比例线段知识点
北师大版六年级数学下册第二单元《比例》知识点汇总
一、比例的认识1.意义:表示两个比相等 的式子,叫作比例。
组成比例的两个比的比 值一定相等。
．．．．．∶ = ∶ 2.比例的基本性质。
(1)认识比例的项。
用比的前项除以比的后 项,所得的商就是比值。
在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
x×1.5=y×1.2 x∶y=1.2∶1.5。
可知 根据比例的基本性质也 可以判断两个比能否组成比 例。
3.判断两个比能否组成比例。
∶ ∶ 例如:判断 6 3 和 3 1 能否组成比例,可以用 6×1=6,3×3=9,6 和 9 不相等,∶ ∶ 所以 6 3 和 3 1不能组成 4. (1)解比例。
比例。
根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可 以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项,叫 作解比例。
方法:用内项的积(外项的积)除以已知的外项(内项)。
例如:3 4 8,内项乘内项,外项乘外项,则 4 3 8,解 (2)根据比例的意义和基本性质,设未知数、解比例、解决 实际问题。
二、比例尺1.意义。
图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比,它表示图上距离和实际距离的倍比关 计算时要先统一单位。
．．．．．．．． 2.比例尺的分类。
比例尺根据实际距离是缩小还是扩大,分为缩小比例尺缩小比例尺:在绘图时,根据需要把实际距离按一定的比 ．．．．．例缩小,在纸上画出来。
为了计算方便,一般把缩小比例尺写成数值比例尺的比的前项 和后项单位相同,线段比例尺通常用 1厘米的线段表示某一个实际距离。
带比号的形式时,前一项一般化简为“ ”,若写成分数的形式, 1 ．．．．．．．．．．．分子应化简为“1”。
缩小比例尺的比的前项是 1,放大比例尺的比的后项 是 1。
．．．．．． 扩大一定的倍数以后,再画在纸上,这样的比例尺就称为放大∶ 比例尺。
如:21。
为了计算方便,通常把放大比例尺写成后项 ．．．．1 ．．．．．．．．3.比例尺的应用。
4.1 成比例线段(一)
3 5
，
3.已知a、b、c、d是成比例线段,a=4cm, b=6cm,d=9cm,则c=____
x 4、如果2 x 5 y, 那么 y
5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是 斜边AB上的高，且AB=13，BC=12．求CD： AB的值。
6、已知线段x,y
x 5y 1 x (1)当 时, 求 的值。 x y 2 y
CD n
m 表示成比值 n k,那么
AB m .其中，线段 AB,CD分别叫做这个线段比的前项、
，或
AB k 两条线段的比实际上就是两个数的 AB=k×CD. CD
例： 五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形
状相同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB:A’B’=5 : 3，
5 3
注意：成比例的四条线段是有顺序的
练习二
• 若b,c, • A , b d
b d • C , c a
B D
a b , c d b c , a d
练习三
判断下列四条线段是否成比例
1.a 2, b 5, c 15, d 2 3; 2.a 2, b 3, c 2, d 3; 3.a 4, b 6, c 5, d 10; 4.a 12, b 8, c 15, d 10. 答: 1.a,b,c,d不成比例,但a,d,b,c成比例. 2.不成比例. 3.不成比例. 4. a,b,c,d成比例.
就是线段AB与线段A‘B’的比。
这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。
练习一
（1） ： 叫比例尺； （2）若实际距离是图上距离的600 000倍，这 幅图的比例尺是 ． （3）若实际距离是120公里，比例尺是 1:2000000，则图上距离为 （ ）
比例线段和平行线分线段成比例定理知识讲解
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例1.如图，若EF∥AB, DE∥AC, 以下比例正确的有（ C ）个.
(1) AD=BF BD CF
(2) AE=DE EC FC
A
(3) BC= AB
(4) BC=AC
DE AD
DE EC
A. 1个. B. 2个. C. 3个. D. 4个. D
比例中项. 求：x、y的值.
解: (3) 由题意知 祆 镲 眄 镲 镲 铑 x y2 2= =a by x,.
\
x2=2y (1), y2=54x (2).
由 ( 1 )y = x 2代 入 (2 ), x 4= 5 4 x , x 3 = 2 1 6 , x = 6 .
2
4
{ 代 入 x=6得 ， y=x2=18. \ 2
a + b + c
若a+b+c=0, 则a+b=－c.
\ a+b=- c=k=- 1. cc
二、比例线段的例题和练习：
例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5,
求
c 的值. a+b+c
(2) 已知：a+b=a+c=b+c=k,求 k的 值 .
c ba
(3) 已知：a=2, b=54, x是a、y的比例中项，y是x、b的
\ a = d或a = c. cbdb
∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.
二、比例线段的例题和练习：
例3. (1) 已知：a : b : c=3 : 4 : 5,
求
c 的值. a+b+c
(2) 已知：a+b=a+c=b+c=k,求 k的 值 .
小学数学比例知识点总结
小学数学比例知识点总结一、比例的定义比例是表示两个比相等的式子。
比如，如果有两个比 2:3 和 4:6，因为 2×6 ＝ 3×4 ＝ 12，所以这两个比可以组成比例 2:3 ＝ 4:6。
在比例中，组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如在比例 3:4 ＝ 6:8 中，3 和 8 是外项，4 和 6 是内项。
二、比例的基本性质比例的基本性质是：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
例如，对于比例 5:6 ＝ 10:12，因为 5×12 ＝ 6×10 ＝ 60，所以符合比例的基本性质。
利用比例的基本性质，可以帮助我们判断两个比能否组成比例，还可以解比例。
三、解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
例如，已知比例 3:4 ＝ x:8，根据比例的基本性质可得 4x ＝ 3×8，解得 x ＝ 6。
解比例的一般步骤是：1、先写“解”字。
2、根据比例的基本性质，将比例式转化为方程。
3、解方程，求出未知数的值。
四、正比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
例如，汽车行驶的速度一定，行驶的路程和时间就是成正比例的量。
因为路程÷时间＝速度（一定）。
判断两种量是否成正比例，主要看这两种量相对应的两个数的比值是否一定。
五、反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
比如，长方形的面积一定，长和宽就是成反比例的量。
因为长×宽＝面积（一定）。
判断两种量是否成反比例，关键看这两种量相对应的两个数的积是否一定。
六、比例尺比例尺是表示图上距离与实际距离的比。
15初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析
初中数学“平行线分线段成比例”知识点全解析一、引言平行线分线段成比例是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到平行线、线段比例等多个概念。
掌握这一知识点，不仅有助于学生理解几何图形的性质，还能提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
本文将详细解析平行线分线段成比例的概念、性质、定理以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
二、平行线分线段成比例的概念1.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.线段比例：如果两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，那么这四条线段是成比例的。
3.平行线分线段成比例：如果一条直线与另外两条平行线相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线将这两条平行线分成的线段是成比例的。
三、平行线分线段成比例的性质1.基本性质：如果一条直线与两条平行线相交，那么这条直线截得的两条线段之比是恒定的，与直线的位置无关。
2.等比性质：如果两条平行线被一条横线截得的线段之比等于另外两条平行线被同一条横线截得的线段之比，那么这四条线段是成比例的。
3.交叉相乘性质：如果两条平行线被一条横线截得的两组线段是成比例的，那么这两组线段的交叉相乘结果相等。
四、平行线分线段成比例的定理1.梅内劳斯定理：如果一条直线与一个三角形的两边相交，且截得的线段之比相等，那么这条直线也必将与三角形的第三边相交，并截得相应的成比例线段。
2.塞瓦定理：如果三条直线交于一点，且分别截得三条线段的比是相同的，那么这三条直线所在的平面内的任何一条经过该点的直线都将这三条线段分成成比例的两组。
五、平行线分线段成比例的应用1.几何证明：在几何证明中，平行线分线段成比例的性质和定理可以作为证明的依据，帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
2.实际问题解决：在实际生活中，许多问题可以通过建立数学模型并运用平行线分线段成比例的知识进行解决。
例如，在建筑设计中，可以利用这一知识点计算建筑物的各部分尺寸和比例。
3.数学竞赛：在数学竞赛中，平行线分线段成比例的知识点经常作为难题的考点出现。
专题4.1 比例线段【九大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.1 比例线段【九大题型】【浙教版】【题型1 成比例线段的概念辨析】........................................................................................................................1【题型2 成比例线段与比例尺的结合】................................................................................................................4【题型3 成比例线段的实际应用】........................................................................................................................5【题型4 利用比例的性质求字母的值】................................................................................................................8【题型5 利用比例的性质求代数式的值】..........................................................................................................10【题型6 利用比例的性质进行证明】..................................................................................................................13【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】......................................................................................................15【题型8 黄金分割的概念辨析】..........................................................................................................................20【题型9 黄金分割的实际应用】.. (22)【知识点1 成比例线段的概念】1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a c b d=）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．【题型1 成比例线段的概念辨析】【例1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a 、b 满足ab =2，且a +2b =28．(1)求a 、b 的值；(2)若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】(1)a =14,b =7(2)b（2）根据比例中项的定义求解即可得．=2，【详解】（1）解：∵ab∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，则a=2×7=14．（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab，即x2=14×7，解得x=x=0（不符合题意，舍去），则x的值为【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．【变式1-1】（2023春·河南平顶山·九年级统考期末）已知四条线段的长度分别为x，2，6，x+1，且它们是成比例线段，则x的值为.【答案】3【分析】根据题意得x:2=6:(x+1)，根据比例的基本性质即可求解．【详解】解：根据题意得x:2=6:(x+1)，即x(x+1)=2×6，解得x1=3，x2=−4（负值舍去）．故答案为：3．【点睛】本题主要考查比例线段的定义．注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序．然后根据比例的基本性质进行求解．=2，且a+2b=28．【变式1-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知线段a、b满足ab(1)求a、b的值；(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．【答案】(1)a=14,b=7(2)b（2）根据比例中项的定义求解即可得．【详解】（1）解：∵ab=2，∴a=2b，∵a+2b=28，∴2b+2b=28，解得b=7，则a=2×7=14．（2）解：∵线段x是线段a、b的比例中项，∴x2=ab，即x2=14×7，解得x=x=0（不符合题意，舍去），则x的值为【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键．【变式1-3】（2023春·上海宝山·九年级统考期末）如果a:b=10:15，且b是a和c的比例中项，那么b:c等于（）A．4:3B．3:2C．2:3D．3:4【答案】C【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得bc =ab，又由a:b=10:15，即可求得答案．【详解】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2=ac，∴bc=ab∵a:b=10:15，∴b c =ab=1015=23，故选：C．【点睛】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．【题型2成比例线段与比例尺的结合】【例2】（2023春·四川成都·九年级统考期中）在比例尺是1:90000000的地图上，量得甲乙两地的距离是2厘米，上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达，这架飞机每小时飞行千米．【答案】900【分析】由题意可知：上午9点20分有一架飞机从甲地飞往乙地，上午11点20分到达共飞了2小时，根据“比例尺是1：90000000”，又因为甲乙两地的图上距离是2厘米，求实际距离，进而求出答案．【详解】解：甲乙两地的实际距离：2÷1=180000000(cm)，90000000180000000cm=1800（千米），1800÷2=900（千米）；答：这架飞机每小时行900千米．故答案为：900．【点睛】本题考查比例线段，正确根据比例进行计算是解题关键．【变式2-1】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）地图上两地间的图上距离为13.5厘米，比例尺是1：1000000，那么这两地间的实际距离是（ ）A．1350千米B．135千米C．13.5千米D．1.35千米【答案】B【分析】根据比例尺定义代入计算，最后化单位即可得到答案；【详解】解：由题意可得，实际距离为：13.5×1000000=13500000（厘米），∴13500000（厘米）=135（千米），故选B．【点睛】本题考查比例尺的运用，解题的关键是熟练掌握比例尺的定义及注意单位化简．【变式2-2】（2023春·全国·九年级统考期末）长江二桥位于长江大桥下游3公里处、桥梁长度2400米，一张平面地图上桥梁长度是4.8厘米，这张平面地图的比例尺为【答案】1：50000【分析】根据比例尺的定义，用图上距离比实际距离即可．【详解】4.8：240000=1：50000，即这张平面地图的比例尺为1：50000．故答案为1：50000．【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．解决本题的关键是记住比例尺的定义．【变式2-3】（2023春·江苏连云港·九年级校联考期末）相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是厘米．【答案】6【分析】根据比例尺的定义，可得实际距离×比例尺=图上距离，依此列式计算即可．=6(厘米【详解】相距24千米的甲、乙两地，在比例尺为1：400000的地图上的距离是2400000×1400000)．故答案为:6．【点睛】本题考查了比例线段，比例尺的定义，掌握比例尺=图上距离：实际距离是解题的关键，注意单位之间的换算问题．【题型3成比例线段的实际应用】【例3】（2023春·河北石家庄·九年级统考期中）某班每位学生上、下学期各选择一个社团，下表分别为该班学生上、下学期各社团的人数比例．若该班上、下学期的学生人数不变，关于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述正确的是（ ）文学社篮球社动漫社上学期345下学期432A．文学社增加，篮球社不变B．文学社不变，篮球社不变C．文学社增加，篮球社减少D．文学社不变，篮球社减少【答案】A【分析】设该班上、下学期的学生人数都为x人，然后按照该班学生上、下学期各社团的人数比例计算出该班上、下学期的文学社的学生人数，上、下学期的篮球社的学生人数，再比较大小即可．【详解】解：设该班上、下学期的学生人数都为x 人，则该班上学期的文学社的学生人数＝3345x ＝14x ，上学期的篮球社的学生人数＝4345x ＝13x ；该班下学期的文学社的学生人数＝4432x ＝49x ，下学期的篮球社的学生人数＝3432x ＝13x ；故上学期、下学期文学社团的学生人数增加了，篮球社团的学生人数不变．故选：A ．【变式3-1】（2023春·六年级校考课时练习）将10本相同厚度的书叠起来，高度为25cm ．如果有18本这样厚度的书叠起来，那么书的高度是多少cm ？【答案】45cm【分析】根据题意知道，一本书的厚度一定，书叠起的高度与书的本数成正比例，由此列比例解答．【详解】解：设书的高度是x 厘米，25：10 = x ：18x= 45所以，书的高度是45cm ．【点睛】解答此题的关键是，先判断出哪两种相关联的量成何比例，再列出比例解答即可．【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m 的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度是（ ）mA ．B ．−1±C +1D 【答案】D【分析】设下部高为x m ，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【详解】解：设下部的高度为x m ，则上部高度是(2−x )m ，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴2−xx=x2，解得x=或x=（舍去），经检验，x=是原方程的解，∴x=，故选：D．【点睛】本题考查比例的性质及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．【变式3-3】（2023春·九年级课时练习）如图，一张矩形纸片AB−CD的长BC=5，宽AB=2，按照图中所示方式将它裁成矩形ABFE与矩形CDEF.若矩形ABFE与矩形CDEF的短边与长边之比相等，求AE的长.【答案】AE的长为1或4或52.【分析】根据题意设未知数，分AEAB =EFDE和AEAB=DEEF两种情况进行讨论，求解即可.【详解】解：设AE=x(0<x<5)，则DE=5−x.应分两种情况进行讨论：⑴当AEAB =EFDE，即x2=25−x时，解得x=1或x=4；⑵当AEAB =DEEF，即x2=5−x2时，解得x=52.综上所述，AE的长为1或4或52.【点睛】此题考查成比例的线段，矩形的性质，解题关键在于掌握比例式两边的关系以及分情况讨论.d cb a=()abcd ¹0（4）合比性质：a c a b c db d b d ++=Û=()bd ¹0x x y y y 2+2+3=Û=33()y ¹0（5）分比性质：a c abc db d b d --=Û=()bd ¹0y y x x x 3-3-2=Û=22()x ¹0（6）合分比性质：a c abc db d a bcd ++=Û=--(,,)bd a b c d ¹0¹¹x x y y x y 2+2+3=Û=3-2-3(,)y x y ¹0¹（7）等比性质：()a c mb d n b d n ==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+¹0ac m ab d n b++⋅⋅⋅+⇒=++⋅⋅⋅+()b d n +++¹0L 已知x y z 234==，则当x y z ++¹0时，x y z x y z2342+3+4===++.【题型4 利用比例的性质求字母的值】【例4】（2023春·四川成都·九年级校考期中）已知a ，b ，c 均为非零的实数，且满足a b−c c=a−b c b=−a b ca=k ，则k 的值为 ．【答案】1或−2【分析】根据题意得出a +b−c =ck,a−b +c =bk,−a +b +c =ak ，三式相加得出a +b +c =(a +b +c )k ，然后分类讨论，即可求解．【详解】解：∵a b−cc=a−b c b=−a b ca=k ，∴a +b−c =ck,a−b +c =bk,−a +b +c =ak ∴a +b−c +a−b +c−a +b +c =(a +b +c )k 即a +b +c =(a +b +c )k ，当a +b +c ≠0时，k =1，当a +b +c =0时，k =a b−c c=−c−c c=−2，故答案为：1或−2．【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．【变式4-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期中）已知x3=y5=z6，且3y =2z +6，求x ，y 的值．【答案】x =6，y =10【分析】设x3=y5=z6=k ，则x =3k ，y =5k ，z =6k ，由3y =2z +6可求得k 的值，从而可求得x 与y 的值．【详解】设x3=y5=z6=k，则x=3k，y=5k，z=6k∵3y=2z+6∴3×5k=2×6k+6解得：k=2∴x=3×2=6，y=5×2=10即x、y的值分别为6、10【点睛】本题考查了比例的性质，若几个比相等，即ab =cd=ef，常常设其比值为k，则有a=kb，c=kd，e=kf，再根据题目条件解答则更简便．【变式4-2】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b 4=c5．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax =xb），求线段x的长．【答案】(1)a=9，b=12，c=15(2)x=【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；（2）由题意可直接得出9x =x12，解出x的值（舍去负值）即可．【详解】（1）由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，∵a+b+c=36，∴3k+4k+5k=36，解得：k=3，∴a=9，b=12，c=15；（2）∵ax =xb，∴9 x =x12，整理，得：x2=108，解得：x =【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k 法”是解题关键．【变式4-3】（2023春·四川成都·九年级成都七中校考期中）已知y z x=x z y==k ，则k 2= ．【答案】1或4．【分析】由y z x==x y z=k ，可得y +z =kx,x +z =ky,x +y =kz ，再分两种情况讨论即可．【详解】解：x z y==k ，∴y +z =kx,x +z =ky,x +y =kz ，∴2x +2y +2z =2(x +y +z )=k (x +y +z )，当x +y +z ≠0时，∴k =2，则k 2=4，当x +y +z =0时，x +y =−z ，∴k =x y z=−z z=−1，则k 2=1，故答案为：1或4．【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“利用比例的基本性质进行求值”是解本题的关键．【题型5 利用比例的性质求代数式的值】【例5】（2023春·山东威海·=c a b ，则(a b)(b c)(c a)abc的值为 ．【答案】-1或8【分析】设a b c=b ca，根据比例的性质可得a+b=ck ，b+c=ak ，c+a=bk ，根据等式的性质可得2（a+b+c ）=k （a+b+c ），分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况，分别求出k 值，根据(a b)(b c)(c a)abc=k 3即可得答案．【详解】设a bc=b c a=c ab=k ，∴a+b=ck ，b+c=ak ，c+a=bk ，∴a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk ，即2（a+b+c ）=k （a+b+c ），∴（a+b+c ）(2-k)=0，当a+b+c=0时，即a+b=-c ，∴k=a b c=−cc =-1，=a bc ⋅b ca⋅c ab=k3=-1，当a+b+c≠0时，则2-k=0，解得：k=2，⋅c ab=k3=8，故答案为：-1或8【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键．【变式5-1】（2023春·内蒙古包头·九年级统考期末）若ab =cd=ef=13，则3b−2d）A．13B．1C．1.5D．3【答案】A【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可．【详解】解：由ab =cd=ef=13，∴b=3a，d=3c，f=3e，∴3a−2c e 3b−2d f =3a−2c e3×3a−2×3c−3e=3a−2c e3×(3a−2c e)=13，故选：A．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．【变式5-2】（2023春·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知代数式A=ab c ，B=ba c，C=ca b，下列结论：①若a:b:c=1:1:2，则A⋅C+B=23；②若A=B=C，则A+B+C=32；③若a=c=2，b为关于a的方程x2+2023x+4=0的一个解，则1A +1B+1C=−2019；④若a<b<c，则A<B<C；其中正确的个数是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】①a:b:c=1:1:2，设a=t,b=t,c=2t，代入A、B、C，进行计算即可判断；②根据A=B=C得A=ab c =ba c=ca b，分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况求解即可；③当a =b =2时，代入A 、B 、C ，可得1A +1B +1C =2+c +4c ，根据b 是方程④x 2+2023x +4=0的一个实根得b +4b =−2023，进行即可判断；④根据a ，b ，c 为正整数，且a <b <c 得b +c >a +c >a +b ，即可判断；【详解】解：①a:b:c =1:1:2，设a =t,b =t,c =2t ，∴A =t t2t =t 3t =13,B =t t2t=13,C =2t tt=1，即A ×C +B =13×1+13=23，故①正确；②∵A =B =C ，∴A =abc=ba c=ca b ，若a +b +c =0，即b =c =−a ，则A =a−a =−1，若a +b +c ≠0，则A =a b cbc a c a b=12，即A 的值为−1或12，故②不正确；③当a =c =2时，A =2b 2，B =b22=b 4，C =22b ，∴1A +1B +1C =2b 2+2b2+4b =42b 2+4c =2+b +4b ，∵b 是方程x 2+2023x +4=0的一个实根，∴b 2+2023b +4=0，∴b +4b =−2023，∴1A +1B +1C =2−2023=−2021，故③不正确；④∵a ，b ，c 为正整数，且a <b <c ，∴b +c >a +c >a +b ，∴A <B <C ，故④正确；综上，①④正确，正确的个数是2个，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算．【变式5-3】（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）（1）若x3=y5=z7，求（2）若a 23=b4=c 56，且2a−b +3c =21，求a:b:c ．【答案】（1）5；（2）a:b:c =4:8:7【分析】（1）先设x3=y5=z7=k ，得到x =3k,y =5k,z =7k x y−z （2）先设a 23=b4=c 56=k ，得到a =3k−2,b =4k,c =6k−5，再根据2a−b +3c =21求出k =2，最后进行比较即可．【详解】解：（1）设x3=y5=z7=k ，∴x =3k,y =5k,z =7k ，∴x−y z xy−z=3k−5k 7k3k5k−7k=5k k=5；（2=b4=c 56=k ，∴a =3k−2,b =4k,c =6k−5，∴2(3k−2)−4k +3(6k−5)=21，解得k =2，∴a =6−2=4,b =8,c =7，∴a:b:c =4:8:7．【点睛】本题考查了比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个参数，把题目中的几个量用所设的参数表示出来，然后消掉所设的参数，即可求得所给代数式的值．【题型6 利用比例的性质进行证明】【例6】（2023春·九年级单元测试）已知a:b =c:d ，且b ≠nd ，求证：ab =a−ncb−nd ．【答案】见解析【分析】由a:b =c:d 得到ad =bc ，则利用等式的基本性质得到adn =bcn ，ab−adn =ab−bcn ，则a (b−nd )=b(a−nc)，利用比例的基本性质即可得到结论．【详解】解：∵a:b=c:d，∴ad=bc，∴adn=bcn，∴ab−adn=ab−bcn，∴a(b−nd)=b(a−nc)，∴a b =a−ncb−nd【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．【变式6-1】（2023春·浙江湖州·九年级统考阶段练习）已知ab =23(1)求：aa2b(2)求证：aa2b =b3a2b【答案】(1)14；(2)证明见解析.【分析】(1)根据a与b的比值，设a=2k，b=3k，再将a，b的值代入代数式化简可求解.(2)由(1)中的a=2k，b=3k，分别代入等式的左右两边，即可得证.【详解】(1)解：由ab =23可设a=2k，b=3k∴a a2b =2k2k6k=14.(2)证明：由(1)得，aa2b =1 4，b3a+2b =3k3×2k+2×3k=14∴a a2b =b3a2b【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质，设比例参数是解题的关键.【变式6-2】（2023春·广东惠州·九年级校考开学考试）已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项.求证：点（a，b），（c，d）和坐标原点O在同一直线上.【答案】见解析【分析】设经过点O和（a，b）的直线是y=kx，设经过点O和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，证明k=m即可证得．【详解】证明：设经过点O 和（a ，b ）的直线是y=kx ，则b=ak ，则k=ba ，设经过点O 和（c ，d ）的直线的解析式是：y=mx ，则d=cm ，解得：m=dc ，∵a ，b ，c ，d 四个数成比例，∴a b =cd ，∴b a =d c ，∴k=m ，则直线y=kx 和直线y=mx 是同一直线，即点（a ，b ），（c ，d ）和坐标原点O 在同一直线上．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及比例线段的定义，解题关键是理解证明的思路．【变式6-3】（2023春·全国·九年级专题练习）已知ax =by =cz ，且1x +1y +1z =1.求证：a 3x 2+b 3y 2+c 3z 2=(a +b +c )3.【答案】见解析【分析】根据已知设ax =by =cz =k ，分别用k 表示a 、b 、c ，相加得出k 的值，代入方程组即可得出【详解】设ax =by =cz =k ，从而a =kx ，b =ky ，c =kz ，于是a +b +c =k （1x +1y +1z ），又因为1x +1y +1z =1，所以a +b +c =k ；a 3x 2+b 3y 2+c 3z 2=k 2(a +b +c )=(a +b +c )3.【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k 的值是解题的关键【题型7 比例的性质在阅读理解中的运用】【例7】（2023春·重庆大渡口·九年级统考期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x ，y ，z z x y==k ，求2x−y−z 的值”时，采用了引入参数法k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x ，y ，z 之间的关系，从而解决问题.过程如下：解；设y z x=z x y=x y z=k ，则有：y +z =kx ，z +x =ky ，x +y =kz ，将以上三个等式相加，得2(x +k +z )=k (x +y +z ).∵x，y，z都为正数，∴k=22，.∴2x−y−z=0.仔细阅读上述材料，解决下面的问题：（1）若正数x，y，z满足x2y z=y2z x=z2x y=k，求k的值；（2）已知a ba−b =b c2(b−c)=c a3(c−a)，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.【答案】（1）k=13；（2）见解析．【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足x2y z=y2z x=z2x y=k，∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），∴x+y+z=3k（x+y+z），∵x、y、z均为正数，∴k=13；（2）证明：设a ba−bc a3(c−a)=k，则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，∴8a+9b+5c=0．故答案为（1）k=13；（2）见解析．【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．【变式7-1】（2023春·九年级课时练习）阅读下面的解题过程，然后解题：题目：已知xa−b =yb−c=zc−a（a、b、c互相不相等），求x+y+z的值．解：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x=k（a﹣b），y=k（b﹣c），z=k（c﹣a）于是，x+y+z=k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）=k•0=0，依照上述方法解答下列问题：x+y+z≠0），求x−y−z x y z 的值．【答案】−13．【分析】设y zx=z x y=x y z=k ，根据比例的性质得到x=y=z ，计算即可．x y z=k ，则y+z=xk ，z+x=yk ，x+y=zk ，∴2（x+y+z ）=k （x+y+z ），解得，k=2，∴y+z=2x ，z+x=2y ，x+y=2z ，解得，x=y=z ，则x−y−z xy z=−13．【点睛】本题考查的是比例的性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）阅读理解：已知：a ，b ，c ，d 都是不为0的数，且ab =cd ，求证：a b b=c dd．证明：∵ab =cd ，∴ab +1=cd +1．∴a b b =c dd．根据以上方法，解答下列问题：（1）若ab =35，求（2）若ab =cd ，且a ≠b ，c ≠d ，证明a−bab=c−dc d ．【答案】（1）85；（2）证明过程见解析【分析】（1）根据a b b=c dd计算即可；（2）先在等式两边同时减去1【详解】（1）∵ab =35，∴a bb =355=85；（2）∵ab =cd，∴a b −1=cd−1，∴a−bb =c−dd，又∵a bb =c dd，∴a−bb ÷a bb=c−dd÷c dd，∴a−b a b =c−dc d．【点睛】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．【变式7-3】（2023春·山西太原·九年级太原五中校考阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）△ABC与△ABD是以AB为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边△ABC与△ABD，连结第三个顶点DC并延长交AB于E，则S△ABCS△ABD =CEDE．【问题解决】如图（2），已知在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，BE的连线交AC于F．（1）找出以BF为公共边的所有“共边三角形”，若△ABC的面积为45cm2？，分别求出这些“共边三角形”的面积；（2）求证：AF=13AC；（3）若将“D为BC的中点”条件，改为“BD:DC=2:3”，则AF:CF=______．【答案】（1）△ABF、△DBF、△CBF，S△DBF=S△ABF=15cm2，S△CBF=30cm2;（2）见解析；（3）25．【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有S△DBFS△CBF =BDBC=12，S△ABFS△DBF=AEDE=11，进而问题可求解；（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意易得S△DBFS△CBF =BDBC=25，S△ABFS△DBF=AEDE=11，进而问题可进行求解．【详解】（1）解：由题意得：以BF为公共边的“共边三角形”为：△ABF、△DBF、△CBF，由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF =BDBC=12，S△ABFS△DBF=AEDE=11，∴S△ABF:S△DBF:S△CBF=1:1:2，∵△ABC的面积为45cm2，∴S△DBF=S△ABF=13S△ABC=15cm2，∴S△CBF=23S△ABC=30cm2；（2）证明：由“共边三角形”的性质：S△ABFS△CBF =AFCF即：1530=AFCF，∴AF AC =13，∴AF=13AC；（3）解：由“共边三角形”的性质：S△DBFS△CBF =BDBC=25，S△ABFS△DBF=AEDE=11，∴S△ABF:S△DBF:S△CBF=2:2:5，∵S△ABF S△CBF =AFCF，∴AF CF =25，故答案为25．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可．【知识点3黄金分割】若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC BC>），且使AC是AB和BC的比例中项（即AC AB BC2=⋅），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中≈0382，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB .AC AB=.AB=≈0618，BC AB而言，黄金分割点有两个．）【题型8黄金分割的概念辨析】【例8】（2023春·山东烟台·的值为（）黄金矩形ABCD（AB<BC）的边BC上取一点E，使得CE=AB，连接AE，则BEABA B C D【答案】B【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案．【详解】解：设BC=a，∵矩形ABCD为黄金矩形，∴AB，∴BE=a，=∴⋅BE故选：B．【变式8-1】（2023春·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，点C是线段AB的黄金分割点，且AC<BC，下列选项错误的是（）≈0.618B．BC=A．BCAB=C．BC2=AB⋅AC D．ACBC【答案】B【分析】根据黄金分割的定义得BC AB =AC BC =0.618，即可解决问题．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC <BC ，∴BC AB =AC BC ≈0.618，∴BC 2=AB ⋅AC ，AC =，∴A 、C 、D 选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较大部0.618，即为黄金分割．【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级统考期末）已知线段AB =2，若C ，D 是AB 的两个黄金分割点，则CD 长为 ．【答案】【分析】根据黄金分割的概念先计算出AC ，然后再计算AD ，最后根据CD =AC−AD 即可求出答案．【详解】如图，C ，D 是AB 的两个黄金分割点，设AC >BC ，AD <BD根据题意得，AC =BD ×∴ AD =AB−BD =−1=∴ CD =AC−AD 3−．故答案为:．【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的【变式8-3】（2023春·四川成都·九年级统考期末）如图，线段AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC )，C 1是线段AC 的黄金分割点C 1(AC 1>C 1C )，C 2是线段AC 1的黄金分割点，以此类推，则AC m = ．+1【分析】先按照黄金分割比例依次计算出AC、AC1、AC2，然后按照规律即可得到AC m．【详解】解：设AC=a，BC=BA−AC=1−a，∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，∴BCAC =ACAB，即1−aa =a1，整理得a2+a−1=0，解得a a=∴ACABAC∵C1是线段AC的黄金分割点C1(AC1>C1C)，∴AC1AC=AC1=，∵C2是线段AC1的黄金分割点，∴AC2AC1=AC2=，∵AC AC1=、AC2=，∴以此类推，AC m=+1，+1．【点睛】本题考查了黄金分割、规律探究表达，求出黄金分割比，并按照规律表示出AC m是解题关键．【题型9黄金分割的实际应用】【例9】（2023春·全国·九年级统考期中）人体下半身与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，她应该选择穿（精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美．【答案】4.8【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，根据黄金分割的定义，列出方程直接求解即可．【详解】设她应选择高跟鞋的高度是xcm，则0.618，解得：x≈4.8cm．经检验知x≈4.8是原方程的解，答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美．故答案为4.8．【点睛】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关键．注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度．【变式9-1】（2023春·四川成都·九年级统考期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为cm．（结果保留根号）【答案】【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长．【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP＝5（cm），故答案为：5．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC ( AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB : AC=AC : BC )，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，熟记黄金分割比值是解题的关键．【变式9-2】（2023春·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是7cm，则蝴蝶身体的长度约为（精确到0.1）【答案】4.3cm【分析】设蝴蝶身体的长度为xcm【详解】解：设蝴蝶身体的长度为xcm，由题意得：x7＝解得：x，故答案为：4.3cm．【变式9-3】（2023春·甘肃白银·九年级校考期末）节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB长为20m，则主持人站在离A点处最自然得体．（结果精确到0.1m）【答案】12.4m或7.6m【分析】根据黄金分割定义，由黄金分割点的位置分两种情况讨论：①黄金分割点离A近；②黄金分割点离B近，由黄金分割比列式求解即可得到答案．【详解】解：由题意可知，分两种情况，作图求解：当①黄金分割点离A近，如图所示：∵AB=20m，∴由黄金分割比可知ACBC =BCAB，设AC=x m，则BC=(20−x)m，代入得到x20−x =20−x20，解得x=30±∴AC=7.6m，AC=30+20（舍弃）；②黄金分割点离B近，如图所示：∵AB=20m，∴由黄金分割比可知BCAC =ACAB，设AC=y m，则BC=(20−y)m，代入得到20−yy =y20，解得x=−10±∴AC=−10+12.4m，AC=0（舍弃）；综上所述，主持人站在离A点12.4m或7.6m处最自然得体，故答案为：12.4m或7.6m．【点睛】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．。
成比例线段PPT课件(华师大版)
(1)合比性质：a c ⇔ a b c d ； bd b d
(2)等比性质：
a c e m kbd f
bd f
n
n 0
ace m a. bd f n b
例3 已知 a 3 ，求的值 a b ．
b4
ab
导引：根据已知得 a 3 b ，然后代入求值；也 4
可以通过设参数的方法，即设a＝3k，b＝
23.1 成比例线段
成比例线段
成比例线段 比例的性质
复
习
回
顾
你还记得比例尺吗？请说出比例尺的 意义和公式.
知识点 1 成比例线段
试一试
如下格点图可知， AB ＝______， BC ＝________．
A'B'
B'C '
这样
AB A'B'
与
BC B'C '
之间有什么关系？
1.对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段 的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如 （或a:b=c:d） ，那么，这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段．这里四条线段a，b，c，d是有先后顺 序的．
要点精析： (1)两条线段的长度之比：在同一单位长度下，两条线段
长度的比值叫两条线段的长度之比．
(2)①成比例线段是有顺序的，如果说a，b，c，d是成比 例线段，那么得到的比例式是 a c，其中a，d
bd
叫做比例外项，b，c叫做比例内项．
②特殊比例线段，如果b＝c，即a:b＝b:d，那么b
叫做a，b的比例中项．
∴原式=
总结
利用比例的性质求代数式的值的方法： 当一个题中出现多个未知数时，常巧用的方法
比例的认识知识点总结
比例的认识知识点总结一、比例的意义。
1. 定义。
- 表示两个比相等的式子叫做比例。
例如：2∶3 = 4∶6，因为2∶3=2÷3 = (2)/(3)，4∶6 = 4÷6=(2)/(3)，这两个比的比值相等，所以它们可以组成比例。
2. 比例的各部分名称。
- 组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
例如在比例3∶4 = 9∶12中，3和12是外项，4和9是内项。
二、比例的基本性质。
1. 性质内容。
- 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
如在比例a∶b = c∶d中，根据比例的基本性质可得ad = bc。
- 例如在比例2∶5 = 4∶10中，2×10 = 5×4 = 20。
2. 应用比例基本性质判断比例是否成立。
- 如果两个比的外项积等于内项积，那么这两个比就能组成比例；反之则不能。
例如判断3∶4和6∶8是否能组成比例，计算3×8 = 24，4×6 = 24，因为3×8 = 4×6，所以3∶4和6∶8能组成比例。
三、解比例。
1. 定义。
- 求比例中的未知项，叫做解比例。
2. 方法。
- 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。
例如解比例x∶2 = 3∶6，根据比例的基本性质可得6x=2×3，即6x = 6，解得x = 1。
四、比例与比的联系和区别。
1. 联系。
- 比例是由两个比值相等的比组成的等式。
比是比例的基础，比例是比的延伸。
2. 区别。
- 比表示两个数相除，只有两个项（前项和后项）；比例表示两个比相等的式子，有四个项（两个外项和两个内项）。
例如3∶5是一个比，而3∶5 = 6∶10是一个比例。
五、比例尺。
1. 定义。
- 图上距离与实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
比例尺通常写成前项或后项是1的比。
例如比例尺1∶1000，表示图上1厘米代表实际距离1000厘米（10米）。
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一元二次方程的应用
例题解析
1.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？
2.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm 的无盖长方形的纸盒？
3.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。
设该商品的售价为X元。
（1）、每件商品的利润为元。
若超过50元，但不超过80元，每月售件。
若超过80元，每月售件。
（用X的式子填空。
）
（2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元
(3)、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。
练习、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
第1页（共4页）
成比例线段习题
10.19
知识点1：两条线段的比
如果a:b=c:d （即d
c
b a =）那么就说a 、b 、
c 、
d 成比例，两条线段的长度比叫做两条线段的比。
例1 已知M 为线段AB 上一点，AM ：MB ＝3：5，且AB ＝16cm,求线段AM ，BM 的长度.
例2 若a=6cm, b=6m,则两条线段a,b 的比为1，请你判断这种说法是否正确。
知识点2 成比例线段
1 成比例线段
在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比
等于c 与d 的比，即d
c
b a =，我们就把这四
条线段叫做成比例线段，简称比例线段，线段a,d 是比例外项，线段b,c 是比例内项，线段d 是a,b,c 的第四比例项
例 3 判断下列各组长度的线段是否成比例？
（1）cm a 2= cm b 3= cm c 4= cm d 1=
（2）cm a 5.1= cm b 5.2= cm c 5.4= cm d 5.6=
（3）cm a 1.1= cm b 2.2= cm c 3.3= cm d 4.4=
（4）cm a 1= cm b 2= cm c 2= cm d 4=
知识点3 比例的基本性质
比例线段有以下基本性质：
两个外项的积等于两个内项的积，即如果d
c
b a =，那么cd ab = 还可以得到d b
c a =，c
d a b =，b
d
a c =
例 4 若a,b,c,d 是成比例线段，且3=a ,5=b ,2=d 求c
知识点4 合比性质
如果d c b a =，那么d d c b b a +=
+，或者d d
c b b a -=
- 例5 （1）若4=y x ，求y y x -，y
x x
+ （2）若
53=b a ，求
b
b
a +- 知识点5等比性质
如果k c d b a ==，那么k c
d b a d b c a ===++
拓展：
k b a b a b a ==== (3)
3
2211，那么321321b b b a a a ++++=k b a b a b a ====
(3)
3
2211 例6 已知，3===f e d c b a ，求f
d b e
c a 4242+-+-的
值(042≠+-f d b )
第3页（共4页）
例7 已知4
1
532===-c b a ，求c b a ++的值
练习题
1．在比例尺是1：500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是（）平方米． A ．20平方米 B ．500平方米
C ．5000平方米
D ．500000平方米 2．已知，则的值是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知三个数2，2，4．如果再添加一个数，就得到这四个数成比例了，则添加的数是（ ） A ．22 B ．22或
2
2
C ．22，24或28
D ．22，2
2
或24
4．若==，且3a ﹣2b+c=3，则2a+4b ﹣3c 的
值是（ ） A ．14 B ．42 C ．7 D ．
5．若
，则
等于（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
6．若ab=cd ，且abcd ≠0，则下列式子正确的是（ ）
A ．a ：c=b ：d
B ．d ：c=b ：a
C ．a ：b=c ：d
D ．a ：d=c ：b 7．已知
=，那么=（ ）
A ．
B ．3
C ．
D ．2
8．若=，则等于（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．
9．若3x ﹣2y=0，则﹣1等于（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．下列结论中，错误的是（ ） A ．若=，则= B ．若
=，则=
C ．若==（b ﹣d ≠0），则=
D ．若=，则a=3，b=4
11．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．1cm 、2cm 、20cm 、30cm B ．1cm 、2cm 、3cm 、4cm C ．5cm 、10cm 、10cm 、20cm D ．4cm 、2cm 、1cm 、3cm
12．已知：x ：y=2：3，则（x+y ）：y= ． 13．若=，则
= ．
14．已知：3a=2b ，那么
= ．
15．如果线段a 、b 、c 、d 满足==，那么
= ．
16．已知：
，则
= ．
17．已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=10，且
，则
的值是 ．
18．已知4a =5b =6c
，且10=+c b -a ，则c
-b a +的值为________________． 19．若
x y z
k y z z x y x
===+++，则
k =．
20．已知：，求代数式
的值．
21．如图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD 交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为．
22．若，且3x+2y﹣z=14，求x，y，z 的值．
23．已知：（x、y、z均不为零），求
的值．24．已知a ：b ：c=2 ：3 ：4，且2a＋3b－2c=10，求a， b，c的值。
25．已知：0
234
a b c
==≠，且2a-b+c=10．求a、b、c的值．
26．已知1:2:3
:
:=
c
b
a，且
4
3
2=
+
-c
b
a，求c
b
a4
3
2-
+的值．。