八年级数学北师大版课件：解题技巧专题：二次根式中的化简求值.pptx (共9张PPT)
北师大版八年级上册数学二次根式(一)
北师大版八年级上册数学二次根式(一)
学生 学
校 年
级
教师 授课日期 授课时段
课题 二次根式（一）
重点
难点 实数的分类
二次根式的乘除运算
二次根式的化简
教学步骤及教学内容
一：
4．4－29x的最大值是________．
5．若│2a－5b+1│+43ab=0，求a+4b的值．
三：二次根式的性质
baba•，baba．
例1：
（1）94 （2）2516 (3)94 (4)2516
实数 有理数
无理数 分数 整数 正整数
0 负整数 正分数
负分数 自然数
正无理数
负无理数
无限不循环小数 有限小数及无限循环小数
一般有三种情况 (1)含π的数2开方开不尽的数(3)有规律但不循环的无限小数实数的分类：
四、最简二次根式：①被开方数不含分母；
②被开方数不含小数；
③被开方数不含开得尽方的因数或因式。
例1：
（1）20.5；（2）235； （3）2322.
练习．计算
（1）（9）2 （2）23
（3）（126）2（4）（94）2
例2：
（1）6481；（2）625；（3）95；（4）20
练习：
1.化简：（1）45；（2）27；（3）31；（4）98；（5）16125．
2. 化简：
（1）916 （2）1681 （3）229xy （4）54
（5）20; （6）18; （7） 24; （8）
2212ab
五：二次根式的乘法
abba（a≥0，b≥0），baab（a≥0，b≥0）．
注意:1、公式中的非负数的条件；
2、在被开方数相乘时，就应该考虑因式分解（或因数分解）；
3、a·b＝ab 可推广为：a·b·c ＝abc( a ≥0，b≥0，c ≥0 )
北师版八年级数学上册复习解题技巧专题：二次根式中的化简求值
解题技巧专题：二次根式中的化简求值
——明确计算便捷渠道
◆类型一 利用二次根式的非负性求值
1．若实数m，n满足(m－1)2＋n＋2＝0，则(m＋n)5＝________．
2．已知(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，求2b2－4b－a的值．【方法7①】
3．若(2a－4)2和b－3互为相反数，求ab的平方根与立方根．
4．已知1＋a－(b－2)2－b＝0，求ba的值．
◆类型二 利用乘法公式进行计算 5．计算(3＋5)(3－5)的值等于( )
A．2 B．－2 C.3 D.5
6．计算：(6＋5)2015·(6－5)2016＝________．
7．计算：18－(2＋1)2＋(3＋1)(3－1)．
◆类型三 整体代入求值
8．若a－b＝2－1，ab＝2，则代数式(a－1)(b＋1)的值等于( )
A．22＋2 B．22－2
C．22 D．2
9．已知a＋1a＝1＋10，求a2＋1a2的值．
10．已知x＋y＝－3，xy＝2，求yx＋xy的值．
参考答案与解析 1．－1 解析：∵(m－1)2＋n＋2＝0，∴m－1＝0，n＋2＝0，解得m＝1，n＝－2，∴(m＋n)5＝(1－2)5＝－1.
2．解：∵(a＋6)2＋b2－2b－3＝0，∴a＋6＝0，b2－2b－3＝0，解得a＝－6，b2－2b＝3，可得2b2－4b＝6，则2b2－4b－a＝6－(－6)＝12.
3．解：∵(2a－4)2和b－3互为相反数，∴(2a－4)2＋b－3＝0，∴2a－4＝0，b－3＝0，解得a＝2，b＝3，所以ab＝23＝8，∴ab的平方根是±22，立方根是2.
4．解：由1＋a－(b－2)2－b＝0，得1＋a＋(2－b)·2－b＝0，根据非负数的性质得1＋a＝0，2－b＝0，解得a＝－1，b＝2，所以ba＝2－1＝12.
5．B
6.6－5 解析：原式＝(6＋5)2015·(6－5)2015·(6－5)＝[(6＋5)·(6－5)]2015·(6－5)＝6－5.
《 二次根式》 2(北师大)
第1页/共6页 《二次根式》（第2课时）
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容。本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础。
【知识与能力目标】
能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值范围。
【过程与方法目标】
通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。
【情感态度价值观目标】
通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。
【教学重点】
理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
【教学难点】
确定二次根式中字母的取值范围。
学生每人准备好草稿纸、铅笔；
教师准备课件。
◆ 课前准备
◆ 教学过程 第2页/共6页 本节课设计了六个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：知识探究；第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识探究
1、在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：baba（a≥0，b≥0），baba（a≥0，b＞0）。
2。提出问题：能否根据该公式将8化成22？
例3 计算：
（1）326；（2）236；（3）52。
解：
（1）略
（2）236＝236＝236＝9＝3
（3）52＝＝52＝5552=510 第3页/共6页 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数。
《 二次根式》3(北师大)
第1页/共7页 《二次根式》（第3课时）
二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容。本节内容分为3个课时，本课时是第3课时。继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算。
二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算。若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了。经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解。
【知识与能力目标】
1、进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2、了解根号内含有字母的二次根式的化简。
【过程与方法目标】
利用二次根式的化简解决简单的数学问题。 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题。
【情感态度价值观目标】
在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法。
【教学重点】
继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算。
【教学难点】
根号内含字母的二次根式的化简。
学生每人准备好草稿纸、铅笔；
教师准备课件。 课前准备 第2页/共7页
本节课设计了六个教学环节：
第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；第三环节：问题解决 ；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置。
第一环节：复习引入
内容：
（1）最简二次根式的概念；
（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3）上节课课后作业：若414.12，732.13，449.26，求23。你是怎样解决的？
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。
第二环节：知识巩固
1.巩固提升
例4 计算：
（1）3223；（2）81818；（3）3)6124(。
解：（1）3223＝33322223＝631621＝6)3121(＝661；
（2）81818＝162222322＝2412223＝245；
北师大版八年级上中考数学复习专题2：二次根式
1 专题05 二次根式
☞解读考点
知 识 点 名师点晴
二次根式的有关概念 1.二次根式：式子)0(aa 叫做二次根式． 二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.
2.最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． （1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.
3.同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关．
二次根式的性质 （1）a ≥ 0（a≥0）；
（2）)0()(2aaa
（3）2 (0) (0)aaaaaa
（4）)0,0(babaab
（5）)0,0(bababa 要熟练掌握被开方数是非负数
二次根式的运算
（1）．二次根式的加减法
（2）．二次根式的乘除法
二次根式的乘法：a·b＝ab（a≥0，b≥0）．
二次根式的除法：ab＝ba（a≥0，b＞0） 二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并；
二次根式的乘除法要注意运算的准确性.
☞2年中考
2 【2015年题组】
1．（2015贵港）计算35的结果是（ ）
A．8 B．15 C．35 D．53
【答案】B．
考点：二次根式的乘除法．
2．（2015徐州）使1x有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵1x有意义，∴x﹣1≥0，即x≥1．故选B．
考点：二次根式有意义的条件．
3．（2015扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）
八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式 二次根式化简的几种方法素材 北师大版(2021年整理)
八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式 二次根式化简的几种方法素材 （新版）北师大版
1 八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式 二次根式化简的几种方法素材
（新版）北师大版
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八年级数学上册 第二章 实数 7 二次根式 二次根式化简的几种方法素材 （新版）北师大版
2 二次根式化简的几种方法
1、被开方数是小数的二次根式化简
例1、化简5.1
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数,后进行求解.
解：5.1=26262223232。
评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。
2、被开方数是分数的二次根式化简
例2、化简1251
分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。
解：1251=255555551.
评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式.
3、被开方数是非完全平方数的二次根式化简
例3、化简48
分析:因为，48=16×3=42×3，
所以，根据公式baab（a≥0，b≥0)，就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。
初二-第4讲-二次根式的化简与计算
1 / 11
二次根式的化简与计算
1.掌握二次根式的概念。
2.能够进行二次根式的化简与计算。
教学建议：
回顾平方根和立方根整式的运算法则。
二次根式的化简与计算
一、同步知识梳理
1、二次根式的概念
一般地，我们把形如（a≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
二次根式有如下两个特点：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2、二次根式的化简与计算
（1）一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝．（a≥0，b≥0）
反过来: =·（a≥0，b≥0）
（2）一般地，对二次根式的除法规定：
=（a≥0，b>0），
反过来，=（a≥0，b>0）
注：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．
aabababababababab
2 / 11
估算
一、专题精讲
题型一、估算无理数在哪两个整数之间
例1．（1）判断×之值会介于下列哪两个整数之间？（
）
A． 22、23 B． 23、24 C． 24、25 D． 25、26
考点：估算无理数的大小．
分析：先算出与的积，再根据所得的值估算出在哪两个整数之间，即可得出答案．
解答：解：∵×=，
又∵24＜25，
∴×之值会介于24与25之间，
故选C．
点评：本题考查了估算无理数大小，掌握的大约值是解题的关键，是一道基础题．
（2）如果m=，那么m的取值范围是（ ）
A． 0＜m＜1 B． 1＜m＜2 C． 2＜m＜3 D． 3＜m＜4
考点：估算无理数的大小．
分析：先估算出在2与3之间，再根据m=，即可得出m的取值范围．
解答：解：∵2＜3，m=，
∴m的取值范围是1＜m＜2；
故选B．
点评：此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分，是一到基础题．
八年级数学上册第二章实数7二次根式二次根式化简技巧素材北师大版
二次根式化简技巧
所谓转化:解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法
例1．计算2aabbababab
分析：本例初看似乎很复杂,其实只要你掌握好了公式，问题就简单了,因为a与b成立，且分式也成立，故有a＞0，b＞0,0ba而同时公式：ba2=a2—2ab+b2，a2-2b=baba，可以帮助我们将baba2和ba变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单.
解：原式=baba2+bababa=ba+ba=2a—2b
二、适当配方法：
例2．计算：32163223
分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点,∵分母含有1+32其分子必有含1+32的因式，于是可以发现3+22=221,且21363，通过因式分解，分子所含的1+32的因式就出来了.
解:原式=32163223=3212132121+2
三、正确设元化简法： 例3:化简53262
分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法,通过化简替代，使其变为简单的运算,再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：a2，c5，,3b6ab，正好与分子吻合。对于分子，我们发现222cba所以0222cba，于是在分子上可加0222cba，因此可能能使分子也有望化为含有cba因式的积，这样便于约分化简。
解：设,2a,3bc5则262ab且0222cba所以：
北师大版初二数学上册难点突破05 二次根式化简求值的九种技巧
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专题05 二次根式化简求值的九种技巧
【专题说明】
在有理数中学习的法则、性质、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，在运算的最后注意结果要化成最简形式．在进行化简时，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法．
一、估算法
1．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，则其中被如图所示的墨汁覆盖的数是________．
(第1题)
【答案】7
点拨：因为－3＜0，2＜7＜3，3＜11＜4，所以被墨汁覆盖的数为7.
二、公式法
2．计算：(5＋6)×(52－23)．
解：原式＝(5＋6)×[52－(2)2×3]
＝(5＋6)×[2×(5－6)]
＝2×(5＋6)×(5－6)
＝2×(25－6)＝192.
三、拆项法
3．计算：6＋43＋32（6＋3）（3＋2）.[提示：6＋43＋32＝(6＋3)＋3(3＋2)]
解：原式＝（6＋3）＋3（3＋2）（6＋3）（3＋2）[来源学科网]
＝6＋3（6＋3）（3＋2）＋
3（3＋2）（6＋3）（3＋2）
＝13＋2＋36＋3
＝3－2＋6－3
＝6－2.
四、换元法
4．已知n＝2＋1，求n＋2＋n2－4n＋2－n2－4＋n＋2－n2－4n＋2＋n2－4的值．
解：设x＝n＋2＋n2－4，
y＝n＋2－n2－4，
则x＋y＝2n＋4，xy＝4n＋8. XX学校 用心用情 服务教育！
金榜题名 前程似锦 2 原式＝xy＋yx＝x2＋y2xy＝（x＋y）2－2xyxy＝（x＋y）2xy－2＝（2n＋4）24n＋8－2＝n.[来源学科网]
当n＝2＋1时，原式＝2＋1.
五、整体代入法
5．已知x＝13－22，y＝13＋22，求xy＋yx－4的值．[来源学科网]
解：由已知得：x＝3＋22，y＝3－22，所以x＋y＝6，xy＝1，
八年级上册数学北师大版二次根式
八年级上册数学北师大版二次根式
八年级上册数学北师大版二次根式指的是在北师大版八年级上册数学教材中，介绍的二次根式的概念、性质、运算等内容。这些内容包括根号的定义、根式的简化、根式的性质、根式的运算等。
以下是二次根式的一些示例：
1. 根号的定义：例如，√4 = 2，表示4的平方根是2。
2. 根式的简化：例如，化简√(3/4) = (√3) / (√4) = (√3) / 2。
3. 根式的性质：例如，对于任何正数a，有√a^2 = a；对于任何负数b，有√b^2 = |b|。
4. 根式的运算：例如，√5 + √2 和 √5 - √2 的结果不是最简二次根式，需要进行化简。
总之，八年级上册数学北师大版二次根式是学习二次根式的基本概念和运算法则的重要内容，通过掌握这些知识，学生可以更好地理解数学中的数形结合思想，提升数学素养和应用能力。