高等数学1-2数列极限+收敛数列

§2. 数列的极限
一、数列极限的定义 二 、收敛数列的性质
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一、数列极限的定义 1、概念的引入
（1）割圆术： “割之弥细，所失 弥少，割之又割， 以至于不可割，则
与圆周合体而无所
失矣” ——刘徽
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正 6=3×2 边形的面积 A1
正12 3 2 2 边形的面积 A2
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例6 证明
证明 lim n a 1,( a 0). n 当a =1时为常数列，结论显然成立.
a 1, 令 n a 1 n , ( n 0), 则 若 a (1 n )n 1 n n nn 1 n n ,
a a
故 lim x n a .
n
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
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n 2 3n 1 例5 证明 lim 2 . n 2n 3n 4 2 证明： 0, 3n 4 7n 7 n 2 3n 1 n2 3n3n 41 3n 4n , 解不等式 2 2 2 2 , 2 2 2 3) n 4n 2n 3n 4 22 2(nn 4 3n2 4) 2( 2n2(n n 4) n 32 7 n 2 3n 1 若要 2 , 只要 , 4n 2n 3n 4 2 n 2 3n 1 7 7 7 . 解得n , 取N [ ], 当n N , 2 2n 3n 4 2 4 n 4 4 n 2 3n 1 lim 2 . n 2n 3n 4 2 思考：N的取法是否唯一？不等式放大(适当放大)过 程中是否还可以作其他形式的放大？
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以,
lim xn C .
n
说明:常数列的极限等于同一常数.
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lim xn a 0, N ,当n N时, 恒有 xn a . n
n ( 1) 例2 证明 lim n n
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： . 的 任 意 性 1 ,
不 等 式xn a 才 能 刻 划 n与a的 无 限 接 近 x ;
2. N的 存 在 性 不 唯 一 相 应 性 即 , , , N与 任 意 给 定 的 正 数 关. 有
A

a
A

xn
x3
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
.
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数列极限几何解释
lim x n a
n
当 x = n, 则
x1 x2
x n f (n)
f(n)
a的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
A

a
A

xn
x3
0
1
2
3
N N N N N
N+1
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lim xn a 0, N ,当n N时, 恒有 xn a . n
n 例3 证明 lim q 0, 其中q 1.
证
若q 0,
n
则 lim q n lim 0 0;
n n
若0 q 1,
任给 0, (设 1)
a 1 由伯努利不等式 0 n a 1 n a 1 0, 若要 n a 1 , 只要 , 或n a 1 , n a 1 所以, 取N [ ], 则当 n N 时, 有 n a 1 ,
几何解释:
当n N时,
由于 xn a a xn a
a
x2 x1 x N 1
2
a
x4
a x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
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例如： {( 1)n1 } :
1, 1, 1, , ( 1) n1 ,;
n ( 1) n1 ,; n
n ( 1) n1 1 4 { } : 2, , ,, 2 3 n
1 n : 2
1 1 1 1 , , , , n , ; 2 4 8 2
并不是所有的数列都有通项公式

n
R
正
3 2 形的面积 An
(数列)
(n )
即, 得一列有次序的面积数:
A1 , A2 , A3 ,, An , A1 , A2 , A3 ,, An ,
进而,需要讨论其变化趋势
S
(极限)
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（2）截杖问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”（庄子天下篇） 1 第一天截下的杖长为 ; a1 2
进而,需要讨论其变化趋势
(数列)
A1 , A2 , A3 ,, An ,
(n )
1 A 3
(极限)
从以上问题中,抽象出数列、数列的极限的定义.
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2、数列的定义
定义: 如果按照某一对应法则，对每个 n N , 对 应一个确定的实数 xn , 这些实数 xn 按照下标 n
N+2
n
.
因此，数列的极限定义也称数列极限的 —N定义
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lim xn a 0, N ,当n N时, 恒有 xn a .
n
注意： 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 设x n C (C为常数), 证明 lim x n C .
n
例4
设xn 0, 且 lim xn a 0, 求证 lim xn a .
lim xn a,
n
证 任给 0,
n
n
N , 当n N时, 恒有 xn a a ,
从而有 x n a xn a xn a xn a a
1 1 第二天截下的杖长总和a2 2 ; 为 2 2
1 1 1 第n天截下的杖长总和为 2 n ; an 2 2 2 (数列) (极限) 1 an 1 n (n 1,2,) 1 2
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（3）曲边三角形的面积
求由x轴, x 1, y x 2所围图 形(曲边三角形)的面积A.
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1 ( 1) n1 n 1 1 如 : 数 列{1 } , xn 1 ( 1) n n n
1 给定 , 若要 1 1 , 只要 n 100时, 100 n 100 1 取N 100,当n N时, 有 x n 1 100 , 1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000
f (n)
lim x n a
n
f(n)
a
a的邻域 自然数 N 对一切 n > N 相应的点都落 在绿色区域内
a
xn
a
x3
0
1
2
3
N
N+1
N+2
n
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数列极限几何解释
lim x n a
n
当 x = n, 则
我们利用阶梯形的面积来 逼近曲边三角形的面积(见下页演示).
i 1 1 n 2 阶梯形面积 n A 3 i n n i 1 i 1 n 1 1 1 1 1 1 , 1 2 3 2 n 6n 2 6 n n

从小到大排列的一列数
x1 , x2 , , xn ,
称为无穷数列,简称数列. 对于数列,我们要研究的是: ? x a ( n ) 即极限的问题.
n
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注意： 1. 数列对应着数轴上一点列. 可看作一动点在 数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x 2 x4
xn
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注：数列是整标函数， 其图形为 xoy 平面上点的集合.
f ( n)
x1 x2 x3 xn xn f ( n)
O
1 2 3
n
n
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数列中的每个数称为数列的项, x n 称为通项(一般项).
数列 x1 , x2 , , xn , 记为 { xn }
{ 3 3 3 } : 3 , 3 3 ,, 3 3 3 ,
n重根号
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3、数列的极限
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
3、数列的极限播放
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通过上面演示实验的观察:
要使
xn 0 q n , n ln q ln ,
ln n , ln q
n
ln 取N [ ], 则当n N时, ln q
lim q n 0.
n
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就有 q 0 ,
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lim xn a 0, N ,当n N时, 恒有 xn a . n