不等式恒成立或有解问题的解决策略

不等式恒成立或有解问题的解决策略恒成立与有解问题的解决策略大致分四类： ①构造函数，分类讨论； ②部分分离，化为切线； ③完全分离，函数最值； ④换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点．【考点突破】【典例1】（2018届石家庄高中毕业班教学质量检测）已知函数()()()121xf x axe a x =-+-.（1）若1a =，求函数()f x 的图象在点()0,(0)f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）若1a =，则)12(2)(--=x xe x f x，4)('-+=xxe xe x f当0=x 时，2)(=x f ，3)('-=x f ， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以所求切线方程为23+-=x y 。

（Ⅱ）思路一：()()()121xf x axe a x =-+-，)1(2)1()('+-+=a e x a x f x，由条件可得，首先0)1(≥f ，得011>-≥e a ， 令()'()(1)2(1)xh x f x a x e a ==+-+，则'()(2)0x h x a x e =+>恒为正数，所以()'()h x f x =单调递增，………﹝高阶导数的灵活应用﹞而02)0('<--=a f ，0222)1('≥--=a ea f ，所以)('x f 存在唯一根0(0,1]x ∈，使得函数)(x f 在),0(0x 上单调递减，在)(0∞+x 上单调递增， ………﹝极值点不可求，虚拟设根﹞所以函数)(x f 的最小值为()()()0000121xf x ax e a x =-+-，只需0)(0≥x f 即可，又0x 满足)1(2200++=x a a e x ，得()20000(1)(21)1a x x f x x +-++=+，………﹝虚拟设根，整体代入﹞因为0(0,1]x ∈，所以200210x x -++≥，即0)(0≥x f 恒成立，所以实数a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【审题点津】不等式恒成立可以直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数的单调性，转化为函数的最值的正负来求解参数的取值范围.本题出现极值点不可求的情形，不妨引入虚拟设根，设而不求，整体代换，通过形式化的代换或推理，达到化简并求解问题的目标.思路二：由条件可得，首先0)1(≥f ，得011>-≥e a ， 当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，等价于()121xa xe x a+≥-对任意0x >恒成立，亦即函数1x y xe =的图象总在直线()2121a y x a+=-的上方（含边界）.………﹝部分分离，数形结合，化为图象的位置关系﹞令()()0xQ x xex >=，则()()10x Q x x e '=+>，所以()()0xQ x xe x >=单调递增；令()()()()01xP x Q x x x e '=+>=，则()()20x P x x e '=+>，所以()()()10xP x x e x +>=单调递增，所以()()0x Q x xe x >=为凹函数，如图所示，又()2121a y x a +=-是过定点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线系，当直线与曲线相切时，可设切点为()00,T x y ，则()()()00000021112x Q x y x e y a a a x a '=+⎧+=⎪⎪⎪=⎨-⎪⎪⎪⎩，即()()(00021112x x x e a x e a a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎩+⎪，……………﹝借助于导数的几何意义，寻找临界﹞解得01x =，此时切线的斜率为()1Q '=只需()212a e a+≤即可，解得11a e ≥-故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【审题点津】不等式恒成立也可以适当恒等变形，部分分离，化为函数过定点的直线与函数图象的位置关系；再利用导数的几何意义，应用运动的数学思想转化为直线的斜率与过定点的切线的斜率的大小关系求解参数的取值范围.思路三：由条件可得，首先0)1(≥f ，得011>-≥e a ， 当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，等价于211xa x a xe -≥+对任意0x >恒成立. ………﹝将两个变量完全分离﹞设函数()()210xx F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-， 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时， ()0F x '<， 所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以()()max11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 只需11a a e ≥+，解得11a e ≥-. 故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【审题点津】不等式恒成立也可以适当恒等变形，完全分离，使得参数和主元分别位于不等式的左右两边，再巧妙构造函数，最后化归为所构造函数的最值求解.思路四：由于()()()()()1212121x x f x axe a x a xe x x =-+-=-+--，因为1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，如图所示，（证明略） ………﹝重要不等式1x e x ≥+是放缩的途径﹞所以0112)1(122>+-=+-+≥+-x x x x x x xe x .………﹝借助于重要不等式1x e x ≥+灵活放缩﹞当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，等价于1212+--≥x xe x a x 对任意0x >恒成立.令()2121x x u x xe x -=-+，则()()()()()()()()2222121122121211x x x x x xe x x x e e u x x x x e x xe x +-⎡⎤-+--+-⎣⎦'==--+-+， 当01x <<时，()0u x '>；当1x >时， ()0u x '<， 所以函数()u x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max111u x u e ⎡⎤==⎣⎦-. 只需11a e ≥-. 故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 【审题点津】不等式恒成立也可以借助于不等式进行灵活放缩，进而合理避开分类讨论，彻底应用变量分离法，化归为所构造函数的最值求解.【拓展演练3】（2018届重庆市高中毕业班6月调研）已知函数()()1ln f x x a x a R x=+-∈． （1）若直线1y x =+与曲线()y f x =相切，求a 的值； （2）若关于x 的不等式()2f x e≥恒成立，求a 的取值范围. 【提示】（1）1a =-； （2）设()12ln g x x a x x e=+--，()0g x '=的解为0x ，则001a x x =-，()00000001121ln ()g x x x x x e x x e e ⎛⎫=+---≤≤ ⎪⎝⎭，所以11,a e e ee ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.【典例2】（2018届广州市高中毕业班一模）已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()x f 零点的个数；（2）对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）思路一：函数()x f 的定义域为()0,+∞，由()ln 1f x ax x =++，()1f x a x'=+， ①当0a ≥时，()0f x '≥，函数()x f 在()0,+∞上单调递增，因为()110f a =+>，当0x →时，()f x →-∞，所以函数()x f 有1个零点；………﹝利用零点存在性定理是解决此类问题的理论依据﹞②当0a <时，()1f x a x '=+，当1x a >-时，()0f x '<；当10x a<<-时，()0f x '>； 所以函数()x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ()max 11ln f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………﹝利用最值与0的大小关系加以判断﹞若1a <-，()max 1ln 0f x a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数()x f 没有零点；若1a =-，()max 1ln 0f x a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以函数()x f 有1个零点；若10a -<<，()max 1ln 0f x a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，10a fe e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，且111e a <<-，所以函数()xf 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有1个零点；又当x →+∞时，()f x →-∞，所以函数()x f 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭有1个零点； 综上可知，当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．【审题点津】函数()x f 零点的个数问题的依据是零点的存在性定理，其解决过程要注意“脑中有‘形’，心中有‘数’”，这也是数形结合思想的渗透.思路二：函数()x f 的定义域为()0,+∞，由()ln 10f x ax x =++=，得ln 1x ax =--，令()()ln ,1u x x v x ax ==--，则函数()v x 是过定点()0,1-，斜率为k a =-的直线，而函数()u x 的图象如图所示，………﹝部分分离，数形结合，化为图象的位置关系﹞当直线1y kx =-与函数()ln u x x =相切时，两者只有一个交点，此时设切点为()00,P x y ，则()0000001ln 1u x kx y x y kx ⎧'==⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得001,1,0x k y ===，……………﹝借助于导数的几何意义，寻找临界﹞ 所以当1k >时，函数()x f 没有零点；当1k =或0k ≤时，函数()x f 有1个零点；当01k <<时，函数()x f 有2个零点．所以当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点．【审题点津】函数()x f 零点的个数问题也可以转化为两个基本初等函数的交点个数问题，灵活借助于导数的几何意义加以解决.思路三：函数()x f 的定义域为()0,+∞，由()ln 10f x ax x =++=，得ln 1x a x+=-， ………﹝将两个变量完全分离﹞ 令()()ln 10x g x x x +=->，则()2ln xg x x'=，因为当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， 所以函数()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()min 11g x g ==-，由于10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当10x e <<时，()0g x >，当1x e>时，()0g x <，所以当1a <-时，函数()x f 没有零点；当1a =-或0a ≥时，函数()x f 有1个零点；当10a -<<时，函数()x f 有2个零点． ……………﹝借助于数形结合，确定分类的界点﹞【审题点津】函数()x f 零点的个数问题也可以应用变量分离法转化为水平直线与函数图象的交点个数问题来处理，形象直观，本题是转化为直线y a =与函数()()ln 10x g x x x+=->的图象的交点个数，只要借助于导数把函数()g x 的图象正确地画出来，自然一目了然.（2）思路一：由()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()2exf x x ≤恒成立，等价于2ln 1x x a e x+≤-在()0,+∞上恒成立， ………﹝将两个变量完全分离﹞ 令()()2ln 10xx m x e x x+=->，则()222ln x e x m x x +'=， 再令()22ln x n x e x =+，则()()22140x n x x x e x'=++>， 所以()n x 在()0,+∞上单调递增， 因为()12ln 20,104en n ⎛⎫=-<> ⎪⎝⎭， 所以()n x 有唯一零点0x ，且0114x <<， ………﹝零点不可求，虚拟设根﹞ 所以当00x x <<时，()0m x '<，当0x x >时，()0m x '>， 所以()m x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为022002ln 0x x ex +=，所以()000ln 22ln 2ln ln x x x ++=-，即()()0000ln 22ln ln ln x x x x +=-+-， ………﹝善于结构分析，巧妙构造函数﹞ 设()ln s x x x =+，则()110s x x'=+>， 所以函数()s x 在()0,+∞上单调递增， 因为()()002ln s x s x =-，所以002ln x x =-，即0201xe x =， ……﹝设而不求，整体代入，求解最值﹞ 所以()()02000ln 12x x m x m x ex +≥=-=，则有2a ≤， 所以实数a 的取值范围(],2-∞．【审题点津】本题零点0x 的探求也可以将022002ln 0x x ex +=变形为2000112ln x x e x x =01ln 01ln x e x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而构造函数()()0x R x xe x =>来解决.思路二：设()()2ln 10x g x xe ax x x =--->，对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，等价于()min 0g x ≥在()0,+∞上恒成立， ………﹝直接“左减右”构造函数﹞因为()()2121x g x x e a x '=+--，令()()2121x h x x e a x =+--，则()()221410x h x x e x'=++>， 所以()()h x g x '=在()0,+∞上单调递增， ………﹝高阶导数，层次要清晰﹞ 因为当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 所以()()h x g x '=在()0,+∞上存在唯一的零点0x ，满足()02001210x x ea x +--=， 所以()0200121x a x ex =+-，且()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()00222000000min ln 12ln 0x x g x g x x e ax x x e x ==---=--≥，……﹝设而不求，整体代入，求解最值﹞所以022002ln 0x x ex +≤，此时02002ln 01,2x x x e x <<≤-，所以()()()00002ln 2ln ln ln x x x x +≤-+-， ………﹝善于结构分析，巧妙构造函数﹞ 设()ln S x x x =+，则()110S x x'=+>， 所以函数()S x 在()0,+∞上单调递增，因为()()002ln S x S x ≤-，所以002ln x x ≤-，即0201xe x ≤， 所以()()020000011121212x a x ex x x x =+-≤+⋅-=， 所以实数a 的取值范围(],2-∞．【审题点津】本题零点0x 的探求也可以将022002ln 0x x ex +≤变形为001ln 200001112ln ln x x x e e x x x ⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，进而构造函数()()0x R x xe x =>来解决. 思路三：由()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，等价于2ln 1xx a e x+≤-在()0,+∞上恒成立，先证明ln 1t t ≥+，当且仅当1x =时取等号，如图所示（证明略）.所以当0>x 时，有22ln 1ln 21xx xexe x x ≥+=++，………﹝重要不等式1ln x x -≥是放缩的途径﹞ 所以2ln 12x x e x x ≥++，即2ln 12x x e x+-≥，当且仅当21x xe =时取等号，所以实数a 的取值范围(],2-∞．【审题点津】很多导数的压轴题的命制都是基于两个重要不等式1ln x x -≥与1xe x ≥+，它们自然也是放缩的重要途径.思路四：由()ln 1f x ax x =++，所以对任意的0>x ，()2e xf x x ≤恒成立，等价于2ln 1xx a e x+≤-在()0,+∞上恒成立，先证明1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，如图所示（证明略）.所以当0>x 时，有2ln 2ln 2ln 21xx x x x xee e e x x +==≥++，………﹝重要不等式1x e x ≥+是放缩的途径﹞所以2ln 12x x e x x ≥++，即2ln 12x x e x+-≥，当且仅当ln 20x x +=时取等号， 所以实数a 的取值范围(],2-∞．【点睛探究】两个重要不等式1ln x x -≥与1xe x ≥+实质是等价的，它们的变形很多，很值得深入探究.如以1xe x ≥+为例，把x 换为ln x ，即得ln 1ln x x x ≥+>；把x 换为1x -，即得xe ex ≥；把x 换为x -，即得1xex -≥-+，亦即()111x e x x≤<-；把x 换为2ln x x +，即得222ln 1x x e x x ≥++；把x 换为ln x x -，即得ln 1xe x x x≥-+；把x 换为ln 2x -，即得22ln 22x e x ≥-+；……【拓展演练4】（辽宁省重点高中协作校三模）设实数0m >，若对任意的x e ≥，不等式2ln 0mxx x me -≥恒成立，则m 的最大值是1.A e .3eB .C e .2D e【提示】2ln 0mxx x me -≥变形为ln ln mxx m x ee x⋅≥⋅，构造函数()()0x g x xe x =>，等价转化为ln mx x≥，即ln m x x ≤，只需()min ln m x x e ≤=，答案为C .【典例3】（成都市2018届高三毕业班三诊）已知函数()()ln ,1f x x g x x ==+.若函数()f x 图象上任意一点P 关于直线y x =的对称点Q 恰好在函数()h x 的图象上.（1）证明：()()g x h x ≤； （2）若函数()()()1f x F x g x =+在[)()*,k k N +∞∈上存在极值，求k 的最大值.【解析】（1）因为函数()f x 图象上任意一点P 关于直线y x =的对称点Q 恰好在函数()h x 的图象上，所以函数()f x 与()h x 互为反函数，()x h x e =，易证1x x e +≤（证明略）；（2）由已知()()()1f x F x g x =+，得()()ln 02xF x x x =>+，所以()()221ln 2x x F x x +-'=+，因为函数()()()1f x F x g x =+在[)()*,k k N +∞∈上存在极值，所以()0F x '=在()()*,k k N +∞∈上有解，即21ln 0x x+-=在()()*,k k N +∞∈上有解， ………﹝理解题意，转化为超越方程有解问题﹞令()21ln u x x x =+-，则()222120x u x x x x+'=--=-<， 所以()u x 在()0,+∞上单调递减，由()33331111 2.74ln 4ln ln16ln ln 022*******e u e =-=-=>>，……﹝应用零点存在性定理求解﹞()775571113121875ln 5ln ln 5ln ln 0555*******u e =-=-=><，所以函数()u x 的零点()04,5x ∈， 因为函数()()()1f x F x g x =+在[)()*,k k N +∞∈上存在极值，所以4k ≤，k 的最大值为4.【审题点津】函数()f x 存在极值点，转化为()f x '存在零点的问题，亦即()0f x '=有解问题，然后借助于导数刻画函数()f x '的图象，应用零点存在性定理求解问题.【典例4】（河北衡水2018届高三第一学期八模）已知函数()()()ln ,xf x e x a x a x a R =-+++∈.（1）当1a =时，求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程； （2）函数()f x 在定义域上为单调函数，求a 的最大整数值.【解析】（1）当1a =时，()()()1ln 1xf x e x x x =-+++，()()ln 1xf x e x '=-+，所以()()01,01f f '==，所以函数()f x 的图象在0x =处的切线方程10x y -+=；（2）思路一：函数()f x 在定义域上为单调函数，则()0f x '≥恒成立.由于()()()ln x f x e x a x a x =-+++，()()ln x f x e x a '=-+， 令()()h x f x '=，则()1x h x e x a'=-+， 设()0h x '=的解为0x ，即001x e x a=+， ……﹝导数零点不可求，虚拟设根﹞ 当()0,x a x ∈-时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以()()h x f x '=在()0,a x -上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()()()000min min ln xh x f x f x e x a ''===-+，因为()0000011ln ln x e x x a x a x a=⇔==-+++， ……﹝虚拟设根，整体代换﹞ 所以()()()0000min 0011ln 2x f x e x a x x a a a x a x a'=-+=+=++-≥-++， 因为()0f x '≥恒成立，所以20a -≥，即2a ≤.故a 的最大整数值为2.【审题点津】确定函数具有零点但又无法求解或求解相对比较繁杂的情况下，引入虚拟零点，通过形式化的合理代换或推理，达到化简并求解问题的目标.这种方法感受数学思维“柳暗花明又一村”的奇妙诗意！思路二：函数()f x 在定义域上为单调函数，则()0f x '≥恒成立.①先证明1x e x ≥+（证明略）；②再证明ln 1x x ≤-（证明略）； ……﹝借助于重要不等式，投石问路﹞ 所以()()ln 2211x x x +≤+-=+，所以()1ln 2x e x x ≥+≥+， …………﹝合理放缩，转换视角﹞ 当2a ≤时，()()1ln 2ln x e x x x a ≥+≥+≥+，()()ln 0x f x e x a '=-+≥恒成立； 当3a ≥时，()()ln 0x f x e x a '=-+≥不恒成立；故a 的最大整数值为2.【审题点津】遇到含有xe 的超越函数时，不妨运用1xe x ≥+进行放缩，遇到含有ln x 的超越函数时，不妨运用ln 1x x ≤-进行放缩，往往有出其不意的效果，这是放缩法的重要途径.【典例5】（厦门2018届高三第一学期期末质检）已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，()()3212254g a b a a a <--+，求满足条件的最小整数b .【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--=， ………﹝判断导数的正负，自然需要对a 的取值分类讨论﹞若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤，故()f x 在()0,+∞单调递减， 若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a =， （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增； （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增； 【审题点津】研究含有参数的超越函数的单调性时，必须探寻出分类讨论的界点，其界点的确定往往是由数学的严谨性所确定的.（2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增， 所以x a =时，()f x 的极小值为()()3ln 2a g a f a a a a ==--， 由()()212254g a b a a a <--+恒成立，即2ln 24a a b a a >-+恒成立， ………﹝两个变量进行分离、化简﹞设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，则()5ln 4h x x x '=-+，令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+，则()111x x x x -'=-=ϕ，当()1,x ∈+∞时，()110x x ϕ'=-<，所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-<，所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '<，所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+， ………﹝零点不可求，设而不求，整体代入﹞因为005ln 4x x =-，得()200max 12h x x x =-，其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增，所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =.【审题点津】确定函数具有零点但又无法求解或求解相对比较繁杂的情况下，可以再次求导，进行多次求导，判断正负，此时要保持层次清晰，思维缜密.【典例6】（郑州2018高中毕业年级第一次质量预测）已知函数()()ln (1)f x x a x a R =-+∈在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立，求k 的取值范围. 【解析】（1）由已知可得()f x 的定义域为(0,)+∞，()1f x a x'=-， 所以()110f a '=-=，即1a =， ………﹝应用导数的几何意义﹞ 所以()ln (1)f x x x =-+，()111x f x x x-'=-=， 令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >， ………﹝借助于导数的正负加以判断﹞ 所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1.+∞.（2）法一：不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21ln (1)22x x x k x -+->-，………﹝直接“左减右”构造函数﹞令()()21ln (1)122x g x x x k x x =-+--->，则21(1)1()1x k x g x x k x x-+-+'=-+-=， 令()2()(1)11h x x k x x =-+-+>，其对称轴为12kx -=， 当112k-≤，即1k ≥-时，()h x 在0(1,)x 上单调递减，所以()()11h x h k <=-， 若1k ≥，则()0h x ≤，()0g x '≤，所以()g x 在0(1,)x 上单调递减，()()10g x g <=，不适合题意； ………﹝正确理解题意是关键，就是在直线1x =右侧附近是否为单调递增﹞若11k -≤<，则(1)0h >，必定存在01x >，使得0(1,)x x ∈时，()0g x '>，即存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立； 当112k->，即1k <-时，欲使存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21()2(1)22x f x x k x -++>-成立，只需()0g x '>，即(1)10h k =->，此时1k <，综上，k 的取值范围是(),1-∞.【审题点津】本题不等式恒成立问题直接构造函数()()21ln (1)122x g x x x k x x =-+--->，用多次求导，应用分类讨论思想探求该函数的增减性，达到求解问题的目标.法二：不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21ln (1)22x x x k x -+->-， 若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21ln (1)22x x x k x -+->-成立，亦即存在01x >，当0(1,)x x ∈时，函数21ln 22x y x x =-+-的图象在直线(1)y k x =-的上方. ………﹝部分分离，数形结合，化为图象的位置关系﹞令()()21ln 122x u x x x x =-+->，则1()1u x x x'=-+，()()10,11u u '==，令()1()1v x u x x x'==-+，则()2110v x x '=--<， 所以()11x xv x =-+单调递减，()()21ln 122x u x x x x =-+->为凸函数，如图所示，又(1)y k x =-是过定点()1,0的直线系，当直线与曲线相切时，()011k u '==， 所以k 的取值范围是(),1-∞.【审题点津】本题不等式恒成立问题采取适当恒等变形，部分分离，化为过定点的直线(1)y k x =-与函数21ln 22x y x x =-+-图象的位置关系，进而应用运动的数学思想求解参数的取值范围. 法三：不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为ln 112x x k x -<--， 若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21ln (1)22x x x k x -+->-成立，亦即存在01x >，当0(1,)x x ∈时，ln 112x x k x -<--. ………﹝完全分离，转化为函数的最值问题﹞ 令()()ln 1112x x M x x x -=->-，则()()()()()()22211ln 122ln 12121x x x x x x x M x x x x -----'=-=--， 令()()()2122ln P x x x x x =---，则()()()3112ln 0P x x x x '=----<，………﹝部分求导，简化运算﹞所以()P x 在()1,+∞单调递减，()()10P x P <=，即()0M x '<， 所以()M x 在()1,+∞单调递减，因为ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略）， 所以当1x →时，ln 11xx →-，()1M x →， 所以k 的取值范围是(),1-∞.【审题点津】本题采取适当恒等变形，完全分离，转化为ln 112x x k x -<--恒成立，只需使得min ln 112x x k x -⎛⎫<- ⎪-⎝⎭即可，进而化归为求解函数ln 112x x y x -=--的最小值的求解.本题要注意的是，端点效应的处理需借助于不等式ln 1x x ≤-恒成立，说明ln 11xx →-. 法四：不等式21()2(1)22x f x x k x -++>-可化为21ln (1)22x x x k x -+->-， 因为ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号（证明略），若存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有21ln (1)22x x x k x -+->-成立，亦即存在01x >，当0(1,)x x ∈时，()211(1)22x x x k x --+->-， ………﹝重要不等式1ln x x -≥是放缩的途径﹞ 所以32xk ->. 因为1x >，所以k 的取值范围是(),1-∞.【审题点津】本题不等式21ln (1)22x x x k x -+->-恒成立借助于不等式ln 1x x ≤-进行灵活放缩，转化为()211(1)22x x x k x --+->-恒成立，这是知识整合能力的较好的体现.。