0《成才之路》高一数学(人教A版)必修课件：、 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
两个平面的位置关系
学法指导 判断两平面之间的位置关系时，可把自然语
言转化为图形语言，搞清图形间的相对位置是确定的还是可 变的，借助于空间想象能力，确定平面间的位置关系．
[例 2]
如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线 )
互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( A．平行 C．平行或相交 B．相交 D．不能确定
(3)图示：两个平面 α，β 平行，如图 a 所示；两个平面 α， β 相交于直线 l，如图 b 所示．
[破疑点]1.画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面 的两个平行四边形的对应边平行． 2．两个相交平面的画法．
α，β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(
)
A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥β B．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β C．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β D．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
②
×
③
×
④
√
⑤
×
下列命题中的真命题是(
)
A．若点A∈α，点B∉α，则直线AB与平面α相交 B．若a⊂α，b⊄α，则a与b必异面 C．若点A∉α，点B∉α，则直线AB∥平面α D．若a∥α，b⊂α，则a∥b
[答案] A
[解析]
对于选项B，如图(1)显然错误．
对于选项C，如图(2)显然错误． 对于选项D，如图(3)显然错误，故选A.
[答案] D
)
4．棱柱的任意两个侧面的位置关系是( A．相交 C．平行或异面
[答案] D
)
B．平行 D．平行或相交
[解析] 棱柱的任意两个侧面可能有公共点，也可能没有 公共点，则它们平行或相交．
5．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( A．唯一一条直线不相交 B．仅两条相交直线不相交 C．仅与一组平行直线不相交 D．任意一条直线都不相交
[正解] C
基础巩固训练
1．圆柱的两个底面的位置关系是( A．相交 C．平行或异面
[答案] B
)
B．平行 D．相交或异面
[解析] 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．
2．直线l与平面α无公共点，则直线l与平面α( A．平行 B．相交 C．l⊂α D．异面
[答案] A
)
3．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( A．α内的所有直线均与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内直线均与a相交 D．直线a与平面α有公共点
如果一条直线经过平面内的一点，又经过平面外的一 点，则此直线和平面相交． 已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a. 求证：直线a与平面α相交． [分析] 问题的实质就是证明直线a与平面α除点A以外，
不存在其他公共点，于是有下面的证明思路：反证法．
[证明]
假设直线a和平面α不相交，则a∥α或a⊂α.
成才之路· 数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
2． 1 空间点、直线、平面之间的位置关系
第二章
2．1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2．1.4 平面与平面之间的位置关系
课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答
[答案] C
[解析]
由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平
面是相交或平行．解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能 在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两 面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
已知平面 α∥平面 β，直线 a⊂α，则直线 a 与平面 β 的位 置关系为________．
∥α；
⑤如果 a 与平面 α 上的无数条直线平行，那么直线 a 必平 行于平面 α. A．0 C ．2 B．1 D．3
[答案] B
[解析]
如图所示，
序号 ①
正误 ×
理由 在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′ 却在过 BB′的平面 ABB′A′内 AA′∥平面 BB′C′C， BC⊂平面 BB′C′C， 但 AA′不 平行于 BC AA′∥平面 BB′C′C，A′D′∥平面 BB′C′C，但 AA′与 A′D′相交 A′B′∥C′D′，A′B′∥平面 ABCD，C′D′⊄平面 ABCD，则 C′D′∥平面 ABCD AA′显然与平面 ABB′A′中的无数条直线平行， 但 AA′ ⊂平面 ABB′A′
(2)符号表示：直线 l 在平面 α 内，记为 l⊂α ；直线 l 与 平面 α 相交于点 M， 记为 记为 l∥α . (3)图示：直线 l 在平面 α 内，如图 a 所示；直线 l 与平面 α 相交于点 M，如图 b 所示；直线 l 与平面 α 平行，如图 c 所 示．
l∩α＝M
； 直线 l 与平面 α 平行，
[破疑点]一般地，直线 l 在平面 α 内时，应把直线 l 画在表 示平面 α 的平行四边形内，如图 a；直线 l 与平面 α 相交时， 应画成直线 l 与平面 α 只有一个公共点， 如图 b； 直线 l 与平面 α 平行时，应画成直线 l 与表示平面 α 的平行四边形的其一边 平行且在表与平面的平行四边形外，如图 c.
[答案] D
[解析] 选项 A，B 正误 ╳ 理由 不能保证α，β无公共点．如图 当a∥α，a∥β时，α与β可能相交．如图 C ╳
D
√
平面α内
直线与平面的位置关系
学法指导 直线与平面位置关系的判断： (1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口， 这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如 正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法． (2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内， 要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点， 要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
[答案] a∥β
[解析]
∵α∥β，∴α 与 β 无公共点，
∵a⊂α，∴a 与 β 无公共点，∴a∥β.
探索延拓创新
用反证法证明线面关系
学法指导 到目前为止，我们认识了线线关系、线面关
系和面面关系，但是我们只知道定义，没有充足的公理、定 理可用，所以在证明有些结论时可以利用反证法． 应用反证法证题时，要全面考虑反面的各种情况，逐一 推出矛盾进行排除，具体步骤为：(1)假设结论不成立；(2) 归谬；(3)否定假设，肯定结论．
[答案] A
C．2 D．1
[解析]
①两条直线平行、相交或异面
②平行或异面 ③平行、相交或异面 ④无数条≠任意一条，当直线在平面内时，平面内有无 数条直线与这条直线无公共点．∴①②③④均为假命题．
7．如图所示，A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的 六个面所在的平面有什么位置关系？
课前自主预习
温故知新 1．空间中两条直线的位置关系： 平行、相交、异面． 2．若 a∥b，b∥c，则 a∥c . 3．如图所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱中，
(1)与棱 AB 平行的棱是______________________________ _________________________________________； (2) 与棱 AB 相交的棱是 ____________________________ ____________________________________________； (3) 与棱 AB 异面的棱是 ____________________________ ____________________________________________； (4) 与 棱 AB 垂 直 的 棱 是 ___________________________ _____________________________________________．
直线a与平面α平行，直线b⊂α，则a与b的位置关系是 ( ) A．相交 C．异面 B．平行 D．平行或异面
[答案] D
[解析]
a∥α → a与α无公共点 → b⊂α
a与b无公共点 → a与b平行或异面
2．两个平面之间的位置关系 (1)位置关系：有且只有两种 ①两个平面平行—— 没有 公共点； ②两个平面相交——有 一条 公共直线． (2)符号表示：两个平面 α，β 平行，记为 α∥β；两个平面 α，β 相交于直线 l，记为 α∩β＝l .
[答案] D
)
[解析]
根据直线和平面平行定义，易知排除A、B.对于
C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C. 与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平 面α平行，∴D正确．
6．下列四个命题中假命题的个数是(
)
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行 ③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行 ④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这 条直线和这个平面平行． A．4 B．3
[答案]
(1)A1B1， C1D1， CD (2)BC， B1B， AD， AA1
(3)CC1，
DD1，A1D1，B1C1 DD1
(4)BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，
4．若∠AOB＝110° ，直线 a∥OA，a 与 OB 为异面直线， 则 a 和 OB 所成的角为________．
假设a∥α，就与A∈α，A∈a矛盾； 假设a⊂α，就与B∉α，B∈a矛盾． ∴假设不成立． ∴直线a与平面α相交．
名师辨误做答
易错点 对于空间中的线面和面面位置关系问题，应注 意结合实例，全面考虑，认真分析，才能避免判断失误． [例4] 行的平面( 设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平 ) B．恰有两个 D．有无数个
[例3]
已知：直线a∥b，a∩平面α＝P.
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新教材 人教A版高中数学必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 精品教学课件
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练2如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F 分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的
点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.
求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点.
证明:延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O,
∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,
∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α
内,又在平面β内.
∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 证明点、线共面问题常用方法有: (1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内, 即用“纳入平面法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个 平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合 图形写出已知与求证,再证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R 也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. (方法二)∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.又Q∈α, ∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.
成才之路高一数学人教A必修空间中直线与直线之间的位置关系PPT课件
初中的一些结论在空间中仍然成立：如果两条平行线中的 一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于第三条直线．但 是，初中有的结论在空间中不成立：如果两条直线都和第三条 直线垂直，那么这两条直线平行．初中的结论在空间中成立的 标准是已知条件能确定在同一个平面内，在空间中就成立，否 则不成立．
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2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内， 有且只有 一个公共点； (2)平行直线——同一平面内， 没有 公共点； (3)异面直线——不同在 任何一个 平面内，没有公共点．
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[破疑点](1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合 的两条直线；
(2)空间两条直线的位置关系 空间两条直线共面相平交行
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自主预习 阅读教材 P44－47，完成下列问题： 1．异面直线 (1)概念：不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直 线．
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[破疑点]对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内 的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者 说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是 “不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词， 不能误解为“不同在某一平面内”．
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
基础巩固训练 能力强化提升
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课前自主预习
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温故知新 在初中，我们已经学习了在同一平面内的两条直线的位置 关系：相交或平行 ，还学习了一些平行线的性质： ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线 也互相平行 这一性质通过本节的学习也能进 一步推广到空间．
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2．空间两条直线的位置关系 (1)相交直线——同一平面内， 有且只有 一个公共点； (2)平行直线——同一平面内， 没有 公共点； (3)异面直线——不同在 任何一个 平面内，没有公共点．
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[破疑点](1)若无特别说明，本书中的两条直线均指不重合 的两条直线；
(2)空间两条直线的位置关系 空间两条直线共面相平交行
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自主预习 阅读教材 P44－47，完成下列问题： 1．异面直线 (1)概念：不同在 任何一个 平面内的两条直线叫做异面直 线．
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[破疑点]对定义可作如下理解：“不同在任何一个平面内 的两条直线”是指不存在一个平面同时经过这两条直线，或者 说找不到一个平面同时经过这两条直线．“异面”的含义就是 “不能共面”的意思．定义中“任何”是不可缺少的关键词， 不能误解为“不同在某一平面内”．
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
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温故知新 在初中，我们已经学习了在同一平面内的两条直线的位置 关系：相交或平行 ，还学习了一些平行线的性质： ①过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． ②在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线 也互相平行 这一性质通过本节的学习也能进 一步推广到空间．
《成才之路》2019高中数学人教A版必修2课件：第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.2
成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
2.2 直线、平面平行的判定 及其性质
第二章
2.2
2.2.2
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4．已知三棱锥 P－ABC 中，D、E、F 分别是棱 PA、PB、 PC 的中点．求证：平面 DEF∥平面 ABC． 导学号 92180370
第二章
2.2
2.2.2
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第二章
2.2
2.2.2
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[思路分析]
[ 解析]
要 证 平 面 A1EB∥ 平 面 ADC1 ， 只 需 证 平 面
A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC．
又 D、E 分别为 BC，B1C1 的中点， 所以 C1E∥DB，C1E＝DB， 则四边形 C1DBE 为平行四边形， 因此 EB∥C1D．
2.2.2 平面与平面平行的判定
第二章
2.2
2.2.2
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1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
第二章
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
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第二章
2.2 直线、平面平行的判定 及其性质
第二章
2.2
2.2.2
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4．已知三棱锥 P－ABC 中，D、E、F 分别是棱 PA、PB、 PC 的中点．求证：平面 DEF∥平面 ABC． 导学号 92180370
第二章
2.2
2.2.2
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第二章
2.2
2.2.2
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[思路分析]
[ 解析]
要 证 平 面 A1EB∥ 平 面 ADC1 ， 只 需 证 平 面
A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可．
如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC．
又 D、E 分别为 BC，B1C1 的中点， 所以 C1E∥DB，C1E＝DB， 则四边形 C1DBE 为平行四边形， 因此 EB∥C1D．
2.2.2 平面与平面平行的判定
第二章
2.2
2.2.2
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3
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第二章
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．
在 Rt△OCB 中，CO＝BO＝2，OE＝12BO＝1，
∴CE＝ CO2＋OE2＝ 5.
又 DE＝12AO＝ 3，
∴在 Rt△CDE 中，tan∠CDE＝DCEE＝
5＝ 3
15 3.
即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是
第二章 章末归纳总结
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[例 3] 如图，在 Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，斜边 AB＝ 4，Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且 二面角 B－AO－C 是直二面角，动点 D 在斜边 AB 上．
第二章 章末归纳总结
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第二章 章末归纳总结
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[分析] 要证 BD⊥平面 AEF，已知 BD⊥AE，可证 BD⊥ EF 或 AF；由已知条件可知 BC⊥平面 ADC，从而 BC⊥AF， 故关键环节就是证 AF⊥平面 BDC，由 AF⊥DC 即可获证．
第二章 章末归纳总结
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第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
即 tan∠AFB＝AAFB＝
a 3
＝2
3 3.
2a
故平面
VAD
与平面
VDB
所成的二面角的正切值为2
3
3 .
第二章 章末归纳总结
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2
规律总结：用垂面法作二面角的平面角，然后把平面角 归结在某一个三角形中求解．
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∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角．
在 Rt△OCB 中，CO＝BO＝2，OE＝12BO＝1，
∴CE＝ CO2＋OE2＝ 5.
又 DE＝12AO＝ 3，
∴在 Rt△CDE 中，tan∠CDE＝DCEE＝
5＝ 3
15 3.
即异面直线 AO 与 CD 所成的角的正切值是
第二章 章末归纳总结
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[例 3] 如图，在 Rt△AOB 中，∠OAB＝30°，斜边 AB＝ 4，Rt△AOC 可以通过 Rt△AOB 以直线 AO 为轴旋转得到，且 二面角 B－AO－C 是直二面角，动点 D 在斜边 AB 上．
第二章 章末归纳总结
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第二章 章末归纳总结
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[分析] 要证 BD⊥平面 AEF，已知 BD⊥AE，可证 BD⊥ EF 或 AF；由已知条件可知 BC⊥平面 ADC，从而 BC⊥AF， 故关键环节就是证 AF⊥平面 BDC，由 AF⊥DC 即可获证．
第二章 章末归纳总结
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第二章 章末归纳总结
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即 tan∠AFB＝AAFB＝
a 3
＝2
3 3.
2a
故平面
VAD
与平面
VDB
所成的二面角的正切值为2
3
3 .
第二章 章末归纳总结
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规律总结：用垂面法作二面角的平面角，然后把平面角 归结在某一个三角形中求解．
成才之路人教A版数学必修
3 ．理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关
面面垂直的问题．
●温故知新
旧知再现 1 ．直线与平面垂直的判定方法：①定义；②判定定理 b∩c＝A 即：a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，__________ ，则a⊥α. 平行与相交 2．两平面的位置关系：________________ ． 射线 所成的图 3．角的定义：从平面内一点出发的两条 _______ 形． 射影 所成 4．线面角的定义：一条直线与它在平面内的_______ 的锐角或直角．
3 ．如图所示，已知 AB⊥平面 BCD ， BC⊥CD ，则图中互
相垂直的平面共有( ) 对( )
A．1 C．3 [答案] C
B．2 D．4
[ 解析 ] ABD，
∵ AB⊥ 平面 BCD ，且 AB⊂ 平面 ABC 和 AB⊂ 平面
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
平
平面角 二面角的大小可以用它的__________ 来度量， 二面
面 规定 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少 直角 的二面角叫做直二面角 角 度．平面角是________
α－l－β 如图所 棱为 l，面分别为 α，β 的二面角记为__________.
示，也可在 α，β 内(棱以外的半平面部分)分别取点 P， P－l－Q Q，将这个二面角记作二面角__________
平面外一点，PA＝PB＝PC.求证：平面PAC⊥平面ABC.
[ 分析 ]
设 P 在平面 ABC 内射影为 O ，∵ PA ＝ PB ＝ PC ，
∴OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
[ 证明 ]
取 AC 中点 O ，连接 PO， OB. 因为 AO ＝ OC ， PA ＝
成才之路人教A版数学必修2-2.2.3
第二章
2.2
2.2.3
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互动课堂
第二章
2.2
2.2.3
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●典例探究
对线面平行性质定理的理解
求证： 如果一条直线和两个相交平面都平行， 那 么这条直线和它们的交线平行．
第二章
2.2
2.2.3
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[拓展] 解决线面平行问题的策略 解决证明问题的策略是由求证想判定，由已知想性质，总 是对“判定”和“性质”进行转化，最终就能统一起来，即找 到了证明思路．
第二章
2.2
2.2.3
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第二章
2.2
2.2.3
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[破疑点] 法．
(1)性质定理可以作为直线与直线平行的判定方
(2)若a∥α，在平面α内找到一条直线b，使b∥a的作法是： 经过已知直线作一个平面和已知平面相交，则交线和已知直线
a平行．此交线就是要找的直线b.
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第二章
点、直线、平面之间的位置关系
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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第二章
【成才之路】高中数学 2.1.1平面课件 新人教A版必修2
记 法
[归纳总结]
习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具
体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．
2．点、线、面的位置关系的表示
A是点，l，m是直线，α，β是平面.
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 符号语言 A∈l __________ A∉l __________ 图形语言
[ 名师点拨 ]
(1) 公理 2 的条件是 “ 过不在一条直线上的三
点”，结论是“有且只有一个平面”． (2)公理2中“有且只有一个 ” 的含义要准确理解，这里的 “有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是 存在和唯一两个方面，因此 “ 有且只有一个 ” 必须完整地使
用，不能仅用 “ 只有一个 ” 来代替，否则就没有表达出存在
直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是
整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．
4．公理2
文字 语言 图形 语言 符号 语言 作用
不在 过__________ 一条直线上的三点，有且只有一
个平面
不共线 ⇒有且只有一个平面 A，B，C 三点__________
α，使 A∈α，B∈α，C∈α 确定平面 证明点共面
[名师点拨] 从集合的角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系 是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集
合的关系，用“∈”或“∉”表示．
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集 合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．
判断这些位置关系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之
间的位置关系． 点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的
成才之路人教A版数学必修2-2.2.1
行，只要在这个平面内找到一条直线和已知直线平行即可．
第二章
2.2
2.2.1
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●自我检测 1 ．在长方体 ABCD － A1B1C1D1 中，与平面 BDD1B1 平行的 棱有________；与棱CD平行的面有________． [答案] A1A、C1C 面A1B1C1D1、面ABB1A1
●温故知新
旧知再现 相交、平行、直线在平面内 1．直线与平面的位置关系： _______________________． 无公共点 实 2．线线平行、线面平行的共同特征是什么？_________. 际上，平行问题的“无公共点”为基本特征，抓住这一点，平
行问题就迎刃而解了．
3．判定线线平行常用的依据有：定义(判定无公共点)、公 理4(找辅助线)． 4 ．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边， 一半 ． 且等于第三边长的_______
定理得CD∥α，或CD⊂α.
第二章
2.2
2.2.1
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3．如图所示，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上
的点，且BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3.求证：EF∥平面ACD.
[证明]
∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用 三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平 行线分线段成比例定理．
第二章 2.2 2.2.1
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2．线面平行判定定理应用的误区 (1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊄α与b⊂α. (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线． 3．证明直线与平面平行的方法
《成才之路》2019高中数学人教A版必修2课件：第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.4
(2)①正确．证明如下：如图，在平面 α 内取两条相交直线 a、b，分别过 a、b 作平 面 φ，δ，使它们分别与平面 β 交于两相交 直线 a′、b′，因为 α∥β，所以 a∥a′， b∥b′.又因为 β∥γ，同理在平面 γ 内存在 两相交直线 a″，b″，使得 a′∥a″，b′ ∥b″，所以 a∥a″，b∥b″，所以 α∥γ.
②正确．若直线 a 与平面 β 平行或直线 a⊂β，则由平面 α ∥平面 β 知 a 与 α 无公共点或 a⊂α， 这与直线 a 与 α 相交矛盾， 所以 a 与 β 相交．
第二章 2.2 2.2.4
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③正确．如图，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由
α∥β 得 a∥b. 因为 PQ∥β ， PQ⊂γ ，所以 PQ∥b. 因为过直线外一 点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a与直线PQ重 合．因为a⊂α，所以PQ⊂α.
[答案] (1)C (2)①②③
第二章
2.2
2.2.4
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[规律总结] 常用的面面平行的其他几个性质：
2.2.4 平面与平面平行的性质
第二章
2.2
2.2.4
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1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
第二章
2.2
2.2.4
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课前自主预习
第二章
2.2
2.2.4
上、下底面分别相交，所得交线m与n平行．
高一数学人教A版必修2课件2.1.3《空间中直线平面与与平面之间的位置关系》
2
时的一般情况,而忽略了特殊情况.当 0或 时, 这样的
直线只有一条.
2
正解:(1)
当 (0, )时，这样的直线ｌ有两条;
2
(2)当 0或 时，这样的直线ｌ只有１条.
2
答案:C
基础强化
1.a∥b,且a与平面α相交,那么直线b与平面α的位置关系是( )
A.必相交
B.有可能平行
10.求证:过平面内一点,作平面内一直线的平行线必在此平面 内.
证明:设点A∈平面α,a 平面α,
∵A a,∴过点A存在直线b∥a.
设a,b确定的平面为β,则A∈β,且a∈β.∴平面α､β都是由点A和 直线a确定的平面.
∴α与β重合,∴b
α,故结论成立.
11.(湖北高考)已知a,b,c是直线,α､β是平面,给出下列命题: ①若a⊥b,b⊥c,则a∥c; ②若a∥b,b⊥c,则a⊥c; ③a∥α,b α,则a∥b; ④若a､b异面,且a∥β,则b与β相交; ⑤若a､b异面,则至多有一条直线与a､b都垂直.
3.特别提醒 (1)在解答直线与平面的有关问题时,要想像所有可能情况,思
考要全面.
(2)平行平面具有传递性,即α∥β,β∥γ α∥γ.
(3)本节内容可以以长方体为模型,抽象出直线与平面,平面与 平面的位置关系.
题型一 空间图形的画法
例1:分别按下列条件画出直观图. (1)a∩b=P,a∥平面α,b∩平面α=A; (2)平面α∩平面β=l,a∩平面β=A,a∥平面α. 解:根据题设及平面图形直观图的画法,得直观图如下图所示.
1.空间中直线与平面位置关系的分类
直线与平面的位置关系有且只有三种:
按公共点个数分类
直线和平面平行,