三垂线定理及逆定理(一)newPPT教学课件
三垂线定理实质是平面内的直线和平面的斜线垂直 的判定定理.
2020/12/10
6
3.如果将定理中“在平面内”的条件去掉，结 论成立吗？
P
a
o A α
直线a必须要在平面内,如果a 不在平面内,定理就不一定成 立.
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7
D1 A1
D A
解 题 反 思
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C1
B1 C
练习: (1)求证: D1BB1C (2)求证: D 1B平A 面 1C B
求 证 AC ： BD .
B
D
O
C
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10
[思考3]:
D1 A1 P
D A
C1
B1
O
若O为 B1BCC1中心, P为 D1D 上一点,M为CD中 点.
M
C 求证：PO⊥AM
N
B
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11
[思考4]:
D1 A1
G
D
C1 B1 E F
C
设正方体 ABC A 1B 1D C 1D 1的 棱长为2,
求证：a⊥PO
2020/12/10
P
oa A α
4
三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它 和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条 斜线在平面内的射影垂直.
P oa
A α
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5
P
理解和深化
oa
A
⒈为什么称为“三垂线”定理？α
三种垂直关系: ①线面垂直②线射垂直③线斜垂直
⒉这个定理的作用是什么？
若E为 C1C 的中点,
求E到 AB1 距离.
A
B
解题反思：找出平面的垂线可使思路
更加清晰.“作——证——算”三步.
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12
思考：若平面α内的直角△ABC的斜边 AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离 都是25,求：点O到平面的距离．
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13
PPT教学课件
B
8
[思考1]:
A
在四面体A-BCD中,A在平面
BCD中的射影O在△BCD内,
试根据下列条件,判断O为
△BCD的什么心?
B
D (1) A到△BCD的三边距离相等.
O
(2) AB=AC=AD.
C
(3) AB,AC,AD两两垂直.
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[思考2]:
在四面体A-BCD中
A
若 AB CD ,BC AD ,
三垂线定理及逆定理
P
oa
A α
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1
[思考]
如图， l是平面α的一条斜线，如何在α内画一 条直线与 l垂直？
l
a α
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2
lP
A
αO
a
OA是PA在平面α内的射影
涉及到三对垂直关系
：
PO , OA a , PA a
其中 :
PO
OA是PA在平面α内的射影
谢谢观看
Thank You For Watching
14
OA
a
PA
a
a
A - - - - - - - - 三垂线定理 .
PO PAaOAaa
- - - - - - - - 三垂线逆定理
.
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3
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和 这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直.
已知:PA、PO分别是平面α的垂线、 斜线，AO是PO在平面α内的射影， 且a α，a⊥AO
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《三垂线定理》课件
垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
注意：如果将定理中“在平面内” ②异面直线
的条件去掉，结论仍然成立吗？
定理就不一定成立
线射垂直 P
A
α
？P
Oa
A
α
线斜垂直
Oa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。
区别 1、条件和结论上区分：线射垂直 线斜垂直 2、作用上区分：共面直线垂直 异面直线垂直
AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，
同理CO⊥BD，
B
D
于是O是△BCD的垂心，
O
∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.
C
练习：
判断下列命题的真假：
D1
⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于
a在平面α内的射影，则 a⊥b （ ×）
A1
C1 B1
⑵若 a是平面α的斜线，平面β内
的直线b垂直于a在平面α内的射
一面，四线，三垂直
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P
P
P
A Oa
A Oa
A Oa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
例1、 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
C B
AO a α
P P
C A
M B
三垂线定理解题的关键：找三垂！ 怎么找？
程序：一垂、二射、三证
解 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，
三垂线定理及其逆定理课件
三垂线定理的应用实例
角平分线的应用
用角平分线确定两个相等角， 帮助解决几何问题。
内切圆的应用
通过制作内切圆，确定三角形 的重要属性。
图形构造的应用
使用三垂线定理构建各种有趣 的几何图形。
三垂线定理的逆定理的定义介绍
1 逆定理概念
与三垂线定理相反的情况。
2 逆定理表述
在任意三角形中，如果垂心到三个顶点的距离相等，则三条垂线重合于一点。
三垂线定理及其逆定理
本课程将介绍三垂线定理的定义，垂心的性质和应用，以及三垂线定理的逆 定理和内切圆定理。准备好探索这个有趣的几何概念吧！
三垂线定理的定义介绍
1 垂线概念
描述垂直于某线段的线 段，与该线段相交于90 度。
2 三垂线定理
在任意三角形中，三条 垂线交于一点，该点称 为垂心。
3 性质
垂心到三角形顶点的距 离相等，并且垂心通过 高线、中线和角平分线。三条垂线的分类高线源自从一个顶点到对应边的垂线。
角平分线
将角平分为两个相等角的线段。
中线
连接一个顶点和对边中点的线段。
垂心的定义和性质
1 垂心定义
三垂线相交的点。
2 性质 1:
垂心到三角形顶点的距 离相等。
3 性质 2:
垂心通过高线、中线和 角平分线。
三垂线定理的证明
三条垂线都经过垂心的证明是基于三角形的几何性质。通过角平分线、垂线以及等腰三角形的性质，我 们可以得到这一结论。
三角形内心的定义及性质
内心是三角形中到三边距离和最小的点。它有独特的性质和应用。
【数学课件】三垂线定理
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
A 解：过B作楼底部所在直线 EF 的垂线BC 垂足为C，
由三垂线定理知EFAC
F
C
B
E
二、应用
例1.已知学校的旗杆高20米，测量得旗杆底部B到楼底 部的距离为8米，求旗杆顶部A到楼底部的距离。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
一、三垂线定理
1.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 A 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：AC和AB分别是平面的垂
线和斜线，BC是AB在平面
C
B
a
上的射影，a，aBC。 求证： aAB。
证明：∵AC面，a 面
∴ACa
∵BCa ，AC∩BC＝C
9.4 直线与平面垂直的判定和性质
————————————————————— —
§6 三垂线定理
教学目的
• 掌握三垂线定理及逆定理 • 运用三垂线定理及逆定理解决数学问题 • 在实际生活中运用三垂线定理及逆定理
重点与难点
•三垂线定理及逆定理的适用条件 •三垂线定理及逆定理的应用
高中数学课件 三垂线定理
a⊥b。
( ×)
(2)若a是平面α的斜线，b是 平面α内的直线，且b垂直于a 在β内的射影，则a⊥b。（×）
P
a Ao
α
强调：1°四线是对同一个平面 而言.
2°定理的关键找“平面的垂线”.
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面ABC ，AC ⊥ BC， 求 证： PC ⊥ BC P
A
O
注意：如果将定理中“在平面内” 的条件去掉，结论仍然成立吗？
解
直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成题 立。 回 NhomakorabeaP
b
顾
Oa
αA
练习３、 已知：PA⊥平面PBC， PB=PC， M是BC的中点，
求证：BC⊥AM P
C A
M B
练习４、 在正方体AC1中，
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
三垂线定理
在平面内的一条直线，如
果和这个平面的一条斜线的 射影垂直，那么，它就和这 条斜线垂直。 P
O
Aa
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如
果和这个平面的一条斜线垂直，
那么，它也和这条斜线的射影
垂直。
P
O
Aa
1、判定下列命题是否正确
(1)若a是平面α的斜线、直线
b垂直于a在平面α内的射影，则
已知AB⊥CD、AC⊥BD求证：
AD⊥BC
A
B
D
O
作业：如图，已知正方体
AA平BC面，CDAC-BBA111C，B1CB11DA1，中D1求，证连：结CBB1DD11⊥，
A1
B1
D
A
C
B
再见！
三垂线定理应用PPT课件
(3) 在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P
A
O B
(1)
D A
C
P
D1
C1
A1 C
D
B1 C
M (2) . B
A
B
(3)
11
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
P
A
O B
D C
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
M
PC ⊥ BC
B C
.
10
1.直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
∴ AO⊥BD
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 PC⊥BD
.
12
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
求证：BC⊥AM
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
C M
PM ⊥BC
B
∵PA⊥平面PBC
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
C B
14
.
1
我们已经学习了直线和平面的垂直关 系，学新课之前，让我们作个简单的 回顾： 1．直线和平面垂直的定义？ 2．直线和平面垂直的判定定理．
P
A
O B
(1)
D A
C
P
D1
C1
A1 C
D
B1 C
M (2) . B
A
B
(3)
11
(1) PA⊥正方形ABCD所在平 面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ∵ABCD为正方形 O为BD的中点
P
A
O B
D C
PA⊥平面ABC
∴PC是平面ABC的斜线
∴∵ABCC是 平PC面在A平BC面且ABACC上⊥的B射C 影A ∴由三垂线定理得
M
PC ⊥ BC
B C
.
10
1.直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
∴ AO⊥BD
PO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
同理，AC⊥BD AO是PO在ABCD上的射影 PC⊥BD
.
12
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点，
求证：BC⊥AM
证明: ∵ PB=PC
A
M是BC的中点
C M
PM ⊥BC
B
∵PA⊥平面PBC
BC⊥AM
∴PM是AM在平面PBC上的射影
C B
14
.
1
我们已经学习了直线和平面的垂直关 系，学新课之前，让我们作个简单的 回顾： 1．直线和平面垂直的定义？ 2．直线和平面垂直的判定定理．
课件：三垂线定理及逆定理ppt
测出仰角∠ACB=θ,于是有AC=
BC a m
coAs CBcos
答：电塔顶与道路的距离是 a m
cos
A
θB
90°
C
-
45°
D
13
四、课堂练习:
(1) 已知:PA⊥正方形ABCD所在平
三垂线定理
P
面，O为对角线BD的中点.
求证：PO⊥BD，PC⊥BD
证明: ABCD为正方形 O为BD的中点
A
-
18
-
10
三、例题分析:
例 2. 如图；PA⊥面ABC，AB是圆O的直
径,C是圆O上的任一点（异于A、B两点).则
图中直角三角形的个数是( D)
A 1个 C 3个
B 2个 P D 4个
想想有几
个？
A
B C
-
11
三、例题分析：
三垂线定理
例3、路旁有一条河，彼岸有电塔AB，只有测角器和 皮尺作测量工具，能否求出电视塔顶与道路的距离？
明 aα
:
PA⊥a
PO⊥a
P
②
a⊥平面PAO AO 平面PAO
③
a⊥AO
a
o
A α
-
7
三垂线定理
三垂线逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这
个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
已知: PA、PO分别是平面α的垂线、斜线，AO 是PO在平面α内的射影，且a α，a⊥PO求证： a⊥AO
-
3
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知: PA、PO 分别是平面α的垂线、斜线，AO
三垂线定理 PPT
直线和平面
三垂线定理
山东垦利一中 李丁
这是偶然的巧合，还是必然？
cos·cos=cos
A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
？
PO⊥ a
？
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别
是平面的垂线、斜 线，AO是PO在平面
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G MC B
EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
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上的射影。a ，
a⊥AO。
求证： a⊥PO
P
A
Oa
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特权说明
三垂线定理
山东垦利一中 李丁
这是偶然的巧合，还是必然？
cos·cos=cos
A
=∠AOB
=∠DOB
=∠AOD
O
BM
ED
P
A
Oa
AE⊥OD
？
PO⊥ a
？
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。
已知 PA、PO分别
是平面的垂线、斜 线，AO是PO在平面
(A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90°
D1 A1 ED A
F
C1 B1 G MC B
EB1是EC1在平面AB1 内的射影 EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角
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上的射影。a ，
a⊥AO。
求证： a⊥PO
P
A
Oa
特权福利
特权说明
三垂线定理ppt课件
P
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
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12
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
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7
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
证：∵PA⊥平面ABC，BC在平 面ABC内
∴PA⊥BC，又∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
A
PB在平面PAB内，
∴BC⊥PB
思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。
C B
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11
例题2:如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC， AR⊥PB，试证∆PBC、 ∆PQR为直角三角形。
P
A Oa α
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9
三垂线定理包含几种垂直关系:
(1)线面垂直
P
α A Oa
直线和 平面垂直
（2）线射垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面一 条斜线的射 影垂直
（3）线斜垂直
P
α A Oa
平面内的直 线和平面的 一条斜线垂 直
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10
例题一、引例：如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=90°， 求证：BC⊥PB。
∴∆PQR是直角三角形。
P
Q
C
R
A
B
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12
巩固性练习：
1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线
与斜线的位置关系是（ D ）
（A）垂直
（B）异面 （C）相交 （D）不能确定
2、在一个四面体中，如果它有一个面是直角三角形，那么它的另外三
个面（ C ）
（A）至多只能有一个直角三角形
平面：a 斜线：PO 射影：AO
P
O
a
A
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7
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直。
9.4.4三垂线定理及逆定理(1) 课件 曹新田
这回我们 赢惨了！ 赢惨了！
曹新田
复习回顾：
空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 1、定义法 、 2、直线与平面垂直的性质: 、直线与平面垂直的性质 线面垂直,则线线垂直 线面垂直 则线线垂直
4、斜线在平面内的射影
三垂线定理基本图形的特点分析: 三垂线定理基本图形的特点分析
P
1:一面 一面 2:四线 四线 3:三垂直 ⇒ 三垂直
O a P a
线面垂直 线射垂直
α A
⇓ 线斜垂直
α A
O
已知P 外一点， ⊥平面ABC ， 例1 :已知 是平面 已知 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC ， 求证：
（三）斜线的射影 l
P O 直线OQ称为 直线 称为 斜线l在平面 在平面α 斜线 在平面 内的射影 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影， 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段 在 称为斜线段PO在 线段 称为斜线段 平面α内的 内的射影 平面 内的射影
C1
C
C1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 怎么找？ 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
解 题 回 顾
A1
P A O A O
a
a
α
P P
α
C1 C C B A M B
B1
使用三垂线定理还应注意些什么？ 使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的
一条斜线与平面内的直线 垂直的判定定理， 垂直的判定定理，这两条 直线可以是： 直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
曹新田
复习回顾：
空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 空间中两条直线的位置关系有哪几种？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 如何判定两条异面直线互相垂直呢？ 1、定义法 、 2、直线与平面垂直的性质: 、直线与平面垂直的性质 线面垂直,则线线垂直 线面垂直 则线线垂直
4、斜线在平面内的射影
三垂线定理基本图形的特点分析: 三垂线定理基本图形的特点分析
P
1:一面 一面 2:四线 四线 3:三垂直 ⇒ 三垂直
O a P a
线面垂直 线射垂直
α A
⇓ 线斜垂直
α A
O
已知P 外一点， ⊥平面ABC ， 例1 :已知 是平面 已知 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC ， 求证：
（三）斜线的射影 l
P O 直线OQ称为 直线 称为 斜线l在平面 在平面α 斜线 在平面 内的射影 内的射影
斜线上任意一点 在平面上的射影， 在平面上的射影，一 定在斜线的射影上。 定在斜线的射影上。
α
Q
线段OQ称为斜线段 在 称为斜线段PO在 线段 称为斜线段 平面α内的 内的射影 平面 内的射影
C1
C
C1
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我们要学会从纷繁的已知条件中找出 怎么找？ 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？
解 题 回 顾
A1
P A O A O
a
a
α
P P
α
C1 C C B A M B
B1
使用三垂线定理还应注意些什么？ 使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾
三垂线定理是平面的
一条斜线与平面内的直线 垂直的判定定理， 垂直的判定定理，这两条 直线可以是： 直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
三垂线定理教学课件
0P和CP垂直，怎样做？
分析：
CP在木块内部，直接做难，
若在同一平面内，易做两条
直线垂直。
利用定理将问题转化为同一
个平面内解决
D1
·
P
A1
C1
B1
D
A
C
B
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
D1
C1
B1
A1
D
A
C
B
三垂线定理
三垂线定理的逆定理 ·P
⊥
·A ·O
⊥
线垂直。
P
C
D
B
A
D1
A1
C1
B1
正方体
思考：
（1） “三”指的是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？
A
O
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
P
D
C
B
A
D1
A1
C1
是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？
A
O
例1.判断：若一条直线垂直于平
面内的无数条直线，那么这条直线
垂直这个平面.（ ）
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直。
·P
PA
PO
·
·
O
A
AO
⊥
⊥
例2．如图正方体木块
儿的上底面A1C1 内有一
分析：
CP在木块内部，直接做难，
若在同一平面内，易做两条
直线垂直。
利用定理将问题转化为同一
个平面内解决
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P
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B1
D
A
C
B
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D
A
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A
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三垂线定理
三垂线定理的逆定理 ·P
⊥
·A ·O
⊥
线垂直。
P
C
D
B
A
D1
A1
C1
B1
正方体
思考：
（1） “三”指的是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？
A
O
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜
线垂直。
P
D
C
B
A
D1
A1
C1
是什么，
“垂”指的什么.
（2）为何强调平面内？
A
O
例1.判断：若一条直线垂直于平
面内的无数条直线，那么这条直线
垂直这个平面.（ ）
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的
一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射
影垂直。
·P
PA
PO
·
·
O
A
AO
⊥
⊥
例2．如图正方体木块
儿的上底面A1C1 内有一