比例线段及相似知识点解
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。
考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。
相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似用符号“∽”，读作“相似于”。
相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。
考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。
2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。
位似中心的位置：形内、形外、形上。
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点总结+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =g ；D. 2CD AD BD =g易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆:，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“:”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆:;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
比例线段(基础) 知识讲解
比例线段（基础） 知识讲解责编：常春芳【学习目标】1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；3、会运用比例线段解决简单的实际问题；4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.【要点梳理】要点一、相似形1.相似的图形在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.要点诠释：(1) 相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.2.相似多边形一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数. 要点诠释：相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．要点二、比例线段1. 两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a ，b ，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作a b或a : b . 2．成比例线段：在四条线段,,,a b c d 中，如果其中两条线段a ，b 的比等于另外两条线段c ，d 的比，即(::)a c a b c d b d==或，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段,,,a b c d 叫做组成比例的项，线段,a d 叫做比例外项，线段,b c 叫做比例内项. 如果作为比例内项的两条线段是相等的，即,,a b c 之间有::a b b c =，那么线段b 叫做线段,a c 的比例中项.3．比例的性质：（1）基本性质 如果a c b d=，那么ad bc =（,b d ≠0）. 反之也成立，即 如果ad bc =，那么a cb d =（,b d ≠0）. （2）合比性质 如果++==.ac a b cd b d b d，那么（,b d ≠0）（3）等比性质如果1212=nnaa ab b b==…，12++nb b b且…≠0，那么121121++++++nna a a ab b b b=…….要点诠释：（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．要点三、黄金分割1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值512-叫做黄金数. 要点诠释：512-≈0.618.2.作一条线段的黄金分割点：图4－7如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点诠释：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似形1. 指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：(1)两个腰长不等的等腰三角形(2)两个半径不等的圆(3)两个面积不等的矩形(4)两个边长不等的正方形【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．【答案】(2) (4).【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型二、比例线段2. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵ ，，∴ ，∴ 线段a 、b 、c 、d 是成比例线段．3. （2014•甘肃模拟）若==（abc ≠0），求的值．【思路点拨】先设===k ，可得a=2k ，b=3k ，c=5k ，再把a 、b 、c 的值都代入所求式子计算即可．【答案与解析】解：设===k ，则a=2k ，b=3k ，c=5k ， 所以===．【总结升华】解此类题学生容易误认为设k 后，未知数越多更不易解出，实际上分子、分母能产生公因式约去．类型三、黄金分割4.（2015•慈溪市一模）如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形比较美观，若黄金比取0.6，则x 为（ ）.A. 144°B. 135°C. 136°D. 108°【答案】B.【解析】由扇子的圆心角为x °，余下扇形的圆心角为y °，黄金比为0.6，根据题意得：x ：y=0.6=3：5，又∵x+y=360，则x=360×=135【总结升华】此题考查了黄金分割，以及比例的性质，解题的关键是根据题意列出x 与y 的关系式.5. 如图所示，矩形ABCD 是黄金矩形（即BC AB ＝215 ≈0.618），如果在其内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE ，试问矩形ABFE 是否也是黄金矩形？【思路点拨】（1）矩形的宽与长之比值为215-，则这种矩形叫做黄金矩形． （2）要说明ABFE 是不是黄金矩形只要证明AB AE ＝215-即可． 【答案与解析】矩形ABFE 是黄金矩形．理由如下：因为AB AE ＝ABED AB AD AB ED AD -=- ＝21512151)15)(15()15(21152-=-+=-+-+=-- 所以矩形ABFE 也是黄金矩形．【总结升华】判断四边形是否是黄金矩形，要根据实际条件灵活选择判断方法. 举一反三：【变式】以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图所示，（1）求AM ，DM 的长，（2）试说明AM 2=AD ·DM（3）根据（2）的结论，你能找出图中的黄金分割点吗？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长是2，P 是AB 中点，∴AD ＝AB ＝2，AP ＝1，∠BAD ＝90°，∴PD ＝522=+AD AP 。
初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段
A
E
F
B
D
C
作业
姓名： 作业等级： . 1.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近 0.618 时，越给人一种美感．如图，某女士 身高 165cm，下半身长 x 与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿 的高跟鞋的高度大约为（ ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3.在△ABC 中，AB=12，AC=10，BC=9，AD 是 BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠， 使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF，则△DEF 的周长为（ ） A.9.5 B.10.5 C.11 D.15.5
10.在△ABC 中，D 是 BC 上一点，若 AB=15 cm，AC=10 cm，且 BD∶DC=AB∶AC， BD－DC=2cm，求 BC.
◆----平行线分线段成比例定理 质定理（推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线） ，所得的对应线段成比例。 2、三角形一边的平行线的判定定理 1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所 得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 3、三角形一边的平行线的性质定理 2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延 长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 例 、 如 图 5， 在 △ABC 中 ， D 是 BC 上 的 点 ， E 是 AC 上 的 点 ， AD 与 BE 交 于 点 F， 若 AE:EC=3:4， BD:DC=2:3，求 BF:EF 的值。
1 2
a b c ，则 x 的值一定是（ bc ac ab 1 3 B、-1 C、 或-1 D、 2 2
）
2.已知一次函数 y kx 1 中，比例系数 k 满足 k 试求直线 y kx 1 与 x 轴的交点坐标.
第四章 图形的相似(知识点)
第四章 图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ） 例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。
相似形及比例线段(基础) 知识讲解
相似形及比例线段（基础）知识讲解【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点二、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．要点三、比例线段1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc；（2）合比性质：如果++ ==.a c abc db d b d，那么如果--==.a c abc db d b d，那么（3）等比性质：如果+c c=====k.+da c a ab d b d bk，那么（4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。
要点四、黄金分割如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.12AP AB=≈).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一. 类型三、比例线段4. 下列四组线段中，成比例线段的有( )A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四个选项中只有，故选C.【总结升华】根据成比例线段的定义.举一反三：【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d不是成比例线段．(2) ∵，，∴，∴线段a、b、c、d是成比例线段．5.主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）①AB：AC=AC：BC；②AC≈6.18米；AC米；③1)④=10(31)BC-米或米．A.①②③④B.①②③C.①③D.④【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若AC＞BC，则AB：AC=AC：BC，所以①不一定正确；AC≈0.618AB≈12.36或AC≈20﹣12.36=7.64，所以②错误；若AC为较长线段时，AC=AB=10（﹣1），BC=10（3﹣）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（﹣1），AC=10（3﹣），所以③不一定正确，④正确．故选D．【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
数学相似图形知识点总结归纳
数学相似图形知识点总结归纳※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成.※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.※3、注意点:①a:b=k,说明a是b的k倍;②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数;⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.三、相似多边形¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形.※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5、相似三角形周长的比等于相似比.※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方.※1、相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等;②两边对应成比例,且夹角相等;③三边对应成比例.①一个锐角对应相等;②两条边对应成比例:a.两直角边对应成比例;b.斜边和一直角边对应成比例.※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.※1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形;这个点叫做位似中心;这时的相似比又称为位似比.※2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.◎3.位似变换:①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.这个交点叫做位似中心.②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.。
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【知识点讲解】 一、比例线段
1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。
2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 ，那么线段ｂ叫做线
段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质：
(2)反比性质： (3)更比性质: 或
(4)合比性质: (5)等比性质: 且
１、判断下列四条线段是否成比例.
① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10.
2、已知：ad=bc .
（1） 将其改写成比例式；
（2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式；
（4）若
d
b
c a =；写出以c 作第四比例项的比例式；
3 、计算.
(1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z.
(2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.
4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米?
5、
EF
BE
AD AB =
，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长.
6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。
(2)若
2x-3y x+y =12 ，求y
x。
(3) 若
a ＋
b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y
x
7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。
（1）
（2） （3）
8：若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+-
练习：已知:, 求的值.
9： 若ABC ∆三边3:4:6::=c b a ，三边上的高分别为321h h h 、、，求321::h h h 的值。
10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？
12：操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3:2,后来又有6名女同学参加进来，此时女生与女生人数的比为5:4,求原来各有多少男生和女生？
比例线段拓展 1、比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
设a 、b 、c 、d 为线段，如果::a b c d =，b 、c 叫比例内项，a 、d 叫比例外项，d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；如果::a b b c =，或2
b a
c =，那么b 叫a 、c 的比例中项。
2、黄金分割
如图，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC)，且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫
做把线段AB 黄金分割, 点C 叫做线段AB 的黄金分割点，
51
2
AC AB -=叫作黄金分割数（简称黄金数或黄金比）注意：（1）0.618AC AB ≈；
（2）一条线段有两个黄金分割点。
3、三角形一边的平行线
（1）三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），截得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
如图，则有
AD AE DB EC =，DB EC AB AC =，AD AE DE
AB AC BC
==
【思考】画图说明平行于三角形一边的其他情况。
（2）三角形的重心
定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点
与重心有关的比例线段：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。
（3）三角形一边平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
（三角形一边平行线的判定定理）
（4）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）：
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC ，那么DE=EF
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 在△ACF 中，CF BE //，AB=BC ，那么AE=EF
（5）三角形和梯形的中位线定理
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么BC DE //，BC DE 2
1
=
梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。
梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，那么BC AD EF ////，
)(2
1
BC AD EF +=
练习
1、如图，已知△ABC 中，DE ∥BC ，则下列等式中不成立的是（ ） （A ）AD ：AB ＝AE ：AC （B ）AD ：DB ＝AE ：EC （C ）AD ：DB ＝DE ：BC （D ）AD ：AB ＝DE ：BC
A
2、如图，DF ∥AC,DE ∥BC,下列各式中正确的是（ ） (A)
AD BD =BF CF (B) AE DE =CE BC (C) AE CE =BD CD (D) AD DE =AB BC
3、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF ，求证∠1=∠2
4、已知ΔABC 中,AD 为∠BAC 的外角∠EAC 的平分线，D 为平分线与BC 延长线交点，求证:AB AC = BD
DC
5、设点F 在平行四边形ABCD 的边CB 的延长线上，DF 交AB 于点E ，求证 AE:AD=AB:CF
【课后练习】
1、已知: a:b:c=3:5:7且2a+3b-c=28, 求3a-2b+c 的值。
2、若 , 求
的值。
3、已 知
,求 的值。
4、已知a=4,c=9若b 是a,c 的比例中项,求b 的值。
A B
C
D
E F
1
2
5、已知线段MN 是AB,CD 的比例中项,AB=4cm,CD=5cm ，求 MN 的长
6. y+z x =z+x y =x+y
z =k,求k 的值。