图形代数
代数问题的图形解法
代数问题的图形解法湖北省钟祥市洋梓一中 詹青龙有些代数题目，直接用代数方法解决相当困难和复杂，若能突破思维定势(即代数题目用代数方法解的定势)，根据题目的结构特点，构造出相应的几何图形后，再利用相应的几何知识去解，则很快化难为易，化繁为简．请看下面几例：例1 求1342222+-+++=x x x x y 的最小值。
∴根据上式特点，建立如图1所示的平面直角坐标系后，问题就转化为：在x 轴上求一点P(x ，0)，使它到两点A(-1，1)和B(2，3)的距离的和(即PA+PB)最小．由九年义教初中《几何》第二册P91例3的结论可得只要找出点B(2，3)关于x 轴的对称点B'(2，-3)，则点A(-1，1)与点B'(2，-3)之间的距离，即为PA+PB 的最小值．于是由两点间的距离公式可得例2 已知m ，n ，p ，q 均为正实数，且满足条件m 2+n 2=p 2，=2m 22q m p -，求证：mn=pq证明 根据题目的结构特点，可构造Rt △ABC ．使∠ACB=Rt ∠，AC=m ，BC=n ，则由已知可得AB=p ．再作CD ⊥AB 于D ，则由射影定理可得∴ CD=q ．即 mn=pq ．例3 已知a 、b 、c 、A 、B 、C 均为正实数，且满足条件a+A=b+B=c+C=k ， 求证 aB+bC+cA ＜k 2．证法1 根据已知条件可以构造边长为k 的正三角形PQR ，如图2．分别在各边上取点L 、M 、N ．使PL=A ，QM=B ，RN=C ．则 LQ=a ，MR=b ，NP=c显然 S 阴影=S △LQM +S △MRN +S △NPL ＜S △PQR故 aB+bC-cA ＜k 2．证法2 仅据已知条件，可构造边长为k 的正方形EFGH ，如图3．分别在各边上取点M 、N 、P 、Q 、使EM=a ．FN=GP=c ．HQ=b ．则 MF=A ，NG ＝PH ＝C ，QE=B ，再分别以EM 、EQ 为邻边MF 、FN 为邻边，PH 、HQ 为邻边，在正方形EFGH 内作矩形EMXQ ．矩形MFNY 、矩形PHQZ ．显然S 阴影=S 矩形EMZQ +S 矩形MFNY +S 矩形PHQZ ＜S 正方形EFGH ．即 aB+bC+cA ＜k 2．练习已知 a 、b 、c 为正实数，且b ＞c ，求证：c b c a b a -<+-+2222。
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =−，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =−=−，故点P 坐标为(3,1)− 则()33,1,(3,1)PB t PC t =−−=−−，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=−−−+−=−++ 令3()310,0f t t t t =−++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =−+=−+−≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12． 故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（ ）A ．5B．C ．6 D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2，两边平方可得，()()2222154x y x y −+=−+±，整理可得，27x =−，两边平方整理可得()22313y x −−=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上及其内部． 2≤与不等式组()2223133y x y ⎧−−≤⎪⎨⎪=⎩同解， 整理可得2670x x −+≤．由已知可得，不等式2670x x −+≤的解集是[],a b ，所以2670x x −+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）(0)kx k >的解集为区间[,]a b ，且2b a−=，则k =（ ）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆， (0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a −=， 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k == 故选：C ．。
大班数学思维第八讲：图形代数
【本讲要点】
1、渗透一种数学思想：简易方程。 2、学习一类思维方法：猜想与验证。 3、掌握一项基本技能：用分拆法猜数，戴“帽”检验。 4、体验一种数学情感：验证猜想成功后的快乐与自信。
文字内
文字内容
【猜一猜】
猜猜下列图形代表什么数字？
【比一比】
谁大谁小？在圆圈内填上“>”或“<”。
>
<
【百变魔方题】
1、猜一猜，绿叶挡住的是什么数？
4 20
12
4
6
6 20 15
10
2、小鸡和母鸡分别代表什么数？
+
=4
=（ 2 ）
+
=9
=（ 7 ）
3、在圆圈内填上“＞”、“＜”或“＝”。
＞
＞
4、（1）如果
=8，那么
+
=（ 16 ）
（2）如果10－● －● －● －● －●=0，那么●=（ 2 ）
10
7
【填一填】
(1)如果○=5，△=4，□=3，那么○－ △＋ □=（ 4 ）
(2) ☆+ ☆ =10 ☆+ □=9
（3） +
=8
+
+
－
=
☆=（ 5 ） □=（ 4 ）
=（ 3 ）
=6
=（ 6 ）
=（ 2 ）
【思维小妙方】
图形代数歌
图形猜数字，找到突破口； 图案相同好，最易猜出来。 猜好写上去，验;▲=15，那么▲=（ 5 ）
（4）如果★+○ +○=9， ○ +○+☆=10，那么○=（ 2 ） ☆=（ 6 ）
5、在下面不同的图形中填上合适的数。
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题
中学数学教案：学习使用图形解决代数问题一、引言二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系2.2 图形解决代数问题的基本步骤三、教学设计3.1 教学目标3.2 教学内容3.3 教学方法与策略3.4 教学步骤四、课堂实施4.1 教师指导与引导4.2 学生互动与合作4.3 个案分析与讨论五、教学反思六、课后作业与延伸阅读一、引言在中学数学教学中，代数问题在学生的学习中常常成为难点和痛点。
为了帮助学生更好地理解和解决代数问题，本教案旨在引导学生使用图形方法解决代数问题，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、理论知识2.1 代数问题与图形解决方法的关系代数问题是指用字母、符号和运算符号来描述数学问题的一种表示方法。
图形解决方法则是将代数问题转化为图形问题，并通过图形的性质和特点来解决。
图形解决方法能够直观地展示问题的本质以及问题之间的关系，有助于学生更好地理解和解决代数问题。
2.2 图形解决代数问题的基本步骤图形解决代数问题的基本步骤包括：理解问题、建立模型、确定变量、列方程、求解方程、验证答案。
首先，学生需要准确理解问题的含义和要求，明确问题的目标。
然后，学生通过建立适当的模型，将代数问题转化为图形问题，以便更直观地进行分析和解决。
接下来，学生需要确定适当的变量，并根据问题中的条件列出方程。
通过解方程，学生可以求得问题的解，并最后通过验证来确定解的正确性。
三、教学设计3.1 教学目标1. 理解代数问题与图形解决方法的关系，认识到图形解决方法的优势和应用价值。
2. 掌握图形解决代数问题的基本步骤，并能够独立运用这些步骤解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。
3.2 教学内容1. 代数问题与图形解决方法的关系及应用示例。
2. 图形解决代数问题的基本步骤及其具体操作。
3.3 教学方法与策略1. 启发式教学法：通过提问、讨论和实例引导学生主动思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
小学数学图形与代数
小学数学图形计算公式1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a2、正方体（V:体积a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b)面积=长×宽 S=ab4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高）(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2 s=ah÷2三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷28、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径）(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лrh或лdh)(2)表面积=侧面积+2×底面积(3)体积=底面积×高=л×半径²×高=л×（直径÷2）²×高（4）体积＝侧面积÷2×半径10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3常用单位换算长度单位换算1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1米=100厘米1厘米=10毫米面积单位换算1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米体(容)积单位换算1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升重量单位换算1吨=1000 千克1千克=1000克1千克=1公斤人民币单位换算1元=10角1角=10分1元=100分时间单位换算1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒代数初步知识一、用字母表示数1 用字母表示数的意义和作用* 用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。
代数问题的图形解法
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下载时间：2010年8月10日
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几何代数知识点总结高中
几何代数知识点总结高中几何代数是数学中重要的一个分支，它涉及到几何图形的性质以及代数方程的解法，是数学学科中的基础和核心知识点。
几何代数知识点的掌握对于高中学生来说至关重要，它不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，还能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在本文中，我们将系统地总结几何代数的知识点，包括几何图形的性质、代数方程的解法等内容。
一、几何代数知识点1. 几何图形的性质（1）直线和线段的性质：直线是无限延伸的，没有端点；线段是有限长度的，有两个端点。
直线和线段上的点是无限多的，任意两点确定一条直线。
直线上的两点与直线外的一点确定唯一一条直线，直线上的两点之间的距离是唯一确定的。
（2）角的性质：角是由两条射线共同端点构成的，射线的共同端点称为角的顶点。
角可分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
两个相邻的角互补的角和补角总和等于180度。
（3）三角形的性质：三角形是由三条线段构成的，有三个顶点和三条边。
三角形的内角和等于180度，外角等于其对应的内角的补角。
三角形的边有三种关系：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
2. 代数方程的解法（1）一元一次方程的解法：一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，通常采用等式的性质和通解法进行求解。
一元一次方程的解法包括用变量消元、整理等式、转化方程等步骤。
（2）一元二次方程的解法：一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程，通常采用代数因式分解、配方法或求根公式等方法进行求解。
一元二次方程的解法需要根据方程系数的不同情况选择不同的求解方法。
（3）分式方程的解法：分式方程是指方程中含有分式的一种方程，通过对分式的合并、通分、消去分母等操作，将分式方程化为一元整式方程，再通过解一元整式方程的方法求解。
（4）多元方程组的解法：多元方程组是指含有多个未知数的方程组，通常采用消元法、代入法、加减消法等方法进行求解。
多元方程组的解法需要根据方程组的特点选择不同的求解方法。
利用代数式求解解决几何图形问题
利用代数式求解解决几何图形问题一、基本概念与性质1.1 几何图形的定义与分类：平面几何图形、立体几何图形等。
1.2 点、线、面的基本性质：点的位置、线的方向与长度、面的面积与形状。
1.3 角度与弧度的概念：角度的度量、弧度的定义。
1.4 三角形、四边形、圆的基本性质：三角形的边长关系、四边形的对角线关系、圆的半径与直径关系。
二、点的坐标与直线方程2.1 坐标系的概念：直角坐标系、极坐标系。
2.2 点的坐标表示：坐标轴上的点、坐标平面内的点。
2.3 直线方程的定义：直线的一般方程、直线的点斜式方程。
2.4 直线与坐标轴的关系：直线与x轴、y轴的交点。
三、三角形的相关代数式求解3.1 三角形的边长关系：海伦公式、余弦定理。
3.2 三角形的面积公式：底乘高、海伦公式。
3.3 三角形的角度关系：正弦定理、余弦定理。
四、四边形的相关代数式求解4.1 四边形的对角线关系：对角线互相平分、对角线交点为重心。
4.2 四边形的面积公式：分割成三角形求面积、对角线交点公式。
五、圆的相关代数式求解5.1 圆的半径与直径关系：半径与直径的比值、圆的周长与半径关系。
5.2 圆的面积公式：πr²、圆的面积与半径关系。
5.3 圆的方程：圆的标准方程、圆的一般方程。
六、立体几何图形的代数式求解6.1 立方体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
6.2 圆柱体的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
6.3 球的体积与表面积：体积公式、表面积公式。
七、解题策略与方法7.1 画图辅助解题：画出几何图形，明确已知与求解量。
7.2 列代数式：根据题目条件，列出相关的代数式。
7.3 化简与求解：化简代数式，求解未知量。
7.4 检验与讨论：检验解的正确性，讨论解的适用范围。
八、注意事项8.1 掌握基本概念与性质：明确几何图形的定义与性质，为解题打下基础。
8.2 熟练掌握代数式的求解：熟悉各种几何图形的代数式，提高解题速度。
8.3 灵活运用解题策略：根据题目条件，选择合适的解题方法。
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2.小鸡和母鸡分别代表什么数？
+= 4 += 9
=（）=（）
3.在圆圈内填上“>”“<”或“=”
（1）3 + = 4 +（2）10−= 6−
4.（1）如果= 4，பைடு நூலகம்
那么+=（）
（2）如果10−−−−−= 0，
那么=（）
（3）如果+ + = 15，那么=（）
（4）如果+ + =9，+ + = 7，
'f﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽-------etryt. Ste it. Re﷽﷽﷽﷽﷽﷽﷽-------图形代数
拓展目标：
1.渗透简易方程的数学思想。
2.学习猜想与验证的思维方法。
3.掌握用分拆法猜数，戴“帽”检验基本技能。
4.体验验证猜想成功后的快乐与自信。
猜猜下列图形代表什么数字？
谁大谁小？在圆圈内填上“>”或“<”。
−8 =+ 3 =−3
（1）如果=5，=4，=3，
那么−+ =（）
（2）+ = 10 =（）
+ = 9 =（）
（3）+= 8+ + = 6
−=
=（）=（）=（）
1. 猜一猜，绿叶挡住的是什么数？
（1）3 + = 7（2）10−= 4
（3）20−= 0（4）−4 = 3
（5）−2 = 5（6）−0 = 6
那么=（）=（）
5.在下面不同的图形中填上合适的数。
（1）+ + = 10=（）
+ = 8=（）
（2）+=7=（）
++= 9=（）
（3）+ + + =6=（）
+ + + + =8=（）
6.看水果，填数字。（外边的数是这一行或这一列三个数的和）
5
1
3
=（）
=（）
=（）
把水果当数字，等号后面的数是每行或每列的和。请算出问号处是什么数。