吉林省长春市第一中学2019--2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题
吉林省长春市第一中学2019--2020学年高二下学期
期末考试数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则集合（）A．B．C．D．
2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数（）
A．B．
C．
D．
3. 已知，那么下列不等式中成立的是
A．B．C．
D．
4. 函数的定义域为（）
A．B．
C．D．
5. 函数的值域是（）
A．B．C．D．
6. 已知条件，条件直线与直线平行，则是的( )
A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
7. 幂函数在上为增函数，则实数的值为（）
A．0 B．1 C．1或2 D．2
8. 下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）
A．B．C．D．
9. 函数的单调递增区间为（）
A．B．C．D．
10. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当
时，（）
A．B．C．D．
11. 已知函数则( ) A．B．C．D．
12. 已知函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上单调递增，则不等式f（2x﹣1）＞f（x﹣2）的解集为（）
A．（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）
二、填空题
13. 函数且的图象过定点，这个点的坐标为______
14. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率
是．
15. 将极坐标化成直角坐标为_________.
16. 已知函数对任意不相等的实数，，都有
，则的取值范围为__________．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调增区间；
（2）当时，求函数的最大值及最小值.
19. 已知，求的最小值与最大值．
20. 如图，在四棱锥中，底面，，
，，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小.
21. 已知函数f（x）＝ae x﹣2x+1．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）＞0对x∈R成立，求实数a的取值范围
22. 已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为
（为参数）．
（1）求曲线，的普通方程并指出它们的形状；
（2）若点在曲线上，点在曲线上，求线段长度的最小值．。
2019-2020学年吉林省长春市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年吉林省长春市数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60 B ．70C ．80D ．902．已知复数512z i=+，则||z =（ ） A ．1B ．5 C ．5D ．53．当(),1,1m n ∈-时，总有33sin sin m n n m -<-成立，则下列判断正确的是（） A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．||||m n >4．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x ＋2x ＋b(b 为常数)，则f(－1)＝( ) A ．3B ．1C ．－1D ．－35．用1，2，3，4，5，6这六个数字组成无重复数字的六位数，则5和6在两端，1和2相邻的六位数的个数是 A ．24B ．32C ．36D ．486．已知定义在R 上的函数(1)y f x =+的图象关于1x =-对称，且当0x >时，()f x 单调递增，若1.350.5(log 3),(0.5),(0.6)a f b f c f -===，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73B ．8π3- C ．83D ．7π3- 8．函数()2cos()3f x x π=-的单调递增区间是（ ）A ．42233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ B ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ C ．22233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈ D ．242233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈9．已知()()211f x ax x a x =+--≤≤且1a ≤,则()f x 的最大值为( )A ．54B ．34C ．3D ．110．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或 22y x =-+D ．22y x =-+11．已知定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数,a b 有()()()f a b f a f b +=⋅，且()0f x >，若1(1)2f =，则(2)f -＝ ( ) A ．2B ．4C ．12D ．1412．复数2(1)1i z i+=-的共轭复数所对应的点位于复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知双曲线C ：2222y x a b-＝1(a>0，b>0)，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线y ＝2x ＋m(m ≠0)与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为________． 14．()02121xx dx -++=⎰_________________．15．已知()()()12ln f x a x x a R =-+∈在定义域上满足()0f x ≤恒成立，则a =______.16．nx ⎛- ⎝的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．己知角α的终边经过点()1,1P ．()1求tan α的值；()2求()sin cos 2sin πααπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭-的值． 18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.19．（6分）某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑400米、长跑1000米、仰卧起坐、游泳100米、立定跳远”6项中选择3项进行测试，其中“短跑、长跑、仰卧起坐”3项中至少选择其中1项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了50名学生进行调查，他们选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：（其中x y <）已知从所调查的50名学生中任选2名，他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相等概率为49，记ξ为这2名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和. （1）求x 的值；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望. 20．（6分）已知函数()3|||3|f x x x =+- （1）求()f x 的最小值（2）若不等式()5f x <的解集为M ，且,a b M ∈，证明：1ab a b >+-. 21．（6分）已知二项式2121(2)x x+． （1）求展开式中的常数项；（2）设展开式中系数最大的项为t mx 求t 的值。
2019-2020学年吉林市数学高二(下)期末经典试题含解析
2019-2020学年吉林市数学高二(下)期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．椭圆3cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)的离心率是( ) A ．7 B ．7 C ．7 D ．7 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解. 【详解】椭圆3cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩的标准方程为221916x y +=，所以c=7.所以e ＝7. 故答案为A 【点睛】(1) 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. (2)在椭圆中，222,.cc a b e a=-= 2．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴⇒d ＝23．某校学生一次考试成绩X （单位：分）服从正态分布N （110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A ，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率P （B|A ）＝（ ）附：X 满足P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.68，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.95，P （μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1． A ．2795B ．3195C ．2799D ．3199【答案】A 【解析】【分析】利用条件概率公式，即可得出结论. 【详解】由题意()0.475P A =，()()10.990.680.1552P B =-=， ()()10.950.680.1352P AB =-=，所以()()()0.135270.47595P AB P B A P A ===， 故选A 项. 【点睛】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题. 4．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．|a|>b -B ．1a b< C <D ．11a b< 【答案】A 【解析】 【分析】对于A ，用不等式的性质可以论证，对于B ，C ，D ，列举反例，可以判断． 【详解】∵a ＜0，∴|a|＝﹣a ，∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ＞0，∴|a|＞﹣b ，故结论A 成立； 取a ＝﹣2，b ＝﹣1，则 ∵21ab=＞，∴B 不正确；1==C 不正确；112a =-，11b =-，∴11a b＞，∴D 不正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，对于不正确结论，列举反例． 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】A 【解析】 【分析】由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案. 【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为12232πππ⨯+⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.6．设实数x ，y 满足不等式组2,23,0,0.x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩则3x y +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3z x y =+在x 轴上截距的变化，找到该直线在x 轴上的截距取得最小值时的最优解，再将最优解代入目标函数可得出答案． 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：平移直线3z x y =+，当直线3z x y =+经过可行域的顶点()3,0A 时，此时该直线在x 轴上的截距最小，z 取得最小值，即min 3303z =+⨯=，故选B ．【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的思想，利用其在坐标轴上截距最值的思想找出最优来处理，考查数形结合思想，属于中等题． 7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ7 8 9 10Px0.1 0.3y已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（ ） A ．0.2 B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的概率之和是1，得到关于x 和y 之间的一个关系式，由变量的期望值，得到另一个关于x 和y 之间的一个关系式，联立方程，解得y 的值. 【详解】由题意可知：0.10.3170.8 2.7108.9x y x y +++=⎧⎨+++=⎩，解得0.20.4x y =⎧⎨=⎩. 故选：B. 【点睛】本题考查期望和分布列的简单应用，通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度，在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，属于基础题． 8．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为( ) A ．132x y -=⨯ B ．2log y x =C ．3y x =D ．2y x =【答案】A 【解析】分析：将()1,3，()2,5.99，()3,12.01代入四个选项，可得结论.详解：将()1,3，()2,5.99，()3,12.01代入四个选项，可得A 模拟效果最好. 故选：A.点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目.9．若函数f （x ）=()x 1222a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A ．()5,∞-+ B ．[)5,∞-+ C ．(),5∞-- D ．(],5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解. 【详解】由题()xf x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+()()12f x log x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解a 5≥-.故选B. 【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题. 10．函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的x ∈R ，都有()ln 2()f x f x '>⋅成立，则（ ） A ．4(3)(5)f f > B ．4(3)(5)f f <C ．4(3)(5)f f =D ．4(3)f 与(5)f 大小关系不确定【答案】B【解析】 【分析】通过构造函数()()2xf x h x =,由导函数()()()'222ln22x x xf x f x h x -⋅=',结合()()ln2f x f x >'⋅,可知函数()h x 是R 上的增函数，得到()()35h h <,即可得到答案. 【详解】 构造函数()()2xf x h x =，则()()()()()'222ln2ln2022x x xxf x f x f x f x h x -⋅-⋅'='=>，故函数()h x 是R 上的增函数，所以()()35h h <，即()()353522f f <，则()()435f f <.故选B. 【点睛】本题的难点在于构造函数,由()()ln2f x f x >'⋅,构造()()2xf x h x =是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.11．随机变量X 的概率分布为2()(1,2,3)aP X n n n n===+，其中a 是常数，则()D aX =（ ） A ．3881B ．608729C ．152243D ．5227【答案】B 【解析】分析：由已知得12612a a a++=可得a 值，在求出期望算方差即可. 详解：因为随机变量X 的概率分布为()()21,2,3a P X n n n n ===+，故12612a a a++=得43a =，故E（X ）=139,又()2()D aX a D X =，而222132132131()(1)(2)(3)939999D X =-⨯+-⨯+-⨯,故()2()D aX a D X == 608729，选B点睛：考查分布列的性质和期望、方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.12．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】本试题主要考查双曲线的定义，考查余弦定理的应用．由双曲线的定义得122PF PF -=①,又01212260F F c F PF ==∠=,由余弦定理2221212128PF PF PF PF F F +-==②，由①2-②得124PF PF =，故选B ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝4，则异面直线AB 与CD 的夹角为_____． 【答案】2π 【解析】 【分析】取CD 的中点E ，连接,AE BE ，根据等腰三角形的性质可得AE CD ⊥，BE CD ⊥，再根据直线与平面垂直的判定定理可得CD ⊥平面AEB ，然后根据直线与平面垂直的性质可得CD AB ⊥，从而可得答案. 【详解】 如图所示：取CD 的中点E ，连接,AE BE ，因为AC AD =，E 为CD 的中点，所以AE CD ⊥， 因为BC BD =，E 为CD 的中点，所以BE CD ⊥， 又AE BE E =I ， 所以CD ⊥平面AEB ，因为AB Ì平面AEB ，所以CD AB ⊥， 所以异面直线AB 与CD 所成的角为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，考查了直线与平面垂直的判定定理和性质，属于基础题.14．已知平面向量a r ，b r 满足3a b +=r r ，3a b -=r r ，则向量a r 与b r夹角的取值范围是______.【答案】0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由已知，得22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩r r r r Lr r Lr r ②①，由+①②，得226a b +=r r ，由不等式可知3a b ≤r r ，再由-①②，得32a b ⋅=r r ，最后由cos ,a ba b a b⋅=r r r r r r 可得解. 【详解】由3a b +=r r，3a b -=r r ，得()()2239b a a b⎧⎪⎨⎪-==+⎩r r r r ，即22222923a a b b a a b b +⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩r r r r L r r L r r ②①由+①②，得226a b +=r r ，即226a b +=r r由-①②，得32a b ⋅=r r由222a b a b +≥r rr r ，得3a b ≤r r1cos ,2a b a b a b ⋅=≥r r r rr r所以，0,3a b π≤≤rr .故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.15． 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)． 【答案】60 【解析】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.考点：排列组合【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.16．在正项等比数列{}n a 中，12111,a a +=34112a a +=，则公比q =__________． 【答案】22【解析】分析：利用等比数列的通项公式把等式改写成含有1a 和q 的式子，联立方程组求解即可. 详解：由题意得：112311111112a a q a q a q+=+=，两式相除消去1a 并求解得：2q =， 0q >Q ，22q ∴=. 故答案为：22. 点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有1个，分别编号为1，2，3，1．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 【答案】（1）96（2）见解析 【解析】 【分析】 【详解】（1）两个球颜色不同的情况共有24C ⋅12＝96(种). （2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，2．P(X ＝0)＝2441964C =＝，P(X ＝1)＝114333968C C =，P(X ＝2)＝114321964C C =，P(X ＝2)＝11431968C C =所以随机变量X 的概率分布列为： X 01 2 2P14 3814 18所以E(X)＝04⨯＋1⨯ 38＋2⨯ 4＋2⨯ 8＝4．点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.18．已知()y f x =在()0,+∞上有意义，单调递增且满足()()()()21,f f xy f x f y ==+. (1)求证：()()22f xf x =；(2)求()1f 的值；(3)求不等式的()()()34f x x f +≤的解集 【答案】 (1)证明见解析；(2)0；(3) 01x <≤.【解析】分析：(1)令y=x ，得()()2 2f x f x =，（2）令y=x=1，得()1f 的值；（3）先探求()42f =，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果. 详解：(1)∵(大前提) ∴2)＝ ＝．(结论) (2)∵＝12)＝2，(小前提) ∴.(结论) (3)∵，(小前提) 且函数在(0，＋∞)上单调递增，(大前提) ∴解得(结论)点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内. 19．已知函数()ln k f x x x=+，k ∈R . （1）若2k =，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式2()3e f x x≥-恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2（2）0k ≥【解析】【分析】(1)利用导数求单调区间；(2)先分离参数，转化为()23k x lnx e ≥--在()0,x ∈+∞恒成立利用导数求最值即可求解．【详解】（1）()2f x lnx x =+，()22122,0x f x x x x x-=-=>'，所以当2x >时，()'0f x >，()f x 单调递增；当02x <<时，()'0f x <，()f x 单调递减．综上，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2．（2）()()2233e f x k x lnx e x≥-⇔≥--． 令()()23g x x lnx e =--， 则()k g x ≥在()0,x ∈+∞恒成立．()'2g x lnx =-，当2x e >时，()'0g x <，()g x 单调递减；当20x e <<时，()'0g x >，()g x 单调递增．所以()g x 的最大值在2x e =时取得，()20g e=． 所以0k ≥．【点睛】本题主要考查了函数导数的应用，函数恒成立问题，分离参数，属于基础问题基础方法．20．已知a ，b≥【答案】见证明【解析】【分析】方法一：因为a ，b≥+≥整理即可；方法二：利用作差法证明【详解】解：方法一：因为a ，b≥+≥≥方法二：+=(a b =-=0=≥.≥【点睛】本题考查不等式的证明，一般的思路是借助作差或作商法，条件满足的话也可借助基本不等式证明． 21．已知函数()x f x e ax b =-+.（Ⅰ）若()f x 在1x =处有极小值1，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）,1a e b ==；（Ⅱ） (],0-∞.【解析】【分析】（Ⅰ）由题可得(1)0(1)1f f =⎧⎨='⎩，解方程组求得答案；（Ⅱ）()f x 在定义域R 内单调递增即()0x f x e a '=-≥在R 上恒成立，所以,x a e x R Ｎ恒成立，进而求得答案．【详解】（Ⅰ）()x f x e a '=- 依题意得(1)0(1)1f f =⎧⎨='⎩，即01e a e a b -=⎧⎨-+=⎩解得1a e b =⎧⎨=⎩，故所求的实数,1a e b ==； （Ⅱ）由（Ⅰ）得()x f x e a '=-∵()f x 在定义域R 内单调递增 ∴()0x f x e a '=-≥在R 上恒成立即,x a e x R Ｎ恒成立∵x ∈R 时，(0,)x e ∈+∞，∴0a ≤ 所以实数a 的取值范围为(],0-∞.【点睛】本题考查导函数的极值点以及利用导函数解答恒成立问题，属于一般题．22．已知()122*()(1)2(1)(1)(1),n n n k n f x x x k x n x n +++=+++++++++∈N L L .（1）当3n =时，求()f x 的展开式中含3x 项的系数；（2）证明：()f x 的展开式中含n x 项的系数为221(1)n n n C +++.【答案】（1）84；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）当3n =时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的3x 项的系数相加即可；（2）根据二项展开式，含n x 项的系数为123123212322323n n n n n n n n n n n n n C C C nC C C C nC +++++++++⋯+=+++，又1(1)k n n k n k k C n C +++⋅=+，再结合111r r r n n n C C C ++++=即可得到结论．【详解】（1）当3n =时，456()(1)2(1)3(1)f x x x x =+++++，()f x ∴的展开式中含3x 项的系数为6333452384C C C ++=．（2）122()(1)2(1)(1)(1)n n n k n f x x x k x n x +++=++++⋯+++⋯++Q ，(*)n N ∈，故()f x 的展开式中含n x 项的系数为123123212322323n n n n n n n n n n n n n C C C nC C C C nC ++++++++++=++++L L 因为1()!()!()!(1)(1)!!!(1)!(1)!(1)!k n n k n k n k n k n k k C k n n C n k n k n k ++++++⋅===+=+-+-， 所以n x 项的系数为：11111232(1)()n n n n n n n n n C C C C ++++++++++++L21112232(1)()n n n n n n n n n C C C C +++++++=+++++L211332(1)()n n n n n n n C C C +++++=++++L221(1)n n n C ++=+.【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．。
吉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题含解析
吉林市2019-2020学年数学高二下期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数(6)z i i =+，则复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】把复数为标准形式，写出对应点的坐标． 【详解】2(6)616z i i i i i =+=+=-+，对应点(1,6)-，在第二象限．故选B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球 【答案】C 【解析】 【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.3．已知函数f （x ）＝（3x ﹣2）e x +mx ﹣m （m ≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f （x ）≤0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（5e ，2] B ．[52-e ，283-e） C ．[12-，283-e）D ．[﹣1，52-e）【答案】B 【解析】 【分析】设()()=32xg x x e -，利用导数研究其单调性，作出图象，再由()h x mx m =-+恒过定点()1,0，数形结合得到答案． 【详解】设()()=32xg x x e -，()h x mx m =-+，则()()31xg x ex '=+，1,3x ⎛⎫∴∈-∞- ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 单调递增，13x ∴=-，()g x 取最小值133e --，直线y mx m =-+过定点()1,0， 而51,B e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，282,C e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5522ABe k e ==，228833AC e k e== ∴要使有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则228532m e e <-≤，即25823m e e -≤<- ∴实数m 的取值范围为258,23e e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 故选B 项.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题. 4．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）①由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀.②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在线性回归方程^0.212y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位； ④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】对于命题①认为数学成绩与物理成绩有关，不出错的概率是99%，不是数学成绩优秀，物理成绩就有99%的可能优秀，不正确；对于④，随机变量K 2的观测值k 越小，说明两个相关变量有关系的把握程度越小，不正确；容易验证②③正确，应选答案B 。
2019-2020学年吉林省长春市第一中学高二下学期期末考试数学(理)试题解析
2019-2020学年吉林省长春市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}10B x x =->，则集合()R A C B ⋂=（ ）A ．{}1,0-B ．{}1,0,1-C ．{}2,3D ．{}1,2,3答案：B根据已知求出B 的补集，进而求交集． 解：解：由已知：{}|1R C B x x =≤，所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-． 故选：B ． 点评：本题考查集合的补集和交集运算，属于基础题. 2．已知复数52z i=-，其中i 为虚数单位，则复数z =（ ） A ．10533i + B ．2i +C ．10533i - D ．2i -答案：B直接利用复数的除法法则计算得解. 解： 由题得55(2)5(2)22(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+. 故选：B. 点评：本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．已知0a b >>，那么下列不等式中成立的是 A ．a b ->- B ．a m b m +<+C ．22a b >D ．11a b> 答案：C 解：由不等式的性质可知，若0a b >>，则： a b -<-，a m b m +>+，22a b >， 11a b<. 故选：C. 4．函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]答案：C计算每个函数的定义域,再求交集得到答案. 解：1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=+⇒+≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C 点评：本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力. 5．函数 21()()1f x x R x=∈+的值域是． A ．(0，1) B ．(0，1]C ．[0，1)D ．[0，1]答案：B令21t x =+，根据1()f t t=单调性可以完成本题. 解：令21t x =+，则[)1+t ∈∞，又1y t =在[)1+t ∈∞，单调递减所以21()()1f x x R x =∈+值域为(]0,1，所以选择B 点评：考查函数值域问题，可以将函数合理转化变成我们熟悉的函数，根据单调性来求值域. 6．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C先根据直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果. 解：因为直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-； 所以由p 能推出q ；q 不能推出p ； 即p 是q 的充分不必要条件. 故选C 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型. 7．幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1或2D ．2答案：D根据幂函数的定义求出m 的值，再根据()f x 在()0,∞上为增函数，可得210m ->，即可得到m 的值. 解：由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =. 因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =. 故选D. 点评：本题考查幂函数的定义与性质，注意幂函数x 前的系数为1，属基础题. 8．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ） A ．0.5log y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =答案：C直接利用函数性质判断即可. 解：选项A 中0.5log y x =不是周期函数,故排除A; 选项B,D 中的函数均为奇函数,故排除B,D; 故选:C. 点评：本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.9．函数()212()log 68f x x x =--+的单调递增区间为（ ）A ．(4,)+∞B ．(,2)-∞C ．(3,)+∞D ．(3,4)答案：A先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性原理求解. 解：由题得函数()f x 定义域为(,2)(4,)-∞⋃+∞，函数268(4u x x x =-+>或2x <）的增区间为(4,)+∞， 函数12log v u =在定义域内是减函数，k v =-在定义域内是减函数，由复合函数的单调性得()f x 的单调递增区间为(4,)+∞. 故选：A 点评：本题主要考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．31x ---B ．31x -+C ．31x --+D ．31x --答案：C根据函数奇偶性的性质，将0x <转化为0x ->即可求出函数的解析式. 解：若0x <，则0x ->， 当0x >时，()31xf x =-，()31x f x -∴-=-，函数()f x 是奇函数，()()31x f x f x -∴=--=-+，所以C 选项是正确的. 点评：本题主要考查函数解析式的求法，利用函数奇偶性的性质将条件进行转化是解决本题的关键，属基础题.11．已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )A．62+ B．62- C ．72D ．52答案：C结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可． 解：解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，故选：C ． 点评：本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题． 12．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递增，则不等式()()212f x f x ->-的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,+∞D ．()0,1答案：B由偶函数的性质()()f x fx =，将不等式()()212f x f x ->-得()()212f x f x ->-，再利用函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，得出212x x ->-，然后解出该不等式可得出原不等式的解集.解：函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x =，由()()212f x f x ->-，得()()212fx f x ->-，函数()y f x =在[)0,+∞上单调递增，212x x ∴->-，即()()22212x x ->-， 化简得210x ->，解得1x <-或1x >，因此，不等式()()212f x f x ->-的解集为()(),11,-∞-+∞，故选B.点评：本题考查函数不等式的求解，涉及函数的单调性与奇偶性，在函数为偶函数时，可充分利用偶函数的性质()()f x fx =，将问题转化为函数()y f x =在[)0,+∞上的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．函数1()21(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象过定点，这个点的坐标为______ 答案：(1,3)令10x -=，即可求解. 解：令10x -=，1,3x y ==，所以函数()f x 过定点(1,3). 故答案为:(1,3). 点评：本题考查指数函数的性质，属于基础题.14．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ． 答案：112分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可． 解：解：所有的基本事件共6636⨯=个，其中，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，∴出现向上的点数之和为4的概率是313612=， 故答案为：112． 点评：本小题考查古典概型及其概率计算公式，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）mn=，属于基础题．15．将极坐标3π(2,)2化成直角坐标为_________. 答案：()0,2-解：试题分析：由题意得，332cos0,2sin 222x y ππ=⨯==⨯=-，所以直角坐标为()0,2-故答案为：()0,2-【考点】极坐标与直角坐标的互化. 16．已知函数(32)4,1,()log ,1,aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩对任意不相等的实数1x ，2x ，都有1212()()0f x f x x x -<-，则a 的取值范围为__________．答案：2273a ≤< 利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a 的范围． 解：对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，可得函数为减函数，可得：320013240a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+⎩，解得2[7a ∈，2)3． 故答案为：2273a ≤<． 点评：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及对数函数的性质的应用，属于基本题．三、解答题 17．计算： （1）112416254-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）()()22lg5lg 2lg 4-+． 答案：（1）1；（2）1（1）根据指数的运算性质计算即可求得结果； （2）根据对数的运算性质和平方差公式化简计算即可. 解：（1）原式113246452451=+-=+-=；（2）原式()()lg5lg2lg5lg2lg4=+-+lg5lg 22lg 2lg5lg 21=-+=+=． 点评：本题考查指数和对数的运算性质，注意根式与指数式的关系，要求学生认真计算，仔细检查，属基础题.18．已知函数())4f x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值及最小值.答案：（1）周期T π=，增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈Z ⎢⎥⎣⎦（2，最小值为-1（1）找出函数f （x ）解析式中的ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间[2k π2π-，2k π2π+]列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即为函数的单调递增区间；（2）由x 的范围，求出2x 4π+的范围，根据正弦函数的图象与性质可得2x 4π+为2π时，f （x ）取得最大值，当2x 4π+为4π-时函数f （x ）取得最小值，分别求出最大值和最小值即可． 解：（1）f （x ）=（2x 4π+）， ∵ω＝2，∴最小正周期T 2πω==π，由2k π2π-≤2x 4π+≤2k π2π+（k ∈Z ）， 解得k π38π-≤x ≤k π8π+（k ∈Z ）， 故函数f （x ）的单调增区间是[k π38π-，k π8π+]（k ∈Z ）；（2）当x ∈[4π-，4π]时，（2x 4π+）∈[4π-，34π]， 故当2x 42ππ+=，即x 8π=时，f （x ）有最大值2，当2x 44ππ+=-，即x 4π=-时，f （x ）有最小值﹣1．点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键． 19．已知[]3,2x ∈-，求11()142x x f x =-+的最小值与最大值． 答案：最小值34；最大值57 试题分析：根据二次函数和指数函数的性质即可求出最值 试题解析：()221113142122124224x x x x x x x f x -----⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭,∵[]3,2x ∈-, ∴1284x -≤≤. 则当122x-=,即1x =时,()f x 有最小值34；当28x -=,即3x =-时，()f x 有最大值57．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC //AD ，23πBAD ∠=，2PA AB BC ===，4=AD ，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//CM 平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的大小. 答案：（1）见解析（2）6π（1）取AP 的中点E ，连接BE 、EM ，证明四边形BCME 为平行四边形，即可证明//CM 平面PAB .（2）以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC 的一个法向量()3,3,6n =-，取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，结合空间向量数量积运算即可得解. 解：证明：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM . ∵M 是PD 的中点，∴12EM AD =，//EM AD ， 又12BC AD =，//BC AD ，所以EM BC =，//EM BC ， ∴四边形BCME 为平行四边形， ∴//CM BE ，又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴//CM 平面PAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知2PA AB BC ===，4=AD ，23πBAD ∠=， 可得()0,0,0A ，)3,1,0C，()0,2,1M ，∴()3,1,0AC =，()0,2,1AM =，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则由00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即3020x y y z +=+=⎪⎩，令3y =-，则3x =6z =，∴()3,3,6n =-为平面MAC 的一个法向量.∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =， ∴3cos ,248n mn m n m ⋅===⋅， ∵二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的大小为6π.点评：本题考查了线面平行的判定定理，重点考查了空间向量数量积的运算，属中档题. 21．已知函数f （x ）＝ae x ﹣2x +1．（1）当a ＝1时，求函数f （x ）的极值；（2）若f （x ）＞0对x ∈R 成立，求实数a 的取值范围答案：（1）极小值为3﹣2ln 2，无极大值；（2）322e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （1）求导，判断函数单调性，根据单调性求得极值；（2）分离参数，构造函数，求解函数的最值，即可求得参数的范围.解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝e x ﹣2x +1，则f ′（x ）＝e x ﹣2，令f ′（x ）＜0，解得x ＜ln 2；令f ′（x ）＞0，解得x ＞ln 2；故函数f （x ）在（﹣∞,ln 2）上递减，在（ln 2,+∞）上递增，故函数f （x ）的极小值为f （ln 2）＝2﹣2ln 2+1＝3﹣2ln 2，无极大值；（2）f （x ）＞0对x ∈R 成立，即为21x x a e -＞对任意x ∈R 都成立， 设()21xx g x e -=，则a ＞g （x ）max()()222132'()x xx x e x e x g x e e ---==， 令g ′（x ）＞0，解得32x ＜；令g ′（x ）＜0，解得32x ＞； 故函数g （x ）在32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，递增，在32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减， ∴323232()22max g x g e e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故实数a 的取值范围为322e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． 点评：本题考查利用导数求函数的极值，以及根据恒成立问题求解参数的范围，本题采用了分离参数的方法.22．已知曲线1C 的极坐标方程为()cos 2sin 5ρθθ+=，曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （1）求曲线1C ，2C 的普通方程并指出它们的形状；（2）若点M 在曲线1C 上，点N 在曲线2C 上，求线段MN 长度的最小值． 答案：（1）1C 的普通方程为250x y +-=，曲线1C 为一条直线；曲线2C 的为普通方程为2214x y +=，是一个焦点在x 轴上的椭圆 （2（1）由极坐标与直角坐标的关系转化曲线1C 即可，由同角三角函数关系中和的关系将曲线2C 的方程消参得普通方程即可；（2）利用点到线的距离公式结合辅助角公式求最值即可解：（1）将曲线1C 的极坐标方程化为普通方程()cos 2sin 5cos 2sin 5ρθθρθρθ+=⇒+=⇒250x y +-=，所以曲线1C 为一条直线；曲线2C 的参数方程化为普通方程22222cos cos cos 24sin sin sin x x x y y y θθθθθθ⎧⎧==⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎩2214x y +=，所以曲线2C 是一个焦点在x 轴上的椭圆．（2）曲线2C 上的点N 坐标为()2cos ,sin θθ，则求线段MN 的最小值为点N 到直线1C 的距离，所以5MN ==≥=， 即MN-． 点评：本题考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，还考查了利用参数方程求直线与曲线距离的最值，属于简单题.。
吉林省吉林市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题(PDF版)
5
项的二项式系数最大， T5
C84 (
1)4 2
8
x3
35 8
8
x3
-------12 分
19（12分）解：
（1）
男性 女生 总计
晕机 24 8 32
不晕机 31 26 57
总计 55 34 89
------------------5分
（2） k 89 (24 26 318) 2 3.689 3.841 55 34 32 57
当 a 0 时， x (0, 1 ) ， f (x) 在 (0, ) 上单调递增； a
x ( 1 ,) ， f (x) 在 (0, ) 上单调递减. ----------------12 分 a
21（12 分）解：
（1）设考生甲，乙正确完成题数分别为 , ， 则 取值分别为 1，2，3
P(
高二数学理科参考答案与评分标准
（2）P( 2) 3 1 4 , P( 2) 12 8 20
55 5
27 27 27
-------------------------10 分
P( 2) P( 2)
----------------------------------------------11 分
（1）当 a 2 时， f (x) 2ln x 4x 2 ， f (1) 2 ---------------------------1 分
f (x) 2 4 ， f (1) 2 x
--------------------------------------------3 分
曲线 y f (x) 在 x 1处的切线方程为： y 2 2(x 1) ，即： 2x y 0 -----5 分
2019-2020学年吉林省吉林市高二下学期期末数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市高二下学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)z i i =-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】B【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可得解. 【详解】2(1)1z i i i i i =-=-=--，z ∴的虚部是1-.故选：B . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，要注意的是虚部不含i ，是基础题.2．“因对数函数log ay x =是增函数（大前提），而0.2log y x =是对数函数（小前提），所以0.2log y x =是增函数（结论）”.上面推理结论错误的原因是（ ） A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错 D ．大前提和小前提都错导致结论错 【答案】A【解析】对于对数函数来说，底数的范围不同，则函数的增减性不同，可得对数函数log (0a y x a =>且1)a ≠是增函数这个大前提是错误的.【详解】当1a >时，函数log (0a y x a =>且1)a ≠是一个增函数， 当01a <<时，此函数是一个减函数log (0a y x a ∴=>且1)a ≠是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错.【点睛】本题考查演绎推理的基本方法，考查对数函数的单调性，是一个基础题，解题的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的. 3．用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，且1)n >时，第一步应验证的不等式是（ ） A ．12< B ．1122+< C ．111223++< D ．1123+< 【答案】C【解析】直接利用数学归纳法写出2n =时左边的表达式即可. 【详解】解：用数学归纳法证明1111(2321n n n N ++++⋯+<∈-，且1)n >时，时，第一步应验证不等式为：111223++<. 故选：C . 【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证1n =时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题. 4．函数()sin f x x x =+在区间()0,π的单调性为（ ） A ．单调递增 B ．单调递减 C ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 【答案】A【解析】利用函数的导数在()0,π上恒大于等于零，可得函数在区间上单调递增． 【详解】()sin f x x x =+，则()1cos 0f x x '=+≥恒成立，即()sin f x x x =+在区间()0,π上单调递增， 故选：A本题考查导数在单调性中的应用，考查三角函数的性质，属于基础题．5．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）A ．假设a 、b 、c 都是偶数B ．假设a 、b 、c 都不是偶数C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B【解析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案． 【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a 有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B ． 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6．函数()331f x x x =-+在闭区间[]3,0-上的最大值、最小值分别是（ ）A ．1,17-B ．3,17-C ．1,1-D ．9,19-【答案】B【解析】先研究函数()f x 在区间[]3,0-上的单调性，再根据单调性求最值即可. 【详解】解：()2'330f x x =-=，解得1x =±，再根据二次函数性质得在[]31--，上()'0f x >， 在[]1,0-上()'0f x <，所以函数()f x 在[]31--，单调递增， 在[]1,0-单调递减，所以()()max 13f x f =-=，()3279117f -=-++=-，()01f =，所以()()min 317f x f =-=-.故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题. 7．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积是（ ）A ．2ln 2B ．1ln 22C ．154D ．174【答案】A 【解析】直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积可用定积分计算，先求出图形横坐标范围，再求定积分即可. 【详解】 如图， 由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积：2121S dx x=⎰ 212ln |x =1ln 2ln2=- 2ln 2=.故选：A【点睛】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积，做题时应认真分析.8．甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．不确定【答案】C【解析】分别假设乙与丙说的假话，分析三个人的说法，由此能求出结果． 【详解】若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲、乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾； 若丙说了假话，则甲、乙说的话为真，甲、乙都没有申请，申请的人是丙，满足题意， 故选C. 【点睛】本题考查简单的合情推理知识，考查推理论证能力，是基础题． 9．三角形的面积为()12S a b c r =++⋅，（,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A ．13V abc =（,,a b c 为底面边长） B ．()1V S S S S r =+++（,,,S S S S 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体C ．13V Sh =（S 为底面面积，h 为四面体的高） D ．()13V ab bc ac h =++（,,a b c 为底面边长，h 为四面体的高）【答案】B【解析】根据类比规则求解. 【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化， 因此四面体的体积为()123413V S S S S r =+++（1234,,,S S S S 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径），选B. 【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.10．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，给出下列命题： ①2-是函数()y f x =的极值点； ②1不是函数()y f x =的极值点； ③()y f x =在0x =处切线的斜率小于零； ④()y f x =在区间()2,2-上单调递增. 其中正确命题的序号是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①②【答案】A【解析】利用函数极值点的定义可判断命题①②的正误；利用导数的几何意义可判断命题③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断命题④的正误. 【详解】根据导函数图象可知当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<，在()2,x ∈-+∞时，()0f x '≥.则函数()y f x =在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，而在2x =-处()20f '-=，左侧单调递减，右侧单调递增，则2-是函数()y f x =的极小值点，故①正确；函数()y f x =在()2,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递增，1∴不是函数()y f x =极值点，故②正确；函数()y f x =在0x =处的导数大于0，()y f x ∴=在0x =处切线的斜率大于零，故③不正确. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的单调性、极值和切线的斜率等有关知识，属于基础题.11．中央提出脱贫攻坚到2020年要实现的两个确保目标：确保农村贫困人口实现脱贫、确保贫困县全部脱贫摘帽.某企业为响应党中央号召，计划将3个不同的项目投资到4个候选贫困县中，每个项目只能投资到一个候选贫困县，且在同一个贫困县投资的项目不超过2个，则该企业不同的投资方案有（ ） A ．16种 B ．36种 C ．42种 D ．60种【答案】D【解析】根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资求出每种情况的投资方案数目，由加法原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2种情况讨论：①在一个贫困县两个项目，在另外一个贫困县投资1个项目，剩下两个没有得到投资； 需要将项目分成2个与1个的两组，有3种分法；在4个贫困县当中，选择两个贫困县作为投资对象，有2412A =种情况，此时有31236⨯=种不同的投资方案，②4个候选贫困县有三个贫困县各获得一个投资的项目，剩下1个没有得到投资需要在4个贫困县当中，任选3个作为投资对象，有3424A =种情况，则有362460+=种方案；本题主要考查排列组合的应用以及分类、分步计数原理的应用，属于基础题. 12．若函数()219ln 2f x x x =-在区间1[2a -，1]2a +上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5(0,]2B ．1(,)2+∞C ．15(,]22D ．3(,2]2【答案】C【解析】求出函数()f x 的单调减区间D ，然后令1[2a -，1]2a D +⊆，由此构造不等式组求解即可. 【详解】解：因为函数()219ln 2f x x x =-，所以0x >，且9()f x x x'=-， 由()0f x '<得290x x >⎧⎨-<⎩，解得03x <<. ()f x 在区间1[2a -，1]2a +上单调递减， ∴102132a a ⎧->⎪⎪⎨⎪+⎪⎩，解得1522a<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数单调区间求参数的范围，是中档题.二、填空题13．已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p 值等于__.【答案】0.3由离散型随机变量ξ的分布列得：0.40.31p ++=， 解得0.3p =. 故答案为：0.3. 【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 14．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a=_____________． 【答案】a=1.【解析】试题分析：根据题意得到先将表达式上下同乘以分母的共轭复数，再根据纯虚数的定义得到实部为0，虚部不为0，列出表达式解出即可. 详解：根据题意得到()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ----+-==+-+,因为是纯虚数故得到a 10-=,故a =1.检验此时复数的虚部不为0，符合题意.故答案为a =1.点睛：这个题目考查了复数的混合运算，纯虚数的概念，注意在计算时认真仔细即可.复数的除法运算先要分子乘以分母的共轭复数,再将实部和虚部分开. 15．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ.若(2)0.023P ξ>=，则(22)P ξ-≤≤=__________．【答案】0.954【解析】试题分析：∵随机变量ξ服从正态分布N （0，σ2），∴正态曲线关于x=0对称， ∵(2)0.023P ξ>=，∴(2)0.023P ξ<-=，∴(22)10.0230.0230.954P ξ-≤≤=--=， 故答案为0.954【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．16．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.【答案】1,e⎛⎤-∞⎥⎝⎦【解析】由题意可知()()f xg x=-有解，即y lnx=与y ax=有交点，根据导数的几何意义，求出切点，结合图象，可知a的范围.【详解】函数3()f x lnx x=-与3()g x x ax=-的图象上存在关于x轴的对称点，()()f xg x∴=-在(0,)+∞上有解，即33lnx x x ax-=-+在(0,)+∞上有解，lnx ax∴=，在(0,)+∞上有解，分别设y lnx=，y ax=，若y ax=为y lnx=的切线，则1yx'=，设切点为(x，)y，则1ax=，00ax lnx=，x e∴=，1ae∴=，结合图象可知，1ae.故答案为：(-∞，1]e.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及参数的取值范围问题，关键是转化为y lnx=与y ax=有交点，利用相切求出临界值，在求相切问题时，关键是设出切点，再建立各个量之间的联系，属于中档题.三、解答题17．已知复数22(815)(328)(z m m m m i i=-+++-是虚数单位），当实数m为何值时.（2）复数0z <.【答案】（1）73m -<<；（2）4.【解析】（1）由实部大于0，虚部小于0联立不等式组求解； （2）由实部小于0且虚部等于0列式求解m 值. 【详解】 （1）由题意，2281503280m m m m ⎧-+>⎨+-<⎩，解得73m -<<； （2）由0z <，得2281503280m m m m ⎧-+<⎨+-=⎩，解得4m =. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念和一定量的计算，是基础题.18．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.【答案】()18n =；()277=16T ，835=70T x .【解析】()1等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n ；()2写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】解：()1二项式nx ⎛⎝的展开式的通项公式为143311122rrrr n r r n r r n r rr n n n T C x C x x C x ----+⎛⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，第一项系数为00112n C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，第二项系数为11122n n C ⎛⎫-⋅=⎪⎭- ⎝，第三项系数为()22212148n n C C n n ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭-=，前三项系数的绝对值分别为1，2n ，()18n n -， 因为前三项系数的绝对值成等差数列，(1)2128n n n -∴⨯=+，即2980n n -+=，求得1n =（舍去），或8n =. ()2二项式nx ⎛- ⎝，由()1可知8x ⎛- ⎝， 它的通项公式为4831812rr rr T C x -+⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令4803r -=，可得6r =，故展开式的常数项为667817·216T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 二项式系数为8rC ，故当4r =时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为88433581··7016T C x x ==.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题.19．调查男、女乘客在一次恶劣天气的飞行航程中晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机. （1）完成下面22⨯列联表；（2）根据此材料能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）答案见解析；（2）不能. 【解析】（1）根据题意填写列联表即可；（2）根据列联表中数据计算2K ，对照附表得出结论. 【详解】（1）根据题意，完成下面22⨯列联表；（2）根据列联表中数据，计算2289(2426318) 3.689 3.84155343257K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，对照附表知，不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为在恶劣天气飞行中男性比女性更容易晕机. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题. 20．已知函数()()2ln 2f x x ax a a R =-+∈.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）讨论()f x 的单调性.【答案】(1) 20x y +=； (2) 若0a ≤， ()f x 在()0,∞+上递增；若0a >，()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减． 【解析】（1）根据导数的几何意义得到()()12,12f f ='-=-，进而得到切线方程；（2）对函数求导，研究导函数的正负，得到函数的单调性. 【详解】（1）当 2a =时，()2ln 42f x x x =-+，()24f x x∴=-'， ()()12,12f f ∴'=-=-，∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：20x y +=；（2）()()22220ax f x a x x x-+=-='> 若0a ≤， ()0f x '>， ()f x 在()0,∞+上递增； 若0a >，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0f x '>， ()f x 单调递增； 当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0f x '<， ()f x 单调递减． 点睛：这个题目考查的是导数的几何意义，切线方程的求法；考查了导数在研究函数的单调性中的应用；一般在研究函数的单调性中，常见的方法有：图象法，通过图象得到函数的单调区间；通过研究函数的导函数的正负得到单调性．21．某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响. （1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；（2）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力.【答案】（1）数学期望分别为2，2；（2）答案见解析.【解析】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望.（2）因为(2)(2)P P ξη>，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【详解】（1）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η， 则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，1242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， 所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：131()1332555E ξ∴=⨯+⨯+⨯=.因为2~(3,)3B η，所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望2()323E η=⨯=.（2）因为314(2)555P ξ=+=，12820(2)272727P η=+=，所以(2)(2)P P ξη>，从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大， 因此可以判断甲的实验操作能力较强. 【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查两人实验操作能力的判断，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用.22．设函数()()223ln ,032x f x ax x a R a =-+∈<<.（1）当2a =时，求函数()f x 的极值；（2）当[1x ∈，)+∞时，不等式()35ln 3ln 2f x x x x ≥-+-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值为72-，极小值为153ln 32-；（2）01a <<. 【解析】（1）把2a =代入函数解析式，求出导函数，可得函数的单调区间，进一步求得极值；（2）当[1x ∈，)+∞时，将不等式3()532f x xlnx lnx -+-恒成立，转化为53424x lnx a x ++在[1，)+∞上恒成立，令53()424x lnx g x x=++，利用导数求最大值即可. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当2a =时，2()432x f x x lnx =-+，3(3)(1)()4x x f x x x x --'=-+=. 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当(1,3)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当(3,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴当1x =时，()f x 取得极大值为f （1）72=-，当3x =时，()f x 取得极小值为f （3）15332ln =-；（2）当[1x ∈，)+∞时，不等式3()532f x xlnx lnx -+-恒成立，即2325022x ax xlnx -++，也就是53424x lnx a x ++在[1，)+∞上恒成立. 令53()424x lnx g x x =++，则22103()4x x g x x +-'=. [1x ∈，)+∞，21030x x ∴+->，即()0g x '>.可知()g x 在[1，)+∞上为增函数.()g x g ∴（1）13144=+=. 又0<<3a ，01a ∴<<. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，还考查了转化化归思想和运算求解能力，属于中档题.。
2019-2020学年吉林省长春市数学高二第二学期期末考试试题含解析
2019-2020学年吉林省长春市数学高二第二学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a ，b ，c 都为正数，那么，用反证法证明“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”时，做出与命题结论相矛盾的假设是（ ） A ．这三个数都不大于2 B ．这三个数都不小于2 C ．这三个数至少有一个不大于2 D ．这三个数都小于2【答案】D 【解析】分析：利用反证法和命题的否定分析解答. 详解：“三个数1a b +，1b c +，1c a+至少有一个不小于2”的否定是“这三个数都小于2”， 所以做出与命题结论相矛盾的假设是这三个数都小于2.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数a,b,c 至少有一个不小于m 的否定是三个数都小于m.2．已知集合U N =，{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，则()U A B =（ ）A ．{2,3,4,5,6}B ．{2,4,6}C ．{1,3,5}D ．{3,5}【答案】D 【解析】 【分析】按照补集、交集的定义，即可求解. 【详解】{}*|2,A x x n n N ==∈，{|16}B x x =<，()UA B ={3,5}.故选:D. 【点睛】本题考查集合的混合计算，属于基础题. 3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】 【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n 1=时，当n=k +1时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k ，和n=k +1代入等式，然后把n=k +1时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案． 【详解】当n=k 时，等式左端=1+1+…+k 1，当n=k +1时，等式左端=1+1+…+k 1+k 1+1+k 1+1+…+（k+1）1，增加了项（k 1+1）+（k 1+1）+（k 1+3）+…+（k+1）1． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 4．设函数()()211log 2,1,2,1,x x x f x x -⎧+-<=⎨≥⎩，则()()22f f -+=（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据x 的取值计算()()2,2f f -的值即可. 【详解】解：()()()2121log 222,2223f f --==++==，故()()225f f -+=， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数求值问题，考查对数以及指数的运算，是一道基础题.5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时，()2f x x =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．2019B ．1C ．0D ．-1【答案】C 【解析】 【分析】根据题意推导出函数()y f x =的对称性和周期性，可得出该函数的周期为4，于是得出()()()()()()()()()123201*********f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+=⨯+++++⎡⎤⎣⎦()()23f f +可得出答案． 【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，则()()()2f x f x f x +=-=-，()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，所以，函数()y f x =的周期为4，且()2111f ==，()()200f f =-=，()()()()334111f f f f =-=-=-=-，()()400f f ==，()()()()123410100f f f f ∴+++=+-+=，201950443=⨯+，()()()()1232019f f f f ∴+++⋅⋅⋅+()()()()()()()5041234123f f f f f f f =⨯++++++⎡⎤⎣⎦50401010=⨯++-=，故选C ．【点睛】本题考查抽象函数求值问题，求值要结合题中的基本性质和相应的等式进行推导出其他性质，对于自变量较大的函数值的求解，需要利用函数的周期性进行求解，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中等题．6．设A ，B 是抛物线24y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则2212k k +的最小值为（ ）A．B ．2CD ．1【答案】D 【解析】 【分析】设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得1212k k =，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2211224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得12112121422y y k x x y y t t-====-+，又由24 tk=，所以121 2k k=，则22211221k kk k≥=+，当且仅当1222k k==时取等号，即2212k k+的最小值为1.故选：D．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．1235πB．1243πC．1534πD．1615π【答案】D【解析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为99161cos2339B+-==⨯⨯，则215sin1()99B=-=，底面三角形的外接圆的半径45252r==⨯，则三棱锥的外接球的半径228116142020R d r=+=+=，其表面积1611614205Sππ=⨯=，应选答案D 。
吉林省长春市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题含解析
吉林省长春市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在一项调查中有两个变量x （单位：千元）和y （单位：t ），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程类型的是（ ）A ．y ＝a+bxB ．y ＝c+d xC ．y ＝m+nx 2D ．y ＝p+qe x （q ＞0）2．用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”时，要做的假设是 A ．方程20x ax b ++=没有实根 B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根3．函数()sin()f x A x ωϕ=+ (0,0,2A πωϕ＞＞＜)的部分图象如图所示，若12,,63x x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且()()12f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ．12C ．22D 34．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数5．运行下列程序，若输入的,p q 的值分别为65,36，则输出的p q -的值为A ．47B ．57C ．61D ．676．已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（） A ．()10<f x ,()20f x < B ．()10<f x ,()20f x > C ．()10f x >,()20f x <D ．()10f x >,()20f x >7．若实数,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的取值范围为( )A ．[]1,9B ．[]5,9C ．[]3,9D ．[]3,58．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形9．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有( ) A ．12种B ．7种C ．24种D ．49种10．与圆221x y +=及圆22870x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）． A ．一个圆上B ．一个椭圆上C ．双曲线的一支上D ．抛物线上11．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1B ．C ．2D ．312．已知平面α与平面β相交,a 是α内的一条直线,则（） A ．在β内必存在与a 平行的直线B ．在β内必存在与a 垂直的直线C ．在β内必不存在与a 平行的直线D ．在β内不一定存在与a 垂直的直线二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设21,[0,1]()1,[1,0)x x f x x x ⎧⎪-∈=⎨+∈-⎪⎩，则11()f x dx -⎰等于___________．14．一个袋子中装有8个球，其中2个红球，6个黑球，若从袋中拿出两个球，记下颜色，则两个球中至少有一个是红球的概率是________（用数字表示）15．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 16．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>31(3,)2M ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）与x 轴不垂直的直线l 经过2)N ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若坐标原点O 在以AB 为直径的圆内，求直线l 斜率的取值范围． 18．已知函数()ln f x x x x =+ ，(1)求()f x 的图象在1x = 处的切线方程并求函数()f x 的单调区间； (2)求证：()xe f x >' .19．（6分）（理科学生做）某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X ,其概率分布如下表，数学期望()2E X =. （1）求a 和b 的值；（2）某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X 大于0的次数为Y ，求Y 的概率分布与数学期望. X36P12a b20．（6分）设函数()213f x x x =-++． (1) 求不等式()5f x >的解集；(2) 若不等式()21f x m ≥+恒成立，求实数m 的取值范围．21．（6分）在ABC 中的内角A 、B 、C ，sin()sin sin A B C B -=-，D 是边BC 的三等分点（靠近点B ），sin sin ABDt BAD∠=∠．（1）求A 的大小．（2）当t 取最大值时，求tan ACD ∠的值．22．（8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点()0,1，且离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）12,A A 为椭圆C 的左、右顶点，直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除,C D 选项，故选B . 2．D 【解析】 【分析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立. 【详解】命题“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至多有一个实根”的否定为“设,a b 为实数，则方程20x ax b ++=恰好有两个实根”；因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程20x ax b ++=恰好有两个实根. 故选D 【点睛】本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型. 3．D【解析】 【分析】由三角函数的图象求得()sin(2)3f x x π=+，再根据三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】由图象可知， 1,()2362T A πππ==--=，即T π=，所以2ω=，即()sin(2)f x x ϕ=+， 又因为()03f π=，则sin(2)03πϕ⨯+=，解得2,3k k Z πϕπ=-+∈， 又由2πϕ＜，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，又因为()36212πππ+-=，所以图中的最高点坐标为,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭.结合图象和已知条件可知122126x x ππ+=⨯=，所以122()()sin(2)sin 6633f x x f ππππ+==⨯+==， 故选D. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的部分图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
吉林省长春市市实验中学2019-2020学年高二数学理下学期期末试题含解析
吉林省长春市市实验中学2019-2020学年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在四边形中，∥，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面参考答案：D略2. 已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a．则双曲线C的离心率为( )A．2 B．C．D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a，可得=a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，∵渐近线被圆（x﹣a）2+y2=a2截得的弦长为a，∴=a，∴c2=2b2，∴e=．故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．3. 已知，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知为正偶数，用数学归纳法证明时，第一步应验证（） A． B．C． D．参考答案：D略5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B6. 若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A． B．C．D．参考答案：B略7. 以F为焦点的抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.参考答案：D8. 下列说法中正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱C．所有的几何体的表面都能展成平面图形D．棱柱的各条棱都相等参考答案：B9. 圆心在直线2x﹣y﹣6=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣5），B（0，﹣3），则圆C的方程是（）A．（x﹣1）2+（y+4）2=2 B．（x+1）2+（y﹣4）2=2C．（x﹣1）2+（y﹣4）2=2 D．（x+1）2+（y+4）2=2参考答案：A【考点】圆的标准方程．【分析】由垂径定理确定圆心所在的直线，再由条件求出圆心的坐标，根据圆的定义求出半径即可．【解答】解：∵圆C与y轴交于A（0，﹣5），B（0，﹣3），∴由垂径定理得圆心在y=﹣4这条直线上．又∵已知圆心在直线2x﹣y﹣6=0上，∴联立，解得x=1，∴圆心C为（1，﹣4），∴半径r=|AC|==．∴所求圆C的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=2．故选：A．【点评】本题考查了如何求圆的方程，主要用了几何法来求，关键确定圆心的位置；还可用待定系数法．10. 过函数f(x)= x3－x2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．[0，] B．[0，)∪[，π)C．[，π) D．(，]参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求．【解答】解：由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，则实数t的值为．参考答案：±3【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】利用圆x2+y2=4与圆（x﹣t）2+y2=1外切，圆心距等于半径的和，即可求出实数t 的值．【解答】解：由题意，圆心距=|t|=2+1，∴t=±3，故答案为±3．12. 圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为．参考答案：或【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】有两种形式的圆柱的展开图，分别求出底面半径和高，分别求出体积．【解答】解：圆柱的侧面展开图是边长为2a与a的矩形，当母线为a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱体积是π×（）2×a=；当母线为2a时，圆柱的底面半径是，此时圆柱的体积是π×（）2×2a=，综上所求圆柱的体积是：或．故答案为：或；13. 函数的值域是_____________参考答案：是的增函数，当时，略14. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(4,1),C(3,4),点P(x,y)在△ABC的边界及其内部运动,则的最大值为,最小值为．参考答案：4、2.515. 平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值为___．(将你认为所有正确的序号都填上) ①0；②；③1；④2；⑤3。
吉林省长春市2019-2020学年数学高二下期末考试试题含解析
吉林省长春市2019-2020学年数学高二下期末考试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}{}21,2,3,3410A B x x mx ==-+=，若{}1A B ⋂=，则m =（ ）A ．1B ．12-C ．12D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=得1A ∈且1B ∈，把1代入二次方程求得1m =，最后对m 的值进行检验. 【详解】因为{}1A B ⋂=，所以1A ∈且1B ∈， 所以3410m -+=，解得1m =.当1m =时，1{1,}3B =，显然{}1A B ⋂=，所以1m =成立，故选A. 【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数m 的值后要记得检验.2．若函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．[0,1)C ．1(,]e-∞D ．1[0,]e【答案】C 【解析】 【分析】 令12t x =-+，则函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点等价于函数()ln (0)g t t at t =->至少有1个零点，对函数()g t 求导，讨论0a ≤和0a >时，函数()g t 的单调性，以及最值的情况，即可求出满足题意的实数a 的取值范围。
【详解】由题可得函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； 令12t x =-+，则0t >，函数11()ln 22f x x a x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭至少有1个零点等价于函数()ln ln (0)g t t a t t at t =--=->至少有1个零点；11()(0)at g t a t t t-'=-=>；（1）当0a ≤时，则1()0atg t t -'=>在(0,)+∞上恒成立，即函数()g t 在(0,)+∞单调递增，当0x →时，()g t →-∞，当x →+∞时，()g t →+∞，由零点定理可得当0a ≤时，函数()g t 在(0,)+∞有且只有一个零点，满足题意；（2）当0a >时，令()0g t '<，解得：1x a >，令()0g t '>，解得：10x a <<，则函数()g t 在1(0,)a上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，当0x →时，()g t →-∞，所以要使函数()g t 至少有1个零点，则111()ln ln 10g a a a a a =-⋅=--≥，解得：10a e<≤ 综上所述：实数a 的取值范围是：1(,]e-∞ 故答案选C 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点个数的问题，由导数研究函数的单调区间以及最值是解题的关键，属于中档题。