生产x2 （2意）为目标足“函”使数其满
《高级运筹学》非线性规划模型及基本概念
min f ( x1 , x2 ) ( x1 ai ) 2 ( x2 bi ) 2
i 1
m
例3
求表面积为常数6a2 (a>0), 体积最大的长方体体积。
解：设长方体的长、宽、高分别为x1,x2,x3. 则
max f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x3 s.t. 2( x1 x2 x1 x3 x2 x3 ) 6a 2 x1 0, x2 0, x3 0
许国志等根据史记中：“运筹于帷幄之中，决 胜于千里之外”将其翻译成“运筹学”
本学期教学内容
非线性规划 第一章：非线性规划模型及基本概念 第二章：无约束非线性规划 第三章：约束非线性规划 第四章：多目标规划 现代优化算法简介
《非线性规划》教学参考书
[1] 施光燕、董加礼,最优化方法 高等教育出版社，2004。 [2] 施光燕、钱伟懿，庞丽萍，最优化方法（第二版）高等 教育出版社，2007。
4. 梯度：
定义: 以f(x) 的n个偏导数为分量的向量称为f(x) 在x处的梯 度，记为
f ( x) f ( x) x1 f ( x) x2 f ( x) xn
T
梯度也可以称为函数 f(x) 关于向量 x 的一阶导数.
5. 梯度和方向导数的关系
f ( x 0 ) f ( x 0 )T e P
SETS: N/1..4/:X; ENDSETS max=@sum(N(i):X(i)^0.5); X(1)<400; 1.1*X(1)-(X(1))^(1/2)+X(2)<440; 1.21*X(1)-1.1*(X(1))^(1/2)+1.1*X(2)-(X(2))^(1/2)+X(3)<484; 1.331*X(1)-1.21*(X(1))^(1/2)+1.21*X(2)-1.1*(X(2))^(1/2)+1.1*X(3)(X(3))^(1/2)+X(4)<532.4;
运筹学课件第四章 目标规划
一、目标规划的数学模型
例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台
第四章
电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小
时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元， 每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。 该厂目标：
1、充分利用装配线，避免开工不足。
2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。 3、尽量满足市场需求。
(70,50),11000;
E(50,100),13000。
50
d+.d- =0
B O 50 100
X1 100X1+80X2 = 10000
二、目标规划的图解法
例2：用图解法求解。
第四章
min z
P d P d d P d 1 1 2 2 2 3 3
4 x1 16 4 x2 12 x x d d 1 2 1 1 0 s.t. x 2 x d d 1 2 2 2 8 2 x1 3 x2 d 3 d3 12 x , x , d , d i 1,2,3 1 2 i i 0
一、目标规划的数学模型
例3 Ⅰ Ⅱ 资源拥有量
第四章
原材料(公斤)
设备(小时) 利润(千元/件)
2
1 8
1
2 10
11
10
(1)、原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以 要严格控制。
(2)、市场情况，产品Ⅰ销售量下降，产品Ⅰ的产 量不大于产品Ⅱ的产量。 (3)、充分利用设备，不希望加班。 (4)、尽可能达到并超过利润计划指标56千元。
一、目标规划的数学模型
目标规划数学模型涉及的基本概念 1、偏差变量
运筹学天津大学运筹学课件(全套)
2
⎧0.1x + 0 x ≥ 0.4 ⎪0 x + 0.1x ≥ 0.6 ⎪ ⎪ s.t.⎨0.1x + 0.2 x ≥ 2.0 ⎪0.2 x + 0.1x ≥ 1.7 ⎪ ⎪x , x ≥ 0 ⎩
1 2 1 2 1 2 1 2
第一章 线性规划
2. 线性规划的数学模型 线性规划模型的一般形式：以MAX型、 ≤ 约束为例 决策变量： 目标函数： 约束条件：
I
第一章 线性规划
一般地，记松弛变量的向量为 Xs，则
⎧ AX ≤ b s.t.⎨ ⎩X ≥ 0
⎧ AX + IX = b s.t.⎨ ⎩X , X ≥ 0
s s
因为，由图解法可知，只有当目标直线平移到边界时， 才能使目标 z 达到最大限度的优化。
问题：本性质有何重要意义？
第一章 线性规划
（3）线性规划解的几种情形
1）唯一解 2）多重最优解
注：出现3）、4）情况时，建模有问题
3）无可行解
4）无有限最优解
3 4 5
位 阵。
= 360 ⎧9 x 1 + 4 x 2 + x 3 ⎪4 x 1 + 5 x 2 +x4 = 200 ⎪ s .t .⎨ + x 5 = 300 ⎪3x 1 + 10 x 2 ⎪x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0 ⎩
易 见 ， 增 加 的 松 弛 变 量 的 系 数 恰 构 成 一 个 单
3 3 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3
前苏联的尼古拉也夫斯克城住宅兴建计划采用了上述模型，共 用了12个变量，10个约束条件。
第一章 线性规划
《运筹学》教案-目标规划数学模型
《运筹学》教案-目标规划数学模型第一章：目标规划概述1.1 目标规划的定义与意义1.2 目标规划与其他规划方法的区别1.3 目标规划的应用领域1.4 目标规划的发展历程第二章：目标规划的基本原理2.1 目标规划的基本假设2.2 目标规划的数学模型2.3 目标规划的求解方法2.4 目标规划的评估与决策第三章：目标规划的数学模型3.1 单一目标规划模型3.2 多目标规划模型3.3 带约束的目标规划模型3.4 动态目标规划模型第四章：目标规划的求解方法4.1 线性规划求解方法4.2 非线性规划求解方法4.3 整数规划求解方法4.4 遗传算法求解方法第五章：目标规划的应用案例5.1 生产计划目标规划案例5.2 人力资源规划目标规划案例5.3 投资组合目标规划案例5.4 物流配送目标规划案例第六章：目标规划的高级应用6.1 目标规划在供应链管理中的应用6.2 目标规划在项目管理中的应用6.3 目标规划在金融管理中的应用6.4 目标规划在能源管理中的应用第七章：目标规划的软件工具7.1 目标规划软件工具的介绍7.2 常用目标规划软件工具的操作与应用7.3 目标规划软件工具的选择与评估7.4 目标规划软件工具的发展趋势第八章：目标规划在实际问题中的应用8.1 目标规划在制造业中的应用案例8.2 目标规划在服务业中的应用案例8.3 目标规划在政府决策中的应用案例8.4 目标规划在其他领域的应用案例第九章：目标规划的局限性与挑战9.1 目标规划的局限性分析9.2 目标规划在实际应用中遇到的问题9.3 目标规划的发展趋势与展望9.4 目标规划的未来研究方向10.1 目标规划的意义与价值10.2 目标规划在国内外的发展现状10.3 目标规划在未来的发展方向10.4 对运筹学领域的发展展望重点和难点解析重点环节一：目标规划的数学模型补充和说明：在讲解目标规划的数学模型时，重点关注单一目标规划模型和多目标规划模型的构建。
天津大学运筹学课件
⎛ 0 0⎞ ⎛ 2 0⎞ H− f ( X ) = ⎜ ⎟ ≥ 0, H− g1 ( X ) = ⎜ ⎟>0 ⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 2⎠ ⎛ 0 0⎞ H− g2 ( X ) = H− g3 ( X ) = ⎜ ⎟≥0 ⎝ 0 0⎠
计算
说明 − f ( X )是凸函数， g1 ( X )、 g 2 ( X )、 g 3 ( X )是凹函数
X1 X0 X2
P 0 P 1
X3
P2
第一章 非线性规划
2.基本步骤
(1)
选取初始点X 0，令k := 0, 确定精度ε > 0；
得到近似最优解X k，否则转（3）；
(2) 对于点X k，计算∇f ( X k ), 若 ∇f ( X k ) < ε , 则停止, (3) 从X k出发，确定搜索方向P ； k (4)
2
的高阶无穷小。
第一章 非线性规划
2 例：写出 f ( X ) = 3x1 + sin x2在 X 0 = [0,0] 点的二阶泰勒展开 式。 T
解: ∇f ( X ) = [6x1 cos x2 ] , ∇f ( X 0 ) = [0 1]
T
T
0 ⎞ ⎛6 ⎛6 H(X ) = ⎜ ⎟ , H ( X0 ) = ⎜ ⎝0 ⎝ 0 − sin x2 ⎠ ⎡ x1 ⎤ 1 ⎛6 f ( X ) = 0 + [0 1] ⎢ ⎥ + [ x1 x2 ]⎜ ⎝0 ⎣ x2 ⎦ 2
X 0 ∈ D ，使得在 X 0的邻 ★局部最优解：如果对于 0 0 域 B( X , ε ) = {X | X − X < ε } 中的任意 X ∈ D
f 都有 ( X 0 ) ≤ f ( X ) ，则称 X 0 为（NLP）的局部最
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
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0
d i d i ＝f i ( X )-f i ，
0
－
d i d i 0，
－
i 1 ，„„，p
于是目标规划模型(1－1)也可以表示为 min ( d i d i )
－ i 1 p
X R － 0 fi ( X ) di di fi s.t － di di 0 d 0，d － 0 i 1 ，„„，p i i
一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往
往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
一. 一般多目标规划模型
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
大麦－早 稻－玉米 油菜－玉 米－蔬菜
1008
336
——
130
111.46
208.27
48
40
350
390
设该农户全年至多可以出工3410小时，至少
需要油料156公斤。今该农户希望优先考虑总利
润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素
最少。问如何确定种植方案。
首先设立决策变量如下 方案1的种植亩数：x1， 方案2的种植亩数：x2， 方案3的种植亩数：x3，
(3)
+ 可以证明，若(X，d ，d )是(1－3)的最优解，其
+ + + 中d ＝(d1，„„，d p )，d ＝(d1，„„，d p )，则X是
(2)的最优解。因而可将(3)作为目标规划模型的 一般形式。在此一般形式基础上，还可以建立加权的 或分层的目标规划模型。
g1 ( x1，„„，xn ) 0 约束条件： „„„„„„ g ( x ，„„，x ) 0 n m 1
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：
年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3
粮食总产量：
f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量：
f3(x1，x2，x3)=50x1+48x2+40x3
根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农 田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320x1+350x2+390x3≤3410 油料需求： 130x3≥156 农田数： x1+x2+x3＝10 种植亩数非负：x1≥0， x2≥0， x3≥0。
例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种植。 已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效
益如表
方 复种方式 粮食产量 油料产量 利润 投入氮素 用工量 案 (公斤/亩) (公斤/亩) (元/亩) (公斤/亩) (小时/亩) 大麦－早 1 稻－晚梗 1056 —— 120.27 50 320
2
3
n
i=1， 2，„„，n
i=1， 2，„„，n
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花 钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资
最少，收益最大：
f1 ( x1，„„，xn ) bi xi max
i 1 n
f 2 ( x1，„„，xn ) ai xi min
i 1
n
这是具有两个目标的0－1规划问题。
根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为 第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中 的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两 个优先层次的分层多目标极小化模型：
L min[ P ( 120.27 x1 111.46 x2 208.27 x3， 1 1056 x1 1008 x2 336 x3 )， P2 (50 x1 48 x2 40 x3 )] 320 x1 350 x2 390 x3 3410 130 x3 156 s.t x1 x2 x3 10 x 0，x 0，x 0 2 3 1
二. 分层多目标规划模型
本节介绍一类不同于(VMP)形式的多目标最
优化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，
各个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的
优先层次先后的进行优化。
例如，在例1中，若筹备小组希望把所考虑的 三个目标按重要性分成以下两个优先层。 第1优先层——总的花费最小。 第2优先层——糖的总数量最大。
2 本最低还应要求 ( x12 x2 ) / 4 尽可能的小，或即：
( x1 x2 ) min
2 2
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H x x W 1 2 x1 x2 0 4 x x 0 1 2 x1 0, x2 0
(2)
(2)虽然去掉了绝对值运算，但却含有偏差变量相 乘的约束条件，这仍然使求解很不方便。考察去掉偏 差变量相乘的约束条件，得到模型：
min ( d i d i )
－ i 1
p
X R － 0 s.t f i ( X ) d i d i f i － d i 0，d i 0 i 1 ，„„，p
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均
为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
高为x1 ，宽为x2（图1）。
为为最小，即要求x1x2→min
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树
干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小
2 2 2 r ( x1 / 2) ( x2 / 2) 成正比。由此，为使木梁的成
例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工
成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格
和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，
横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高 度要介于其宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1
r x2 图1
设所设计的木梁横截面的
则模型一般式也可简记为
V min[ f1 ( X )，„„，f p ( X )] (VMP ) i=1，„„，m gi ( X ) 0 或 V min F ( X ) (VMP ) X R
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于 某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再 用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又 有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。 1896年，法国经济学家V· Pareto首先在经济理论的研究中提 出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家 T· Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 C· 问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名 为“Pareto解”(即有效解)。同年，H· Kuhn和 W· A· Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关 W· 概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨 会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作 迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的 研究成果。
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4 x1 2 x2 40 x1 x2 10 x1 5 x 0, x 0 1 2
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的 成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各 样的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
则为使各目标函数尽量接近其目标值，可建立以追求总 绝对偏差极小化为目标的目标规划模型： min f i ( X ) f i
XR i 1 p 0
(1)
若记f i ( X )关于f i 的正偏差为 di
0
f i ( X )-f i ， 0
0 0
fi ( X ) fi ，
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金
A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，
2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收
益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到
最佳的经济效益？
1 决定投资第i个项目 设xi 0 决定不投资第i个项目 问题的约束条件为 a i x i A i=1 x (x 1) 0 i xi=0或1 i
第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn) ……………… minfp(x1，……，xn)
d i d i ＝f i ( X )-f i ，
0
－
d i d i 0，
－
i 1 ，„„，p
于是目标规划模型(1－1)也可以表示为 min ( d i d i )
－ i 1 p
X R － 0 fi ( X ) di di fi s.t － di di 0 d 0，d － 0 i 1 ，„„，p i i
一个以上的目标去判断方案的好坏，而这些目标之间又往
往不是那么协调，甚至是相互矛盾的。本章将以实例归结 出几类常见的描述多目标最优化问题的数学模型。
一. 一般多目标规划模型
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
大麦－早 稻－玉米 油菜－玉 米－蔬菜
1008
336
——
130
111.46
208.27
48
40
350
390
设该农户全年至多可以出工3410小时，至少
需要油料156公斤。今该农户希望优先考虑总利
润最大和粮食总产量最高，然后考虑使投入氮素
最少。问如何确定种植方案。
首先设立决策变量如下 方案1的种植亩数：x1， 方案2的种植亩数：x2， 方案3的种植亩数：x3，
(3)
+ 可以证明，若(X，d ，d )是(1－3)的最优解，其
+ + + 中d ＝(d1，„„，d p )，d ＝(d1，„„，d p )，则X是
(2)的最优解。因而可将(3)作为目标规划模型的 一般形式。在此一般形式基础上，还可以建立加权的 或分层的目标规划模型。
g1 ( x1，„„，xn ) 0 约束条件： „„„„„„ g ( x ，„„，x ) 0 n m 1
若记X= (x1，……，xn)，V-min表示对向量F(X)=[f1(X)， ……，fp(X)]T中的各目标函数f1(X)，……，fp(X)同等的进行 极小化。R={X|gi(X)≥0，i=1，……，m}表示约束集。
根据农户的要求确定问题的三个目标函数为：
年总利润： f1(x1，x2，x3)=120.27x1+111.46x2+208.27x3
粮食总产量：
f2(x1，x2，x3)=1056x1+1008x2+336x3 投入氮素量：
f3(x1，x2，x3)=50x1+48x2+40x3
根据农户的全年出工能力，对油料需求量，所承包农 田数以及种植亩数应为非负等限制，应有约束条件： 总用工量：320x1+350x2+390x3≤3410 油料需求： 130x3≥156 农田数： x1+x2+x3＝10 种植亩数非负：x1≥0， x2≥0， x3≥0。
例4：某水稻区一农民承包10亩农田从事农业种植。 已知有三类复种方式可供选择，其相应的经济效
益如表
方 复种方式 粮食产量 油料产量 利润 投入氮素 用工量 案 (公斤/亩) (公斤/亩) (元/亩) (公斤/亩) (小时/亩) 大麦－早 1 稻－晚梗 1056 —— 120.27 50 320
2
3
n
i=1， 2，„„，n
i=1， 2，„„，n
所谓“最佳的经济效益”，如果理解为“少花 钱多办事”，则变为两个目标的问题，即投资
最少，收益最大：
f1 ( x1，„„，xn ) bi xi max
i 1 n
f 2 ( x1，„„，xn ) ai xi min
i 1
n
这是具有两个目标的0－1规划问题。
根据农户对目标重要性的排序，将前两个目标作为 第一优先层，将第三个目标作为第二优先层，再把其中 的求最大化转化为求其负数的最小，便得到下列具有两 个优先层次的分层多目标极小化模型：
L min[ P ( 120.27 x1 111.46 x2 208.27 x3， 1 1056 x1 1008 x2 336 x3 )， P2 (50 x1 48 x2 40 x3 )] 320 x1 350 x2 390 x3 3410 130 x3 156 s.t x1 x2 x3 10 x 0，x 0，x 0 2 3 1
二. 分层多目标规划模型
本节介绍一类不同于(VMP)形式的多目标最
优化模型。这类模型的特点是：在约束条件下，
各个目标函数不是同等的被优化，而是按不同的
优先层次先后的进行优化。
例如，在例1中，若筹备小组希望把所考虑的 三个目标按重要性分成以下两个优先层。 第1优先层——总的花费最小。 第2优先层——糖的总数量最大。
2 本最低还应要求 ( x12 x2 ) / 4 尽可能的小，或即：
( x1 x2 ) min
2 2
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H x x W 1 2 x1 x2 0 4 x x 0 1 2 x1 0, x2 0
(2)
(2)虽然去掉了绝对值运算，但却含有偏差变量相 乘的约束条件，这仍然使求解很不方便。考察去掉偏 差变量相乘的约束条件，得到模型：
min ( d i d i )
－ i 1
p
X R － 0 s.t f i ( X ) d i d i f i － d i 0，d i 0 i 1 ，„„，p
f1(x1,x2)=4x1+2x2 →min
如果要求糖的总数量最大，即要求：
f 2 ( x1 , x2 ) x1 x2 max
如果要求甲级糖的数量最大，即要求：
f3 ( x1 , x2 ) x1 max
易见，这是具有3个目标的规划问题（由于约束及目标均
为线性函数，故它为多目标线性规划问题）。
高为x1 ，宽为x2（图1）。
为为最小，即要求x1x2→min
由于矩形横截面的木梁是由横截面为圆形的树
干加工而成的，故其成本与树干横截面面积的大小
2 2 2 r ( x1 / 2) ( x2 / 2) 成正比。由此，为使木梁的成
例3：【木梁设计问题】把横截面为圆形的树干加工
成矩形横截面的木梁。为使木梁满足一定的规格
和应力及强度条件，要求木梁的高度不超过H，
横截面的惯性矩不少于给定值W，且横截面的高 度要介于其宽度和4倍宽度之间。
问应如何确定木梁尺寸，可使木
梁的重量最轻，并且成本最低。 x1
r x2 图1
设所设计的木梁横截面的
则模型一般式也可简记为
V min[ f1 ( X )，„„，f p ( X )] (VMP ) i=1，„„，m gi ( X ) 0 或 V min F ( X ) (VMP ) X R
这里(VMP)为向量数学规划(Vector Mathematical Programming)的简写。
多目标决策主要指多目标最优化，即多目标规划。对于 某些问题，可以先用多目标规划选出几个备选方案，然后再 用多准则决策方法作进一步处理，因此，这两者既有区别又 有联系。 多目标最优化的思想萌芽于1776年经济学中的效用理论。 1896年，法国经济学家V· Pareto首先在经济理论的研究中提 出了多目标最优化问题。1951年，美国数理经济学家 T· Koopans从生产和分配的活动分析中考虑了多目标决策 C· 问题，并首次提出了多目标最优化问题解的概念，将其命名 为“Pareto解”(即有效解)。同年，H· Kuhn和 W· A· Tucker从数学规划论角度首次提出向量极值问题及有关 W· 概念。进入20世纪70年代，随着第一次国际多目标决策研讨 会的召开及这方面专著的问世，多目标决策问题的研究工作 迅速、蓬勃地开展起来，到目前为止，已取得若干有价值的 研究成果。
我们先确定此问题应满足的条件（即约束条件）。不 难看出，当甲级糖数量为x1，乙级糖数量为x2时，有：
4 x1 2 x2 40 x1 x2 10 x1 5 x 0, x 0 1 2
在研究以什么为“最佳”的衡量标准时，“筹备小组”的 成员们意见可能会发生分歧，其原因是他们会提出各种各 样的目标来。 如果要求总花费最小，即要求：
则为使各目标函数尽量接近其目标值，可建立以追求总 绝对偏差极小化为目标的目标规划模型： min f i ( X ) f i
XR i 1 p 0
(1)
若记f i ( X )关于f i 的正偏差为 di
0
f i ( X )-f i ， 0
0 0
fi ( X ) fi ，
例2：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金
A万元，今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，
2，……，n)个项目要用资金ai万元，预计可得到收
益bi万元。问应如何使用总资金A万元，才能得到
最佳的经济效益？
1 决定投资第i个项目 设xi 0 决定不投资第i个项目 问题的约束条件为 a i x i A i=1 x (x 1) 0 i xi=0或1 i
第四章 多目标规划
第一节 多目标规划模型
线性规划及非线性规划研究的都是在给定的约束集合 R={X|gi(X) ≥0，i=1，2，……，m)} X∈En
上，求单目标f(x)的最大或最小的问题，即方案的好坏是以 一个目标去衡量。然而，在很多实际问题中，衡量一个方 案的好坏往往难以用一个指标来判断 。也就是说，需要用
这是具有两个目标的非线性规划问题。
由以上实例可见，多目标最优化模型与单目标 最优化模型的区别主要是目标多于一个。在这些目 标中，有的是追求极大化，有的是追求极小化，而 极大化与极小化是可以相互转化的。因此，我们不 难将多目标最优化模型统一成一般形式： 决策变量：x1，……，xn 目标函数：minf1(x1，……，xn) ……………… minfp(x1，……，xn)