双曲线经典练习题总结(带答案)

双曲线经典练习题总结（带答案）

一、选择题

1．以椭圆x 216＋y 2

9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C )

A ．x 216－y 2

48＝1

B ．y 29－x 2

27

＝1

C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2

27＝1

D ．以上都不对

[解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2

48＝1；当顶点为(0，

±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2

27＝1.

2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42

[解析] 双曲线

2x 2－y 2＝8

化为标准形式为x 24－y 2

8

＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4.

3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2

＝1的离心率的取值范围是( C )

A ．(2，＋∞)

B ．(2，2 )

C ．(1，2)

D ．(1,2)

[解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1

a

. ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a

2.

∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1

a

2<2，∴1

4．(2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C

的渐近线的距离为( D ) A ．2 B ．2 C ．322

D ．22

[解析] 由题意，得e ＝c

a

＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a >0，b >0，所以a ＝b ，渐近

线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为4

2

＝22， 故选D ．

5．(2019·全国Ⅲ卷理，10)双曲线C ：x 24－y 2

2＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，

O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( A ) A ．324

B ．322

C ．22

D ．32

[解析] 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点坐标为(6，0)，一条渐近线的方程为y ＝2

2x ，不妨设点

P 在第一象限，由于|PO |＝|PF |，则点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝3

2

，即△PFO 的底边长为6，高为

32，所以它的面积为12×6×32＝32

4

.故选A ． 6．若双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，

则C 的离心率为( A ) A ．2 B ．3 C ．2

D ．233

[解析] 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b

a x ，

圆的圆心为(2,0)，半径为2，

由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.根据点到直线的距离公式得

2b a 2＋b 2

＝3，解得b 2＝3a 2. 所以C 的离心率e ＝c

a ＝

c 2a 2

＝1＋b 2

a

2＝2.故选A ． 二、填空题

7．(2019·江苏卷，7)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－

y 2

b 2

＝1(b >0)经过点(3,4)，则该

双曲线的渐近线方程是 [解析] 因为双曲线x 2－

y 2b 2＝1(b >0)经过点(3,4)，所以9－16b 2

＝1(b >0)，解得b ＝2，即双曲线方程为

x 2－

y 2

2

＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .

8．双曲线x 24＋y 2

k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是__－12＜k ＜0__.

[解析] 双曲线方程可变形为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝c

a ＝

4－k

2

.又因为e ∈(1,2)，即1＜4－k

2

＜2，解得－12＜k ＜0. 三、解答题

9．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝5

2的双曲线的方程；

(2)求实轴长为12，离心率为5

4

的双曲线的标准方程．

[解析] (1)设双曲线的方程为x 29－λ－y 2

λ－4＝1(4<λ<9)，则a 2＝9－λ，b 2＝λ－4，∴c 2＝a 2＋b 2

＝5，

∵e ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝59－λ＝54，解得λ＝5， ∴所求双曲线的方程为x 24

－y 2

＝1.

(2)由于无法确定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，所以可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2

b 2＝

1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2

b 2＝1(a >0，b >0)．

由题设知2a ＝12，c a ＝5

4且c 2＝a 2＋b 2，

∴a ＝6，c ＝152，b 2＝81

4

.

∴双曲线的标准方程为x 236－y 2814＝1或y 236－x 2

81

4

＝1.

B 级 素养提升

一、选择题

1．如果椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，那么双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率为( A )

A ．

52

B ．54

C ．2

D ．2

[解析] 由已知椭圆的离心率为3

2，得a 2－b 2a 2＝34

，