晶格振动与声子
固体物理学中的晶格振动和声子
固体物理学中的晶格振动和声子晶体是由原子、离子或分子组成的三维周期性结构，在固体物理学中起着重要的作用。
而晶体中的晶格振动是指晶体中原子的振动行为，它是固体物理学中的一个重要研究领域。
在这个领域中，声子是一种非常重要的概念，它可以用来描述晶体中各个原子的振动状态。
晶格振动是由于晶格结构的周期性而出现的。
当我们把晶体简化成最简单的一维线性链结构来研究，就可以更好地理解晶格振动的性质。
假设晶体中的原子按照一定的规则排列，形成一个周期性的结构。
当晶体中的原子发生微小的振动时，它会传递给相邻的原子，从而引起整个晶体的振动。
声子是晶体中的一种元激发，它描述了晶体中各个原子的振动状态，并且可以传递能量和动量。
在一维线性链结构中，我们可以通过人为设定边界条件来研究声子的行为。
假设链的两端被固定住，这意味着链中的第一个和最后一个原子不能移动。
在这种情况下，我们称之为固定边界条件。
根据固定边界条件，声子的振动模式可以分为两种类型，即长波动和短波动。
在长波动中，链中的每个原子振动的幅度大致相同，而在短波动中，链中的原子振动的幅度逐渐减小，直到最后一个原子完全不振动。
在晶体中，声子的振动模式可以更加复杂。
由于晶体的周期性结构，声子的能量和动量也有一定的限制。
根据晶体的对称性和周期性，声子的振动模式可以分为不同的类型，称之为晶格振动模式。
在固体物理学中，研究晶体中声子的行为是非常重要的，因为声子的能量影响了晶体的热传导性能，而声子的动量则影响了晶体的电导性能。
在研究晶体中的声子时，科学家们发现了一些有趣的现象。
例如，在一些特殊的晶体结构中，声子的能带结构会出现禁带。
这意味着在某些能量范围内，声子是无法存在的。
这种现象与电子在固体中的行为非常相似，因为晶体中的声子和电子都具有波粒二象性。
这种禁带结构对于理解固体的热传导性和光学性质都是非常重要的。
此外，声子还可以与其他凝聚态物理中的激发类似，例如声子与电子之间的相互作用。
固体物理学中的晶格振动与声子
固体物理学中的晶格振动与声子固体物理学是研究材料的基本结构和性质的学科，而晶格振动作为固体材料中重要的物理现象，一直受到学者们的广泛关注。
晶格振动的研究能够帮助我们更深入地了解固体的热力学性质、热传导和声学性质等方面的现象。
而在理解晶格振动方面，声子概念的引入起到了至关重要的作用。
晶格振动是固体中原子间相互作用引起的离子和电子共振运动。
在固体中，原子离子个体的振动耦合在一起形成了晶格振动的谐振模式。
通过经典动力学的分析，我们可以得到晶格振动与波矢k和频率ω的关系，这种关系被称为色散关系。
色散关系的性质能够揭示晶体结构中的周期性和对称性，从而对研究固体的性质和特性提供了重要的线索。
而声子则是用来描述晶格振动的一种理论模型。
声子可以看作是固体晶格振动的量子，具有粒子的特性。
声子实际上是一种被激发出来的晶格离子振动，其能量和动量由色散关系决定。
声子的产生和吸收可以产生热导和声波传播等现象。
由于晶格振动的复杂性，研究声子的理论模型是必要的，而声子理论为我们提供了一种描述晶格振动的有效工具。
声子的产生和吸收在固体物理学中占据重要地位。
首先，晶格振动的产生和吸收可以引起热传导。
固体材料的热导率与晶格振动的散射有关，而声子散射是其中的重要机制。
通过理解声子的产生和吸收过程，我们可以更好地理解热导过程中的能量传递和耗散机制。
其次，声子在声学性质中也发挥着重要作用。
声波是固体中晶格振动的传播现象，而声子理论可以提供对声波传播的描述。
通过研究声子的色散关系和模式结构，我们可以预测和解释声波的传播特性，如色散曲线和声速。
这对于材料声学性质的研究和设计具有重要意义。
此外，由声子理论还可以推导出材料的热容、热膨胀等热力学性质。
研究声子对材料的热力学性质的影响，可以深入理解固体中的热平衡和热平衡破缺等现象。
声子可以看作是材料中产生和吸收热量的“粒子”，通过研究声子的行为可以揭示材料的热力学特性。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子是一个复杂而有趣的领域。
声子的概念和特点
声子的概念和特点声子（Phonon）是固体物理学中描述晶体中晶格振动的量子发生器的概念。
声子是晶体中的一个虚拟粒子，它表示的是晶格振动的量子。
声子的概念是为了描述固体中的宏观振动现象及其与固体中其他粒子相互作用的研究提供一个有用的理论框架。
声子的特点有以下几个方面：1. 粒子性质：声子是晶格振动的量子化现象，其具有粒子性质。
晶体中的振动能量按量子化的方式传递，其中每个声子对应一个能量和动量，其传播速度与晶体中的声速有关。
2. 统计性质：声子是一种玻色子，遵循玻色-爱因斯坦分布。
根据玻色子性质，声子之间是可以相互叠加的。
这使得声子能够形成声子气体，从而影响固体的热导率、声学性质等。
3. 激发行为：声子在晶体中的产生可以通过热激发或外加能量的方式。
当系统受到外界扰动时，原子或分子之间的相互作用使得晶格发生振动，这些振动以声子的形式传播。
4. 能量谱：声子能量与动量之间存在一个关系，称为能谱。
能谱基本上是晶体中离子力学矩阵的函数，它描述了声子的能量与其频率和波矢之间的关系。
在一维晶格中，能谱是连续的，而在二维和三维晶格中，能谱是分散的。
5. 声子晶体学：声子是晶体中晶格振动的变分量子，声子晶体学是一种将振动波矢（声子）引入到晶体学中的方法。
在声子晶体学中，声子的离散能谱导致了晶体中声学和光学模式的出现。
6. 热传导：声子在固体中的传播是晶体的热传导的基础。
因为声子具有一定的动量，当声子在晶格中传播时，会导致晶格的振动，进而导致晶格的温度升高。
声子的能量传递机制是固体中热传导的重要机制之一。
总之，声子作为固体物理学中的基本概念，在研究固体中的振动性质、热传导机制、声学行为等方面起着重要作用。
通过对声子的理解和研究，可以更好地解释晶体的宏观性质和固体的热力学行为。
同时，声子也是新材料、热电材料等领域的重要研究方向，这些研究有望为材料设计和能源利用提供新的思路。
晶格振动的量子化-声子
显然方程表示一系列相互独立的简谐振子，对于其中每一个 简正坐标都有： 1 2 2 2 2 Q 2 i Qi (Qi ) i (Qi ) 2 i
1 i ( ni )i 独立谐振子能量量子化 谐振子的解是大家熟知的： 2
是量子力学的结论。
给出原子集体运动 的方式，确定色散 关系和态密度。
揭示了原子热运 动的本质表现： 能量量子化。
一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子 组成的三维晶体，有 3N 种格波，即有 3N种声子。当一种 振动模式处于其能量本征态时，称这种振动模有nj 个声子。
当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 i 为单 元交换能量，若电子交给晶格 i 的能量，称为发射 一 个声子；若电子从晶格获得 i 的能量，则称为吸收一 个声子。
q 又具有一定的动量性质，所以叫做“准动量”。
声子气体不受 Pauli 原理的限制，粒子数目不守恒，故 属于波色子系统，服从 Bose-Einstein 统计，当系统处于热 平衡状态时，频率为ω i 的格波的平均声子数由波色统计给 出：
◆
ni
1
e 1 i i 公式第一项是T=0K 其平均能量： i i 时的零点能。 2 k BT e 1 k BT i , i k BT
4.2 晶格振动的量子化－声子
一. 简谐近似和简正坐标 二. 晶格振动的量子化 三. 声子 一.简谐近似和简正坐标： 从经典力学的观点看，晶格振动是一个典型的小振动 问题，由于质点间的相互作用，多自由度体系的振动使用 拉格朗日方程处理比上节中使用的牛顿方程要简单明了。 本节采用简正坐标重新处理。（见黄昆书p79-82）
N个原子组成的晶体，平衡位置为 的位移矢量为：un (t )
第二章晶格振动与声子
m2 eiaq eiaq 2 2 cosaq 1
解得
2 sin 1 aq
m2
—— 色散关系
原子链的分立性与布里渊区
un
(q
2
a
)
un
(q)
(q)
q
- - 2 a
0
a
2 aa
q —— 布里渊区
a
a
(q 2 ) (q)
a
➢晶格振动的所有可能状态都 包含在该布里渊区中，这个 区域之外的波矢q不提供任何 新的振动状态。
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
*波矢的分立性，与系统限度的有限性有关，L无限长 时，波矢是连续的。
一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
2a
Mm
{
n 2n+2 2n-1 2n+1
当q0时， 0, 原胞内两种原子的振动位相完全相同。
q0时
2
M
Mm
m
1
1
4Mm
M m2
sin
2
aq
M
m
1
Mm
1
4Mm
M m2
aq
2
2
M
Mm
m
2Mm
M m2
aq 2
2
M m
aq 2
a
2 q q
M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致。
当q0时
u2n u2n1
q0
1
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振 幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以我们 将这种晶格振动称为声学波或声学支。
固体物理学中的晶格振动与声子理论
固体物理学中的晶格振动与声子理论晶体是由原子或分子按照一定的规则排列形成的三维空间周期性结构。
在晶体中，原子或分子不是静止不动的，而是以不同的方式振动。
这种振动称为晶格振动，它是固体物理学中的一个重要研究课题，与晶体的性质和行为密切相关。
晶格振动是晶体中原子或分子的协同振动。
晶格振动可以分为长波和短波两种类型。
长波振动是指原子或分子在晶格中以相对偏移的方式振动，而短波振动则是指原子或分子在晶格中以体积变化的方式进行振动。
晶格振动是通过声波传播的，因为声波是介质中粒子振动的传递方式。
声子理论是描述固体中晶格振动的重要理论框架。
根据声子理论，晶体中的振动可以看做是自由度离散的量子力学系统。
它引入了一个新的物理量，即声子，它代表了晶格中的元激发，类似于固体中的粒子。
声子具有能量和动量，并且可以在固体中传播和相互作用。
声子的能量与振动模式相关。
在晶体中，存在不同的振动模式，每种振动模式对应一个特定的波矢和频率。
通过声子理论，可以计算出不同振动模式的能量，进而获得晶体中的频谱信息。
频谱信息反映了晶体中的振动性质，可以用来解释和预测材料的热力学性质、电子结构等。
声子理论还可以解释和预测晶体的热传导性能。
晶体的热传导是通过声子的散射传递热量的，因此理解声子的传播性质对于研究和优化热传导材料至关重要。
通过声子理论，可以计算声子的群速度和散射率，进而预测材料的热导率。
这对于设计新的热障涂层、热电材料等具有重要意义。
声子理论也在纳米材料和低维材料中发挥着重要作用。
在这些材料中，表面效应和尺寸效应导致晶格振动的变化，进而影响材料的性质。
声子理论可以用来研究这种尺寸效应，并解释纳米材料的热力学性质、凝聚态物理行为等。
总之，固体物理学中的晶格振动与声子理论是研究晶体性质和行为的重要工具。
通过声子理论，可以揭示晶体中振动模式的能量、频率和传播性质，进而解释和预测材料的热力学性质、热传导性能等。
声子理论在材料科学和凝聚态物理研究中具有广泛的应用前景。
3-3 晶格振动量子化与声子
2.声子是一种准粒子
粒子数不守恒，例如温度升高后声子数增加。
声子与声子，声子与其它粒子、准粒子互作用， 满足能量守恒。 不具有通常意义下的动量，常把q称为声子的
准动量。
3.准动量选择定则
准动量的确定只能准确到可以附加任何 一个倒格矢Gh
ω(q)= ω(q+ Gh) Ex: 二声子作用 q1＋q2＝q3＋Gh q1＋q2＝q3＋Gh
1 （ n ） 2
（3－58‘)
其中
1 n( , T )＝ exp K T B 1 －
（3－59)
意义：
频率为ω的格波温度为T时的平均声子数。 当 ＝KBT时， n ≈0.6,定性地讲，此格波已激 发，以此为界，温度为T时，只有ω≤KBT的格波才 能被激发。
1 2 E＝T W＝ m U n U n1 U n 2 n 2 n
2
该表示式中有（Un+1×Un）的交叉项存 在，对建立物理模型和数学处理都带来 困难。用坐标变换的方法
消去交叉项。
2．坐标变换（变量置换） 设
1 iqna U n t ＝ Qq t e Nm q
由于声子间相互作用很弱除了碰撞外可不考虑它们之间的相互作用故可把声子视为近独立子系这时玻色爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的
§3 .3晶格振动量子化与声子
问题的提出：
在简谐近似下，晶体中存在3NS个独立 的简谐格波，晶体中任一原子的实际振动 状态由这3NS个简谐格波共同决定，那么，
晶格振动的系统能量是否可表示 成3NS个独立谐振子能量之和？
＝
n
N nn N
（这里的N并不是晶体的格波总数）
的声子在同 ω 的格波间均可存在，某一 ω 的
第三章 晶格振动Ⅰ—声子
n-2 n-1 n n+1 n+2
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
图3.1-1 一维原子链的振动
（3.1-1）
式中第一项为常数，第二项为零（因为在平 衡时势能取最小值）。当 δ 很小，即振动很 微弱时，势能展开式中可只保留到 δ 2 项，则 恢复力为 − dU = − d U δ = −βδ dr dδ （3.1-2） d U β = dr （3.1-3） 这叫做简谐近似。上式中的 β 称为恢复力常 数，又称为微观弹性模量或准劲度系数。 当 δ > 0 ，则恢复力为负，相互作用力为引力； 当 δ，则恢复力为正，相互作用力为斥力。 <0
vp =
是波长 λ 的函数，波长不同的格波传播速度不同，这 与可见光通过三棱镜时的情况相似，不同波长的光在 三棱镜中传播的速度不同，折射角就不同，从而导致 色散。所以称 ω 与 q的关系为色散关系，也称振动频 谱或振动谱。 此外，由式（3.1-8）或图3.1-2可以看出，当q → 0 ， sin 即波长很长时， (qa 2) ≈ qa 2，这时波速是常 数 v p = a β m，同时 u n−1 = u n = u n +1 即某一原子周围若干 原子都以相同的振幅和位相振动,当 q = ± π 即 sin(qa 时， 1 2) = ± a β 有最大值， ω ω max = 2 。
m
q
=
π m
sin λ
2πs 当波矢 q = a + q′ （其中s为任意整数），代入式
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2.4 晶格振动与声子绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。
前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。
如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场()()()N LL n V V E =+R R R，原子实间的库伦相互作用()LL V R + 依赖于核构型的电子能()n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为：()()()()()2212I n LL S I IX E V X E X M ⎡⎤-∇++=⎣⎦∑R R R R R（2.4-1）2.4.1 简谐近似和正则振动模上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。
需要一个好的近似作为讨论的出发点。
我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。
设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。
第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+，n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。
原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n is t α （1,2,3i =）。
将有效势场()N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开：()()201......2NN N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα'''''''''∂=++∂∂∑R R（2.4-2）取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。
考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的简谐近似。
可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成的体系的运动，可通过适当的坐标变换，变为3Nυ个正则坐标的独立的一维简谐运动。
每个正则坐标的简谐运动描述的是体系所有粒子的集体运动，正则运动模式，其中，各粒子的运动彼此间有确定的关系。
对周期排布的原子体系(晶体)，固体物理中给出，这种正则运动模式为如下形式的格波：{}(,)()1s()()exp() q j jn i i n jt e q i q R q t ααω⎡⎤=⋅-⎣⎦，（2.4-3）[*（2.4-3）是复数位移。
它的实部或虚部，给出原子的实数位移]其中()()jie qα为极化或偏振基矢（polarization basis vector）。
满足正交归一关系：*()()()()j ji i jjie q e qαααδ''=∑。
（2.4-4）这相当于正则运动模式（基）的标准化条件：12()*12()[(,)][(,)]j jn i n i jjn iM s q t M s q tαααδ''=∑。
（2.4-5）式（2.4.3）描述的是晶格原子振动的一种基本模式，是以波矢为q，频率为()jqω的波的形式传播的格波。
格波的频率与波矢有一定的关系()jqω（或表示为,j qω），称为色散关系。
每个格波模式可由,j q标记。
这种由,j q确定的格波分为3υ支（由j标记），每支都有N个不同波矢q的格波，共有3Nυ种格波。
这3Nυ种格波就是晶体中原子振动的正则运动模式。
这些正则模还可以分为不同类型。
按照长波极限的振动特征，3υ支格波分成 3支声学波（acoustic）和33υ-支光学波（optical）。
前者是晶格振动中整个原胞的所有核或原子实同位相一起振动，后者是原胞内原子实的相对振动。
按照振动方向是与波矢方向平行还是垂直，格波又分为横波（transverse）和纵波（longitudinal）。
上述不同类型的正则模（格波），常用TA,TO,LA,LO来标记，其中的字母是相关英文单词的第一个字母。
一般的晶格振动可以表示为这些正则运动模式（或格波）的线性叠加：(,),(),,(),()Re[()s()]1Re()exp()()exp()1Re(,)()exp()q jn i j n iq jjj j q i nq jjj i nq js t Q q tQ q i t e q iq RQ q t e q iq Rααααω=⎡⎤=-⋅⎥⎥⎦⎡⎤=⋅⎥⎥⎦∑∑∑局域振动模当杂质原子替代了基质原子，上述理想晶体的振动模式受到了扰动而有所变化。
不过可以想到，杂质浓度很低时，对大多数振动模式的扰动是很小的。
不过这时会出现个别的局域模，在这样的模式中，离杂质原子的距离越大，那里的原子振动越弱。
这种模式的振动频率也不在原先的连续谱带内。
由于这种模式的局域特性，它往往与杂质的局域电子态有较强的相互作用。
2.4.2 晶格振动的量子化原子振动（3N υ个位移()n i s t α）的一般情形，也可以用（2.4-3）式那样的复数格波（包括()j q ω±项）的线性叠加表示：()(()()),1()()exp([()])()s j j i q ti q tj j j n n q jq eq et Q Q e q i q R NM αααωω-+-=+⋅(取()j q ω为正，()j Q q ±为与()j q ω±相应的复数波的复振幅）。
上式为复数通解。
实数位移坐标()n i s t α的通解可表示为：()1()(,)()exp()j n i j i n jqs t Q q t e q iq R αα=⋅∑ （2.4-6） （加上()n i s t α是实数的条件：若 ()*()()()j j i i e q e q αα-=， 则 *(,)(,)j j Q q t Q q t -=）采用归一化的实数模为基，(2.4-6)中的(,)j Q q t 可改写→ ()()()()()()1(,)j ji q t i q t jj j q Q e e t Q Q q q ωω--+*++-=（2.4-6）这样的表示式相当于一个坐标变换，把N υ个原子的3N υ个实位移坐标n i s α，转换成3N υ个复数正则坐标()j Q q ：()1()()exp()j n i j in jqs Q q eq iq R αα=⋅∑为保证位移为实数，它要满足 实数化条件 *()()j j Q q Q q -=（相应地，实位移的运动()n i s t α转换为正则坐标的独立的一维简谐运动(,)j Q q t 的线性叠加。
）经过一系列计算，可得用正则坐标表示的体系哈密顿量：*2**2*1()()()()21()()()()2j j j j j jqj j j j j jqH Q q Q q Q q Q q P q P q Q q Q q ωω⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤≡+⎣⎦∑∑ （2.4-7）其中，(,)(,)j jP q t Q q t ≡为与 *j Q 共轭的正则动量。
可见 描述晶格振动的哈密顿量，包含3N υ个独立的组分，每个组分都具有典型的线谐振子哈密顿量的形式。
其每一项对应一个由（,j q ）确定的格波模式→一个频率为()j q ω，波矢为q 的格波。
与电磁辐射场的情形类似，晶格振动可用类似的方法量子化：将正则坐标和正则动量转换为算符，它们满足对易关系ˆˆ[(),()]j j qq jj Q q P q i δδ''''= （2.4-8）引进湮灭和产生算符（对每个,j q 模）()()12*ˆˆˆ2aQiP ωω-≡+， （2.4-9a ）()()12*ˆˆˆ2aQiP ωω-≡-†。
（2.4-9b ）于是，哈密顿算符变为†1ˆˆ()()()2j j j jqH q a q a q ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑。
（2.4-10）【注：得到这一表达式时，利用了：()()**,,()()0j jq jq jq jq j jq jq j q j q jqjqi q Q P Q P i q Q P Q P ωω----=-=∑∑，因为两项求和都取到所有的q ，正好抵消】。
式中 †ˆˆˆ()()()j j j a q a q n q ≡ 为 粒子数算符，它的本征值为()j n q ，也即能量本征值为：1()()2j j n q q ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
类似于辐射场的情形，能量量子()j q ω称为声子，()j n q 称为该模式中的声子数，描述该模式的激发程度。
相应本征态可表示成 ()j n q 。
一个正则模中可以有任意数量的声子，也即声子是玻色粒子。
系统的总能量为所有模的能量之和：1()()2j j jqE q n q ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑。
与谐振子情形类似，产生与湮灭算符作用在声子态上有如下结果：†ˆ()()1()()1j j j j a q n q n q n q =++和 (2.4-11a)ˆ()()()()1j j j aq n q n q n q =-。
(2.4-11b)由式（2.4-9）可得：()12†,ˆˆˆ()2j jq j q jq Q q a a ω-⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ (2.4-12a)()12†,ˆˆˆ()2j j q jq jq P q a a ω-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭(2.4-12b)于是，原子位移（2.4-6）算符就可以用产生和湮灭算符表示。
()12†(),ˆˆˆ()exp()2j n i jq j q i n jq jqsa a e q iq R ααω-⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∑（2.4-13）2.4.3 声子的热平衡在所用的简谐近似下，各正则振动模相互独立。
没有相互作用也就没有模式间的热平衡。
实际上，由于势能展开式中还存在高次项(称为非谐项)→ 不同振动模式间的相互作用，或 声子-声子相互作用，→ 导致不同振动模式间的能量交换，即振动状态（声子数）的改变，→ 使不同模式间达到热平衡。
这种达到热平衡的过程比光跃迁的速率快得多，在光跃迁的问题中，通常都可以认为光跃迁是在振动态热平衡条件下进行的。
在热平衡条件下，一个频率为q ω的振动模，处于本征态n ，或模中有n 个声子的几率n P ，正比于 玻尔兹曼（Boltzmann ）因子：exp()B n k T ω-，B k 是玻尔兹曼常数。
因为总几率1n nP =∑，n P 可表示成：exp()exp()(1)(1)B B B n B n k Tnk Tnn k T P nk T e e ωωωωγγ∞=---=-=-≡-∑ （2.4-14）上式最后一个等号右边引进了简化符号()exp B k T γω≡-。
频率为q ω的振动模中的热平均声子数可以表示为：()0exp()exp()1exp 11B n n n B n B n n k T n nP nk T k T ωωγωγ∞∞=∞==-==-==--∑∑∑ （2.4-15）2.4.4 电子-声子相互作用在绝热近似下，由大量重粒子原子实和轻粒子电子组成的固体的运动状态问题，简化为两个相对较小的准独立的系统的问题：大量电子在固定原子实中的运动和给定电子态下大量原子实的运动。