全等三角形判定之SSS定理
三角形全等的判定SSS
1. 有两个角对应相等的两个三角形 不一定全等
2. 有两条边对应相等的两个三角形 不一定全等 3. 有一个角和一条边对应相等的两个三角形
不一定全等
300
60o
300
60o
4cm
300
6cm
30o
结论：有两个条件对6c应m 相等不能保证三角形全等.
探究活动
你 能 说 出 有 哪 几 种 可 能 的 情 况 ？
写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
例2 如图，△ABC是一个钢架，AB=AC， AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证：(1)△ABD≌△ACD. (2)∠BAD = ∠CAD.
证明：Q D是BC的中点， BD＝CD.
（2）由（1）得△ABD≌△ACD ，
AA ∴ ∠BAD= ∠CAD.
AD=CB（已知）
A
B
BD=DB （公共边）
∴△ABD≌△ACD（SSS）
∴ ∠ A=∠C （全等三角形的对应角相等）
补充练习：
如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD 的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由. ①△ADE≌△CBF ②∠A=∠C
解： ①∵E、F分别是AB，CD的中点（ 已知 ）
如 果 给 出 三 个 条 件 画 三 角 形 ，
三个条件呢？
1. 三个角； 2. 三条边； 3. 两边一角； 4. 两角一边。
探究活动 三个条件呢？
1. 有三个角对应相等的两个三角形
300
60o
300
60o
结论: 三个内角对应相等的三角形 不一定全等。
探究活动 三边对应相等的两个三角形会全等吗？
全等三角形的判定(SSS)教学设计
全等三角形的判定（SSS）教学设计
--------------李群英
教学内容：边边边
教学目标：1、会用“SSS”识别两个三角形全等；
2、在探究三角形全等的判定定理的过程中，体会提出判
定定理的必要性；
3、正确使用三角形全等的方法证明线段相等、证明角相等；
4、通过三角形全等判定定理的证明与应用，培养学生严
密的逻辑思维。
教学重点：掌握三角形全等的判定方法。
教学难点：三角形全等判定定理的应用。
教学过程：
一、复习引入：
我们已经讨论了两个三角形有两边一角，以
及两角一边分别对应相等，这两个三角形能图19.2.11
否全等的情况．
我们很容易发现，如果两个三角形有三个角分别对应相等，那么这两个三角形未必全等（如图19．2．11）．。
全等三角形的判定(sss)
A
A’
B
C B’
C’
图一
图二
AB=A’B’
∠A=∠A’ ΔABC ≌ ∆A’ B’ C’ （SAS） AC=A’C’
A
A’
B
C
B’
C’
∠A=∠A’
AB=A’B’
ΔABC ≌ ∆A’ B’ C’
∠B=∠B’
（ASA）
A
A’
B
C
B’
C’
∠A=∠A’
∠B=∠B’ ΔABC ≌ ∆A’ B’ C’（AAS）
AD=AD（公共边）
∴ △ABD≌ACD（SAS）
总结 上题中应用了哪些性质及定理
性质一：等腰三角形的两底角相等 性质二：等腰三角形的中线、角平分线、高线互相重合。 定理三：在两个三角形中，如果有三条边相等，那么这两个三角形全等。 定理四：在两个三角形中，如果有两个角相等及一条边相等，那么这两个三角形 全等。 定理五：在两个三角形中，如果有两个角相等及所夹的边相等，那么这两个三角 形全等。 定理六：在两个三角形中，如果有两条边相等及所夹的角相等，那么这两个三角 形全等。
作业：课后习题
AC=A’C’
定理的引入 A
C
E
F
B
D
思考
已知：AC=DE AB=DF BC=FE 求证：△ABC≌ △DFE
定理的引入 A
C
D
已知：AC=DC AB=DB 求证：△ABC≌ △DBC
B
证明：连接AD， ∵AC=DC
∴∠CAD= ∠CDA
同理， ∠BAD= ∠BDA
∴ ∠BAC= ∠BDC
∵ AC=DC
答：图中有△ABE≌ACE，△BDE≌CDE △ABD≌ACD。
初中数学《三角形全等的判定——SSS》教学案例分析
探索三角形全等的条件——边边边（sss）教学案例一、案例背景本节课是2019-2020学年第一学期，人教版数学八年级上册第十二章探索三角形全等的第一节，教科书把研究三角形全等条件的重点就放在了第一个条件“边边边”上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是全等三角形的判定，怎样判定。
在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会运用“边边边”条件进行推理论证，正确的表达全等三角形的证明过程。
本节课是笔者在农村寄宿制初中上的一节组内公开课。
课堂上数学成绩绝对优秀生人数不足五分之一，后进生人数较多。
二、案例主题本节课是在学习了第十一章三角形和第十二章第一节全等三角形后，对全等三角形条件探索的第一节，鉴于农村学生学情的实际情况，本节课以“动手实践、自主探索、合作交流、表达应用”为主题开展课堂教学，以学生“看得到、感受得到”的基本素材创设问题情境，引导学生活动，并在活动中认真探索、积极思考、主动获取数学知识，从而促进学生研究性学习方式的形成。
三、案例教学目标1、教学目标：学生在教师引导下，积极主动的经历探索三角形全等的条件的过程中，体会利用操作归纳获得数学的过程。
掌握三角形全等的“边边边”的判定方法，了解三角形的稳定性，能用三角形的全等解决一些实际问题。
培养学生推理能力，发展有条理地表达能力，积累数学活动经验。
2、教学重点与难点：重点：三角形全等条件的探索过程和运用“边边边”规律解决问题。
难点：三角形全等条件的探索过程，特别是创设出问题后，学生面对开放性问题，要作出全面、正确的分析，并对各种情况进行讨论，对学生来说有一定难度。
3、学习方式：为了使学生更好地掌握这一部分内容，遵循启发式教学的原则，用设问形式创设问题情景，涉及一系列实践活动，引导学生操作、观察、探索、交流、发现、思维，使学生经历从现实世界抽象出几何模型并运用所学知识解决实际问题，真正把学生放在主体位置。
4、课前准备：教师准备一张画有两个全等三角形的白纸四、案例教学过程（一）、创设情境，导入新课师：我们先来看几幅图片（投影出示）部分生：这些图片都是由三角形组成的。
全等三角形判定 ( SSS )
BC = CB （公共边 ）
A
B
D C
∴ △ABC ≌ △DCB （ SSS ）
2、如图，已知AB＝CD，AD＝CB， 新知运用
试说明∠B＝∠D的理由
解：连结AC
A
D
在△ABC和△ CDA中
AB＝CD（已知） CB＝AD（已知） AC＝CA（公共边）
B
C
能说明∠A＝∠C吗？
探究：
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）。
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
只给出一 个条件时 不能保证 所画的两 个三角形 一定全等.
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30°50° ③两边：
2cm 4cm
30°
30°
可以发现按两 个条件画的两 30° 50° 个三角形也不 能保证一定全 等。
画 法: 1. 画线段AB=4cm. 2. 分别以A、B为圆心，5cm、6cm 长为半径画两条圆弧，交于点C. 3. 连结CA、AB. ∴ΔABC就是所求的三角形
请同学们自己画出ΔDEF
问题设计： 1、你所画的两个三角形能重合吗？ 2、若它们重合，说明了什么？则它们满足了什么条件？
结论：三边分别都相等的两个三角形全等（SSS）
分析：要证明△ ABD≌ △ ACD，首先 看这两个三角形的三条边是否对应相等。
证明：∵ D是BC的中点 ∴ BD=CD 在△ABD和△ACD中， AB＝AC（已 知 ）
AD＝AD（公共边）
BD＝CD（已 证 ） ∴ △ ABD≌ △ACD（SSS）
结论：从这题的证明中可以看出，证明是由题设（已知） 出发，经过一步步的推理，最后推出结论正确的过程。
《三角形全等的判定(SSS)》优质课教学设计
《三角形全等的判定（SSS）》优质课教学设计其实是采用相对对称的结构来维持风筝的稳定, 也就是保证风筝的左右一样。
那么我们要怎么证明一个十字风筝和三角风筝左右都一样呢？那就一起来学习今天的课程三角形全等的判定（SSS）。
一起探究一下风筝是不是左右相等的吧。
复习回顾: 全等三角形的性质。
提问1: 还记得什么是全等三角形吗？提问2: 全等三角形具有什么样的性质呢？提问3：若已知△ABC≌△DEF, 会有什么结论？提示1: 能够重合的两个三角形叫全等三角形.提示2：全等三角形的对应边相等, 对应角相等。
提示3：∵△ABC≌△DEF∴ AB=DE ∠A=∠DAC=DF ∠B=∠EBC=EF ∠C=∠F探究新知:因此, 判定两个三角形全等, 除了定义外, 还可以利用这六组条件, 但这两种方法都较为复杂, 我们能否减少条件, 用尽量少的条件进行判定呢？如果只满足这些条件中的一部分, 那么能保证两个三角形全等吗？我们先从最少的条件开始探究。
探究一: （同桌讨论）①只给1条边。
所以, 只确定一条边, 可以画出无数个三角形, 它的形状不定, 所以只满足一条边对应相等, 是不足以证明两个三角形全等的。
这种方式叫做举反例, 即满足条件, 但却发现结论不成立。
②只给1个角类比一个边的方法, 让学生用画图举反例证明。
综上所述, 只满足一个条件, 不足以证明两个三角形全等。
探究二: （分成小组探究）●如果给出两个条件, 有哪几种情况？●有2条边对应相等的两个三角形●有1个角和1条边对应相等的两个三角形●有2个角对应相等的两个三角形分成三个小组, 每个小组探究一个情况。
教师引导学生利用提前准备好的道具——纸棒、尺子、量角器, 用纸棒围成三角形, 此条件下的三角形是否只有一个。
①2条边结论: 有两条边相等不能保证两个三角形全等.②2个角结论: 有两个角相等不能保证两个三角形全等.③1个角1条边结论: 有一个角和一条边相等不能保证两个三角形全等.●思考: 如果只给三个条件能保证两个三角形全等吗？●有3条边对应相等的两个三角形●有1条边和2个角对应相等的两个三角形●有2条边和1个角对应相等的两个三角形●有3个角对应相等的两个三角形猜想: 三条边分别相等的三角形全等.动手实践: 拿出两组分别长4cm, 6cm, 8cm的纸棒。
12.2.1三角形全等的判定(SSS)
C
• 例4.如图，AB=AD，BC=CD，求证： • （1）△ABC≌△ADC； （2）∠B=∠D．
课 本 P8 工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图， AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动 角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合. 过角尺顶点 C的射线OC便是AOB的平分线.为什么？
画法：1.画线段B'C'＝BC；
2. 分别以B'、C'为圆心， 线段AB、AC为半径画弧， 两弧交于点A '；
3.连接线段A'B'、A'C' .
' ' 则ΔA'BC 为所求作的三角形.
你能得出什 么结论？
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。 用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明 三角形全等．
O
C
A
应用所学，例题解析
用尺规作一个角等于已知角． 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法： （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半 径画弧，交O′A′于点C′； B D
O
C
A
O′
C′
A′
应用所学，例题解析
用尺规作一个角等于已知角． 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法： （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中 所画的弧交于点D′； B D′ D
探究活动
你如 能果 说给 出出 有三 哪个 几条 种件 可画 能三 的角 情形 况， ？
三个条件呢？
1. 三个角；
2. 三条边； 3. 两边一角；
4. 两角一边。
2.5.5全等三角形的判定——SSS
【图片鉴赏】
探究二：
做一做：取出若干根的木条，把它们分别做成三角形 和四边形框架，并拉动它们。你发现什么？ 三角形的大小和形状是固定不变的， 而四边形的形状会改变。
三角形的性质：
只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和 大小就确定，三角形的这个性质叫 三角形的稳定性。
试一试：
四边形不具有稳定性，你能想出什么方法
AC=A'C'（已知）
全等三角形的判定定理： 三边分别相等的两个三角形全等． 简记为“边边边” （或SSS）．
A
几何语言：
在△ABC与△A'B'C'中 ∵ AB=A'B'（已知） AC=A'C'（已知） BC=B'C'（已知） ∴△ABC≌△A'B'C' （SSS）
B A' C
B'
C'
【图片鉴赏】
主备人 ：九龙中学
刘媛媛
【知识回顾】
我们已经学过哪些判定两个三角形全等的方法？ SAS、ASA、AAS
【激情导入】
A
给你一个圆规，你能运用已学的知识判定 下面两个三角形全等吗？
B
C
【合作交流】
探究一：
画一画：画一个三角形，使得这个三角形的三条边长分 别为5cm、7cm、10cm． 把你画的三角形裁下来与同伴画的三角形进行 比较，你有什么发现？
想一想：先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使 AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'那么△ABC和△A'B'C'全等吗？ 解：如图所示，将△ ABC经过轴反射、 A A' 平移之后，使得BC与B'C'重合，即点B 与点B'重合，点C与点C'重合. 1 3 连接AA'. B B C C ∵AB=A'B' ，AC=A'C'（已知） B' C C' B ∴∠1=∠2 ，∠3=∠4（等边对等角） 2 4 ∴∠1+∠3=∠2+∠4 （等式的性质） 即∠B'A'C'=∠BAC A 中， A 在△ABC和△A'B'C' AB=A'B'（已知） ∠BAC=∠B'A'C'（已证） ∴△ABC≌△A'B'C'（SAS）
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全等三角形的判定
——SSS判定定理授课教师：***
作业验收：
1、全等用符号表示，读作：。
2、若△BCE ≌△CBF，则∠CBE= , ∠BEC= ,BE= , CE= .
3、判断题
1）全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（）
2）全等三角形的周长相等，面积也相等。
（）
3）面积相等的三角形是全等三角形。
（）
4）周长相等的三角形是全等三角形。
（）
4.如图,若ΔOAD≌ΔOBC, 且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD= .
5.如图，若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结论：①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,④∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是（） A.1个 B.2个C.3个 D.4个
6.已知ΔABC≌ΔDEF, ΔABC的三边分别为3,m,n, ΔDEF的三边分别为5,p,q,若ΔABC 的三边均为整数,求m+n+p+q的最大值.
新课：
探索三角形全等的条件
◆只给一个条件
1.只给一条边时；
2.只给一个角时；
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
◆只给两个条件
①两角：如果三角形的两个内角分别是30°,45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
②两边：如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
③一边一角：三角形的一个内角为30°,一条边为4cm时结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
总结：
探究一
1.给定一个条件：
（1）一条边
（2）一个角失败
2.给定两个条件：
（1）两边
（2）一边一角
（3）两角
4cm
6cm
4cm
6cm
6cm
30º30º
6cm
30º20º30º20º
失败
◆给三个条件
①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。
先来探究前两种情况
①三个角：如30°，70°，80°，它们一定全等吗？结论:三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
②三边：画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？
画法: 1.画线段AB=3㎝;
2.分别以A、B为圆心,4㎝和6㎝长为半径画弧,两弧交于点C;
3. 连接线段AC、BC.
结论:三边对应相等的两个三角形全等.可简写为边边边或SSS
例1：如图所示，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架。
求证：△ABD ≌△ACD 。
A B
C
D
证明：∵D 是BC 的中点
∴BD=CD
在△ABD 和△ACD 中
AB=AC BD=CD AD=AD
∴△ABD ≌△ACD （SSS ）
像上述判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
总结
（1）准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好；（2）写出在哪两个三角形中；
（3）摆出三个条件用括号括起来；
（4）写出全等结论。
SSS公理的书写方式
变式题：
已知如图所示，AC=FE，BC=DE，AD=FB，要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，需要那些条件？如何证明？
例2：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。
为什么？
变式题：
变式：如图是用图规与直尺画已知角的平分线的示意图，作法如下：
（1）以A为圆心画弧，分别交角的两边于点B和点C；
（2）分别以点B、C为圆心，相同长度为半径画两条弧，两弧交于点D；
（3）画射线AD。
AD就是∠BAC的平分线。
你能说明该画法正确的理由吗？
例3：如图，AD=BC，AC=BD，求证（1）∠DAB= ∠CBA（2）∠ACD= ∠BDC
变式题：如图，AB=CD，AE=DF，CE=BF，求证：AE∥DF
本节课的收获：
1、回忆这节课，学习了全等三角形的哪些知识？结论:三边对应相等的两个三角形全等.
一个条件、两个条件、三个角对应相等不能判定两三角形全等
注意：判定全等时要“对应”
作业：
练习1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。
求证：∠A＝∠D。
练习2：如图，已知AB＝CD，AD＝CB，求证：∠B＝∠D 在原有条件下，还能推出什么结论？
练习3：已知三角形三条边分别是4cm，5cm，7cm，画出这个三角形
练习4：如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？。