第三讲 对称的数学本质

S(K1)
S(K2) 8
S(K3) 12
S(K4) 6
S(K5) 2
S(K6) 1
三、对称的本质
“变中有不变”的性质，不仅是“平面 图形对称”的本质，也是各种客观事物对 称性的本质。
四、对任意客观事物之对称性的描述： 子集的对称
• 进一步的任务：
把讨论“平面图形的对称”中形成的数学思想 提炼出来，用“子集的对称”的语言来统一地描 述任一客观事物的“对称”。
问 题：如何比较下列图形的对称性？或怎样“量化” 它们的对称性？
K
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K
1
2
K 3
K 4
K
K
5
6
初中教科书关于对称图形的定义：
• 定义：如果一个平面图形沿着平面 上一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，那么这个图形叫做 轴对称图形，这条直线称为它的对 称轴。
P
Q
O
l
2.1、在运动中看“对称”
R
R2
o
O
R
4.1 集合上的可逆变换，子集的对称变换
• 设M是一个集合，则M到自身的一个映射称为“M上的一个 变换”；M到自身的一个可逆映射称为“M上的一个可逆变 换”。

• 集合M上的可逆变换 使M中的每一元素都发生了“变化”，
但在整体上又保持M的不 变。不过，对于M的某个子集N，
情况就不一样了，可能 在（整N体) 上N保持N不变；也可能不能
正方形对称群与8组诱导公式
y
P3y, x
yx
P2- x, y
O
P4- y,x
Px, y
x
P1x,- y
y x
• 参考文献：
• 顾 沛 《对称与群》 高等教育出版社
• 钱 鈱 陈伟斌 袁 渊 《学会抽象与建模》 大连理工大学 出版社
该乘法运算满足以下四条规律： 1. 封闭律 2. 结合律 3. 幺元律 4. 逆元律
5.2 群的概念
• 设G是一个带有运算“○”的非空集合，且其中的运算满 足以下四条，则称{G；○}是一个群。 1、封闭律 a,b G, 有a b G;
2、结合律 a,b, c G,有(a b) c a (b c);
可逆变换却使N整体上保持不变，即 (N) N 。 我们称使N整体上保持不变的那些可逆变换为N的对称变换， 并且把所有这样的“对称变换”放在一起，记作
S（N）, S(N) (N) N，称S（N）为“N的对称集”。
五、对称群及群的概念
5.1 平面图形的对称变换群
我们把平面图形对称集S（N）中保距变换的 “相继实施”，称作S（N）中元素的一种“运 算”，记作“○”，叫作“乘法”。
1 23
12 3
123
李政道同毛泽东谈对称
对称这个概念绝不是静止的，它要比通常的含义普遍 很多，而且适用于一切自然现象，从宇宙的产生到每个微 观的亚核反应过程。
——李政道
• “对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两 个方面都意义重大。数学则是它的根本”。
——德国数学家外尔（H.Weyl）
二、平面图形的对称性
第三讲 “对称”的数学本质
一、身边的对称
数学中，许多数学公式（式子）都表现出对称性
1、海伦公式：S s(s a)(s b)(s c) 其中，s a b c
2
2、正弦定理 a b c sin A sin B sin C
3、对称多项式 f x2 x x x x2 x x x x 2
描述平面图形对称性（及对称性强弱）的一种方法:
对称集的大小
• 把所有使平面图形K整体不变的“保距变换” 放在一起，构成一个集合，记为S(K)，并称S(K) 为“K的对称集”。 如果S(K1)中的元素个数 S(K1)多于S(K2)中的元 素个数S(K2) ,即， S(K1) S(K2) 就说“K1的对称性 强于K2的对称性”，或者说“K1比K2更对称”。
• “如果一个操作使体系从一个状态变换到另一个与 之等价的状态，或者说，状态在此操作下不变， 我们就说这个体系对于这个操作是‘对称的’， 而这个操作叫做这个体系的一个‘对称操作’。” ——德国数学家外尔（H.Weyl）
2.2、平面图形的“对称集”
• 保距变换：
在平面中，我们把反射、旋转、平移以及它们 的相继实施，统称为“保距变换”。特别的，平 面“不动”也是一种“保距变换”。通常称为 “恒等变换”。
3、幺元律 存在e G,使a G,有e a a e a, 称e为幺元； 4、逆元律 a G, 存在b G，使b a a b e, 称b为a的逆元.
单位圆
y
x, y
Pcos,sin
1

O -
x
六、 对称群的一个应用：诱导公式的推导
单位圆的对称性，以及单位圆上的点身兼角与坐标两 种性质的表示，揭示了诱导公式的得出，就是反映了两种 群表示之间的一个一一对应关系。
在整体上保持N不变： 即
。

• 子集N的对称变换：N是M的一个子集，若 是(集N)合MN上的
可逆变换，在M上的可逆变化中，我们称满足
的
可逆变换为“N的对称变换”。
R
R2
K
O
R
4.2、子集的对称集
• 集合M上的可逆变换 ，在变换集合M的同时，一般也变
换了M中我们所考察的子集N，使之成为（N) ，但有些