相关变化率
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参数方程的导数及相关变化率问题
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
§4.4 变化率与相关变化率
．
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
相关变化率一阶高阶导数
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
相关变化率——精选推荐
2.4.3相关变化率相关变化率问题是指：在某一变化过程中变量 ,,y x ，它们都与变量t 有关，且它们之间有关系式0),,(= y x F ，知道了其中一些变量对t 的变化率，要求另外一些变量对t 的变化率。
求相关变化率的步骤：（1）建立变量 ,,y x 之间的关系式0),,(= y x F ；（2）将关系式0),,(= y x F 两边对t 求导（注意到 ,,y x 都是t 的函数），从而得各变量对t 的变化率之间的关系式；（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并求出所要求的变化率。
例1．一架直升飞机在m 500高空，以s m /50的均匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线与地面夹角θ 为。
求当3π=θ时，t 对θ的变化率。
解：以直升飞机飞过观察者头顶时算起的距离为x ， 显然x ，θ均为t 的函数，已知飞机的速度50=dt dx 米/秒，求3π=θ时的dtd θ。
θ=ctg x 500，dt d dt dx θθ-=)csc (5002， dtdx dt d θ-=θ2sin 5001， 当3π=θ时，23sin =θ，50=dt dx米/秒，代入上式得075.03-=θπ=θdtd 弧度/秒，负号表示θ随时间 t 增加而减少。
例2．某人以m 2/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面m 20，在此人的正下方有一条小船以m 34/s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经s 5后，人与小船相分离的速度。
解：设经t 秒钟后船与人的距离为m s ，人行走距离为m x ，船航行距离为m y ， 则222220)()()(++=t y t x t s ，所建立的方程并不是s 与t 的直接函数关系， 但因为所求的是dt ds v =，且已知2=dt dx，34=dt dy ，所以可借助于相关变化率来求。
dt dy ydt dx x dt ds s222+=， ∵当5=t 时，10=x ，320=y ， ∴37020)320(10222=++=s ， ∴)/(2126370343202105s m dt ds t =⋅+⋅==. §2.5高阶导数与高阶微分2．5．1显函数高阶导数定义 若函数)(x f y =的导数)(x f y '='在x 点可导，则称)(x f y '='在x 点的导数为)(x f y =在x 点处的二阶导数，记作)(x f ''，或y ''，或22dxy d ，即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim)(0，)(''=''y y ， ])([)(''=''x f x f ，)(22dxdy dx d dx y d =。
(2.6) 第六节 变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)
v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t 2 - 4 t + 3 )= 3( t - 1 )( t - 3 )= 0， 解得 t = 1 和 t = 3 是质点的静止不动点。
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高等数学高阶导数及相关变化率
5 ( x 2)1 1 ( x 1)1
例4 计算下列函数的n阶导数：
(1) y
x2 sin 3x(2) y
sin6
x
cos6
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
.
解
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dy
1 y
d ( 1 ) dx dx y dy
1 ( y)2
d dx
( y)
1 y
y ( y)2
1 y
(
y y)3
2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
解 (1)(e x )(n) e x 一般：(ax )(n) ax (ln a)n
(2) y (sinx) cos x sin(x )
2
y cos(x ) sin(x ) sin(x 2 )
2
22
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 )
2
2
y(n) (sinx)(n) sin(x n )
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk)v(k) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
莱布尼兹公式
k0
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例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1
( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:Ox源自(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
dt
dr
已知某一时刻,r0
5, dV dt
0.5,代入得: dr dr
1
50
(cm / s)
例 27. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ，速率是多少 ？
∵ lim x2 ， x 1 x 1
∴直线 x 1 是曲线y x2 的垂直渐近线。 x 1
由 a lim f (x) lim x 1 ， x x x x 1
和b lim [ f (x) ax] lim [ x2 x] lim x 1 ，
x
x x 1
x x 1
视线的仰角增加率是多少 ？
解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，
观察员的仰角为 , 则
tg h ,
500
其中 , h 都是时间 t 的函数。
h
500
上式两边对 t 求导，得 ：
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
已知 dh 140 m / min , 又当 h 500 m 时 , dt
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则 z 2 (40 x)2 y 2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
y
2z dz 2(40 x) dx 2y dy
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 , dx 15 ; y 15 时 , dt
e
e
e
f (x)有二个零点 (如右图);
(2)当f (1) A 1 0即A 1时,
e
e
e
y A
f (x)仅有一个零点x 1 (如右图); e
O
1 e
x
(3)当f (1) A 1 0即A 1 时,
y A
e
e
e
f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
O
1
x
e
(1)当0 A 1 时, e
原方程有二个实根;
(2)当A 1 时, e
原方程仅有一个实根;
(3)当A 1 时, e
原方程没有实根.
2
2.试就a的不同取值 ,讨论方程 (x a) 3 2 a的实根个数 .
解： 2 令f (x) (x a) 3 2 a,则原方程的根即为f (x)的零点.
显然,
f (x)在(,)连续,且f
tg 1, sec2 2 代入上式得 d 70 0.14 度/秒
dt 500
h
500
即观察员视线的仰角增加率是 0.14 弧度/秒 。
例27. 有一底半径与高相等的直圆锥体受热膨胀,
其高和底半径的膨胀系数相同,当底半径为5cm时,问: (1)体积关于底半径的变化率如何? (2)若此时体积的膨胀速率为0.5(cm / s),
故直线 y x 1 是曲线的斜渐近线。
补充思考 :
在第一象限,求曲线y 3 x2的一条切线, 使该切线与两坐标所形成的三角形面积最小.
所求切线:y 4 2x
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 2015 15 25 3 (km/h)
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以
dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
例7 讨论方程x ln x A 0有几个实根.其中A为正常数.
解：令f (x) x ln x A, x (0,),则原方程的根即为f (x)的零点.
* 相关变化率
相
设 x x(t) , y y(t) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存
在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求
y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。
例26. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升
其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员
远离坐标原点时，它与某
直线l 的距离趋向于零，则
o
称 直线l 为该曲线的渐近线。
l ．P(x, y)
y f (x)
x
曲线 的渐 近线:
渐近线
1 垂直渐近线 : 若当x x0 (x x0 , x x0 )时，
f (x) ,则y f (x)在x0右侧（左侧，两侧）以 直
线x x0为渐近线。 观察 法,并验 证
2 斜渐近线: 设a lim f (x) , b lim ( f (x) ax),
x x
x
( x )
( x )
( x )
( x)
则 y ax b 为 y f (x) 的渐近线。 特别，若 a 0, 则得水平渐近线.
公式法
另.若专门求水平渐近线: lim f ( x) c, x
则水平渐近线为 y c
显然, f (x)在(0,)连续,且f (x) 1 ln x
令f (x) 0 x 1 ,这是f (x)在(0,)内的唯一驻点,没有不可导点.
e
列表讨论如下:
y
x
0
1
e
A
1
f (x)
0
e
O
x
A
极小值
f (x)
f (1) A 1
e
e
结论: (1)当f (1) A 1 0即0 A 1时,由零点定理知 :