画法几何-投影的基本知识
画法几何-投影法
a' Ⅲ
X
Ⅱ
O
b
Ⅰ D
d
Ⅳ Ac
3(4 )a
b’
（2’） 1‘
3’
c’
d’
4’ a’
X
O
b
2
Yd
1
c 3（4） a
交叉两直线可能有一组或两组同面投影平行，但两直线的其余同面投影必定不平行； 交叉二直线也可能在3个投影面的同面投影都相交，但交点必定不符合一个点的投影 规律，其投影的交点是两直线对不同投影面的重影点
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
k
c a
3、两直线交叉
既不相交也不平行的两直线称为交叉两直线。如果两直线的投影既不符合
两平行直线的投影特性，又不符合两相交直线的投影特性，则可断定这两条直 线为空间交叉两直线。
V
c' Z
b'
(2’ ) 1‘
C
d' B
三、平行投影法 的基本特征
• a实形性 • b积聚性 • c平行性 • d类似性 • e定比性 • f从属性
一、投影法的基本知识
物体在阳光的照射下，就会在墙上或地面上投下影子，这 就是投影现象。投影法是将这一现象加以科学抽象和思维 而产生的。投射线通过物体向选定的面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
一般位置直线的投影
z
V b’
X
a’ A a”
b’
βγ
α
B O
投影的基本知识
第二章投影的基本知识一、投影概念在投影面上作出物体投影的方法，称为投影法。
二、投影的分类投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。
.中心投影法所有投影线都相交于投影中心的投影方法。
平行投影法由互相平行的投影线在投影面上作出物体投影的方法。
按投影线与投影面是否垂直，可分为斜投影法和正投影法两种。
(1)斜投影法：投影线倾斜于投影面的平行投影法。
(2)正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法。
特点：其投影反映了物体的真实形状和大小，并且与物体到投影面的距离无关。
所以建筑图样一般均采用这种投影法绘制，所得的投影称为正投影，简称投影。
1、正投影法概念：投影线垂直于投影面的平行投影法。
2 、正投影的基本特性：1）真实性----平行于投影面的物体，投影反映实形；2）积聚性----垂直投影面的平面或直线，其投影积聚成直线或一点；3）类似性----物体上的平面与投影面倾斜时，其投影为缩小的类似形；4）从属性---- 直线或平面上的点，其投影仍在直线或平面的投影上。
真实性、积聚性、类似性和从属性是正投影的四个重要特性，在画图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。
三、三面投影图1、三面投影图的形成我们将形体正放在三个互相垂直的投影面之间，并分别向三个投影面进行投影，就能得到该形体在三个投影面上的投影图，将这三个投影图结合起来观察，就能准确地反映出该形体的形状和大小。
这三个互相垂直的投影面分别为水平投影面（或称H面，用字母H表示）、正立投影面（或称V 面，用字母V表示）和侧立投影面（或称W面，用字母W表示）。
这三个投影面组合起来就构成了三面投影体系（三投影面体系）。
三个投影面两两相交构成的三条轴称为OX、OY、OZ轴，且OX⊥OY⊥OZ，三条轴的交点O称为原点。
形体在三个投影面上的投影分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。
注：OX轴的正方向为水平向左，OY轴的正方向为正对观察者，OZ轴的正方向为铅直向上。
2、三面投影图的展开因为形体的三个投影分别在三个不共面的平面上，因此无法绘制在同一平面图纸上，为此，需将三个投影面进行展开，使其共面。
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
画法几何与土木建筑制图 第2章 投影的基本知识
◆重点：理解中心投影和平行投影（正投影和斜投影）的概念； 理解正投影特性；掌握三面投影图的作图方法。 ▲一般理解：了解投影图的形成，理解三面投影的对应关系。 ●难点：投影图的形成。
2.1 投影概念
2.2 正投影的特性
2.3 三面投影图
2.1 投影概念
一、投影的形成：在右 图中，若要作出平面 ABC在平面H上的图像， 将S与A、B、C连成直线， 作出SA、SB、SC与平面
Ⅱ
ZⅥ
V Ⅰ
X
Ⅲ
Ⅴ OW
(Ⅶ) Y
Ⅳ
Ⅷ
八分角
二、三面投影图的形成
主视图—从前向后看，在V面上形成的投影
●三投影图 俯视图—从上向下看，在H面上形成的投影
左视图—从左向右看，在W面上形成的投影 Z
三投影面 展平：V面不
V
主视图
W
W
动，将H面
绕OX轴向下
X
旋转90°，
YW
W面绕OZ轴 向右后旋转
左视图
90°。
Y
H
俯视图
YH
三、三面投影图的投影关系
Z
V
W
上 左
上
右
后
前
高
X
O
YW
下长
宽
后
下
宽
H
YH
三面投影图展平
左
右
前 无边框三面投影图
●投影关系：主俯视图长对正，主左视图高平齐， 俯左视图宽相等。
●方位关系：主视图反映物体的左右、上下关系； 俯视图反映物体的左右、前后关系； 左视图反映物体的前后、上下关系； 远离主视为前面。
E
Байду номын сангаас
第一部分《画法几何》复习大纲一．投影的基本知识1．投影法的分类
第一部分《画法几何》复习大纲一．投影的基本知识1．投影法的分类投影法可分为中心投影法和平行投影法两类。
（1）中心投影法：投射中心距投影面为有限远，即投射线从投射中心发出的投影法，称中心投影法（2）平行投影法：投射中心距投影面为无限远，即投射线相互平行时的投影法，称平行投影法。
平行投影法又分为斜投影法和正投影法两种。
投射线与投影面倾斜，称为斜投影法；投射线与投影面垂直，称为正投影法。
2．土木工程常用的几种投影图土木工程常用的投影图有多面正投影图、轴测投影图、标高投影图及透视投影图。
1）多面正投影图多面正投影图由物体在两个或两个以上相互垂直的投影面上的正投影所组成。
这种图的特点是度量性好，表达完整准确，作图简便，是工程上应用最广泛的投影图。
但它缺乏立体感，需要掌握一定的投影知识才能看懂。
2）轴测投影图轴测投影图是用平行投影法将物体连同确定其空间位置的直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，将其投射在单一投影面上所得的图形。
轴测投影图可在一个投影面上反映出形体的长、宽、高三个向度。
因此，这种投影图的特点是具有一定的立体感，缺点是作图较费时，且不能完整、唯一地表达物体的形状和大小，因此多用作辅助图样。
3）标高投影图标高投影图是物体在某一投影面（通常是水平投影面）上标有高度的正投影图，它是假想用一组高差相等的水平面截割山地表面，将所得不同高程的等高线投射在水平投影面上。
标高投影多用来表达地形及复杂曲面。
4）透视投影图透视投影图是用中心投影法将物体投射到单一投影面上所得到的图形。
这种图的优点是形象逼真、直观性强，因此常用于设计方案的比较或展示中。
缺点是作图较为复杂，且不能反映物体表面的真实形状和大小。
3．三面投影及其投影特性（1）一般情况下根据形体的三面投影，就可确定其形状和大小，其中正面投影反映形体的长和高；水平投影反映形体的长和宽；侧面投影反映形体的宽和高。
（2）因为三个投影表示的是同一形体，作投影图时，形体与各投影面的相对位置保持不变，展开后就有：正面投影与水平投影长度相等且对正；正面投影与侧面投影高度相等且平齐；水平投影与侧面投影宽度相等。
第1章-正投影特性
1 两相交直线
两直线相交时，如图所示的AB和CD， 它们的交点E既是AB线上的一点，又是CD 线上的一点。
图 两相交直线的投影
[例]给出平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影， 试完成整个H投影。
[解] 作图步聚如图。
图 求四边形的H投影
2 两平行直线 根据平行投影的特性可知，两平行直线在同 一投影面上的投影相互平行。如图所示。
1.3.2三面投影图的展开
—— 规定正面V不动，将水平面H绕OX轴向下旋转90°，
侧面W绕OZ轴向右旋转90°，就得到如下图所示的在同一 平面上的三个视图。
1.3.3 三面投影图的投影规律
1、三面投影图的基本规律(三等关系)
正面图与平面图长对正； 正面图与侧面图高平齐； 平面图与侧面图宽相等。
2、视图与形体的方位关系
a
b
X
（1）铅垂线
Z
a
Z
A
a
b
O B a(b)
X
O
b
Y
a(b)
YH
投影特性：1) a b 积聚 成一点
2) a bOX ; a b OY 3) a b = a b = AB
a b
YW
（2）正垂线
Z
ab
ab
A
a
z
a
B
X
O
a
b X
O
a
b
Y
b
投影特性： 1) ab积聚 成一点
YH
2) ab OX ; ab OZ
1、显实性 2、积聚性 3、类似性
1、显实性：若线段和平面图形平行于投影面, 其投影反映实长或实形。
画法几何与机械制图-第1章-投影法和点、线、面的投影-1.1 投影的基本知识&1.2 点的投影
a
Y
点A在点B的： 左边、前边、 上边。
X坐标大的在左边；Y坐标大的在前边；Z坐 坐标大的在左边； 坐标大的在前边； 标大的在上边。 标大的在上边。
Z V
a' A a' a" B b a H a XA- XB b' O Y b Y ZA- ZB b" Z a'' b" YA- YB
X
O b'
W
X
Y
a′● ′ ax a●
az
●
a″ ″
点的投影到投影轴的距离， 点的投影到投影轴的距离，等于点的相应坐标
Z V
Bb' b" b'
Z b''
X
b
c'
D d，d'
O
d" c"
W
X
b c'
d' d c
O d"
c" YW
H
Cc
YH
Y
面上， 点在 面上， 点在 点在H面上 点在OX轴上 轴上。 Β点在V面上， C点在 面上， D点在 轴上。 点在 面上
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A 作投影面P 过空间点A，作投影面P的正 投射线与投影面P交于a 点,a’即 投射线与投影面P交于a’点,a 即 为点A 面上的投影。 为点A在P面上的投影。 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。 间位置。
解决办法？ 解决办法？
A
●
P
●
a′ ′
P B1 B2
●
B3
●
●
b′ ′
●
采用多面投影。
《画法几何》课程标准
4.直线上的点的投影规律；
5.平面上的直线和点与平面的关系。
训练项目：
1．绘制的形体的三面投影图上确定虚、实线；
2．学生利用作图理论进行解决空间度量和定位问题。
10
4直线与平面及两平面的位置关系
学习内容：
1.直线与直线、直线与平面的平行和相交问题；
2.交点在三投影面体系中必须满足三个投影规律；
3.平行和相交问题。
训练项目：
1.举例相关实例，利用立体图、模型等实物和投影仪，表现出空间的状态，提出问题和解决的方法，引导学生学会将空间问题进行分类，找出解决问题的方法。
12
5曲线与曲面
学习内容：
1.曲线和曲面的种类和特点；
2.曲面立体投影特点及在其表面取点、取线的具体方法。
训练项目：
1.求回转体上的点和直线有哪些方法；
1．了解投影的概念、投影形成的基本要素；
2．熟悉投影图的应用范围，掌握基本投影面和投影轴；
3．掌握简单形体的投影的绘制方法。
训练项目：
1．运用“线面分析”法，读平面投影图；
2.根据两面投影图补绘第三面投影图。
8
3点、直线、平面投影
学习内容：
1.了解掌握点的投影规律；
2.区分一般位置线；投影平行线和投影垂直线；
《画法几何》课程
序号
情境描述
学时
1制图基本知识
学习内容：
1. 线形及线宽正确画法、工程字体书写、尺寸标注的正确方法。
训练项目：
1.正确使用手工绘图工具；
2.正确选择图幅和比例，工程字体书写规范，图线宽度选择合理，平面图形的尺寸注法正确；
3.圆弧与直线的连接光滑，角度标准正确。
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投影的基本知识
画法几何-投影的基本知识
2.1 投影法概述
2.1.1 中心投影法 2.1.2 平行投影法 2.1.3 正投影法的主要投影特性 2.1.4 工程上常用的投影图
画法几何-投影的基本知识
投影法的概念
投射线
S 投射中心 A 空间点
b a 投影
投影面P B 将光线通过物体向选定的平面投射，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
看起来自然、逼真。
如绘制效果图或建筑物的外形。
缺点：作图复杂，度量性差。
优点：能解决物体高度方向的度量 主要用于地图以及土建工程图中
问题。
表示土木结构或地形。
画法几何-投影的基本知识
2.2 基本形体的投影
按照一定规则形成的简单立体称为基本体，基 本体分为平面立体和曲面立体两类。
画法几何-投影的基本知识
分 （倾斜或垂直）
类
中心投影法
投
投射线汇交于
影
投影中心
法
平行投影法
斜投影法
投射线倾斜 投影面
投射线相互平行 正投影法
投射线垂直
画法几何-投影的基本知识
投影面
共同点（产生投影必须具备的条件）
S S
S
投影中心或投射方向投影面物体来自画法几何-投影的基本知识
投影三要素
平行投影法的投影特性
不变性
等比性
积聚性
画法几何-投影的基本知识
投影法的分类
1. 中心投影法 投射线汇交于一点。 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对
投影的大小有影响。度量性较差 2. 平行投影法 投射线互相平行。 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量
性较好 （1）斜投影 投射线与投影面倾斜的平行投影。 （2）正投影 投射线与投影面垂直的平行投影。
(1) 棱锥的投影
s
s
b
a
c
a”
b”(c”)
b
c
B s
a
画法几何-投影的基本知识
S
C A
(2) 棱锥表面上取点
s
s
r 1
1
b
a c
a
b
r
b(c)
c
s
1
a
画法几何-投影的基本知识
(2) 棱锥表面上取点
s
2
s 2
b
a c
a
b
b (c)
c s
2
a 画法几何-投影的基本知识
(2) 棱锥表面上取点
s
s
2.2.1 平面立体
5.1.1 棱柱
5.1.2 棱锥
表面均为平面构成的立体称为平面立体，平面 立体上相邻两表面的交线称为棱线。常见的平面立 体有棱柱、棱锥和棱台等。
画法几何-投影的基本知识
2.2.1.1 棱 柱
由两个底面和若干棱面组成。棱面与棱面的交线叫 棱线，棱线相互平行。
画法几何-投影的基本知识
后 左
上 右
上
Z上
左
右高 后
前
下
平下
X 长对正 齐O
YW
后
左
右
前
前
YH
下
各视图的配置
各视图所表达的方位关系
三视图投影规律
画法几何-投影的基本知识
根据立体图绘制三视图
上
后
前
下
左
右
后
前
画法几何-投影的基本知识
根据立体图绘制三视图
画法几何-投影的基本知识
2.1.3 正投影法的主要投影特性
1. 实形性 当线段或平面平行于投影面时，其 投影反映实长或实形。
工程上常用的投影图
图样名称
正投影图 （多 面）
轴测图 （单 面）
特点
应用
优点： 能准确表达物体形状和大小， 在工程上，正投影图是最常用的
且作图方便。
图样。如：
缺点：缺乏立体感，直观性较差，
（1）零件图
要运用正投影法对照几个投影才能想象 （2）装配图
出物体的形状。
(3) 建筑工程图
在工程上，常把轴测图用作辅助
2. 积聚性 当线段或平面垂直于投影面时，其 投影积聚为点或线段。
3. 类似性 当线段或平面倾斜于投影面时，其 投影变短或变小。
画法几何-投影的基本知识
1. 实形性
A
C
D
B
E
a
c
b
d
P
e
当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。
画法几何-投影的基本知识
2. 积聚性
A
C
D
B
E
c
a（b）
e
d
优点： 一个图形能同时反映物体的 图样，说明产品的结构和使用方法；
正面、水平面和侧面的形状，而富有立 在设计和测绘中，帮助进行空间构
体感。
思和想象物体形状；空间机构和管
缺点：不能反映物体各表面的实形，
且作图较复杂。
路布局。如： （1）正等测
（2）斜二测
透视图 （单 面）
标高投影图 （单 面）
优点： 透视投影符合人的视觉映象， 主要用于建筑工业设计等工程中，
（1） 棱柱的投影
画法几何-投影的基本知识
25
(1) 棱柱的投影
画法几何-投影的基本知识
(2) 棱柱表面上取点
a
（a）
b (b）
b
a
画法几何-投影的基本知识
27
2.2.1.2. 棱 锥
由一个底面和几个棱面组成。棱线交于有限远的一 点——锥顶。
画法几何-投影的基本知识
(1) 棱锥的投影
画法几何-投影的基本知识
(3)
3
b
a c
b(c ）
a
b
3
c
s
a
画法几何-投影的基本知识
2.2.2 曲面立体
表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立 体，常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
曲面可看作由一条母线按一定的规律运动所形成， 运动的线称为母线，而曲面上任一位置的母线称为素 线。母线绕轴线旋转，则形成回转面。
P
当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。
画法几何-投影的基本知识
3. 类似性
C A
D B
E
a
b
c
d
e P
当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。
画法几何-投影的基本知识
2.1.4 工程上常用的投影图
1.正投影图（多面）
2.轴测图（单面）
3.透视图（单面）
4.标高投影图（单面）
画法几何-投影的基本知识
画法几何-投影的基本知识
2.1.1 中心投影法
投射中心 投射线 平面图形 投影面 投影
中心投影法 : 投射线汇交一点的投影法
画法几何-投影的基本知识
2.1.2 平行投影法
平行投影法
多面投影图 正投影法
单面投影图
工程图样 （建筑工程图装配图）
辅助图样 （正等轴测图）
斜投影法 — 单面投影图
辅助图样 （斜二轴测图）
平行投影法 : 投射线相互平行的投影法 （投射中心位 于无限远处）
画法几何-投影的基本知识
正投影法与斜投影法
正投影法
斜投影法
正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。 斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。
画法几何-投影的基本知识
归纳
投 影
法
投射线类型（汇交或平行） 投影面与投射线的相对位置
画法几何-投影的基本知识
从属性
正投影法中直线和平面的投影特点
B A
b a
B A
b a
直线和平面平行于投影面 直线和平面
A
倾斜于投影面
B
a b
直线和平面 垂直于投影面
画法几何-投影的基本知识
立体在两投影面体系中的投影
立体的两面投影 往往不能 唯一确定其形状
画法几何-投影的基本知识
立体在两投影面体系中的投影