14.2.1乘法公式(一)平方差公式.2.1平方差公式
14.2.1平方差公式教学设计 2024-2025学年人教版数学八年级上册
平方差公式一、课题：《14.2.1平方差公式》二、教学内容分析：《平方差公式》一课是人教版义务教育课程标准实验教材八年级上册第14章第2节的乘法公式的第一课时教学内容。
这一内容既是全章的重点,也是教学难点。
《平方差公式》是在学习了有理数运算、一元一次方程及二元一次方程组、不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上,在学生已经掌握了多项式乘法之后,自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法,是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究,不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法,而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础,同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此,平方差公式在初中阶段的教学中具有很重要地位,是初中阶段的一个典型公式.三、教学目标分析:1.学生经历平方差公式的探索过程,会推导平方差公式,熟悉平方差公式的结构特征,理解公式的几何背景,并能灵活运用公式进行运算。
2.在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力,体会从特殊到一般,再从一般到特殊的认知规律;感悟数形结合的思想方法,培养学生归纳、概括等能力.3.通过自主探索平方差公式,营造主动探究与合作交流的学习氛围,培养学生主动探究,善于思考,积极进取的学习态度。
教学重点和教学难点：1.教学重点:平方差公式的推导和运用；2.教学难点:理解平方差公式的结构特征和灵活运用平方差公式进行计算.教学手段和方法1.教学手段:多媒体 2.教学方法:启发讲授、合作探究四、学生情况分析：在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。
五、教学过程:（一）激趣导入活动1.利用课前几分钟时间对学生进行一个速算演示：老师先出一个两位数乘法；27×23，让学生速算结果，当学生不能快速算出时。
14.2.1+平方差公式+课件+2024—2025学年人教版数学八年级上册
五、练习小测
运用平方差公式计算下面各题。
（1） (a+3b)(a-3b) （2） (3+2a)(-3+2a) （3） 51×49 （4） （3X+4)(3X-4)-(2X+3)(3X-2)
六、应用思考
你能根据图中的阴影面积说明平方差公式吗？
a米
b米
a米
b米
相等吗？
(a-b)
七、问题解决
学校设计花园，起初被设计为边长为a米的正方形，后铅球场 地原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米。 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？如果不 相等，相差多少？
（(3x-x＋+22y)(3-xx-－2y2)。) ； 解解：： ＝=(3(-xx))22－-(22y2)2
＝=9xx22－- 44y；2.
练习：第108页的第1题
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x+2)(x-2)=x²-2
(-3a-2)(-3a-2)=(-3a)²-2²=9a²-4
设计修改为：北边往南平移x(x≤a)米，而西边往西平移x米。 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a的圆的面积，正六边形的面积。由此你有什么新的 发现？
四、巩固新知
例2计算: (1)102×98
小 贴
尝试用上平方差公
士 式进行变形计算。
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5)
解: =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996
人教版数学八年级上册 14.2.1平方差公式 (共24张PPT)
拓学
运用平方差公式计算：
1、(an+b)(an-b) 指数变化
2、(4a+4b)(a-b) 因式变化 3、(a+1)(a-1)(a2+1) 连用公式变化
4、 (2+1)(22+1)
添项变化
学海冲浪、激情比拼
以小组为单位，在一分钟内构建具有 平方差公式结构特征的多项式乘法．比比 哪组创新意识强？哪组合作意识强？哪组 反应快，数量多……
规律： 1）左边是 两数和与这两数差的积；
2）右边是 这两数的平方差。 .
语言表述： 两数和与这两数差的积,等于它们的平方差
数学模型（数）： (a+b)(a-b) = a2-b2
直观模型（形）： (□+△)(□-△)= □2-△2
平方差公式的代数验证：
解：(a+b)(a-b)
a(a b) b(a b) （单×多）
与平 方差 公式 中b对 应的 项
写成 “a2-b2 ” 的形式
x 2 x2 - 22
计算 结果
x2 - 4
(1+3a)(1-3a) 1 3a 12 – (3a)2 1– 9a2 (2x+4y)(2x-4y) 2x 4y (2x)2 – (4y)2 4x2 – 16y2
互学
位置变化： (x+y)(-y+x) 符号变化： (-x-y)(x-y) 系数变化： (2x+3y)(2x-3y) 项数变化: (x+y+z)(x+y-z)
用 a式结构的不变性，字母的可变性。 2、公式中的a，b可以表示具体的数，
也可以表示单项式或多项式。
练学
抢答题
1、下面各式的计算对不对? 为什么？
八年级数学上册14.2.1 平方差公式 (2)
作品编号：0115230988859532558954500001学校：秘强市景秀镇赛班家屯小学*教师：丽景春*班级：凤凰队参班*14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式【知识与技能】会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括的能力.【情感态度】在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.【教学重点】平方差公式的推导和应用.【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.一、情境导入，初步认识出示下列习题，由学生分组完成：1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.2.试用简便方法求结果：（1）2001×1999=_____；998×102=_______.【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.二、思考探究，获取新知由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.（1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.（1）（2a-3b）(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a-3b)(-2a+3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b);【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.例2计算：（1）59.9×60.1；（2）102×98.【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.例3利用平方差公式计算下列各题.（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.三、运用新知，深化理解1.计算下列各题.2.利用平方差公式计算下列各题：（1）499×501；（2）2002×2004-20032.3.请认真分析下面一组等式的特征：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.四、师生互动，课堂小结阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.。
人教版初中数学八年级上册第十四章 平方差公式
探究新知
14.2 乘法公式/
归纳总结
对于平方差中的a和b可以是具体的数， 也可以是单项式或多项式.在探究整除性或 倍数问题时，一般先将代数式化为最简， 然后根据结果的特征，判断其是否具有整 除性或倍数关系．
巩固练习
14.2 乘法公式/
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
(2m)2 – 12 (5y)2 – z2
想一想 这些计算结果有什么特点？
探究新知
14.2 乘法公式/
平方差公式
(a+b)(a−b)= a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差. 公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2
2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2，
改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
探究新知
14.2 乘法公式/
归纳总结
解决实际问题的关键是根据题意 列出算式，然后根据公式化简算式， 解决问题．
巩固练习
14.2 乘法公式/
如图1,在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的正方
D．4x2+1
3. 两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的 正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是___1_0____．
课堂检测
14.2 乘法公式/
4. 利用平方差公式计算：
(1)(a+3b)(a– 3b)；
(2)(3+2a)(–3+2a)；
解:原式=(a)2–(3b)2 解: 原式=(2a+3)(2a–3)
平方差公式教案
14.2.1平方差公式教案一、内容和内容解析1.内容：平方差公式.2.内容解析平方差公式是以多项式乘法为基础知识，某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式。
当遇到特殊形式的多项式相乘时，可以直接运用公式写出结果。
平方差公式是多项式乘法公式的一种，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
平方差公式是因式分解中公式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用。
平方差公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征。
公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的字母a,b可以是单项式也可以是多项式，乃至任何代数式。
平方差公式的得出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对特殊形式的乘法运算推导出乘法公式，体现了一般到特殊的思想方法。
探索平方差公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通过观察、比较，抽象概括出一般形式，并通过推理获得公式的符号表示及语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题的方法。
在用图形说明平方差公式时，又蕴含了数形结合的思想。
综上所述，本课教学重点：平方差公式二、目标和目标解析1、目标（1）理解平方差公式的推导过程；（2）掌握平方差公式的结构特征并能运用公式进行计算；（3）经历平方差公式的探究过程中，体验从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维方法，感知数形结合的数学思想。
2.目标解析达成目标(1)的标志:学生知道平方差公式是多项式乘法的特殊形式，能根据多项式的乘法法则推导出平方差公式。
达成目标(2)的标志:理解平方差公式的结构特征，会用符号表示公式，能用文字语言表述公式内容，在字母表示具体的数字、字母、单项式、多项式时能准确找出公式中的相同项和相反项，并能正确进行计算。
达成目标（3）的标志:在用多项式乘法推导平方差公式时感悟从具体到抽象、从一般到特殊的思想方法；在利用几何图形的面积验证公式的过程中，感知数形结合的数学思想。
三、教学问题诊断分析由于公式(a+b)(a−b)= a2−b2中的a，b本身可能为负数，而且a、b可以是具体的数、单项式、多项式等，情況比较复杂，对于初次接触平方差公式的学生来说，找准哪个数或式相当于公式中的“第一个数”a，哪个数或式相当于公式中的“第二个数”b，尤其是当第一个数a为负数时，如：(-x+2y)(-x-2y)，诸如此类题型容易混淆，学生感到会有困难。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
14.2.1 平方差公式 课件-人教版八年级数学上册
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
(2) 原式＝(-x)2 – (2y)2 ＝x2 – 4y2；
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
例 2： 102×98
练习4： 51×49
解：原式＝(100 + 2)(100 – 2) ＝1002 – 22 ＝9996;
原式＝(50 + 1)(50 – 1) ＝502 – 12 ＝2499.
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
⑤ (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 2x + 2x – 9 = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9