线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求在线性代数中，标准正交基是一组线性无关的向量，它们不仅构成向量空间的基，而且彼此之间是正交的。
那么，如何求解标准正交基呢？接下来，我们将详细介绍标准正交基的求解方法。
首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在n维欧几里得空间中，一组向量{v1, v2, ..., vn}被称为标准正交基，如果它们两两正交并且归一化，即满足以下两个条件：1. 任意两个向量vi和vj（i≠j）的内积为0，即vi·vj=0（i≠j）；2. 每个向量vi的模长为1，即||vi||=1。
有了标准正交基的定义，接下来我们介绍如何求解标准正交基。
一种常用的方法是施密特正交化方法，其具体步骤如下：1. 将向量组{v1, v2, ..., vn}中的第一个向量v1作为标准正交基的第一个向量u1，即u1=v1/||v1||；2. 对于第i个向量vi（i>1），依次进行以下操作：a. 将vi在前i-1个标准正交基向量{u1, u2, ..., ui-1}上的投影全部减去，得到一个新的向量vi'；b. 将vi'进行归一化处理，得到标准正交基的第i个向量ui，即ui=vi'/||vi'||。
通过施密特正交化方法，我们可以逐步求解出标准正交基。
需要注意的是，施密特正交化方法求得的标准正交基向量是按照原始向量的顺序排列的，而且并不是唯一的。
在实际应用中，我们可以根据需要对标准正交基进行调整和排序。
除了施密特正交化方法，还有其他一些方法可以用来求解标准正交基，比如Gram-Schmidt正交化方法、奇异值分解等。
不同的方法在求解效率和数值稳定性上有所差异，可以根据具体问题的需求选择合适的方法。
总之，求解标准正交基是线性代数中的重要问题，它在许多领域都有着广泛的应用。
通过本文介绍的方法，我们可以有效地求解出标准正交基，并在实际问题中加以应用。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
标准正交化公式
标准正交化公式在数学和工程领域中，标准正交化是一种常见的线性代数操作，它可以将一个线性空间中的一组基转换为另一组正交的基。
标准正交化的目的是简化计算和分析过程，同时保持向量空间的线性无关性和基的完备性。
在本文中，我们将介绍标准正交化的基本概念和公式，并讨论其在实际问题中的应用。
假设我们有一个线性空间V，其中包含n个线性无关的基向量{v1, v2, ..., vn}。
我们希望将这组基向量转换为一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
标准正交基的特点是任意两个基向量之间的内积为0，即<u_i, u_j> = 0 (i ≠ j)，并且每个基向量的模长为1，即||u_i|| = 1。
通过标准正交化，我们可以简化向量的表示和计算，同时减少误差和复杂性。
标准正交化的常用方法包括施密特正交化和QR分解。
施密特正交化是一种迭代的方法，通过Gram-Schmidt过程将原始基向量转换为标准正交基。
假设我们已经得到了前k个标准正交基{u1,u2, ..., uk}，我们可以通过以下公式来计算第k+1个标准正交基u_k+1：u_k+1 = v_k+1 ∑(i=1 to k) <v_k+1, u_i> u_i。
其中，<v_k+1, u_i>表示v_k+1和u_i的内积，u_i表示第i个标准正交基。
通过迭代这个过程，我们可以得到完整的标准正交基{u1, u2, ..., un}。
另一种常用的方法是QR分解，它可以将任意矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积。
对于一个n×n的矩阵A，我们可以通过QR分解得到：A = QR。
其中，Q是一个n×n的正交矩阵，R是一个n×n的上三角矩阵。
通过QR分解，我们可以直接得到标准正交基，并且可以更方便地进行计算和分析。
在实际问题中，标准正交化可以应用于信号处理、数值计算、最优化问题等各种领域。
例如，在信号处理中，我们可以利用标准正交基来简化信号的表示和处理，从而提高计算效率和减少误差。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
线性代数第2章第6节Rn的标准正交基 卢刚版课件
常数．
取 c = 1，则
β = (−3, 7, 2)T ,
⎛1 0
3 2
⎞
⎜ ⎜
0
1
−
7 2
⎟ ⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
将β单位化，则所求向量为
α = 1 β = 1 (−3, 7, 2)T .
β
62
18
定理2.15 设α1,α2, ··· ,αs (s≥2) 是一个正交向量组， 则α1,α2, ··· ,αs 线性无关．
证明：(1) 由于行列式
12 3 ξ1Tξ2Tξ3T = 1 1 2 = 1 ≠ 0
11 1
所以ξ1,ξ2,ξ3 线性无关，构成R3的一组基．
7
(2) 利用ξ1,ξ2,ξ3关于基ε1,ε2,ε3的坐标将ξ1,ξ2,
ξ3 分别表示为
ξ1 = (1,1, 0), ξ2 = (0, 1, 1), ξ3 = (1, 0, 1).
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位向 量，则称该向量组为 正交单位向量组 ．
可知：与自身正交的向量只能是零向量． 零向量与任意向量都正交．
当α，β ∈R2 均为非零向量时，
α与β正交 ⇔ α与β相互垂直．
16
例：设 α1 = (1, −1, 5)T , α2 = (1, 3, −9)T , α3 = (1, 1, − 2)T ,
第二章 线性方程组
第六节 Rn的标准正交基
一、Rn的标准正交基的概念 二、Schmidt正交化法
1
我们学过如下内容： 向量组的极大无关组与向量组等价．只要找到
向量组的一个极大无关组，就等于掌握了这个向量 . 如果已知一个向量组的秩为 r ，则其任意 r个线
性无关的向量都可以成为该向量组的极大无关组． 任意 n + 1 个n 维向量一定线性相关，即任意一
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 0 ，则
1
为单位向量或标准化向量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
2
即 与 相互垂直.
2. 正交向量组的性质
定理 2.15 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量
组，则 1 , 2 , … , s 线性无关.
证 明 设 有 k1 , k2 , … , ks 使
k1 1 + k2 2 + … + ks s = 0 ,
以 1T 左 乘 上 式 两 端 , 得
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
可知，一个向量组线性无关，
是其成为正交向量组的必要条件. 下面我们将介绍
26的标准正交基
3 (1, 2, 2,3)T 等价的一个正交单位向量组.
解 : 1 1 (1,1,1,1)T ;
2
2
T 2
1
1T 1
1
(1, 2, 3, 4)T 1 2 3 4 (1,1,1,1)T (3, 0, 1, 2)T 1111
3
3
T 3
1
1T 1
1
T 3
2
T 2
2
21
(1, 2, 2,3)T 1 2 2 3 (1,1,1,1)T 3 2 6 (3, 0, 1, 2)T
z
3
0
y
2 1
x
定理2.15
设1 , 2 ,
,
是一个正交向量组,
s
则1,2, ,s线性无关.
证明 设存在数k1, k2, , ks使得
k11 k22 kss 0 则有 1T(k11 k22 kss ) 1T 0 k11T1 0 k1 0
2T(k11 k22
kss )
T 2
1111
91 4
( 1 , 0, 5 , 4 )T 14 14 14
1 (1,1,1,1)T ;
设 (a1, a2, , an )T Rn , 称 T为向量的长度(或模),记作 .即
n
T
ai2
i 1
如果 1,则称为单位向量.
向量长度的性质：
P103——
将向量化为单位向量：
1
定义2.20向量正交
设, Rn ,如果T 0, 则称向量与正交.
定义2.21正交向量组
0
k2
T 2
2
0
k2
0
sT(k11 k22
kss )
标准正交基的求法
标准正交基的求法在线性代数中，标准正交基是指一个向量空间中的一组基，其中每个向量都是单位向量，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基在计算机图形学、信号处理和量子力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍标准正交基的求法。
1. Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程是求解标准正交基的一种常用方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量逐一正交化，得到一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将第一个向量v1单位化，得到u1：u1 = v1 / ||v1||其中||v1||表示向量v1的模长。
2）对于第二个向量v2，先将它在u1上的投影p2计算出来：p2 = (v2 · u1)u1其中·表示向量的点积运算。
然后将v2减去它在u1上的投影，得到一个新的向量w2：w2 = v2 - p23）将w2单位化，得到u2：u2 = w2 / ||w2||4）对于第三个向量v3，先将它在u1和u2上的投影p3计算出来：p3 = (v3 · u1)u1 + (v3 · u2)u2然后将v3减去它在u1和u2上的投影，得到一个新的向量w3：w3 = v3 - p35）将w3单位化，得到u3：u3 = w3 / ||w3||以此类推，直到求得所有的标准正交基向量。
2. QR分解QR分解是另一种求解标准正交基的方法。
该方法的基本思想是将原始向量空间中的基向量通过正交矩阵Q变换成一组正交基向量，然后将这些向量单位化，得到标准正交基向量。
具体步骤如下：假设有一组线性无关的向量{v1, v2, ..., vn}，要求得它们的标准正交基。
1）将这些向量组成一个矩阵A：A = [v1 v2 ... vn]2）对矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R：A = QR其中Q的列向量就是标准正交基向量。
标准正交基怎么求
标准正交基怎么求标准正交基是线性代数中的重要概念，它在向量空间的正交性质和标准化表示方面起着关键作用。
那么，接下来我们就来探讨一下标准正交基的求解方法。
首先，我们需要明确标准正交基的定义。
在n维实内积空间中，如果向量组{v1, v2, ..., vn}满足以下两个条件，一是向量组中的向量两两正交，即vi·vj=0（i≠j），二是向量组中的每一个向量的模长为1，即||vi||=1，则称向量组{v1, v2, ..., vn}为标准正交基。
接下来，我们来讨论标准正交基的求解方法。
一般来说，求解标准正交基的方法有Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法。
首先是Gram-Schmidt正交化方法。
对于给定的线性无关向量组{u1, u2, ..., un}，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 取第一个向量v1=u1，进行标准化处理，即v1=u1/||u1||。
2. 对于第i个向量ui，我们可以通过以下公式来求解vi：vi=ui-Σ(j=1 to i-1)(ui·vj)·vj。
然后进行标准化处理，即vi=vi/||vi||。
3. 重复以上步骤，直到求得n个标准正交向量{v1, v2, ..., vn}。
其次是矩阵的特征值分解方法。
对于给定的矩阵A，我们可以通过以下步骤来求解标准正交基：1. 首先，求解矩阵A的特征值和对应的特征向量。
2. 将特征向量进行标准化处理，即将每个特征向量除以其模长。
3. 如果A是对称矩阵，那么它的特征向量是两两正交的，我们可以直接将它们作为标准正交基。
需要注意的是，对于一般的矩阵，其特征向量未必是两两正交的，所以在使用特征值分解方法求解标准正交基时，需要进行额外的正交化处理。
综上所述，我们可以通过Gram-Schmidt正交化方法和矩阵的特征值分解方法来求解标准正交基。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解标准正交基，以满足我们的需求。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
|T | = || || ·|| || , 线性相关.
其中 , 为 Rn 中的向量， k R .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
1
T (1,1,1,1)012 2,
3
T
(1,
1,
1,
1)
0 12
0,
1
T (1, 1, 1, 1)111 4,
等等.
2. 内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 . 其中 , , 为 Rn 中的任意向量，k R .
n
T ai2 i1
如果 || || = 1，则称 为单位向量. 例如，
T
(1,0)T,
2, 2
22
均为 R2 中的单位向量.
2. 长度的性质
(1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ;
(2) || k || = | k | ·|| || ; (3) |T | || || ·|| || , 且
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
内 内((积 积 3 3 )) 的 的 的 的性 性 证 证质 质 明 明 (( 1 1 ))证 证明 明 T T = = 当 T T ;; = 0 时 ， | T | | | | | ·| | | | 显 然 成 立 (( 2 2 ))，((以 k k 下 )) T T设 = = k k T T 0 .;; 令 t 是 一 个 实 变 数 ， 作 向 量 (( 3 3 )) (( + + ))T T = = = + T Tt + +. T T ;; 由 (( 4 4 )) T T可 知 0 0 ，,, 不且 且论 t取 T T 何 = =值0 0， 一定 = =有0 0 ..
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
解 由于 = (d1 , d2 , … , dn)T = d11 + d22 + … + dnn ,
… , bn)T 为 Rn 中的两个向量，则 b1
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
T = ( + t )T ( + t ) 0 . 即
T + 2 T t + T t 2 0 .
3. 非零向量的单位化
由性质
长度的性质 (1) || || 0 , 且 || || = 0 = 0 ; (2 ) || k || = | k | ·|| || ; (3 ) | T | || || ·|| || , 且
由性质 (1) , (2) , (3) 可推出：
( k11 + k22 )T = k11T + k22T , T ( k11 + k2 2 ) = k1T1 + k2T2 .
三、向量的长度
1. 长度的定义
定义 2.19 设 = (a1 , a2 , … , an)T Rn ，称
T 为向量 的长度(或模)，记作 || || . 即
12 12 12 12 2,
12 ( 2 ) 2 0 2 ( 1) 2 6 ,
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
在 3 维空间 R3 中，向量可以通过其坐标唯一确 定出来，并由此研究向量的性质和向量间的关系. 将 坐标的概念推广到 Rn 中，有
2. 向量在基下的坐标
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，