高考数列练习题及答案(理科)

2．（本小题满分16分）(2013江苏卷)

设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记

n nS b n

n +=

2， *N n ∈，其中c 为实数．

（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*,N n k ∈）；（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ．

3.(本题满分14分)(2013浙江.理)

在公差为d的等差数列{a

n }中，已知a

=10，且a

，2a

+2，5a

成等比数列.

（Ⅰ）求d，a

；

（Ⅱ) 若d<0，求|a

1|+|a

|+|a

|+…+|a

| .

4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)

设{}

a是公比为q的等比数列.

(Ⅰ) 推导{}

a的前n项和公式;

(Ⅱ) 设1

q≠, 证明数列{1}

a+不是等比数列.

（Ⅱ）对任意*p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足0n n p x x n

+<-<

8.（本小题满分14分）(2013广东.理) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，2*1212

,()33

n n S a n n n N n +=---∈. （1）求2a 的值

（2）求数列{}n a 的通项公式n a (3)证明：对一切正整数n ，有1211174

n a a a +++

11．（本小题满分12分）(2013江西.理)

正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令22

1(2)n n

n b n a +=

+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意n N *

∈，都有564

n T <

23. (本小题满分14分) (2013天津.理)

已知首项为3

的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且

335544,,S a S a S a +++成等差数列.

(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1

n n n

T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值

13.（本小题共13分）(2013北京.理)

已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第

n 项之后各项12,,n n a a ++…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．

（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,…，是一个周期为4的数列（即对任意n *∈N ，

4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值；

（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：(1,2,3,n d d n =-=…)的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；

（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,n d n ==…)，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;

(Ⅱ) 设1q ≠, 证明数列{1}n a +不是等比数列.

20.（本小题满分12分）(2013四川.理)

在等差数列{}n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项，公差及前n 项和。

2．（本小题满分16分）(2013江苏卷) 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=

，2

2)1(a

d n b n +-=．

当421b b b ，，成等比数列，412

2b b b =，

即：??? ?

?+=??? ??+2322

d a a d a ，得：ad d 22

=，又0≠d ，故a d 2=．

由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 2

22=．

故：k nk S n S 2

=（*

,N n k ∈）．

（2）c

n a

d n n c n nS b n n ++-=+=22

222)1(， c

n a d n c

a d n c a d n n ++--+-++-=2

222)1(22)1(22)1(

n a

d n c

a d n ++--+-=2

22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，

故有：022)1(2

=++-c

n a

d n c

，即022)1(=+-a d n c ，而(1)202n d a -+≠，故0=c ．

经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．

3.(本题满分14分)(2013浙江.理)

解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（I ）由题意得 a 1·5a 3＝(2a 2+2)2

即d 2

－3d －4=0 故d=－1或d=4

所以a n ＝－n+11,n ∈N*或a n ＝4n+6,n ∈N*

（II ）设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0，由(I)得d=－1, a n ＝－n+11。则当n ≤11时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝S n ＝212122

n n -+

当n ≥12时，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝－S n +2S 11＝212122

n n -+110

综上所述，|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |＝22121,1122121110,1222

n n n n n n ?-+≤??-+≥??

4. (本小题满分12分) (2013陕西.理)

【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

①.}{111111na a a a S a a q n n =+++==Λ的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=?++++=≠--1211211ΛΛ时，当. 上面两式错位相减:

.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=-Λ（

q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=?。

③综上，??

??≠--==)

1(,1)

1()1(,11q q q a q na S n n

(Ⅱ) (用反证法)

设{}n a 是公比1q ≠的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则

①当*

n N ?∈，使得10n a +≠成立，则{1}n a +不是等比数列。

②当01*

≠+∈?n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+1

111

111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠?+=+?-q a q a q a n n 时当。这与题目条件q ≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当1q ≠时, 数列{1}n a +不是等比数列。（证毕）

6.（本小题满分13分）(2013安徽.理)

证明(1) 对每个*

n N ∈，当0x >时,1

()102n n x x f x n

-'=+++

>L , 故()n f x 在(0,)+∞上单调递增. 由于1(1)0f =,当2n ≥时,222111

(1)023n f n

+++>L 故(1)0n f ≥ 又2222

()221123()1()33343

n k n k k f k ===-++≤-+∑∑ 21122

()[1()]111233()02343313n n ---=-+?=-?<-

所以存在唯一的2

[,1]3

n x ∈,满足()0n n f x =

(2)当0x >时,1

()()()(1)

n n n n x f x f x f x n ++=+>+, 故111()()()0n n n n n n f x f x f x +++>==

由1()n f x +在(0,)+∞上单调递增知,1n n x x +<,故{}n x 为单调递减数列.

从而对任意*

p N ∈,n p n x x +<.

对任意*

p N ∈,由于

222()102n n n

n n n x x f x x n

=-++++=L …………①

()102()n p

n p

n p n p n p x x f x x n p ++++++=-++

=+L ……②

①-②并移项,利用01n p n x x +<<≤得

k k

n p

n p n

n p

n n p k k n k n x x x x x x k

++++++==+=+--=+

≤

∑

21111111(1)

n p

k n k n k k k n n p n ++=+=+≤<=-<-+∑∑

因此对任意的*

p N ∈,都有1

0n n p x x n

+<-< 8.（本小题满分14分）(2013广东.理)

解(Ⅰ) 依题意,1212

2133

S a =-

--,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112

233

n n S na n n n +=-

--, ()()()()32

1122111133

n n S n a n n n -=--

----- 两式相减得()()()2

112213312133

n n n a na n a n n n +=----+---

整理得

()()111n n n a na n n ++=-+,即1

11n n

a a

n n

=+,又2112

a a -=

故数列n a n ??????

是首项为

a =,公差为1的等差数列, 所以()111n

a n n n

=+-?=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,117

a =<；当2n =时,12111571444a a +

=+=<；当3n ≥时,

()211111

11n a n n n n n

=<=---,此时 222121111111111111

111434423341n a a a n n n ??????+++=+++++<++-+-++- ? ? ?-??????

L L L

11171714244n n =+

+-=-<

综上,对一切正整数n ,有

1211174

n a a a +++

11．（本小题满分12分）(2013江西.理)

解(1)由2222

(1)()0[()](1)0n n n n S n n S n n S n n S -+--+=?-++= 由于{}n a 是正项数列,所以2

10,n n S S n n +>∴=+.

于是112,2a S n ==≥时,22

1()(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=

综上数列{}n a 的通项公式为2n a n =. (2)证明:由于2222

1111

2,[](2)16(2)

n n n n a n b n a n n +==

=-++ 22222111111[(1)()()]16324(2)n T n n =

-+-++-+L 22221111115[1](1)162(1)(2)16264

n n =+--<+=++

13.（本小题共13分）(2013北京.理) 解(1)12341,3d d d d ====

(2)(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列,且0d ≥,所以

12n a a a ≤≤≤≤L L 因此11,,(1,2,3,)n n n n n n n A a B a d a a d n ++===-==L (必要性)因为0(1,2,3,)n d d n =-≤=L ,所以n n n n A B d B =+≤. 又因为11,n n n n n n a A a B a a ++≤≥∴≤

于是11,n n n n n n n n n A a B a a a B A d d ++==∴-=-=-= 即{}n a 是公差为d 的等差数列;

(3)因为112,1a d ==所以111112,1A a B A d ===-= 故对任意11,1n n a B ≥≥=

假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项设m 为满足2m

a >的最小正整数

则2m ≥,并且对任意1,2k k m a ≤<≤

又因为12a =,所以12m A -=,且2m m A a =>,于是

{}1211,min ,2m m m m m m B A d B a B +=->-==≥

故111220m m m d A B ---=-≤-=与10m d -=矛盾.

所以对于任意1n ≥,有2n a ≤,即非负整数列{}n a 的各项只能为1, 因为对任意11,2n n a a ≥≤=,所以2n A =.

故211n n n B A d =-=-= ,因此对于任意正整数n ,存在m 满足m n >,且1m a =,即数列

{}m a 的项为1.

15. (本小题满分12分) (2013全国卷.理) 解(1)设{}n a 的前n 项和为n S , 当1q =时,121n n S a a a na =+++=L

当1q ≠时,21

1111n n S a a q a q a q -=++++L ……………① 211111n n

n qS a q a q a q a q -=++++L ………②

①-②得11(1)

(1)(1)1n n

n n a q q S a q S q

--=-?-

11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =??

∴=-?≠?-?

(2)假设{}1n a +是等比数列,则对任意的*k N ∈,

212(1)(1)(1)k k k a a a +++=++

21122211k k k k k k a a a a a a ++++++=+++

221122111112k k k k k a q a q a q a q a q -++=++

11102k k k a q q q -+≠∴=+Q ,202101q q q q ≠∴-+=∴=Q

这与已知矛盾.所以假设不成立.故{}1n a +不是等比数列.

20.（本小题满分12分）(2013四川.理) 解:设等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,

由已知得2

1111228,(3)()(8)a d a d a d a d +=+=++

解得14,0a d ==或11,3a d ==

所以数列{}n a 的通项公式为4n a =或32n a n =-

所以数列{}n a 的前n 项和4n S n =或232

n n n

S -=

23. (本小题满分14分) (2013天津.理)

解(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,因为335544,,S a S a S a +++成等差数列, 所以2

53344555331()()2()44

a S a S a S a a a q a +++=+?=?== 又{}n a 不是递减数列,且11131313()(1)22222

n n n n a q a --=

∴=-?=?-=-? (2)由(1)得1

1,121()121,2n

n n n

n S n ?+??=--=??-??为奇数为偶数

当n 为奇数时,n S 随n 的增大而减小,所以13

n S S <≤= 故11113250236

n n S S S S <-

≤-=-=. 当n 为偶数时, n S 随n 的增大而减大,所以23

n S S =≤<, 故221134704312

n n S S S S >-

≥-=-=-. 所以数列{}n T 的最大项的值为

56;最小项的值为7