五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学
五年级奥数上册第四讲.最大公约数和最小公倍数
分类讨论
• • • • • • 如果d=1时： 由d(a1－b1)=4得a1－b1=4； 由d×da1b1=252可得a1b1=252 252=1×252=4×63=7×36=9×28 但此时都不满足a1－b1=4 所以d≠1
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如果d=2时： 由d(a1－b1)=4得 a1－b1=2； 由d×da1b1=252可得 a1b1=63 63=1×63=7×9 此时63－1=62≠2不满足a1－b1=2 ， 9－7=2满足a1－b1=2 所以d=2并且a1=9、b1=7 所以a=18、b=14 答：这两个数为18和14。
（二）已知最大公约数和最小公倍数求两个数
• 例2、已知两数的最大公约数是21，最小公倍数 是126。求着两个数的和是多少？ • 分析：思路1，由最大公约数与最小公倍数的积等 于两个数的积可得到两个数的积为 • 21×126=2646， • 再利用分解质因数后重新组合即可 • 2646=2×3×3×3×7×7 • =(3×7×2)×(3×7×3)=42×63 • 或 =(3×7)×(3×7×2×3)=21×126
如果d =1则a1+b1=54 a1×b1－1=114 即a1×b1=115 115=1×115=5×23 但是1+115=116≠54 5+23=28≠54 d≠1 下面分别讨论d=2、3、6的情况得到： d=6是成立，此时a1=4,b1=5 a=6×4=24 b=6×5=30
• 例6、已知两个自然数的差为4，它们的最 大公约数与最小公倍数的积为252，求这两 个自然数 • 分析：差为4即a－b=4即d(a1－b1)=4 • 最大公约数与最小公倍数的积为252即 • d×da1b1=d×da1b1=252=2×2×3×3×7 • 所以d是6的约数，即d是4与6的公约数， d=1或2
小学奥数-最大公约数与最小公倍数完整
例5、一次会餐有三种饮料，餐后统 计，三种饮料共用了65瓶；已知，平 均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用 一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。 问参加会餐的人数是多少人？
分析：由题意知参加会餐的人数应当 是2、3、4的公倍数。试一下看看
解：∵ [2，3，4] ＝12 ∴参加会餐的人数应当是12 的倍数， 又∵每12人用 12÷2＋12÷3＋12÷4 ＝6＋4＋3＝13 （个饮料瓶） 65÷13＝5 ∴ 参加会餐的人数是12×5＝60 （人） 答：参加会餐的人数是60人。
2 18 39
3
2 30 3 15
5
公有的质因 数的积就是 最大公约数
18= 2 × 3 ×3 （18，30）＝2×3＝6 30= 2 × 3 ×5
（3）短除法
例如：求18和30的最大公约数。
2 18 30 18和30的最大公约数:
39
15
（18，30）＝2 × 3 =6
35
5、怎样求最小公倍数
三、最大公约数与最小公倍数的关系
例9、两个数的最大公约数是4，最小公 倍数是252，其中一个是28，另一个数 是多少？
分析：最大公约数与最小公倍数的乘积 等于这两个数的乘积 即：（a，b）× [a，b] ＝a×b 利用这个关系可以迅速 地解答此类问题。如果不理解这 28
应用举例（3）不同长度的拆分
例3、有三段铁丝，长度分别是120厘 米、180厘米和300厘米，现在要将它 们截成长度相等的小段，每根都不能 有剩余，每小段最长多少厘米？一共 可以截成多少段？
分析：要截成相等的小段，每段长度 应当是120、180、300的公约数；最 长，长度应当是120、180、300的最 大公约数
五年级奥数-最大公约数与最小公倍数(1-3)
五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（１）1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。
4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。
7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。
9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。
10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（２）13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？16．从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？17．在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？18．每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？19．现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？20．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（3）1．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
小学五年级数学下册认识最大公约数和最小公倍数
小学五年级数学下册认识最大公约数和最小公倍数认识最大公约数和最小公倍数在小学五年级的数学下册中，我们将学习到一个重要的概念——最大公约数和最小公倍数。
了解和掌握最大公约数和最小公倍数的概念和计算方法，对我们后续学习数学知识将起到关键的作用。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数的定义、计算方法以及相关应用。
一、最大公约数的概念与计算方法最大公约数，简称为最大公因数，指的是一组数中能够同时整除这组数的最大正整数。
最大公约数的计算有多种方法，常用的有质因数分解法、短除法和辗转相除法。
1. 质因数分解法质因数分解法是一种将数分解为质因数的乘积的方法，通过将给定的数分解为质数的乘积，然后找出公因数的乘积，即可得到最大公约数。
以下是一组数的质因数分解法计算最大公约数的示例：例子：求解24和36的最大公约数。
24 = 2 × 2 × 2 × 336 = 2 × 2 × 3 × 3公因数为2 × 2 × 3 = 12，因此最大公约数为12。
2. 短除法短除法是一种通过不断进行除法运算，直到余数为0，然后将除数累加起来得到最大公约数的方法。
以下是一组数的短除法计算最大公约数的示例：例子：求解42和56的最大公约数。
首先，用56除以42，商为1，余数为14。
然后，用42除以14，商为3，余数为0。
因此，最大公约数为14。
3. 辗转相除法辗转相除法是一种通过连续地用较小的数去除较大的数，然后再用得到的余数去除上一步的较小数，如此循环，直到余数为0，即可得到最大公约数的方法。
以下是一组数的辗转相除法计算最大公约数的示例：例子：求解12和18的最大公约数。
首先，用18除以12，商为1，余数为6。
然后，用12除以6，商为2，余数为0。
因此，最大公约数为6。
二、最小公倍数的概念与计算方法最小公倍数指的是一组数中能够同时被这组数整除的最小正整数。
最小公倍数的计算同样有多种方法，常用的有质因数分解法和倍数法。
五年级奥数最大公约数和最小公倍数的比较和应用
最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。
一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。
不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。
判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。
对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。
具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。
又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。
（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。
（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。
题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。
具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。
〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。
5年级奥数讲义(最大公约数最小公倍数)
第五讲最大公因数与最小公倍数 （教师版）例1、437与323的最大公约数是多少？基本概念：1、公约数和最大公约数 几个数公有的约数．．．．．．．．，叫做这几个数的公约数．．．．．．．．．．；其中最大的一个．．．．．．．，叫做这几个数的最大公约数．．．．．．．．．．．．。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。
12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b ）表示a,b 这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。
如果（a,b ）=1,则a,b 两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，… 18的倍数有18，36，72，90，…12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和 18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b 的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法A ．最大公约数求两个数的最大公约数一般有以下几种方法 （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）辗转相除法 （4）小数缩倍法 （5）公式法前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B ．最小公倍数求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法： （1）分解质因数法 （2）短除法 （3）大数翻倍法（4）a×b =（a,b ）×[a,b]上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例2、24871和3468的最小公倍数是多少？练习254216933的最简分数是多少？例3、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。
(完整word版)五年级奥数-最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数基本概念1.公约数和最大公约数几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
2.公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
3.互质数如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。
例题分析例1 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3 有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4 加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5 一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？练习提高1．一个数用3、4、5除都余1，这个数最小是多少？2．一盒钢笔，可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最少有多少支？3．花花、林林、和阳阳三人在一个椭圆的跑道上跑步，花花3分钟跑了一圈，林林4分钟跑了一圈，阳阳5分钟跑了一圈，她们同时从A点一起同向出发，多少分后，三人再次在A 点同时出发？4．有批书大约300到400本。
包成每包12本，剩下11本；每包18本，缺1本；每包15本，就有7包每包各多2本，这批书有多少本？5．有一个钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点时响一次铃，中午12点时，既响铃又亮灯，问下一次既响铃又亮灯是几点钟？6．7月6日，宝柱从避暑山庄打电话给乾隆问好，贾六来看望乾隆，春喜在打扫房间。
如果春喜每隔3天打扫一次，宝柱每隔6天打一次电话，贾六每隔5天看望一次，则至少经过多少天，问好、看望、打扫这三件事才能同时发生？7．一段长90厘米的绳子，每隔2厘米点一个点，再每隔3厘米点一个点，最后在有点的地方，将绳子剪段，共可剪成几段？8．一张长方形白纸，长1.36米,宽0.8米,要剪成同样大小的正方形,并使它们的面积尽可能的大,剪完后又正好没有剩余,可剪出多少个正方形?9．把160只铅笔、128个练习本、96册故事书最多可以分成多少份同样的奖品，每份奖品的组成怎样？10．美丽加工厂加工一批零件，每个零件需要一个螺栓，三个螺母，7个螺钉，已知每个工人每小时可完成3个螺栓或12个螺母或18个螺钉，要想能均匀生产，使每件零件都配上套，生产这三种零件各需安排多少人？抽测综合练习：1、在下面3个数中，最接近1的是（）。
小学数学中的最大公约数与最小公倍数
小学数学中的最大公约数与最小公倍数在小学数学学习中，最大公约数和最小公倍数是重要的概念。
它们帮助我们解决了很多数学问题，同时也有着实际应用价值。
本文将详细介绍最大公约数和最小公倍数，包括定义、求解方法以及应用。
一、最大公约数最大公约数指的是两个或更多个数能够同时整除的最大正整数。
最大公约数通常用字母GCD（Greatest Common Divisor）表示，也可以用符号“（a，b）”来表示。
求解最大公约数的方法有多种，常见的有质因数分解法和辗转相除法。
质因数分解法是将各个数分解成质数的乘积，然后找出所有数中共有的质因数，并将它们相乘得到的积即为最大公约数。
例如，要求解25和35的最大公约数，首先将它们分解为质因数的乘积：25 = 5 × 5，35 = 5 × 7。
可以看出，它们的最大公约数是5。
辗转相除法是另一种常用的方法。
首先用较大的数除以较小的数，然后用余数替代较大的数，继续进行相除，直到余数为0。
此时，除数就是最大公约数。
例如，要求解12和18的最大公约数，可以按照辗转相除法进行计算：18 ÷ 12 = 1 余 6，12 ÷ 6 = 2 余 0。
因此，12和18的最大公约数是6。
最大公约数的应用非常广泛。
在分数的化简、比例的调整以及进一步求解数学问题时，常需要用到最大公约数。
二、最小公倍数最小公倍数指的是两个或更多个数的公倍数中最小的一个数。
最小公倍数通常用字母LCM（Least Common Multiple）表示，也可以用符号“[a，b]”来表示。
求解最小公倍数的方法有多种，常见的有质因数分解法和公式法。
质因数分解法是将各个数分解成质数的乘积，然后找出所有数中包含的所有质因数，并将它们的幂次取最大值，最后将所有幂次相乘得到的积即为最小公倍数。
例如，要求解8和12的最小公倍数，首先将它们分解为质因数的乘积：8 = 2 × 2 × 2，12 = 2 × 2 × 3。
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五年级奥数基础教程最大公约数与最小公倍数小学如果一个自然数a能被自然数b整除,那么称a为b的倍数,b为a的约数。
如果一个自然数同时是若干个自然数的约数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个自然数的最大公约数。
自然数a1,a2,…,a n的最大公约数通常用符号（a1,a2,…,a n）表示,例如,（8,12）=4,（6,9,15）=3。
如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数,那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个自然数的最小公倍数。
自然数a1,a2,…,a n的最小公倍数通常用符号[a1,a2,…,a n]表示,例如[8,12]=24,[6,9,15]=90。
常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。
例1 用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。
现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。
题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。
所以（144,180,240）=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5（元）。
为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。
例2 用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少？分析与解：因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。
498-450=48,450-414=36,498-414=84。
所求数是（48,36,84）=12。
例3 现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。
只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。
三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。
因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。
所以所求数是101。
例4 在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图）,这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30,24）=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（个）小方格组成。
在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点（见左下图）。
在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点（见右下图）。
所以,对角线共经过格点（30,24）-1=5（个）。
例5 甲、乙、丙三人绕操场竞走,他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。
三人同时从起点出发,最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒,因为要在起点相会,即三人都要走整圈数,所以需要的时间应是60,75,90的公倍数。
所求时间为[60,75,90]=900（秒）=15（分）。
例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的6倍,再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。
”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化,但他们的年龄差是保持不变的。
爷爷的年龄现在是小明的7倍,说明他们的年龄差是6的倍数；同理,他们的年龄差也是5,4,3,2,1的倍数。
由此推知,他们的年龄差是6,5,4,3,2的公倍数。
[6,5,4,3,2]=60,爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。
考虑到年龄的实际情况,爷爷与小明的年龄差应是60岁。
所以现在小明的年龄=60÷（7-1）=10（岁）,爷爷的年龄=10×7=70（岁）。
练习121.有三根钢管,分别长200厘米、240厘米、360厘米。
现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段,一共能截成多少段？2.两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。
3.用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数？4.大雪后的一天,亮亮和爸爸从同一点出发沿同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。
亮亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米,由于两个人的脚印有重合,所以雪地上只留下60个脚印。
问：这个花圃的周长是多少米？5.有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个,按每6个一堆分还是少1个。
这堆桔子至少有多少个？6.某公共汽车站有三条线路的公共汽车。
第一条线路每隔5分钟发车一次,第二、三条线路每隔6分钟和8分钟发车一次。
9点时三条线路同时发车,下一次同时发车是什么时间？7.四个连续奇数的最小公倍数是6435,求这四个数。
最大公约数与最小公倍数（二）这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系,并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。
在求18与12的最大公约数与最小公倍数时,由短除法可知,（18,12）=2×3=6,[18,12]=2×3×3×2=36。
如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘,那么（18,12）×[18,12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。
也就是说,18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于18与12的乘积。
当把18,12换成其它自然数时,依然有类似的结论。
从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积,等于这两个自然数的乘积。
即,（a,b）×[a,b]=a×b。
例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。
解：由上面的结论,另一个自然数是（6×72）÷18=24。
例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。
这两个自然数的和是11,求这两个自然数。
”改变以后的两个数的乘积是1×30=30,和是11。
30=1×30=2×15=3×10=5×6,由上式知,两个因数的和是11的只有5×6,且5与6互质。
因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7×5=35和7×6=42。
例3 已知a与b,a与c的最大公约数分别是12和15,a,b,c的最小公倍数是120,求a,b,c。
分析与解：因为12,15都是a的约数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12,15]=60的倍数。
再由[a,b,c]=120知, a只能是60或120。
[a,c]=15,说明c没有质因数2,又因为[a,b,c]=120=23×3×5,所以c=15。
因为a是c的倍数,所以求a,b的问题可以简化为：“a是60或120,（a,b）=12,[a,b]=120,求a,b。
”当a=60时,b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷60=24；当a=120时,b=（a,b）×[a,b]÷a=12×120÷120=12。
所以a,b,c为60,24,15或120,12,15。
要将它们全部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。
问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数,那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。
现在的问题是三种溶液的重量不是整数。
要解决这个问题,可以将重量分别乘以某个数,将分数化为整数,求出数值后,再除以这个数。
为此,先求几个分母的最小公倍数,[6,4,9]=36,三种溶液的重量都乘以36后,变为150,135和80,（150,135,80）=5。
上式说明,若三种溶液分别重150,135,80千克,则每瓶最多装5千克。
可实际重量是150,135,80的1/36,所以每瓶最多装在例4中,出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。
为此,我们将最大公约数的概念推广到分数中。
如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数,称为这若干个分数的最大公约数。
由例4的解答,得到求一组分数的最大公约数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；类似地,我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。
如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍,那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。
在所有公倍数中最小的一个公倍数,称为这若干个分数的最小公倍数。
求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；一个陷井。
它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理,黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/2÷6 3/10=5（次）。
黄鼠狼先掉进陷井,它掉进陷井时,狐狸跳了练习131.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。
2.两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。
满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中,每个小瓶装入液体的重量相同。
问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次,求圆形绿地的周长。
练习121.20段。
解：（200,240,360）=40,（200+240+360）÷40=20（段）。
2.39和52。
解：这两个数分别除以13后得到两个互质数,这两个互质数的乘积是2028÷13÷13=12=1×12=3×4,因为13×12=156＞150,所以这两个数分别是13×3=39和13×4=52。